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TEMA 10. POLÍGONOS Y CIRCUNFERERENCIA. 1. POLÍGONOS. Po lígo n o e s la r e gió n de l plan o lim itad a po r una líne a po ligo na l ce r ra d a . 1.1. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO. En un po lígo n o po d e m o s dif e r e n ci a r lo s sigu ie n t e s e l e m e nt o s : En to do po lígo n o se cu m p le : N úme r o de lado s = N úme r o de vé r ti ce s = N úme r o de án gu l o s C ua ndo ha b l a m o s de á ngulo s de un po l ígo n o no s r e f e r i m o s a l o s án g u l o s I nt e r i o re s . Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 1 de 17 1.2. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS. Los polígonos pueden clasificarse según diferentes criterios. Según el número de lados 3 lados 41ados 51ados 61ados ?lados Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono OWóO S lados Octágono u octógono 91ados 10 lados 11 lados 121ados 20 lados Eneágono Decágono Endecágono Dodecágono lcoságono Según sus ángulos 1 Un polígono es convexo si tiene todos sus ángulos convexos. Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos es cóncavo. Según la longitud relativa de sus lados y la amplitud relativa de sus ángulos 1 u Un polígono es equilátero si tiene todos sus lados iguales. 1 1 Un polígono es equiángulo si tiene todos sus ángulas iguales. Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. D Un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. Un polígono es irregular si no tiene todos sus lados iguales o no tiene todos sus ángulos iguales, es decir, si no es regular. Página 2 de 17 1.3. PROPIEDADES. A p art i r de l n úme r o de l ado s de un po l í go no , po de mo s calcul a r e l núme r o de diago nale s y la suma de lo s ángu lo s de d ic ho po lígo no . Sum a d e á ngu l o s i n t er i o r es d e un p o l í g o n o S i n e s el núm e r o d e l a d o s d e un p o l í g o n o : Suma de án g u l o s de un po l í go n o = ( n − 2 ) ·180 ° N ú m er o d e d i a g o n a les d e u n p o l í g o n o S i n e s el núm e r o d e l a d o s d e un p o l í g o n o : N ú m er o d e d i a g o n a les = n · ( n − 3) : 2 4 · (4 − 3 ) : 2 = 2 5 · (5 − 3 ) : 2 = 5 Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. 6 · (6 − 3 ) : 2 = 9 Página 3 de 17 Un p o l í g o no r e gula r e s e l que ti e ne su s á ng u l o s i g ua l e s y sus l a do s i gu al e s . Elementos de un polígono regular Ce n t r o ( C ) Pu nt o i nt e r io r qu e e qu id ista de c a da v é r tic e Radio ( r) Es e l se gm e n to q u e v a de l ce n t r o a ca da v é r tic e . A p o t em a (a ) D i s t a nc i a d e l c e n t r o al p u nt o m e d i o d e u n l a d o . Á ng u l o s d e un p o l í g o n o r egu l a r Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 4 de 17 Á ng u l o c ent r a l d e un p o l í g o n o r egu l a r Es el f o r m a d o p o r d o s r a d i o s c o nsec u t i v o s ( a l fa ) . Si n e s e l nú m e r o de l a do s d e u n po l í go no : Á ngu l o c en t r a l = 3 6 0 ° : n Á ngu l o c e n t r a l d e l p e n t á g o n o r e g u l a r = 360 ° : 5 = 7 2 º 1 .4 . IG UAL DA D DE PO L Í G ON O S . Do s p o l í g o no s s o n i g u a l e s s i t i e ne i g ua l e s l o s l a d o s y l o s án gu l o s co rre sp o nd i e nt e s . 2 . T R I Á N G UL OS . U n tr i á n gu l o e s un po l í go n o de t re s l a do s . 2 . 1 . E L EM EN T O S D E U N T R I Á N G UL O. Par a r e fe r ir no s a un tr iáng ul o n o mbr ar e mo s sus vé r tice s sigu ie nd o e l se nt i do co nt r ari o de l a s a guj a s de l re l o j . Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 5 de 17 Así , e l tr i á n gu l o de l a f i gur a e s e l tr i á n gu l o A BC . Diremos que el lado “a” es opuesto al ángulo A el lado “b” es opuesto al ángulo B y el lado “c” es opuesto al ángulo C. Fíjate en que los lados se designan con la misma letra que su ángulo opuesto, pero en minúscula. Asimismo, diremos que el lado “a” es contiguo al ángulo C y B, que el lado “b” es contiguo a A y C, que el lado “c” es contiguo a los ángulos Á y B . 2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS. Los triángulos pueden clasificarse según sus lados o según sus ángulos. Observa que: • En un triángulo equilátero, los tres ángulos son iguales; por tanto, es polígono regular. • En un triángulo isósceles, los dos ángulos contiguos al lado desigual son ¡guales. Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 6 de 17 a b Triángulos rectángulos Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo c de 90°. Los lados de este triángulo reciben nombres especiales. - El lado opuesto al ángulo recto, a, se denomina hipotenusa. - Los lados b y c que forman el ángulo recto se llaman catetos. Además, en todo triángulo rectángulo se cumple que: - La hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos. - Los ángulos agudos son complementarios, ya que: 2.3. TEOREMA DE PITÁGORAS. El T e o r e m a d e Pi t á g o r a s e s u na pr o pi e da d qu e se cum p l e par a to do s lo s t r i á ng u l o s re ct án gu l o s ( po se e un áng u l o 9 0 º ) , y dic e que , el c u a dr a d o d e la hi p o t enus a es i gua l a la sum a d e l o s c ua dr a d o s d e l o s c a t et o s . Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 7 de 17 2.4. