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CAMPO ELECTROSTÁTICO
2.3
En esta unidad, primera del Electromagnetismo, se hará una introducción a la física de las cargas
eléctricas estacionarias, es decir, en reposo respecto al observador, en la que se estudiarán los siguientes
aspectos:
• Carga eléctrica y sus propiedades. Distribuciones de carga. Aislantes y conductores y carga por
contacto y por inducción.
• Descripción vectorial del campo electrostático. El punto de partida lo constituye la ley de
Coulomb de la interacción eléctrica para pasar a un concepto más amplio: el campo eléctrico.
Se introducirán las líneas de campo eléctrico para intentar visualizarlo. Finalmente se obtendrá
la poderosa, tanto desde el punto de vista teórico como práctico, ley de Gauss del campo
eléctrico.
• Descripción escalar del campo electrostático: mediante la energía potencial y el potencial
electrostático y su relación con el trabajo eléctrico. Se introducirán las equipotenciales como una
forma de visualización del potencial electrostático.
• Conexión entre las descripciones vectorial y escalar del campo electrostático.
• Un breve análisis del movimiento de cargas puntuales en campos uniformes.
• Algunas analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y electrostático.
1. LA CARGA ELÉCTRICA
Las primeras observaciones sobre los fenómenos eléctricos fueron realizadas por los antiguos
griegos que ya sabían que el ámbar frotado con lana adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros. Se
dice que el ámbar está electrizado, o que tiene carga eléctrica, o que está cargado eléctricamente.
Términos que derivan del vocablo griego elektron, que significa ámbar.
La carga eléctrica, representada por q, es una cualidad de algunas partículas con propiedades que
forman parte de las bases en las que se asienta la física moderna y que se analizan a continuación:
1.1. Existe en dos variedades de carga eléctrica: positiva y negativa
Alrededor de 1750, el científico y estadista norteamericano Benjamín Franklin (1706S1790)
introdujo el convenio de que el vidrio recibía carga positiva (+) cuando se frotaba con un paño de seda,
adquiriendo ésta carga negativa (S).
Con el conocimiento actual de la estructura de la materia, sabemos que son los electrones los
portadores de una de las dos variedades de carga y los protones los de la otra variedad; ambos con la
misma carga pero con signos opuestos. En el átomo neutro, el número de protones (en el núcleo) es
igual al número de electrones (en la corteza), y puesto que la materia está formada por átomos, será
eléctricamente neutra en circunstancias normales, con una carga eléctrica neta nula.
Dicha materia puede adquirir carga neta no nula dependiendo de si se le agrega electrones o si se
le quita electrones (a esta ganancia o pérdida de electrones se denomina ionización). Observar que
normalmente entran en juego los electrones: se requiere poca energía para agregar o quitar electrones
de la corteza del átomo, mientras que acceder al núcleo para agregar o quitar protones requiere
muchísima energía.
Cuando el vidrio se frota con el paño de seda, se transfieren electrones del vidrio a la seda a través
de las superficies en contacto, resultando la seda con más electrones que protones y el vidrio con menos
electrones que protones. Para ser consecuentes con el convenio de Franklin de que la carga neta del
vidrio es positiva y la de la seda negativa, debemos asignar carga positiva al protón y carga negativa
al electrón, siendo por tanto el signo de las cargas un mero convenio arbitrario.
La carga eléctrica la representaremos con el símbolo q, que engloba un valor numérico, un signo
y unas determinadas unidades. Es un escalar con signo.
Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar
Campo electrostático S 1
1.2. Las cargas eléctricas interaccionan entre sí
Aunque los fenómenos eléctricos se conocían desde la antigüedad, fue en 1730 cuando el francés
Charles Du Fay demostró que los cuerpos cargados interaccionan entre sí. A esta fuerza a distancia entre
cargas eléctricas estacionarias se denomina fuerza eléctrica, F e , que puede ser de atracción o de
repulsión, dependiendo de los signos relativos de las cargas que interaccionan:
Fe atractiva: qiAqj < 0
(dos cargas con signos opuestos)
Fe repulsiva: qiAqj > 0
(dos cargas con el mismo signo)
Además de la fuerza eléctrica entre cargas eléctricas hay otras fuerzas que dependen de su
movimiento relativo y que son el origen de los fenómenos magnéticos que se tratarán en unidades
posteriores.
1.3. La carga eléctrica se conserva
La carga eléctrica neta en un sistema aislado permanece constante, en el sentido de que la carga
neta total no puede ser creada ni destruida y entendiendo por sistema aislado aquél cuyos límites no
pueden ser atravesados por la materia. En el interior del sistema puede existir transferencia de carga
entre los cuerpos que forman dicho sistema. Es un principio de conservación que se cumple en todas
las observaciones realizadas y constituye una de las bases de las ecuaciones de los campos eléctricos
y magnéticos.
Además la carga neta de un sistema es un invariante relativista (a diferencia de la masa, longitud,
energía, etc), es decir, observadores en distintos sistemas de referencia miden la misma cantidad de
carga neta, así como tampoco influye el movimiento de los portadores de carga, existiendo pruebas
experimentales, tales como la neutralidad eléctrica en átomos y moléculas en los cuales los
movimientos de sus portadores de carga (electrones y protones) no influyen en dicha neutralidad.
1.4. La carga eléctrica está cuantizada
La cantidad más pequeña de carga eléctrica es la de un electrón (o de un protón). Como la carga neta
de un cuerpo se debe a un defecto o a un exceso de electrones, dicha carga neta es un múltiplo entero
del valor absoluto de la carga de un electrón, e:
q neta = ±n |e|
Los hechos de que las cantidades de carga del electrón y del protón sean exactamente iguales con
signos opuestos y de que la carga de un cuerpo está cuantizada están apoyados por numerosas pruebas
experimentales.
Durante el siglo XIX y principios del XX se realizaron muchos trabajos experimentales para
determinar la carga del electrón y su masa. Se pueden destacar a Michael Faraday (1833) con la
electrólisis; a J.J. Thomson con la medida directa del cociente e/m en 1897 a partir del estudio de las
descargas eléctricas en gases y a Millikan en 1909 que con el famoso experimento de la gota de aceite
determinó con precisión aceptable el valor y signo de e.
