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[UNRN – Sede Andina – Análisis Matemático I]
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
[2014]
Año: 2014 – 1º Cuatrimestre
Trabajo Práctico Nº 8: Integración de funciones racionales
Equipo Docente: Claudio Molina - P. Mariano Nowakowski – Raul Mattioli - Campitelli Emiliano Nehuen
Resumen Teoría:
El objetivo es resolver integrales de la forma:
donde
y
son polinomios de coeficientes reales, y el cociente entre ellos se conoce
como función racional.
Observemos que si
, entonces podemos escribir:
donde
.
De lo anterior, resulta
El término
se resuelve fácil (es un polinomio), por lo que nos concentraremos en
resolver
. La idea será descomponer la expresión
(función racional propia) en una
suma de términos que podamos integrar, llamadas fracciones simples, para lo cual deben hallarse
primero las raíces del polinomio del denominador.
En álgebra se demuestra que cualquier polinomio de coeficientes reales puede expresarse como
producto de polinomios primos sobre lineales o cuadráticos.
Se presentan 4 casos según que las raíces del denominador sean reales o imaginarias, simples o
múltiples.
Primer caso:
Las raíces del denominador son reales y simples. El denominador se expresa como producto de
polinomios lineales diferentes.
Consideremos en general la integral
Sea
, y
admite sobre la siguiente factorización:
donde
.
sus n raíces reales. El polinomio
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La descomposición en fracciones simples es del tipo:
Luego,
Segundo caso:
Las raíces del denominador son reales y múltiples. El denominador se expresa como producto de
polinomios lineales algunos repetidos.
En este caso si aparece en el denominador una raíz múltiple de orden k, la descomposición en
fracciones simples es:
En general, si el grado del denominador es n, la descomposición debe hacerse en n fracciones
simples de la siguiente manera:
donde
.
Tercer caso:
Las raíces del denominador son complejas, no reales y simples. En el factoreo del denominador
aparecen polinomios cuadráticos irreducibles todos distintos entre sí.
En general en este caso la descomposición es del tipo:
donde
es un polinomio de grado , con
complejas se presentan en pares conjugados) y
raíces complejas, no reales, diferentes (las raíces
.
Cuarto caso:
Las raíces del denominador son complejas, no reales y múltiples. En el factoreo del denominador
aparecen polinomios cuadráticos irreducibles repetidos.
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En este caso si el polinomio cuadrático irreducible
se presenta k veces en el
denominador, la descomposición correspondiente en fracciones simples es:
Ejercitación
1. Primer caso
3. Tercer caso
2. Segundo caso
4. Cuarto caso
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