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TEMA
11:
DINÁMICA
La DINÁMICA es la parte de la Física que estudia las acciones que se ejercen sobre los cuerpos y
la manera en que estas acciones influyen sobre el movimiento de los mismos
1- ¿POR
QUÉ UN CUERPO MODIFICA SU VELOCIDAD?
Si vieras que una roca que está sobre un terreno llano comienza a moverse de improviso sobre el suelo,
seguramente tratarías de averiguar si alguien está tirando de ella con una cuerda o la está empujando . Es
decir pensarías que el movimiento de la roca tiene una causa, que hay algo que la obliga a moverse.
Un cuerpo modifica su velocidad si sobre él se ejerce una acción externa
⇒
FUERZA
Las fuerzas producen variaciones en la velocidad de los cuerpos ⇒ Las FUERZAS son las
responsables de las ACELERACIONES
En el sistema internacional su unidad es el NEWTON (N)
Las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo, además de ser
más o menos intensas (MÓDULO ), son ejercidas según una
DIRECCIÓN,
paralelamente al plano, perpendicularmente o
formando un cierto ángulo, y en determinado SENTIDO (Hacia
arriba, hacia abajo,…). Por eso, para estar correctamente
definidas, las fuerzas se representan mediante VECTORES
El movimiento de un cuerpo es el resultado de las
INTERACCIONES que se producen entre él y los cuerpos que
le rodean. Algunos ejemplos los encontramos cuando un tenista golpea una pelota con una raqueta, un
imán atrae a un clavo de hierro, o la luna gira alrededor de la Tierra. Ahora bien, podemos
comprobar que algunas de estas interacciones se producen POR CONTACTO entre los cuerpos, como
por ejemplo entre la raqueta y la pelota, mientras que otras como el ejemplo de la Luna y la Tierra o
el imán y el clavo se producen A DISTANCIA
IDEAS FUNDAMENTALES SOBRE EL CONCEPTO DE FUERZA
1.
Se trata de una magnitud física de carácter vectorial
2.
Mide la interacción entre dos cuerpos
3.
Podemos reconocerla o medirla por los efectos que produce: por ejemplo modificaciones en el
estado de movimiento de los cuerpos y/o deformaciones (incluso a nivel microscópico)
4.
En modo de actuación puede llevarse a cabo, a distancia o por contacto.
2- LEYES
DE
NEWTON
Isaac Newton publicó en 1687 en un libro titulado “Principios matemáticos de la Filosofía Natural”
las conocidas como leyes de Newton:
PRIMERA LEY DE NEWTON O LEY DE LA INERCIA
Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre
él es nula, el cuerpo permanecerá en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme.
La primera parte de la ley parece evidente, si un cuerpo está en
reposo y no actúan fuerzas sobre él, permanecerá en reposo.
En cambio la segunda parte no está tan clara. En primer lugar
introduce una idea novedosa ya que hasta ese momento se
consideraba que se necesitaban fuerzas continuas para conservar
un
movimiento,
ahora
sabemos
que
los
objetos
continúan
moviéndose por sí solos. Se necesitan fuerzas para poner los
objetos en movimiento en el instante inicial pero una vez hecho
esto siguen moviéndose por sí solos con velocidad constante y en
línea recta por tiempo indefinido en un entorno libre de fuerzas. Sin embargo, esto no parece
cumplirse ya que todo cuerpo que se mueve en las proximidades de la Tierra termina parándose.
Esto es debido a las fuerzas de rozamiento
a) ¿QUÉ
ENTENDEMOS POR INERCIA DE LOS CUERPOS?
La inercia es la tendencia que tienen los cuerpos a mantener su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme. Es una propiedad de la materia: cuanto mayor es la masa de un
objeto, mayor es la resistencia que ofrece al cambio.
Cuando un coche arranca, sus ocupantes tienden a permanecer en reposo, por eso parece que una
fuerza los empuja hacia atrás. Si el coche frena, los ocupantes tienden a continuar hacia delante y
parece que una fuerza los empuja hacia delante. Lo mismo sucede si el vehículo traza una curva, sus
ocupantes parecen experimentar una fuerza que los empuja en sentido contrario al centro de
curvatura
b) LA
MASA NO ES LO MISMO QUE EL PESO
Se suele confundir masa con peso. La masa es una medida de la cantidad de materia que hay en un
objeto y depende sólo del número y el tipo de átomos que lo componen. En cambio, el peso es una
medida de la fuerza gravitacional que actúa sobre el objeto.
2
La cantidad de materia de una piedra es la misma tanto si se encuentra en la Tierra, en la Luna o en
el espacio exterior. En cambio, en la superficie de la Luna, la piedra sólo tendría una sexta parte de
su peso en la Tierra puesto que la gravedad en la Luna es seis veces más débil y si estuviera en el
SEGUNDA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA
Si sobre un cuerpo actúa una fuerza resultante no nula, dicho cuerpo modificará su velocidad, es
decir experimentará una aceleración. La fuerza aplicada y la aceleración producida son
proporcionales y están relacionadas de acuerdo con la siguiente ecuación:
ρ
ρ
F = m⋅a
espacio libre de gravedad, su peso sería cero.