La unidad natural de carga es el electrón. Sin embargo, en el SI es el culombio, C, de tal forma que:
qeS . S1,602A10S19 C
qp+ . +1,602A10S19 C
El culombio se define en el SI a partir del amperio a través de la expresión i =
dq
de tal forma
dt
que 1 culombio es la cantidad de carga que atraviesa la sección de un conductor por el que circula una
corriente de 1 amperio en un intervalo de 1 segundo. Como el culombio es una unidad de carga
normalmente demasiado grande en electrostática, en su lugar se usa el microculombio (1 µC = 10S6 C),
el nanoculombio (1 nC = 10S9 C) y el picoculombio (1 pC = 10S12 C), de acuerdo con las experiencias
que se manejan en electrostática.
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2. CARGAS PUNTUALES Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA ELÉCTRICA
Cuando se trabaja con partículas cargadas, como electrones, protones, iones, etc., se puede
considerar a dichas cargas como puntuales (carga concentrada en un punto geométrico del espacio).
Pero también se pueden considerar puntuales aquellas para las que calculamos magnitudes eléctricas
a distancias mucho mayores que las dimensiones del cuerpo con carga neta.
La carga de un electrón (o un protón) es tan pequeña (y el número de Avogadro tan grande) que su
cuantización no se pone de manifiesto a nivel macroscópico: Así, un cuerpo con una carga neta de S100
nC contiene unos 6,24A1011 electrones en exceso. Podemos, por tanto, considerar que las cargas netas
macroscópicas están distribuidas de forma continua (están muy cerca unas de otras en comparación con
las demás distancias de interés) y manejar elementos diferenciales de carga, dq, siempre que se cumpla
e n dq n q
Dicha carga neta puede estar repartida a lo largo de una dimensión (densidad lineal de carga), en
dos dimensiones (densidad superficial de carga) o en tres dimensiones (densidad volúmica de carga).
2.1. Densidad lineal de carga
Si la carga neta está repartida de forma continua a lo largo de un hilo, tendremos una densidad lineal
de carga que se simboliza por λ , representando la cantidad de carga por unidad de longitud. En un
elemento diferencial de longitud, dl, tendremos un elemento diferencial de carga, dq. Así:
λ=
dq
dl
[1]
con unidades de C/m en el SI.
La cantidad de carga neta a lo largo de un tramo del hilo se obtiene despejando dq de [1] e
integrando
q = ∫ dq = ∫ λ dl
[2]
Si la carga está uniformemente repartida a lo largo del hilo, la densidad lineal de carga λ será
constante, facilitando la resolución de la integral [2].
2.2. Densidad superficial de carga
Se produce cuando la carga neta está distribuida de forma continua a lo largo de una lámina sin
espesor. Dicha densidad superficial se simboliza por σ que representa la cantidad de carga por unidad
de superficie. Siendo dS un elemento de superficie, tendremos:
σ =
dq
dS
[3]
con unidades de C/m2 en el SI.
Si la carga neta está uniformemente repartida a lo largo de la lámina, la densidad superficial de carga
σ será constante.
2.3. Densidad volúmica de carga
Cuando la carga neta está distribuida en un volumen, se
introduce la densidad volúmica de carga, ρ , como la carga por
unidad de volumen:
ρ=
dq
dV
[4]
con unidades de C/m3 en el SI.
En la Fig.1 tenemos dos ejemplos de secciones transversales
de cuerpos esféricos con densidades volúmicas de carga. En el
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b
a
Fig.1
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primero, la densidad es constante porque la carga está uniformemente distribuida por todo el volumen.
En el segundo (a mayor nivel de gris, más carga), la densidad volúmica de carga es una función del
radio de la esfera, ρ (r ) , porque la densidad de carga aumenta con el radio. Tanto en un caso como en
el otro (y en otros no mencionados), las dos esferas cargadas se comportan como cargas puntuales
iguales a las cargas netas concentradas en el centro cuando calculamos magnitudes electrostáticas fuera
del cuerpo (¡aunque dichos cálculos se refieran a puntos muy próximos al cuerpo!), como se demostrará
al aplicar la ley de Gauss a dichas distribuciones de carga.
Para cualquier tipo de distribución continua de carga, el elemento de carga dq es tan pequeño que
se comporta como carga puntual, para lo cual los elementos de línea (dl), de superficie (dS) o de
volumen (dV) deben ser pequeños desde el punto de vista macroscópico, pero lo suficientemente
grandes a escala microscópica para que puedan contener el número suficiente de cargas netas para
cumplir con la condición de que dicha carga varíe de forma continua con respecto a la posición, porque
de lo contrario habría mucho espacio vacío con fluctuaciones muy grandes en los valores de la densidad
de carga, dejando de ser la densidad de carga un concepto útil.
3. AISLANTES Y CONDUCTORES Y CARGA POR CONTACTO Y POR INDUCCIÓN
Una vez que un cuerpo ha adquirido carga eléctrica neta, lo que suceda después depende de si el
material es aislante o dieléctrico como el vidrio, plástico, madera, ebonita, etc. o conductor como los
metales.
3.1. Aislantes
La diferencia está en la movilidad de los portadores de carga: los aislantes ideales no permiten la
movilidad de portadores de carga, por lo que la carga neta de un aislante permanece en la zona en la que
se colocó inicialmente.
3.2. Conductores
La evolución de la carga neta en un material conductor
es completamente diferente porque éstos permiten la
movilidad de la carga eléctrica por todo el cuerpo. En un
período de tiempo muy pequeño, la carga neta
suministrada al conductor se moverá hacia la superficie del
mismo, si inicialmente no estaba allí, debido a las fuerzas
eléctricas repulsivas entre cargas del mismo signo y se
a
b
distribuirá por toda la superficie, cesando el movimiento
Fig.2
de las cargas, sean positivas o negativas. Es decir, en un
conductor cargado en equilibrio electrostático (el equilibrio electrostático implica que las cargas tienen
que estar en reposo), la carga neta se distribuye por la superficie, quedando eléctricamente neutro el
interior del cuerpo.