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS. Primer caso: conocidos los tres lados 1. Trazamos un segmento igual a 3. Repetimos la operación anterior trazando otro arco con centro en el otro extremo de uno de los lados; por ejemplo, a y de radio c. el a. Sus extremos serán los vértices B y C del triángulo. Datos: e -,--- b a Conocemos las medidas de los tres lados: a, b y c. a Los dos arcos así trazados se cortan en un punto que es el tercer vértice del triángulo. a 2. Con el compás trazamos un arco con centro en uno de los 4. Unimos los tres vértices y obtenemos el extremos de a y de radio b. triángulo de lados iguales a los dados. \ a e A B a Segundo caso: conocidos un lado y sus ángulos contiguos 1. Trazamos un segmento igual aliado c. Datos: e Conocemos la medida de uno de los lados; por ejemplo, el e, y laAde A sus ángulos contiguos, A y B. 2. Transportamos g,_on axuda del compás los ángulos A y B sobre el segmento e, de modo que cada uno de los extremos de éste sea el vértice de uno de los ángulos. e Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. 3. Prolongamos los lados no comunes de A loángulos A y B hasta que se corten. "-"-...;..;... e_....;;......l....Jo. e El punto donde se cortan es el tercer vértice, e, del triángulo. A e Página 8 de 17 B 2.5. RECTAS NOTABLES. Las mediatrices y las bisectrices de un triángulo, junto con las medianas y las alturas, que definiremos a continuación, constituyen las denominadas rectas notables del triángulo y sus intersecciones se denominan puntos notables. Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 9 de 17 3. CUADRILÁTEROS. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. 3.1. ELEMENTOS DE UN CUADRILÁTERO. Para referirnos a un cuadrilátero, nombraremos sus vértices, siguiendo el sentido contrario a las agujas del reloj. Así, el cuadrilátero de la figura es ABCD. Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 10 de 17 3.2. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS. Según el paralelismo de sus lados, los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos, trapecios y trapezoides. A su vez, los paralelogramos y los trapecios se clasifican según se muestra en el siguiente esquema. 4. LA CIRCUNFERENCIA. 4.1. CONCEPTO DE CIRCUNFERENCIA. Una p un t o s c i r c unfer e nc i a e stá n t o do s a es la una m is m a l í n ea c u r va d i s t a nc i a de c er r a d a un cuyo s pu nto fi jo lla m a do c en t r o . Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 11 de 17 4.2. POSICIONES RELATIVAS. Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia. Po sicio ne s r e lati va s de una r e ct a y una c i r cu nf e re nc i a Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 12 de 17 Po sicio ne s re l at i va s de d o s ci r c u nf e re n ci a s 4.3. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. Á ngu l o c en t r a l El á ngul o c ent r a l tiene su v ér t i c e en el c en t r o de la c i r c unfer enc i a y sus la do s so n do s r a d i o s . La m e di da de un arco es la de su á ngul o c ent r a l co rre spo n di e nt e . Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 13 de 17 O t r o s t i p o s d e á ngul o s: M ed id a d el á ng ul o insc r i t o : L a m edid a d e u n á ngul o insc r i t o e n una ci r cu n f e re nc i a e s i gu a l a l a mi t a d de l á ng u l o ce nt ra l co rre s po nd i e nt e . L a m e d i da de un án g u l o i nt e r i o r a una c i rc unf e re nc i a e s igu a l a la se m i su m a de lo s á n g u lo s ce n t r a le s q u e d e f in e . L a m e d i da de u n án gu l o e xt e r i o r a una c i rc u nf e re nc i a e s igu a l a la se m i dif e r e n cia de lo s á n gu lo s ce n t r a l e s qu e de f in e . Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 14 de 17 5. LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA. 5.1. POLÍGONOS INSCRITOS Y POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS. Los polígonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posición que ocupan los polígonos con respecto a la circunferencia. De esta manera, tenemos dos situaciones particulares: polígonos inscritos y polígonos circunscritos. Polígonos inscritos Todos sus vértices son puntos de una circunferencia. Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices son puntos de dicha circunferencia. Polígonos circunscritos Todos sus lados son tangentes a una circunferencia. Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a dicha circunferencia. Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 15 de 17 5.2. CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS. Para inscribir un polígono regular basta con trazar una circunferencia y dividirla en tantos arcos iguales como lados tenga el polígono. La amplitud de estos arcos corresponde al ángulo central del polígono regular. A continuación, mostramos una serie de procedimientos particulares para construir diferentes polígonos regulares. Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 16 de 17 6. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. Longitud de una circunferencia 6.1. LONGITUD DE ARCO. L o ng i tu d de un a r c o de ci rcu nf e re nc i a Matemáticas.1º ESO. Tema 10 Polígonos y circunferencia. Página 17 de 17