Del enunciado anterior podemos sacar varias conclusiones:
La fuerza resultante y la aceleración producida tienen la misma dirección y sentido
Para una fuerza determinada, la aceleración que se produce es
inversamente proporcional a la masa. Empuja un carrito de
supermercado vacío. Después empuja uno lleno de cosas con la
misma fuerza. El carrito cargado se acelerará mucho menos que el
vacío. Esto demuestra que la aceleración depende de la masa del cuerpo que empujas. La misma
fuerza aplicada al doble de masa produce sólo la mitad de la aceleración
Cuando la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es nula, el cuerpo no modificará su velocidad.
A partir de la ecuación anterior podemos definir la unidad de fuerza (Newton), como la fuerza que
hay que aplicar a un cuerpo de 1 kg para que adquiera una aceleración de 1 m/s2
1 = 1 kg ⋅ 1 m / s 2
Otras unidades de fuerza son el kilopondio (kp) o kilogramo fuerza y la dina (dyn).La equivalencia
de estas con el newton son:
1 kp = 9,81 N
1 N = 105 dinas
TERCERA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN
Si un cuerpo ejerce sobre otro una fuerza (que podemos llamar ACCIÓN), el otro ejerce sobre éste una
igual y contraria (llamada REACCIÓN). Las fuerzas de acción y reacción son iguales, con la misma
dirección y sentidos contrarios, pero no se anulan nunca al estar aplicadas sobre cuerpos distintos.
Si la madre empuja a la hija sobre la pista de patinaje,
ambas se moverán en sentido contrario
3
Del mismo modo, si consideramos una roca que cae hacia la superficie de la Tierra, podríamos afirmar
que la roca tira de nuestro planeta con tanta fuerza como la Tierra tira de ella. Las fuerzas son iguales
y de sentidos opuestos, pero las masas son muy diferentes. Recuerda que la aceleración es
inversamente proporcional a la masa. Así, debido a la enorme masa de la Tierra no percibimos
su minúscula aceleración pero aunque sea insignificante, en términos estrictos nuestro planeta
sube hacia la roca que cae.
Un ejemplo semejante aunque no tan exagerado, es
un rifle que dispara. Al accionar el gatillo el rifle la
fuerza que el rifle ejerce sobre la bala es
exactamente igual y de sentido opuesto que la que
la bala ejerce sobre el rifle, y en consecuencia
éste retrocede. Pero entonces, ¿Por qué la bala sufre una aceleración mayor que el rifle?
Puesto que mBala < mRifle ; entonces a Bala > a Rifle
Bala ⇒
3- CANTIDAD
Fuerza
=
mbala
abala
Rifle ⇒
Fuerza
= a Rifle
m Rifle
DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL
Fue el propio Newton el que introdujo el concepto de momento lineal con el fin de disponer de una
expresión que combinara las magnitudes características de una partícula material en movimiento: su
masa y su velocidad. Se define el momento lineal
( pρ) como:
ρ
ρ
p = m⋅v
Se trata por tanto de una magnitud vectorial cuya dirección y sentido coincide con los del vector
velocidad. Sus unidades en el S.I serán:
kg ⋅ m ⋅ s −1
Si una partícula modifica su velocidad desde un valor v1 a otro v2, el momento lineal sufrirá una
ρ ρ
ρ
ρ
p 2 − p1 = m ⋅ v 2 − m ⋅ v1
variación dada por:
ρ
ρ
⇒ ∆ p = m ⋅ ∆v
Parece natural considerar la rapidez con la que puede producirse la variación del momento lineal.
Por ejemplo, si consideramos un coche que frena, veremos que si la frenada se produce en un
intervalo de tiempo pequeño, el impacto
que se produce como consecuencia es
mucho más grande que si se produce en
un intervalo de tiempo grande.
ρ
ρ
ρ
∆p
∆v
ρ
Rapidez en la var iación de p ⇒
= m⋅
= m⋅a
∆t
∆t
ρ ∆ pρ
F=
∆t
4
4- IMPULSO
MECÁNICO
El impulso mecánico es igual a la variación del momento lineal, o lo que es lo mismo, al producto de la
fuerza por el intervalo de tiempo que actúa:
ρ ρ
impulsomecánico ⇒ ∆ p = F ⋅ ∆ t
¿QUÉ
( ⋅ s )
OCURRE SI SOBRE UN CUERPO ACTÚA MÁS DE UNA FUERZA?