En la Fig.2a se supone que se puede depositar una cierta cantidad de carga negativa en el interior
de una esfera conductora (se representa su sección), que debido a la repulsión eléctrica, dichas cargas
se desplazan para distribuirse a lo largo de la superficie (Fig.2b), distribución que será uniforme por
tener simetría esférica.
A lo largo de la unidad se profundizará más sobre la distribución de carga libre en conductores en
equilibrio electrostático.
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3.3. Carga por contacto
Es posible comunicar carga eléctrica a cualquier sólido frotándolo
con otra substancia. El frotamiento sirve sólo para establecer un buen
contacto entre muchos puntos de las superficies, pasando electrones
de una a la otra. Así, al frotar una barra de ebonita con piel, la ebonita
adquiere carga neta negativa que permanece localizada por ser un
material aislante. Esta carga se detecta al hacer contacto con la esfera
del electroscopio (Fig.3), formado por dos láminas delgadas unidas
a una varilla que termina en esfera, todo ello metálico y dentro de un
recipiente aislante para que las corrientes de aire no afecten a las
láminas. Antes del contacto las láminas cuelgan juntas verticalmente.
Después del contacto, parte de la carga negativa de la ebonita se
transfiere a la esfera y se propagan por la varilla y las láminas,
separándose éstas en virtud de la repulsión entre cargas del mismo
signo.
Barra de
ebonita
cargada
Electroscopio
Fig.3
3.4. Carga por inducción
En el procedimiento anterior se ha cargado el electroscopio por
contacto, pasando parte de la carga eléctrica de la ebonita al electroscopio. Hay otro procedimiento para
cargar un metal con la barra de ebonita sin hacer contacto en el cual el metal adquiere carga neta de
signo opuesto a la de la ebonita sin perder ésta carga. Este método se denomina carga por inducción
o inducción electrostática.
Para ello analicemos el proceso de carga por inducción en una esfera metálica. Tengamos en cuenta
que en el modelo clásico de la conducción eléctrica, un metal se describe como una disposición regular
tridimensional de iones con un gran número de electrones libres formando una nube electrónica con
libertad de movimiento por todo el material.
En la Fig.4a se representa la sección transversal de una esfera metálica neutra. Cuando se le
aproxima una barra de ebonita cargada negativamente provoca, por repulsión, que parte de la nube
electrónica de la esfera se desplace a la superficie de la misma opuesta a la barra, existiendo un exceso
de carga negativa en dicha zona. Esto origina una pérdida de carga negativa (queda un exceso de carga
positiva) en la superficie de la esfera próxima a la barra (b). Tales excesos de carga se denominan
cargas inducidas. Obsérvese que no existió transferencia de carga de la barra de ebonita a la esfera y
que ésta sigue siendo eléctricamente neutra. Las cargas inducidas permanecerán mientras mantengamos
cerca la barra cargada.
ebonita
a
b
c
Fig.4
Tierra
d
e
En (c) se conecta a tierra (que significa poner en contacto el conductor con el suelo mediante un
hilo metálico, la piel húmeda de una persona, etc., pues la propia Tierra constituye un conductor que
para muchos propósitos puede considerarse como infinitamente grande), pasando los electrones de la
esfera a la Tierra. En (d) se ha eliminado la conexión a tierra y en (e) se aparta la barra de ebonita con
lo que resulta una esfera metálica cargada por inducción con carga neta positiva (defecto de electrones)
distribuida uniformemente por la superficie de la misma.
En la Fig.5 se describe un procedimiento para cargar por inducción con cargas de signos opuestos
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dos esferas metálicas. En (a) y (b) las esferas están en contacto. En (e) las esferas están lo
suficientemente separadas para que no exista influencia mutua.
a
b
c
Fig.5
e
d
4. LEY DE COULOMB
Puesto que la fuerza eléctrica es una fuerza a distancia entre cargas, cabe esperar que dependa del
inverso de la distancia al cuadrado como en la ley de Newton de la gravitación universal. Esta simetría
fue sugerida por Daniel Bernoulli en 1760. También, por simetría, cabe esperar que la fuerza eléctrica
dependa del producto de las dos cargas que interaccionan, suposición que se complica con el signo de
las cargas. La confirmación de estas hipótesis fue realizada por Charles Augustin de Coulomb que
enunció la ley en 1786 después de medir, con una balanza de torsión, la fuerza entre pequeñas esferas
cargadas.
La ley de Coulomb para la fuerza eléctrica entre dos cargas estacionarias se expresa en formato
vectorial como:
r
qi q j r
Fei sobre j = K 2 Roij
Rij
[5]
que nos da la fuerza que ejerce la carga i sobre la carga j separadas por una distancia R que es el módulo
de
r
r
Rij , siendo éste el vector relativo de posición que se dirige de i a j, y R0ij su correspondiente vector
unitario. Se supone que las cargas se mantienen en reposo por fuerzas mecánicas de algún tipo, fuerzas
que no están contempladas en la Fig.6 en donde se presentan ejemplos en función del signo de las
cargas que interaccionan.
r
r
r
r
r
r
Fei sobre j
Fei sobre j
R0ij
R0ij
Rij
Rij
+qi
+qj
-qi
+qj
c
a
r
R0ij
-qi
r
R0ij
r
Fei sobre j
r
Rij
-qj
r
Rij
r
Fei sobre j
+qi
b
-qj
d
Fig.6
4.1. Características de la fuerza eléctrica dada por la ley de Coulomb
a. Es directamente proporcional al producto de las dos cargas que interaccionan. Es aplicable a cargas
puntuales (lo que es una idealización, aunque válida si las dimensiones de los cuerpos cargados son
muy pequeñas comparadas con la distancia entre ellos) y a cargas esféricas con distribución radial
de carga.
b. Disminuye con el inverso de la distancia de separación entre cargas al cuadrado. Si las cargas son
esféricas con distribuciones radiales de carga, dicha distancia se toma de centro a centro. Es de largo
alcance, aplicable para distancias mayores que unos 10S14 m, pues a distancias inferiores predominan
las fuerzas nucleares.
