Download Solucion P3 Olimpiada Local 2013

Solución Problema 3:
a)
1. La ley de Coulomb rige la interacción eléctrica entre cargas y es la responsable del
incremento de energìa que experimenta el deuterón cuando atraviesa la zona inermedia
entre las “Ds”. En esta región, la presencia del campo eléctrico, E, se traduce en la ley
de Coulomb, F=qE. Esta fuerza F que actúa sobre el deuterón le propociona un
movimiento uniformemente acelerado en la región intermedia, de forma que, cuando
alcanza el borde de la siguiente D, el incrementeo de energía cinética del deuterón es
siempre qV. Este incremento de energía es el responsable del aumento de la velocidad
de la partícula cuando inicia su viaje por la siguiente D; es decir, del incremento de la
energía de la partícula. En definitiva, la energía de la partícula se incrementa en su paso
por la región intermedia.
2. La ley de Lorentz gobierna la trayectoria de partículas cargadas que se desplazan con
velocidad v en el seno de un campo magnético. Este es el caso del ciclotrón. Puesto que
el campo B es uniforme y perpendicular a la velocidad, v, de la partícula, ésta describe
un movimiento circular uniforme de radio R. Asimilando la fuerza de Lorentz a una
fuerza centrípeta, se pueden determinar todos los parámetros del movimiento circular
del deuterón: radio de la trayectoria, velocidad lineal, frecuencia ciclotrónica, etc.
En definitiva, la ley de Coulomb es la responsable del incremento de energía y la ley de
Lorentz garantiza las trayectorias curvilíneas para que el proceso se repita.
b)
Al inicio del proceso (punto 0), el deuterón posee enegía nula (energía cinética nula).
Comienza a ser acelerado por un potencial V en la región intermedia, de forma que
cuando llega por primera vez a D1, su energía cinética es qV. Por ello, en el borde de D1:
,
resultando para
:
√
√
que es el módulo de la velocidad del deuterón cuando alcanza por primera vez D1.
c)
Para calcular los radios R1 y R2 que describe la partícula en su primera vuelta completa,
igualamos la fuerza centrípeta (punto de vista mecánico) con la fuerza de Lorentz
(punto de vista magnético).
Radio R1:
y despejando R1:
m
Radio R2:
Se procede como en el caso anterior, pero es necesario calcular previamente la
velocidad v2 con que el deuterón llega por primera vez a D2. El módulo de la velocidad
v2 será el de v1 incrementado por el hecho de que se ha incrementado la energía cinética,
Ec, en la zona intermedia.
El alumno ha de razonar que, como este incremento es siempre el mismo, y de valor el
calculado en la primera vez que se atraviesa la region intermedia, tendremos que
v2=2v1.
Por ello:
m
d)
En la última vuelta, el radio de la trayectoria es máximo, Rmax, y el módulo de la
velocidad lineal tambien es máximo, vmax. Igualando la fuerza centrípeta a la fuerza de
Lorentz para esta situación, obtenemos la velocidad máxima, vmax, que posee la partícula
cuando abandona el ciclotrón. Esta velocidad máxima proporciona la energía cinética
máxima del deuterón. Por ello:
y despejando vmax:
m/s
Por lo que, la energía cinética que posee el ión de deuterio cuando abandona el ciclotrón
será:
(
Y puesto que 1 J=
)
J
eV, resulta para la energía máxima, en eV, es de
eV
Nota: Se puede calcular el potencial, V, necesario para que el deuterón adquiera la
misma energía cinética bajo la acción única de dicho potencial. Así:
, de donde:
V
Con el uso de ciclotrón, es suficiente un potencial de 3000 V para conseguir la misma energía,
... pero a base de repetir el proceso.