En estos casos sustituimos las distintas fuerzas por una única fuerza que produzca el mismo efecto
que todas actuando a la vez y a la que llamaremos FUERZA RESULTANTE
Esto se consigue sumando las fuerzas actuantes:
a) Fuerzas
con
la
misma
dirección
y
sentido: se suman los módulos y la fuerza
resultante será tendrá igual dirección,
sentido y su módulo será la suma de las
actuantes
b) Fuerzas de la misma dirección y sentido
contrario: Se restan sus módulos. La
fuerza resultante tiene igual dirección y
su
sentido
viene
dado
por
el
signo
resultante
ESQUEMA
PARA DETERMINAR LAS FUERZAS ACTUANTES SOBRE UN CUERPO
Algunas fuerzas reciben nombres especiales:
Las fuerzas ejercidas por cuerdas ⇒ Tensión (T)
La fuerza ejercida por el plano en el que se apoya el cuerpo ⇒ Normal (N). Reciben este nombre
porque se ejercen siempre perpendicularmente al plano
Las fuerzas de rozamiento ⇒ FR . Son las que se oponen al deslizamiento del cuerpo sobre una
superficie determinada
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RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS DE DINÁMICA
1. Dibujamos todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo aplicadas todas a su centro de
masas
2. Si sobre el cuerpo que consideramos actúa alguna fuerza que forma cierto ángulo con la
dirección de desplazamiento, lo mejor es descomponerla en dos fuerzas perpendiculares
equivalentes. Para ello tendremos que elegir 2 ejes sobre los que hacer la descomposición
3. Uno de los ejes (eje X) deberá tener la dirección de la velocidad del objeto y el otro (eje
Y) debe ser perpendicular al primero
4. Aplicamos el principio fundamental de la dinámica a cada una de las direcciones consideradas
a) CUERPO QUE SE MUEVE SOBRE UN PLANO HORIZONTAL SIN ROZAMIENTO AL APLICAR UNA
FUERZA
EJEX
∑F
EJEY
∑F
X
Y
= m⋅a α
=0 α
F ⋅ cos α = m ⋅ a
F ⋅ senα + − P = 0
b) CUERPO QUE BAJA DESLIZANDO POR UN PLANO INCLINADO (ROZAMIENTO NULO)
EJE X
⇒ ∑ FX = m ⋅ a α P ⋅ senα = m ⋅ a
EJE Y
⇒ ∑ FY = 0 α
− P ⋅ cos α = 0
c) PÉNDULO SIMPLE
6
EJE X ⇒
∑F
EJE Y ⇒
∑F
X
Y
= m ⋅ a α P ⋅ senα = m ⋅ a
=0 α
T − P ⋅ cos α = 0
d) PÉNDULO CÓNICO ( esfera colgada de un hilo que describe una circunferencia
horizontal)
EJE
X
⇒ ∑ FX = m ⋅ a α T ⋅ senα = m ⋅ a α T ⋅ senα = m ⋅
EJE Y ⇒
∑F
Y
=0 α
1- ESTUDIO
DE FUERZAS DE ESPECIAL IMPORTANCIA
1.1- FUERZAS
DE ROZAMIENTO
v2
R
T cos α − P = 0
Las fuerzas de rozamiento siempre se oponen al deslizamiento de un cuerpo sobre una superficie.
Dificultan el inicio del movimiento y lo frenan una vez que se produce.
Como habrás comprobado en múltiples ocasiones, cuando quieres trasladar un objeto pesado, al inicio te
cuesta mucho esfuerzo que empiece a deslizarse, pero una vez que comienza a hacerlo no hay que hacer
tanta fuerza para mantenerlo en movimiento. Por esta razón, vamos a diferenciar dos tipos de fuerzas: la
de ROZAMIENTO ESTÁTICO y las de ROZAMIENTO CINÉTICO, siendo estas últimas menores que la primeras.
A)
FUERZA
DE ROZAMIENTO CINÉTICA
( FK )
La fuerza de rozamiento cinética, Fk, aparece cuando un cuerpo desliza, por ejemplo, sobre un plano y
es la responsable de que los cuerpos disminuyan su velocidad hasta frenarse si se dejan deslizar
libremente.
•
La fuerza de rozamiento siempre se
opone al deslizamiento del objeto.
•
Es paralela al plano.
•
Depende da la naturaleza y estado de
las superficies en contacto.
•
Es proporcional a la fuerza normal.
FK = µ K ⋅ B) FUERZA
DE ROZAMIENTO ESTÁTICO
( FS )
La fuerza de rozamiento estática aparece cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo para intentar que
deslice. Si la fuerza aplicada está por debajo de determinado valor no se iniciará el deslizamiento,
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debido a que la fuerza de rozamiento estática equilibra la fuerza aplicada. Si aumentamos el valor de
la fuerza aplicada, aumenta el valor de la fuerza de rozamiento estática y el cuerpo permanece en
reposo.
Si seguimos aumentando la fuerza llegará un momento que el cuerpo comienza a deslizar. La fuerza de
rozamiento estática no puede crecer indefinidamente. Puede alcanzar un valor máximo dado por la
expresión:
FS = µs N
Donde µs es el coeficiente de rozamiento estático. Depende de la naturaleza de las superficies en
contacto y de su estado. Tiene un valor superior a µ k.
Una vez que la fuerza aplicada es superior al valor máximo que puede alcanzar la fuerza de
rozamiento estática, el cuerpo comienza a deslizar y aparece la fuerza de rozamiento cinética.
1.2- FUERZAS ELÁSTICAS
El resultado de colgar un objeto a un muelle sujeto al techo, es producir una deformación en el mismo,
observable por el estiramiento que el muelle experimenta. Este simple experimento nos permite sacar
algunas conclusiones. Así, por ejemplo:
1. Ese alargamiento es tanto mayor cuanto mayor sea también el peso del objeto que se cuelga.
2. La cuantía de la deformación del muelle dependerá de la naturaleza del mismo.
3. La fuerza que actúa sobre el muelle tendrá un sentido contrario a la deformación producida
Estas ideas constituyen la conocida como LEY DE HOOKE, que nos permitirá determinar la fuerza que
ejerce el muelle sobre el objeto que lo estira:
ρ
ρ
F = − K ⋅ ∆x
o
Donde K es la constante elástica del muelle y
o
La constante K depende la naturaleza del muelle
ρ
∆ x la deformación producida.
e indica la fuerza que hay que hacer para
alargar el muelle 1 m.
o
ρ ρ ρ
∆ x = x 2 − x1
o
El signo menos indica que la fuerza es de sentido
contrario a la deformación producida
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1.3- APLICACIONES
DE LA FUERZA CENTRÍPETA
a) Estudiar las fuerzas actuantes sobre un motorista que toma una curva, los factores que
intervienen y
cómo influyen en la velocidad máxima a la que se puede tomar la curva.