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c. Tiene como dirección la recta que une a ambas cargas, con sentido que depende del signo del
producto escalar de las cargas: repulsiva si las dos cargas tienen el mismo signo, atractiva si tienen
distinto signo. Su módulo está dado por la expresión
| qi || q j |
[6]
Fei sobre j = K
Rij2
r
r
d. Al tener la forma F = f ( R ) ⋅ R0 es una fuerza central , y al depender su módulo del inverso de la
distancia al cuadrado (es una fuerza newtoniana), es, por tanto, conservativa. Por ello, el trabajo que
realiza la fuerza eléctrica se puede expresar como una disminución de la energía potencial eléctrica
Ue:
WA→ B =
r
RB
r
RA
∫
r r
Fe ⋅ dR = − ∆ U e = U e A − U eB
e. Cumple la ley de acciónSreacción (Fig.7):
r
r
Fei sobre j = − Fe j sobre i
[8]
[7]
r
Fej sobre i
+qi
r
Rij
r
Fei sobre j
+qj
Fig.7
En este punto pueden aparecer dificultades
de tipo teórico: ¿Cómo y en cuánto tiempo se transmite la información de la interacción “a
distancia” de la primera a la segunda carga y, una vez que la segunda experimenta dicha interacción,
cómo y en cuánto tiempo se transmite la información de la segunda a la primera?. Recordemos que
existe un límite para la velocidad de propagación de la información en el universo, que es la
velocidad de la luz en el vacío, c, por lo cual las fuerzas de acción y reacción en las interacciones
“a distancia” no serán simultáneas. Pero esto puede llevarnos a que no se cumpla el principio de
acciónSreacción. Pensemos en dos cargas separadas: Hagamos que la primera sufra un movimiento
repentino, como una oscilación, por lo que se acelera. La segunda carga comenzará a oscilar, pero
con cierto retraso. Debido a este retraso, la fuerza que ejerce la primera sobre la segunda no estará
acompañada por una fuerza igual y opuesta de la segunda sobre la primera, lo que parece violar la
ley de acciónSreacción. De alguna manera tiene que haber una solución a esta posible
incongruencia, teniendo en cuenta que la ley de acciónSreacción es una consecuencia del principio
fundamental de la conservación de la cantidad de movimiento y de la manera en como se ha
definido la fuerza a partir de la cantidad de movimiento. La respuesta vendrá con la introducción
del concepto de campo eléctrico.
f. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria (unas 1036 veces), a pesar de que la primera nos
parece menos familiar que la segunda. Pero no hay que olvidar que las fuerzas eléctricas son
responsables de la estructura atómica, de que no resbalemos de
una silla cuando estamos sentados, de que nuestro calzado no se Substancia
gr
deslice en el suelo al caminar, etc.
Vacío
1
La
constante
de
la
ley
de
Coulomb
,
K
,
a
diferencia
de
la
g.
Aire (seco, sin CO2)
1,0005
constante de la gravitación (G), depende del medio en que se
encuentren inmersas las cargas a través de un parámetro Agua (a 20 ºC)
80,1
eléctrico de dicho medio llamado constante dieléctrica del
Vidrio para ventanas 7,0
medio o permitividad del medio, ε , tal que:
K=
1
4πε
[9]
Madera
2S8
Permitividad relativa de algunas
substancias
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Campo electrostático S 7
ε0 ,
En el caso de que el medio sea el vacío (o el aire, aproximadamente) se representa por
tomándola como referencia para definir la permitividad relativa (adimensional),
distinto del vacío:
εr =
ε r , de otro medio
ε
ε0
[10]
Las permitividades dieléctricas se determinan experimentalmente, obteniendo para el vacío
S12
S1
ε0
S2
= 8,854A10 C N m , resultando que para nuestros propósitos es suficientemente exacto utilizar
el siguiente valor de la constante de la ley de Coulomb en el vacío (al substituir en [9]):
K0 = 9A109 NAm2/C2
[11]
2
r
r
Rij
Teniendo en cuenta que R0 =
, en los cálculos suele resultar más fácil utilizar la expresión
Rij
r
qi q j r
Fei sobre j = K 3 Rij
Rij
[12]
porque no hay que calcular el vector relativo unitario de posición, aunque la expresión [5] es más
adecuada para el tratamiento teórico.
5. UNA APLICACIÓN DE LA LEY DE COULOMB
5.1. Fuerza que ejerce una distribución discreta de cargas sobre otra carga
r
Supongamos que tenemos un conjunto n de cargas
Fn
puntuales o que se puedan considerar puntuales: q1, q2,
..., qn fijas (mediante algún tipo de fuerza no eléctrica)
+q
formando una distribución discreta de cargas. Además
r
tenemos, fuera de la distribución, una carga q puntual o
r
R
1
+q1
r
que se puede considerar puntual (Fig.8). Cada una de las
F
2
Rn
r
cargas de la distribución qi ejerce una fuerza eléctrica
R2
sobre la carga q, cuya expresión está dada por la ley de
Coulomb. Suponiendo que se cumple el principio de
-q2
+q n
superposición e independencia de las fuerzas, la fuerza
eléctrica total que ejercen las cargas de la distribución
r
Fesobre q , estará dada por la suma
sobre la carga q,
r
F1
Fig.8
vectorial de las fuerzas individuales:
r
r
Fesobre q = Feq
1
sobre q
r
+ Feq
2
r
+
....
+
F
eqn sobre q
sobre q
[13]
es decir, teniendo en cuenta [5]:
r
q1q r
q2 q r
qnq r
Fesobre q = K 2 R01 + K 2 R02 + ....+ K 2 R0n
R1
R2
Rn
que de forma resumida:
n
n
r
qqr
qq r
Fesobre q = K ∑ i 2 R0i = K ∑ i 3 Ri
i = 1 Ri
i = 1 Ri
[14]
[15]
r
siendo Ri el vector relativo de posición que se dirige de la carga i a la carga q sobre la cual se calcula
la fuerza.
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Campo electrostático S 8
Ejemplo 1
Sea una distribución de tres cargas
puntuales de 2, 4 y S8 nC situadas en los
puntos (S1, 0), (0, S1) y (0, 1) m del plano xSy
respectivamente. El medio es el vacío.
