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TEMA 10. POLÍGONOS Y CIRCUNFERERENCIA.
1. POLÍGONOS.
Po lígo n o e s la r e gió n de l plan o lim itad a po r una líne a
po ligo na l ce r ra d a .
1.1. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO.
En
un
po lígo n o
po d e m o s
dif e r e n ci a r
lo s
sigu ie n t e s
e l e m e nt o s :
En to do po lígo n o se cu m p le :
N úme r o de lado s =
N úme r o de
vé r ti ce s = N úme r o
de
án gu l o s
C ua ndo ha b l a m o s de á ngulo s de un po l ígo n o no s r e f e r i m o s
a l o s án g u l o s I nt e r i o re s .
Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia.
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1.2. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS.
Los
polígonos
pueden
clasificarse
según
diferentes
criterios.
Según el número de lados
3 lados
41ados
51ados
61ados
?lados
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
OWóO
S lados
Octágono
u octógono
91ados
10 lados
11 lados
121ados
20 lados
Eneágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
lcoságono
Según sus ángulos
1
Un polígono es convexo si tiene todos sus ángulos convexos.
Un polígono es cóncavo si alguno de sus
ángulos es cóncavo.
Según la longitud relativa de sus lados y la amplitud relativa de sus ángulos
1
u
Un polígono es equilátero
si tiene todos sus lados
iguales.
1
1
Un polígono es equiángulo si tiene todos sus ángulas iguales.
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D
Un polígono es regular si
tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.
Un polígono es irregular si
no tiene todos sus lados
iguales o no tiene todos sus
ángulos iguales, es decir, si
no es regular.
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1.3. PROPIEDADES.
A
p art i r
de l
n úme r o
de
l ado s
de
un
po l í go no ,
po de mo s
calcul a r e l núme r o de diago nale s y la suma de lo s ángu lo s de d ic ho
po lígo no .
Sum a d e á ngu l o s i n t er i o r es d e un p o l í g o n o
S i n e s el núm e r o d e l a d o s d e un p o l í g o n o :
Suma de án g u l o s de un po l í go n o = ( n − 2 ) ·180 °
N ú m er o d e d i a g o n a les d e u n p o l í g o n o
S i n e s el núm e r o d e l a d o s d e un p o l í g o n o :
N ú m er o d e d i a g o n a les = n · ( n − 3) : 2
4 · (4 − 3 ) : 2 = 2
5 · (5 − 3 ) : 2 = 5
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6 · (6 − 3 ) : 2 = 9
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Un p o l í g o no r e gula r e s e l que ti e ne su s á ng u l o s i g ua l e s y
sus l a do s i gu al e s .
Elementos de un polígono regular
Ce n t r o ( C )
Pu nt o i nt e r io r qu e e qu id ista de c a da v é r tic e
Radio ( r)
Es e l se gm e n to q u e v a de l ce n t r o a ca da v é r tic e .
A p o t em a (a )
D i s t a nc i a d e l c e n t r o al p u nt o m e d i o d e u n l a d o .
Á ng u l o s d e un p o l í g o n o r egu l a r
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Á ng u l o c ent r a l d e un p o l í g o n o r egu l a r
Es el f o r m a d o p o r d o s r a d i o s c o nsec u t i v o s ( a l fa ) .
Si n e s e l nú m e r o de l a do s d e u n po l í go no :
Á ngu l o c en t r a l = 3 6 0 ° : n
Á ngu l o c e n t r a l d e l p e n t á g o n o r e g u l a r = 360 ° : 5 = 7 2 º
1 .4 . IG UAL DA D DE PO L Í G ON O S .
Do s p o l í g o no s s o n i g u a l e s s i t i e ne i g ua l e s l o s l a d o s y l o s
án gu l o s co rre sp o nd i e nt e s .
2 . T R I Á N G UL OS .
U n tr i á n gu l o e s un po l í go n o de t re s l a do s .
2 . 1 . E L EM EN T O S D E U N T R I Á N G UL O.
Par a r e fe r ir no s a un tr iáng ul o n o mbr ar e mo s sus vé r tice s
sigu ie nd o e l se nt i do co nt r ari o de l a s a guj a s de l re l o j .
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Así , e l tr i á n gu l o de l a f i gur a e s e l tr i á n gu l o A BC .
Diremos que el lado “a” es opuesto al ángulo A el lado “b” es opuesto al
ángulo B y el lado “c” es opuesto al ángulo C.
Fíjate en que los lados se designan con la misma letra que su ángulo
opuesto, pero en minúscula.
Asimismo, diremos que el lado “a” es contiguo al ángulo C y B, que el lado “b”
es contiguo a A y C, que el lado “c” es contiguo a los ángulos Á y B .
2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.
Los triángulos pueden clasificarse según sus lados o según sus ángulos.
Observa que:
• En un triángulo equilátero, los tres ángulos son iguales; por tanto, es polígono
regular.
• En un triángulo isósceles, los dos ángulos contiguos al lado desigual son
¡guales.
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a
b
Triángulos rectángulos
Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo
c
de 90°.
Los lados de este triángulo reciben nombres especiales.
- El lado opuesto al ángulo recto, a, se denomina hipotenusa.
- Los lados b y c que forman el ángulo recto se llaman catetos. Además,
en todo triángulo rectángulo se cumple que:
- La hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos.