Para que un motorista describa una curva debe existir una fuerza
dirigida hacia el centro de la misma (fuerza centrípeta) que sea la
responsable del cambio en la dirección de la velocidad (aceleración
centrípeta). Si dicha fuerza no existe, o es insuficiente, no se podrá
curvar la trayectoria y será imposible tomar la curva.
La fuerza centrípeta es suministrada por el rozamiento de los
neumáticos contra el suelo (ver figura). La fuerza de rozamiento que se
muestra
es
una
fuerza
de
rozamiento
estática,
ya
que
fija
instantáneamente el neumático al suelo impidiendo que deslice hacia el
exterior de la curva. En consecuencia esta fuerza podrá tomar como
máximo el valor: Fs = µs N.
Normalmente existe una fuerza adicional que contribuye a la fuerza centrípeta y es la componente de la
normal que aparece como consecuencia de la inclinación del motorista (ver diagrama de fuerzas) Con este
gesto (inclinarse hacia el interior de la curva) se logra aumentar considerablemente la fuerza centrípeta.
Eje Y ⇒
=
⋅ senα − m ⋅ g = 0
⇒
Eje X ⇒ ⋅ cos α + FS = m ⋅ a Resolviendo
el
sistema
llegamos
m⋅ g
senα
⋅ cos α + µ S ⋅ = m ⋅
a
la
siguiente
expresión
v2
R
para
la
velocidad:
 cos α + µ S 
v = g ⋅ R ⋅

 senα 
•
Como se puede ver la máxima velocidad depende del radio de la curva, del ángulo de
inclinación y del coeficiente de rozamiento estático.
•
Es conocido que con el paso de la carrera los neumáticos se degradan (desgaste, derrapes,
funcionamiento a temperatura inadecuada…) razón por la cual el coeficiente de rozamiento se
verá afectado. Para la misma curva si suponemos que el coeficiente de rozamiento disminuye
la máxima velocidad con la que hay garantías de poder describir la curva desciende
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b) Estudiar las fuerzas actuantes sobre un coche que toma una curva en una carretera horizontal
Eje Y ⇒ − m ⋅ g = 0
Eje X ⇒ FS = m ⋅ a •
α µS ⋅ m ⋅ g = m ⋅
v2
R
Como se puede comprobar, la máxima velocidad depende del
radio de la curva, y del coeficiente de rozamiento estático.
v = µS ⋅ g ⋅ R
c) Estudiar las fuerzas actuantes sobre un coche que toma una curva peraltada sin rozamiento
Las curvas se peraltan para aumentar la seguridad, de manera que se pueda dar la curva aún en
ausencia de rozamiento (carretera helada) tal y como se observa en el siguiente ejemplo.
Eje Y ⇒ ⋅ cos α − m ⋅ g = 0
Eje X ⇒
⋅ senα = m ⋅ a v = g ⋅ R ⋅ tgα
Como se puede comprobar, la máxima velocidad depende del
radio de la curva, y el ángulo.
2- PRINCIPIO
DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL
Principio de conservación del momento lineal
El momento lineal de un sistema sobre el que no actúa fuerza externa alguna (o varias que se
componen para dar una resultante nula), permanece constante.
Si partimos de la expresión
ρ ∆ pρ
F=
y consideramos que la fuerza externa resultante es nula, se
∆t
tiene:
ρ
ρ
F =0 ⇒ ∆p=0 ⇒
ρ
p = cte
El Principio de conservación del momento lineal tiene múltiples aplicaciones. Una muy característica es
su aplicación al estudio de las COLISIONES ENTRE CUERPOS. Cuando
dos cuerpos chocan, en el momento del choque, aparecen fuerzas
entre los objetos que chocan. Si consideramos globalmente el
sistema formado por ambos cuerpos estas serán fuerzas internas
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cumpliéndose, por tanto, la condición de que la fuerza externa actuante es nula.
Fuerzas que actúan sobre dos bolas en el momento de la colisión: La bola roja se movía hacia la derecha
y la azul hacia la izquierda. En el momento del choque la bola roja ejerce una fuerza hacia la derecha
sobre la azul y la azul una igual y contraria (reacción) sobre la roja).
Si consideramos el sistema formado por ambos objetos estas fuerzas son internas (ejercidas entre
elementos del sistema). Las únicas fuerzas externas que actúan se anulan (peso y normal, que no se han
pintado) y considerando que las fuerzas actuantes durante el choque son interiores, podemos escribir:
Cuando el choque es como el que se muestra en la figura el choque se denomina frontal y como el
movimiento antes y después tiene lugar según una única dirección, se puede prescindir de la notación
vectorial. El sentido de movimiento (hacia la izquierda o hacia la derecha) se indica mediante el signo + ó
-
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1- SISTEMAS
INERCIALES
¿Cómo describen lo que
sucede alguien situado en el
interior del vagón y un
observador en reposo
situado fuera?