Calcular la fuerza que ejerce dicha
distribución sobre una carga de S3 nC cuando
se sitúa en el punto P(1, 0) m.
y
(0,1)
q3= -8 nC
r
R3
r
R1
(-1,0)
q= -3 nC
P(1,0) x
q1=2 nC
Existiendo varios procedimientos para
llegar al resultado, se utilizará la expresión
analítica
r
qq r
F = K0 ∑ i 3 Ri , para lo cual
Ri
r
R2
(0,-1)
procederemos en etapas:
1. Se sitúan las cargas en los puntos
respectivos del plano xSy (Fig.9).
2. Se dibujan los vectores relativos de
posición (se dirigen siempre de la carga fuente al punto P).
3. Se expresan analíticamente los vectores de posición:
q2=4 nC
Fig.9
r
r
R1 = 2i m
r
r r
R2 = (i + j ) m
r
r r
R3 = (i − j ) m
4. Se calculan los módulo de los vectores anteriores:
R1 = 2 m
R2 = R3 = 2 m
5. Se calcula la fuerza que cada carga de la distribución ejerce sobre la carga situada en P, utilizando
la expresión
r
qq r
Fi = K0 i 3 Ri , substituyendo en ella los valores correspondientes (la carga se
Ri
substituye por su valor y signo):
−9
−9
r
r
r
9 2 ⋅ 10 ( − 3) ⋅ 10
−9
F1 = 9 ⋅ 10
2
i
=
−
13
,
50
⋅
10
i
N
23
−9
−9
r
r r
r r
9 4 ⋅ 10 ( − 3) ⋅ 10
F2 = 9 ⋅ 10
(i + j ) = − 38,18 ⋅ 10 − 9 (i + j ) N
3
2
( )
−9
−9
r
r r
r r
9 − 8 ⋅ 10 ( − 3) ⋅ 10
−9
F3 = 9 ⋅ 10
(
i
−
j
)
=
76
,
37
⋅
10
(
i
− j) N
3
2
( )
6. La fuerza total ejercida sobre la carga de 5 nC estará dada por la suma vectorial de las fuerzas
anteriores:
r
r
r
F = (24,7i − 115 j )10 − 9 N
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Campo electrostático S 9
6. CAMPO ELÉCTRICO. INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO
Examinemos la fuerza eléctrica que ejerce una carga puntual q, que denominaremos carga fuente,
sobre una carga puntual qp, o carga de prueba, situada en el punto P. La ley de Coulomb nos dice que
la fuerza que ejerce q sobre qp está dada por la expresión [5] (en el caso de que sean puntuales o se
puedan considerar como tales):
r
r
r
F
r
qq p r
R0
P eq sobre qp
R
[16]
Feq sobre q p = K 2 R0
R
q
qp
Puesto que esta fuerza es directamente proporcional a la
Fig.10
carga de prueba, podemos dividir la fuerza entre la carga de
prueba. A este cociente de la fuerza sobre la carga de prueba
por unidad de carga de prueba se denomina intensidad del campo eléctrico, representada por
r
E=
r
Fesobre q
p
r
E:
[17]
qp
de donde obtenemos la ley de Coulomb de la intensidad del campo eléctrico producida por una carga
fuente puntual (o que se pueda considerar como tal: en el exterior de distribuciones esféricas de carga
siendo R la distancia al centro de la distribución) a una distancia R de la misma:
r
r
r
r
q r
R0
P E
R
E = K 2 R0
[18]
R
q
o, más práctica para los cálculos:
a
r
q r
E= K 3R
R
[19]
r
r
r
R0
Se obtiene así una magnitud eléctrica vectorial definida en
E P
R
cada punto del espacio que rodea a la carga fuente y que depende
-q
únicamente de ésta (y del medio), con dirección radial y sentido
b
que depende del signo de la carga fuente (Fig.11). El módulo de
Fig.11
la intensidad del campo eléctrico en cada punto es inversamente
proporcional a la distancia al cuadrado a la carga fuente, con
unidades de N/C en el SI (o de V/m, como veremos más adelante).
A la región del espacio en la que está definida una intensidad de campo eléctrico en cada punto se
le denomina campo eléctrico, que es un campo vectorial.
Si en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico colocamos una carga de prueba qp,
ésta experimenta una fuerza eléctrica que se obtiene a partir de la definición de intensidad de campo
(expresión [17]):
r
r
Fe sobre q p = q p E
[20]
fuerza que tiene la misma dirección que la intensidad del campo eléctrico en el punto en el que
colocamos qp, con sentido dependiente del signo de qp. Tenemos así otra definición (operativa) de
campo eléctrico: existirá campo eléctrico en un región del espacio si al colocar en ella una carga de
prueba experimenta una fuerza.
r
A partir de la definición de E (expresión [17]) obtenemos el procedimiento para medir la
intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio: situar una carga de prueba qp en reposo en el
punto en cuestión, medir la fuerza eléctrica que actúa sobre ella y obtener la intensidad de campo como
r
E=
r
Fesobre q p
qp
. Procedimiento con el cual se debe tener cuidado, pues la carga de prueba puede alterar
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Campo electrostático S 10
la distribución de las cargas fuente que originan el campo: Por ejemplo, si el campo está producido por
una distribución de cargas situadas en la superficie de un conductor, existirá una redistribución de
dichas cargas si en sus proximidades colocamos la carga fuente, con lo cual se ha alterado la intensidad
de campo que queríamos medir.
Se ha sustituido el cálculo directo de la fuerza eléctrica de la ley de Coulomb entre una carga fuente
y una carga de prueba por un procedimiento en dos etapas: primero se calcula la intensidad del campo
eléctrico originado por la carga fuente, y segundo, se calcula la fuerza eléctrica que ejerce el campo
eléctrico sobre la carga de prueba. Por ello, el conjunto de las ecuaciones de la intensidad del campo
eléctrico [18] y la fuerza eléctrica en función de la intensidad del campo eléctrico [17], son totalmente
equivalentes a la expresión de la fuerza eléctrica de la ley de Coulomb [5].
Este procedimiento en dos etapas tiene ventajas de cálculo: Permite calcular distintas fuerzas
eléctricas sobre distintas cargas de prueba que coloquemos en un punto dado del campo eléctrico, lo
que constituye un ahorro de cálculo frente a la ley de Coulomb. Además no es necesario conocer cómo
es o en dónde está situada la carga (o cargas) fuente que originaron el campo eléctrico, sólo es necesario
conocer la intensidad del campo eléctrico en el punto en el que se coloca la carga de prueba.