- Los ángulos agudos son complementarios, ya que:
2.3. TEOREMA DE PITÁGORAS.
El T e o r e m a d e Pi t á g o r a s e s u na pr o pi e da d qu e se cum p l e
par a to do s lo s t r i á ng u l o s re ct án gu l o s ( po se e un áng u l o 9 0 º ) , y
dic e que , el c u a dr a d o d e la hi p o t enus a es i gua l a la sum a
d e l o s c ua dr a d o s d e l o s c a t et o s .
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2.4.
CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.
Primer caso: conocidos los tres lados
1. Trazamos un segmento igual a 3. Repetimos la operación anterior trazando
otro arco con centro en el otro extremo de
uno de los lados; por ejemplo,
a y de radio c.
el a. Sus extremos serán los
vértices B y C del triángulo.
Datos:
e
-,--- b
a
Conocemos las medidas de
los tres lados: a, b y c.
a
Los dos arcos así trazados se cortan en un
punto que es el tercer vértice del triángulo.
a
2. Con el compás trazamos un
arco con centro en uno de los 4. Unimos los tres vértices y obtenemos el
extremos de a y de radio b.
triángulo de lados iguales a los dados.
\
a
e
A
B
a
Segundo caso: conocidos un lado y sus ángulos contiguos
1. Trazamos un segmento igual aliado c.
Datos:
e
Conocemos la medida de
uno de los lados; por ejemplo, el e, y laAde A
sus ángulos
contiguos, A y B.
2. Transportamos g,_on axuda del compás los ángulos A y B sobre el segmento e, de modo que cada uno de los
extremos de éste sea el vértice de uno
de los ángulos.
e
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3. Prolongamos
los lados no
comunes de
A
loángulos A
y B hasta que
se corten.
"-"-...;..;...
e_....;;......l....Jo.
e
El punto donde se cortan
es el tercer
vértice, e, del
triángulo.
A
e
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B
2.5. RECTAS NOTABLES.
Las mediatrices y las bisectrices de un triángulo, junto con las medianas y las
alturas, que definiremos a continuación, constituyen las denominadas rectas
notables del triángulo y sus intersecciones se denominan puntos notables.
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3. CUADRILÁTEROS.
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
3.1. ELEMENTOS DE UN CUADRILÁTERO.
Para referirnos a un cuadrilátero, nombraremos sus vértices, siguiendo el sentido contrario a las agujas del reloj.
Así, el cuadrilátero de la figura es ABCD.
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3.2. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS.
Según el paralelismo de sus lados, los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos, trapecios y trapezoides.
A su vez, los paralelogramos y los trapecios se clasifican según se muestra
en el siguiente esquema.
4. LA CIRCUNFERENCIA.
4.1. CONCEPTO DE CIRCUNFERENCIA.
Una
p un t o s
c i r c unfer e nc i a
e stá n
t o do s
a
es
la
una
m is m a
l í n ea
c u r va
d i s t a nc i a
de
c er r a d a
un
cuyo s
pu nto
fi jo
lla m a do c en t r o .
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4.2. POSICIONES RELATIVAS.
Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia.
Po sicio ne s r e lati va s de una r e ct a y una c i r cu nf e re nc i a
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Po sicio ne s re l at i va s de d o s ci r c u nf e re n ci a s
4.3. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
Á ngu l o c en t r a l
El
á ngul o
c ent r a l
tiene
su
v ér t i c e
en
el
c en t r o
de
la
c i r c unfer enc i a y sus la do s so n do s r a d i o s .
La
m e di da
de
un
arco
es
la
de
su
á ngul o
c ent r a l
co rre spo n di e nt e .
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O t r o s t i p o s d e á ngul o s:
M ed id a d el á ng ul o insc r i t o :
L a m edid a d e u n á ngul o insc r i t o e n una ci r cu n f e re nc i a
e s i gu a l a l a mi t a d de l á ng u l o ce nt ra l co rre s po nd i e nt e .
L a m e d i da de un án g u l o i nt e r i o r a una c i rc unf e re nc i a e s
igu a l a la se m i su m a de lo s á n g u lo s ce n t r a le s q u e d e f in e .
L a m e d i da de u n án gu l o e xt e r i o r a una c i rc u nf e re nc i a e s
igu a l a la se m i dif e r e n cia de lo s á n gu lo s ce n t r a l e s qu e de f in e .
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5. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA.
5.1. POLÍGONOS INSCRITOS Y POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS.
Los polígonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posición que
ocupan los polígonos con respecto a la circunferencia.
De esta manera, tenemos dos situaciones particulares: polígonos inscritos y
polígonos circunscritos.
Polígonos inscritos
Todos sus vértices son puntos de una circunferencia.
Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices son
puntos de dicha circunferencia.
Polígonos circunscritos
Todos sus lados son tangentes a una circunferencia.
Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son
tangentes a dicha circunferencia.
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5.2.
CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS.
Para inscribir un polígono regular basta con trazar una circunferencia y dividirla en tantos arcos iguales como lados tenga el polígono. La amplitud de
estos arcos corresponde al ángulo central del polígono regular.
A continuación, mostramos una serie de procedimientos particulares para
construir diferentes polígonos regulares.
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6. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA.
Longitud de una circunferencia
6.1. LONGITUD DE ARCO.
L o ng i tu d de un a r c o de ci rcu nf e re nc i a
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