Sistema en reposo (vagón).
En su interior están
situados un péndulo y un
bloque de madera apoyado
sobre una mesa.
N
T
N
T
Ecuaciones
P
1
P
2
1. Péndulo
T –P = 0
2. Bloque
N -P =0
Ecuaciones
P
1
1. Péndulo
T –P = 0
2. Bloque
N -P =0
P
2
Observador situado en el interior del vagón
Observador situado en el exterior del vagón
Diagrama de fuerzas para los objetos.
Diagrama de fuerzas para los objetos.
1. Péndulo en posición de reposo.
2. Cuerpo situado sobre la mesa.
1. Péndulo en posición de reposo.
2. Cuerpo situado sobre la mesa.
Ambas descripciones son exactamente iguales.
El vagón moviéndose con MRU.
v
v
La descripción para un observador situado en el interior del vagón es exactamente igual a la hecha cuando el
vagón está parado, ya que desde el interior del vagón los objetos permanecen en reposo (no cambian de
posición respecto de una referencia interna).Un observador situado en el exterior detecta el movimiento, ya
que tanto el vagón como los objetos cambian de posición respecto de un sistema de referencia situado en el
exterior y considerado fijo (línea vertical). Como el sistema se mueve con v =cte (a =0) las ecuaciones
tampoco variarán respecto de las propuestas cuando el vagón no se movía.
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Ambos sistemas son físicamente equivalentes y las leyes de la Física adquieren formas idénticas en ambos. Se
les conoce con el nombre de SISTEMAS INERCIALES. Son sistemas de referencia inerciales aquellos que
permanecen en reposo o moviéndose según un MRU
2- SISTEMAS
NO INERCIALES
El vagón acelera hacia la derecha
a
Si el vagón está parado y comienza a aumentar su velocidad acelerando hacia la derecha la descripción que da un
observador exterior y uno interior empiezan a ser muy distintas.
El observador externo observa que tanto el péndulo como el bloque (suponemos que no existe rozamiento con la
mesa) tratan de permanecer en reposo (Ley de Inercia) y, en consecuencia, van “retrasándose” respecto del
vagón. El movimiento del vagón (con una aceleración a hacia la derecha) hace que los cuerpos se muevan
(respecto de él) con una aceleración –a hacia la izquierda.
Los observadores situados en el interior del vagón ignoran que éste está acelerando (no tienen referencia
exterior para saberlo). Observan, sin embargo, como los cuerpos situados en su interior aceleran hacia la
izquierda, pero no son capaces de identificar la acción (fuerza) responsable de la aceleración observada. Deja
de cumplirse, por tanto, el Principio Fundamental de la Dinámica: F = m a, ya que los cuerpos aceleran sin
posibilidad de identificar la fuerza responsable de esa aceleración. Con el fin de poder seguir usando las Leyes
de Newton es necesario introducir FUERZAS FALSAS O FUERZAS DE INERCIA.
Con la introducción de las fuerzas de inercia podremos aplicar la Primera y Segunda Leyes de la Dinámica, pero
la Tercera Ley no será de aplicación ya que no podemos encontrar la reacción a las fuerzas de inercia
introducidas
Las fuerzas de inercia actúan siempre en sentido contrario a la aceleración y su valor es igual al producto de la
masa del cuerpo por la aceleración del sistema: Fi = m a.
LOS
SISTEMAS QUE POSEEN ACELERACIÓN Y EN LOS CUALES NO SE CUMPLEN LAS
LEYES
DE
NEWTON
RECIBEN EL NOMBRE
DE SISTEMAS NO INERCIALES
Sentido contrario a la
aceleración del sistema
Ty
T
Fi
Tx
P
Un observador situado en el interior
(observador
no
inercial)
puede
explicar el movimiento hacia atrás del
péndulo suponiendo que existe una
fuerza de inercia, Fi, capaz de
suministrar una fuerza resultante
hacia la izquierda responsable de la
aceleración observada.
Aceleración del sistema
N
Fi = m a
Fi
P
Un observador situado en el interior
(observador no inercial) explica el
movimiento
acelerado
hacia
la
izquierda del bloque suponiendo que
existe una fuerza de inercia, Fi, en
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ese sentido.
3- EJEMPLOS
La mujer de la figura tiene una masa de 58 kg, se encuentra en el interior de un ascensor y tiene bajo sus pies
una balanza. Estudiar cuánto marca la balanza cuando el ascensor:
a) Acelere hacia arriba.
b) Acelere hacia abajo
Solución
a ) Supongamos que el ascensor sube con una aceleración a
Observador situado en el interior
(Observador no inercial)
La persona se encuentra en reposo en el interior de un sistema no
inercial. Por tanto, el diagrama de fuerzas sería:
a
N
Donde N es la fuerza que ejerce la balanza sobre
la mujer. Esta fuerza será la reacción a la fuerza
ejercida por la mujer sobre la balanza (por tanto
ambas serán iguales en módulo)
Por tanto N nos da indicación de la balanza.