Además tiene ventajas teóricas: El hecho de obtener expresiones que sólo dependen de las cargas
fuente facilita la obtención y manejo de las expresiones de los campos electromagnéticos. Por otra parte,
se resuelven las dificultades del concepto de “interacción a distancia” planteadas al analizar la ley de
Coulomb: En el proceso en dos etapas que hemos introducido con el concepto de campo eléctrico, la
carga oscilante produce un campo eléctrico oscilante que actúa de medio de propagación de la
oscilación, interactuando ésta con la segunda carga, que la hace oscilar. El campo transporta momento
lineal de la primera a la segunda carga mediante los paquetes de radiación electromagnética
denominados “fotones” emitidos por una carga y absorbidos por la otra, cumpliéndose la ley de
acciónSreacción en cada interacción “fotón”Scarga. En este sentido, el campo eléctrico funciona como
intermediario entre las dos cargas.
Parece que el campo eléctrico se ha introducido como una herramienta puramente formal (que
facilita el cálculo) o conceptual (que resuelve los inconvenientes planteados por la interacción a
distancia). Pero el hecho de que se pueda calcular la intensidad del campo eléctrico producida por
cargas fuente en un punto del espacio, exista o no carga en dicho punto, nos puede llevar a pensar que
el campo eléctrico es una entidad física que se extiende en todo el espacio: en este sentido, la carga
fuente modifica las propiedades del espacio que la rodea, siendo la intensidad de campo una medida
de dicha perturbación. De hecho, existen campos eléctricos variables con el tiempo sin cargas fuente.
7. ALGUNAS APLICACIONES DE LA LEY DE COULOMB DE LA INTENSIDAD DE
CAMPO ELÉCTRICO
r
En
7.1. Intensidad de campo eléctrico originada por una
r
distribución discreta de cargas puntuales o
E1
equivalentes
P
r
Supongamos que tenemos un conjunto n de cargas
r
R
1
+q1
E2
puntuales o que se puedan considerar puntuales: q1, q2,
r
r
..., qn fijas (mediante algún tipo de fuerza no eléctrica)
R
n
R2
formando una distribución discreta de cargas. Cada una
-q2
de estas cargas origina en el punto P una intensidad de
+qn
campo eléctrico, independientemente de todas las otras
cargas, siendo la intensidad de campo resultante en el
punto P la suma vectorial de las intensidades de campo
Fig.12
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Campo electrostático S 11
individuales (Fig.12); esto es el principio de superposición e independencia aplicado al campo eléctrico.
Teniendo en cuenta la expresión de la intensidad de campo originada por cada carga [11], la intensidad
total en el punto P será:
r r
r
r
E = E1 + E2 + ...+ En =
n
r
E
∑ i
[21]
i =1
r
q r
q r
q r
E = K 12 R01 + K 22 R02 + ...+ K n2 R0n
R1
R2
Rn
[22]
que de forma resumida:
n
n
r
qi r
q r
[23]
E = K ∑ 2 R0i = K ∑ i3 Ri
i = 1 Ri
i =1 Ri
r
siendo Ri el vector relativo de posición que se dirige de la carga i al punto P en el cual se calcula la
intensidad del campo.
Ejemplo 2
Sea una distribución de tres cargas
puntuales de 2, 4 y S8 nC situadas en los
puntos (S1, 0), (0, S 1) y (0, 1) m del plano
x Sy respectivamente. El medio es el vacío.
Calcular:
a. La intensidad del campo eléctrico que
origina esta distribución en el punto P(1,
0) m.
b. La fuerza que ejerce dicha distribución
sobre una carga de S3 nC cuando se sitúa
en el punto P.
c. La fuerza que ejerce dicha distribución
sobre una carga de 5 nC cuando se sitúa
en el punto P.
y
(0,1)
r
R3
r
R1
(-1,0)
utilizará
la
r
q r
E = K0 ∑ i3 Ri ,
Ri
expresión
P(1,0)
x
q1=2 nC
r
R2
(0,-1)
a. Se
q3= -8 nC
q2=4 nC
analítica
Fig.13
para
lo
cual
procederemos en etapas:
1. Se sitúan las cargas en los puntos respectivos del plano xSy (Fig.13).
2. Se dibujan los vectores relativos de posición (se dirigen de la carga fuente al punto P).
3. Se expresan analíticamente los vectores de posición:
r
R1 =
r
R2 =
r
R3 =
r
2i m
r r
(i + j ) m
r r
(i − j ) m
4. Se calculan los módulo de los vectores anteriores:
R1 = 2 m
R2 = R3 = 2 m
5. Se calcula la intensidad de campo originada por cada carga en el punto P, utilizando la expresión
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Campo electrostático S 12
r
q r
Ei = K0 i3 Ri , substituyendo en ella los valores correspondientes (la carga se substituye por
Ri
su valor y signo):
−9
r
r
r N
9 2 ⋅ 10
E1 = 9 ⋅ 10
2i = 4,5i
3
C
2
−9
r
r r N
4 ⋅ 10 r r
E 2 = 9 ⋅ 109
3 (i + j ) = 12,73(i + j )
C
2
( )
−9
r
r r
r r N
9 − 8 ⋅ 10
E 3 = 9 ⋅ 10
(
i
−
j
)
=
−
25
,
46
(
i
− j)
3
C
2
( )
6. La intensidad total del campo eléctrico en el punto P vendrá dada por la suma vectorial de las
intensidades anteriores:
r
r
r N
E P = ( − 8,23i + 38,2 j )
C
b. La fuerza que ejerce la distribución sobre una carga de S3 nC que se sitúa en P se puede calcular a
través de la fuerza que ejerce la intensidad del campo en P (originada por la distribución) sobre la
carga que se sitúa en dicho punto:
r
r
r
r
F = qE P = − 3 ⋅ 10 − 9 ( − 8,23i + 38,2 j )
r
r
r
F = (24,7i − 115 j )10 − 9 N
siendo, evidentemente, el mismo resultado que el del ejemplo 1.
c. De la misma forma que en el apartado anterior, se obtiene:
r
r
r
r
F = qE P = 5 ⋅ 10 − 9 ( − 8,23i + 38,2 j )
r
r
r
F = ( − 42,1i + 191 j )10 − 9 N
Los dos últimos apartados resaltan la ventaja de calcular primero la intensidad de campo para
después calcular la fuerza sobre una carga a partir de la interacción del campo con dicha carga.
7.2. Intensidad de campo eléctrico originada por una distribución continua y uniforme de carga
Es frecuente encontrar cargas fuentes que están distribuidas de forma continua. En estas situaciones,
se divide la distribución de carga en elementos infinitesimales dq, considerando a cada uno de estos
elementos como carga puntual que origina un elemento infinitesimal de intensidad de campo
el punto P que está dada por la expresión
r
dq r
dE = K 2 R0
R
r
dE en
[24]
que es la ley de Coulomb en forma diferencial de la intensidad del campo eléctrico [18], con módulo
dE = K
dq
R2
[25]
La intensidad total de campo eléctrico en el punto P será la suma (al cumplirse los principios de
superposición e independencia) de las intensidades infinitesimales producidas por todos los elementos
de carga; esto es, una integral
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Campo electrostático S 13
r
r
r
R0
E = ∫ dE = K ∫ 2 dq
R
[26]
extendida a toda la distribución, que dependiendo del tipo, se substituye dq por λ dl , σ dS o ρ dV .
Puesto que es una integral de una expresión vectorial, puede ser difícil su evaluación, a menos que la
distribución de carga tenga un alto grado de simetría. Con la ley de Gauss, que se desarrollará más
adelante, se pueden calcular intensidades de campo eléctrico en ciertas distribuciones simétricas de una
forma más fácil.
Ejemplo 3
Calcular la intensidad del campo eléctrico a una distancia x medida perpendicularmente a una
distribución continua, lineal, infinita y uniforme de carga eléctrica situada a lo largo del eje y.
Supongamos que la carga se distribuye a lo largo
del eje y, desde S ∞ hasta + ∞ , y que al ser uniforme,
la densidad lineal de carga es constante:
λ=
r
dE y
dq dq
=
= cte . En la Fig.14 está representado
dl dy
el elemento infinitesimal de intensidad de campo en el
punto P, que está a una distancia x medida
perpendicularmente a la distribución lineal, originado
por el elemento infinitesimal de carga dq situado en la dy
posición Sy. Este elemento de campo se descompone
en una componente sobre el eje x y otra sobre el eje y,
tal que
r
dE
x
θ
θ
-y
P
r
R
r
dE x
x
dq
r
r
r
r
r
dE = dE x + dE y = dE x i + dE y j .
Teniendo en cuenta la Fig.14,
K
y
Fig.14
r
r
r
dE = dE ⋅ cosθ ⋅ i + dE ⋅ sin θ ⋅ j , que al substituir dE por
dq
λ dy
=
K
, integrando y sacando las constantes fuera de la integral, se obtiene
R2
R2
r r +∞ cosθ ⋅ dy r +∞ sin θ ⋅ dy
dE = i Kλ ∫
+ jKλ ∫
2
R
R2
−∞
−∞
Para resolver las integrales anteriores hay que reducir las tres variables (y, R, θ ) del integrando a
una sola, siendo lo más conveniente dejar los integrandos en función del ángulo. A partir de la Fig.14
y
, de donde y = x tan θ y derivando y respecto a θ (teniendo en cuenta que x es
x
dy
x
x
constante):
=
de
donde
despejamos
d
y
=
dθ que se substituye en los
dθ cos2 θ
cos2 θ
x
x2
2
integrandos. También de la Fig.14 se obtiene cosθ =
, de donde R =
que se substituye
R
cos2 θ
se tiene
tan θ =
en los integrandos. Cambiando los límites de integración en función de la variable
y = −∞ , θ = −
π
2
y cuando
y = +∞ , θ = +
π
2
θ
(cuando
) y con las substituciones anteriores se obtiene
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Campo electrostático S 14
π
 + π2

+
2
r
r
r
λ

E = K  i ∫ cosθ ⋅ dθ + j ∫ sin θ ⋅ dθ 
x
π
 − π2

−
2
π
π
r
+
+ 
r
λ r
2
E = K  i ⋅ sin θ ] π − j ⋅ cosθ ] π2 
−
− 
x
2
2
r
λ r r
E = 2K i + 0 j
x
es decir:
r
λ r
E = 2K i
x
de donde se deduce que la intensidad de campo es inversamente proporcional a la distancia a la
distribución y es perpendicular a ella.
El que no exista componente en la dirección paralela a la distribución era de esperar por
consideraciones de simetría: todo elemento dq situado en Sy tiene otro elemento simétrico dq en +y, por
lo cual las componentes en la dirección y de la intensidad de campo en P tienen el mismo módulo pero
sentidos opuestos por lo que se anulan.
8. UNA FORMA DE VISUALIZAR EL CAMPO ELÉCTRICO: LÍNEAS DE CAMPO
ELÉCTRICO
Puesto que el campo eléctrico es un campo vectorial, para visualizarlo se necesita representar un
vector intensidad de campo eléctrico en cada punto del espacio (en donde exista un campo, pues pueden
existir puntos en los que no esté definido –por ejemplo, en la posición que ocupa una carga puntual–
o porque es nulo –por ejemplo, el punto medio entre dos cargas iguales–), lo que exige una
representación tridimensional, una gran cantidad de trabajo y el resultado sería de difícil interpretación.
A Michael Faraday (1791S1867) se le debe la visualización del campo eléctrico en función de las
denominadas líneas de campo eléctrico.
8.1. Propiedades de las líneas de campo eléctrico
r
a. Son líneas imaginarias orientadas, continuas (excepto en
E
singularidades como en una carga puntual, o puntos en donde
se anula el campo, etc.), cuyas tangentes, en cualquier punto,
tienen la dirección de la intensidad del campo en dicho punto
(Fig.15).