N − P − Fi = 0; N = P + Fi
N = m g + m a = m (g + a)
P
Fi
Hay que tener en cuenta que la balanza, aunque mide
la fuerza que se ejerce sobre ella, está graduada en
kg (masa y peso son proporcionales). Así cuando
ejercemos una fuerza de 580 N el visor nos indicará:
m = F/g = 58,0 kg
La lectura de la balanza equivale al peso que la mujer tendría sometida a un campo
gravitatorio de valor g’ = g +a
Una aceleración, a, constante y hacia arriba, produce el mismo efecto que un
aumento del valor del campo gravitatorio.
Observador situado en el exterior
(Observador inercial)
N
La persona no está en reposo para el observador externo. Se mueve
hacia arriba con una aceleración a. Por tanto el diagrama de fuerzas y
las ecuaciones correspondientes serán los que se muestra a la derecha.
N−P =ma
El observador inercial explica sin problemas el aparente aumento de
peso:
La mujer, debido a su inercia, trata de seguir moviéndose con la misma
velocidad. Como el ascensor acelera hacia arriba “se adelanta”
respecto de ella, provocando una mayor presión de ésta contra el suelo
(balanza)
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N = m g + m a = m (g + a)
P
b) Supongamos que el ascensor baja ahora con una aceleración a
Observador situado en el interior
(Observador no inercial)
La persona se encuentra en reposo en el interior de un sistema no
inercial. Por tanto, el diagrama de fuerzas sería:
a
P − Fi − N = 0; N = P − Fi
N
Fi
N = m g − m a = m (g − a)
La lectura de la balanza equivale ahora al peso que la mujer
tendría sometida a un campo gravitatorio de valor g’ = g - a
P
Una aceleración, a, constante y hacia abajo, produce el
mismo efecto que una disminución del valor del campo
gravitatorio.
¿… y si el ascensor cae?. En este caso la aceleración del sistema sería la de la gravedad. Esto es a = g.
Por tanto la lectura de la balanza (ver más arriba) sería la correspondiente a un campo gravitatorio de
valor:
g´ = g – a = g – g = 0
¡La balanza marcaría 0 kg y los ocupantes del ascensor se encontrarían en estado de ingravidez! La
aceleración del sistema ha “anulado” la acción del campo gravitatorio. Abusando del lenguaje se dice que
estamos en “gravedad cero”.
Tal y como se desprende de todo lo anterior existe una equivalencia entre aceleración y campo
gravitatorio (no en vano las unidades del campo gravitatorio son las de una aceleración).
Observador situado en el exterior
(Observador inercial)
N
La persona no está en reposo para el observador externo. Se
mueve hacia abajo con una aceleración a. Por tanto el diagrama
de fuerzas y las ecuaciones correspondiente serán las que se
muestra a la derecha.
La mujer ahora se retrasa (debido a su inercia) respecto del
ascensor presionando con menos fuerza sobre la balanza.
Si se produce la caída libre, persona y ascensor caen sometidos
a la misma aceleración (caen “a la vez”). En consecuencia, la
P−N =ma
N = m g − m a = m (g − a)
P
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3- LA
FUERZA CENTRÍFUGA
La fuerza centrífuga es una fuerza de inercia que aparece cuando se describen trayectorias curvas.
Un sistema que describa una trayectoria curva posee, al menos, aceleración centrípeta. En consecuencia, será
un sistema no inercial. Para poder aplicar las Leyes de Newton desde el interior del sistema necesitaremos
recurrir a las fuerzas de inercia.
Observador situado en el exterior
(Observador inercial)
Supongamos una persona situada en el interior de una cabina anclada
en una plataforma que gira con velocidad angular constante.
Supongamos también, para simplificar, que la fuerza de rozamiento de
la persona con el suelo es despreciable.
Para que la persona pueda girar con la plataforma debe existir una
fuerza que apunte continuamente hacia el centro de la trayectoria que
sea capaz de suministrar la aceleración normal o centrípeta.
ω
F
En ausencia de rozamiento (o si este es insuficiente) dicha fuerza
puede suministrarse agarrándose a algún asidero fijo como se muestra
en la figura de la derecha. De esta manera se cumplirá:
F = F = m a = m ω2 R
N
N
Obsérvese que cuanto
más rápido
gire la plataforma, mayor sea la
masa de la persona o más hacia el exterior se coloque (mayor R), mayor
será la fuerza requerida para que se cumpla la ecuación (deberá
agarrarse con más fuerza)
Observador situado en el interior
(Observador no inercial)
Si ahora tratamos de describir lo que sucede desde el interior
de la cabina, las cosas parece que suceden de forma muy
distinta. La persona “sentirá” una fuerza Fi (que no puede
asociar a ninguna acción, fuerza de inercia) que lo empujará
contra la pared posterior. Si quiere permanecer quieto deberá
agarrarse para suministrar una fuerza que la contrarreste.
Fi
ω
F
Una vez en equilibrio podremos escribir:
Fi − F = 0 ; F = Fi = m aN = m ω2 R
La fuerza de inercia hacia afuera que el observador no inercial experimenta (fuerza centrífuga) no existe
realmente. La tendencia a salir en dirección radial es debida a la inercia.
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PROBLEMAS
1.
Un coche de 2000 kg moviéndose a 80 km/h puede llevarse al reposo en 75 m mediante una fuerza de frenado
constante.
a) ¿Cuánto tardará en detenerse?
b) ¿Cuál será la fuerza necesaria para detener el coche en esa distancia?
2. Un cuadro que pesa 20 N cuelga de dos cables iguales que forman un ángulo de 300 con la horizontal. Si los cables
son capaces de soportar una tensión de 15 N cada uno:
a) ¿Aguantarán el peso del cuadro?
b) ¿Qué ángulo máximo deberían formar los cables entre sí para poder aguantarlo con seguridad?
3. Para mantener constante la velocidad de un cuerpo de 80 kg sobre una superficie horizontal hay que empujarlo
con una fuerza de 320 N.
a) ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento entre el plano y el cuerpo?
b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético?
c) ¿Con qué fuerza habría que empujarlo para que se mueva con a= 0,2 m /s2?
4. Dos masas m 1= 2 kg y m
2 = 4 kg descansan
sobre una mesa pulida horizontal. Una fuerza de
3 N se aplica a m1. Determinar:
a) La aceleración de las masas.
b) La magnitud de la fuerza de contacto
ejercida por una masa sobre la otra.
F
m1
m2
5. Se arrastra un cuerpo de 20 kg por una mesa horizontal sin rozamiento tirando de él con una fuerza de 30 N.
Hallar con qué aceleración se mueve el cuerpo si:
a) La cuerda se mantiene horizontal b) La cuerda forma un ángulo de 300
6. Dos bloques de 8 y 4 kg, respectivamente, están unidos por una cuerda y deslizan hacia abajo por un plano
inclinado 300. Los coeficientes de rozamiento son, respectivamente, 0,25 y 0,40. Calcular:
a) Aceleración de los bloques.
b) La tensión de la cuerda.
7. Un cuerpo se lanza hacia arriba por un plano inclinado 25
0
iniciando el ascenso con una velocidad de 15 m/s. Si el
coeficiente de rozamiento vale 0,4. Determinar:
a) Movimiento del cuerpo (describir mediante ecuaciones)
b) Valor del coeficiente de rozamiento estático para que el cuerpo no descienda.
c) Altura a la que permanecerá parado.
8. Un bloque de 2 kg está situado sobre un plano inclinado 300. El coeficiente estático de rozamiento es 0,6.
a) ¿Qué fuerza paralela al plano hay que aplicar para que el bloque comience a moverse hacia arriba?
b) Si el coeficiente de rozamiento dinámico es 0,5 ¿con qué aceleración se moverá el bloque después?
9. Un cuerpo de 4 kg de masa descansa sobre una mesa sin rozamiento. Mediante una cuerda que pasa por una polea,
se une a otro de 6 kg. que cuelga libremente. ¿Qué fuerza horizontal hay que aplicar al primer cuerpo para que,
partiendo del reposo, avance 1 m sobre la mesa en 5 s? ¿Cuál es la tensión
de la cuerda?
10. Dos cuerpos de 1 kg y 2 kg descansan sobre un plano horizontal y uno
inclinado 300, respectivamente, unidos por una cuerda. Hallar:
a) La tensión de la cuerda y la aceleración del sistema suponiendo que
no hay rozamiento.
b) Repetir el cálculo suponiendo que el rozamiento entre ambos planos
es el mismo y que µ = 0,34.
11. Un avión de juguete de masa 500 g vuela en círculos horizontales de 6 m de radio atado a una cuerda. El avión da
una vuelta cada 4 s. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
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12. Una piedra atada a una cuerda gira en un círculo horizontal de 2 m de radio. según
figura. Determinar:
a) La magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre la piedra.
b) La tensión de la cuerda.
c) La velocidad de la piedra
13. Una masa de 2 kg descansa sobre una superficie pulida que tiene una inclinación de 60
0
y una aceleración a hacia
la derecha, de tal modo que la masa permanece estacionaria en relación al plano. Determinar el valor que ha de
tener la aceleración para que esto suceda.
14. Un cuerpo de 3,8 kg se encuentra en el interior de una caja de 200 g de masa
que pende verticalmente del extremo de una cuerda. Si suponemos que el
coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 6 kg. y el plano es nulo:
a) ¿Con qué aceleración desciende la caja?
b) ¿Cuál es la fuerza de reacción normal que actúa sobre el cuerpo?
15. Se quiere sacar agua de un pozo tirando de una cuerda atada a un cubo de masa 800 g y de capacidad 5 litros. La
cuerda es capaz de aguantar una tensión máxima de 65 N. Averigua si romperá la cuerda si:
b) Sube con una aceleración de 2 m/s2
a) El cubo sube con velocidad constante.
16. Un objeto de 30 kg de masa desciende por un plano inclinado 25° con respecto a la horizontal. Calcula la
aceleración del objeto si: a) no existe rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la
superficie es de 0,35.
17. Deseamos subir un objeto de 150 kg por un plano inclinado 20º con respecto a la horizontal, los coeficientes de
rozamiento estático y cinético son respectivamente, 0,3 y 0,25. a) ¿Será necesario sujetarlo para que no se
deslice hacia abajo, y en caso de que lo sea, con qué fuerza? Calcula: b) la fuerza que debe aplicarse paralelamente
a dicho plano para que el objeto comience a ascender. c) la fuerza que debe aplicarse paralelamente a dicho plano
para que el cuerpo suba con velocidad constante.
18. Un objeto de 10 kg de masa se encuentra en un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal. Si los coeficientes
de rozamiento estático y cinético son respectivamente, 0,35 y 0,3 calcula: a) con qué aceleración caerá el objeto;
b) la aceleración del mismo al aplicar una fuerza de 60 N paralela a dicho objeto hacia arriba; c) 60 N paralela
hacia abajo.
19. ¿Se moverá el sistema de la figura? Calcula la tensión de la cuerda y en caso
afirmativo, también la aceleración del sistema. Sabemos que los coeficientes de
rozamiento estático y cinético entre el cuerpo de 12 kg y la superficie son,
respectivamente, son 0,18 y 0,15.
20. Calcula la aceleración y la tensión de cada cuerda en el sistema de la figura,
sabiendo que las masas A, B y C son, respectivamente 3, 10 y 1 kg y que los
coeficientes de rozamiento estático y cinético entre B y la superficie son,
respectivamente, 0,05 y 0,03.
21. Calcula la aceleración del sistema de la figura y la tensión de la cuerda si:
a) no hay rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento cinético entre el
objeto de 15 kg y la superficie es de 0,3.
22. Atamos un objeto de 1,5 kg a una cuerda de 1 m de longitud y lo hacemos girar en un plano horizontal, sobre el que
se apoya y con el que no tiene rozamiento, a 60 rpm Calcula la tensión de la cuerda.
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23. a) Un coche de 800 kg, gira con una velocidad constante de 120 km/h en una curva sin peralte de 100 m de radio.
Calcula el valor de la fuerza centrípeta. b) Si al aumentar la velocidad en dicha curva hasta los 135 km/h empezara
a derrapar, ¿cuál sería el coeficiente de rozamiento estático de deslizamiento?
24. ¿Con qué velocidad máxima podrá tomar un coche una curva plana de 90 m de radio sin derrapar sabiendo que el
coeficiente de rozamiento estático de deslizamiento entre los neumáticos y la carretera es de 0,25?
25. Hacemos girar en el aire una esfera atada al extremo de una cuerda de 80 cm de longitud con una celeridad
constante describiendo un péndulo cónico. Si la cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical, calcula: a) el módulo
de la velocidad de la bola; b) el tiempo que tarda la esfera en dar una vuelta completa; c) el ángulo que debería
formar con la vertical para llevar una celeridad doble.
26. Si se ejerce una fuerza de 100 N sobre un cuerpo de 50 kg, que se encontraba en reposo, durante 6 s. Calcular: a)
El impulso mecánico. b) La velocidad que adquiere y su cantidad de movimiento inicial y final.
27. Una pareja de patinadores de 50 kg y 70 kg chocan frontalmente con velocidades de 5 m/s y 3 m/s,
respectivamente. Si los patinadores quedan unidos después del choque, calcula su velocidad final.
28. Calcula la velocidad de retroceso de una pistola de 1,5 kg que dispara un proyectil de 25 g a una velocidad de 600
m/s.
29. Calcula la velocidad final de un sistema formado por una masa de 15 kg a una velocidad de 10 m/s que choca por
detrás de otra de 8 kg que se mueve a 6 m/s si una vez que chocan ambos cuerpos se desplazan unidos.
30. Una bola de billar de 130 g choca a una velocidad de 3 m/s con otra bola igual que se encuentra en reposo. Después
del choque, la primera bola se mueve en una dirección que forma 25º con la inicial, y la segunda con –45º con la
dirección inicial de la primera. Calcula: a) el módulo de la velocidad final de ambas bolas; b) la cantidad de
movimiento de cada bola antes y después del choque
31. Dos bolas de billar de igual masa chocan con velocidades de 4 y 3 m/s, en un ángulo de
120º. Si después del choque, la primera bola se desvía 30° de su dirección inicial, y la
segunda bola sigue la dirección inicial de la primera pero en sentido opuesto. ¿Cuál
serán los módulos de las velocidades finales de ambas bolas después del choque?
32. El coeficiente de rozamiento entre la caja y el vagón de la figura es
de 0,7. La masa de la caja es de 3 kg. En esas condiciones, ¿cuál
debería ser la aceleración del conjunto para que la caja no caiga?
33. Si la constante K del muelle de la figura es de 100 N/m,
calcula el estiramiento que sufrirá en A y en B, si la masa es
en ambos casos de 5 kg. Repite el supuesto B si el
coeficiente de rozamiento es igual a 0,3
34. El bloque de la figura de 7 kg de masa, está apoyado sobre un plano inclinado de 60º y
sujeto por un resorte que sufre alargamiento de 16,4 cm ¿Cuál es la constante elástica del
muelle?
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35. Un proyectil de 12 g de masa se mueve con una velocidad de 240 m/s cuando choca con un bloque de madera de
2,2 kg y se incrusta en él . ¿Cuál es la velocidad del conjunto bloque- proyectil después de la colisión? ¿ Qué
distancia recorre el conjunto en 5 s?
36. Un cañón de 500 kg montado sobre ruedas lanza un proyectil de 10 kg con una velocidad de 600 m/s y un ángulo
de elevación de 45º ¿Con qué velocidad retrocede el cañón?
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