Fig.15
Las cargas de prueba qp que se coloquen en una región en la
que existe un campo eléctrico experimentarán una fuerza eléctrica, de acuerdo con la expresión
r
r
Fe sobre q p = q p E , que tendrá el mismo sentido que el de la intensidad de campo en el caso de
cargas de prueba positivas
(Fig.16a) o el contrario en el caso de las negativas (Fig.16b).
r
r
r
r
Fesobre q
E
E
p
Fesobre −q
p
-qp
+qp
a
b
Fig.16
Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar
Campo electrostático S 15
Las cargas de prueba positivas al abandonarlas en un campo eléctrico, se
mueven en el mismo sentido que las líneas de campo.
Las cargas de prueba negativas al abandonarlas en un campo eléctrico, se
mueven en sentido contrario a las líneas del campo.
b. Las líneas de campo eléctrico de una carga puntual son radiales y uniformemente distribuidas
alrededor de la carga. Con sentido hacia fuera de la carga las originadas por cargas positivas y hacia
la carga las originadas por cargas negativas; sentido que es consecuencia de la expresión de la
intensidad de campo eléctrico
r
q r
E = K 2 R0 . Las cargas positivas son manantiales de líneas de
R
campo, las negativas son sumideros. Por ello, las líneas de campo eléctrico son abiertas por ser
conservativo el campo electrostático.
r
E
r
E
-q
+q
Fig.17
Las Fig.17 corresponden a la representación en el plano de las líneas de campo eléctrico de
cargas puntuales aisladas. En realidad, estas líneas abarcan todo el espacio tridimensional.
Se puede observar que la representación del campo eléctrico mediante líneas de campo no
permite obtener de una forma directa la intensidad del mismo en un punto dado del campo, aunque
da la información de la dirección y sentido de la intensidad del campo en un punto por el cual pase
una línea de campo.
+2q
+q
Fig.18
Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar
Campo electrostático S 16
c. El número total de líneas de campo eléctrico de una carga puntual es proporcional a la cantidad de
carga, escogiendo la constante de proporcionalidad de forma que suministre la mejor visualización.
En la Fig.18 están representadas 8 líneas para la carga +q y 16 líneas para la carga +2q.
El que por un punto dado no pase una línea de campo no quiere decir que no exista allí
intensidad de campo eléctrico. Normalmente sólo se representan unas pocas líneas, las suficientes
para no complicar el gráfico y hacernos una idea de cómo es el campo eléctrico.
d. A mayor número de líneas de campo representadas en una región del campo eléctrico, mayor
intensidad del mismo, consecuencia de un concepto más general llamado flujo de campo eléctrico,
que se puede interpretar como la medida de la densidad de líneas de campo que atraviesan una
superficie perpendicular a dicho campo, concepto que se profundizará más adelante.
r
En las gráficas anteriores en las que se
E+
representan líneas de campo eléctrico de cargas
puntuales aisladas se puede apreciar fácilmente
r
esta propiedad: las líneas de campo están más
r
E
E−
próximas unas a las otras en las cercanías de las
cargas, pues en esas regiones la intensidad de
campo es alta; a medida que nos alejamos de las
+q
-q
cargas, las líneas de campo se separan porque la
intensidad de campo decrece.
Obsérvese que dos líneas de campo no se pueden
cruzar porque el campo eléctrico tiene una dirección
única en un punto particular, por lo que sólo una
línea de campo puede pasar por ese punto.
Fig.19
También tengamos en cuenta que, en general,
una partícula cargada de prueba no se mueve a lo
largo de una línea de campo, pues como se ve en la Fig.16, la aceleración de esa carga de prueba es
tangente a la línea de campo en ese punto y para poder seguir la trayectoria curvada de la línea de
campo necesitaría además tener aceleración normal, que no tiene.
8.2. Dipolo eléctrico y momento dipolar
En la Fig.19 se muestran algunas líneas de campo eléctrico en las proximidades de un dipolo
eléctrico, formado éste por dos cargas iguales, de signos opuestos y separadas por una distancia d,
pequeña en comparación con las distancias de las cargas a un observador.
En cada punto del espacio que rodea al dipolo existe una intensidad de campo eléctrico tangente a
la línea de campo que pasa por dicho punto. Esta intensidad es la resultante de las intensidades de
campo producidas por la carga positiva y por la carga negativa en el punto en cuestión, resultado de los
principios de superposición e independencia aplicados al campo eléctrico.
Se define el momento dipolar eléctrico
carga negativa a la positiva:
-q
r
p como un vector de módulo p = qAd y con sentido de la
d
r
p
+q
Fig.20
El momento dipolar eléctrico de una molécula, que es una medida de la asimetría de carga, se
obtiene experimentalmente y, junto con otros parámetros, contribuye a la determinación de la estructura
molecular: distancias y ángulos de enlace, coeficientes de las funciones de onda, etc. Según el momento
dipolar, las moléculas se clasifican en apolares (no tienen momento dipolar) y polares (con momento
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Campo electrostático S 17
dipolar).
Así, en los enlaces HSO de la molécula de agua hay una separación parcial de la carga electrónica
en el enlace covalente, soportando el O una carga parcial negativa, − δ , por tener una mayor
electronegatividad que el H, que soporta una carga parcial positiva, + δ . Puesto que existen dos
enlaces HSO, cada H soporta una carga parcial + δ y el O una carga parcial total − 2δ . De este modo,
en la molécula existen dos momentos dipolares de enlace, iguales en módulo, originados por los dos
enlaces HSO. La molécula de agua tiene dos estructuras geométricas teóricamente posibles: lineal o
angular,
+δ
H
r
p
−δ − δ
r
O
p
+δ
H
+δ
H
r
ptotal = 0
−δ − δ
r
O
p
r
p
r
ptotal ≠ 0
+δ
H
b
a
Fig.21
siendo la angular la correcta, ya que la molécula de agua tiene momento dipolar resultante.
8.3. Otros ejemplos de representación del campo eléctrico mediante líneas de campo
En los ejemplos de la Fig.22 no se cumplen exactamente todas las propiedades enunciadas para las
representaciones mediante líneas de campo eléctrico, al menos en lo que se refiere a la propiedad d):
del gráfico se deduce que el campo eléctrico es más intenso en las regiones A que en las B, por tener
la región A mayor densidad de líneas. Justamente ocurre lo contrario: el campo es más intenso en B que
en A. Ello es debido a que el flujo del campo eléctrico es un concepto tridimensional, que no se puede
plasmar en una representación gráfica bidimensional. Aún las representaciones tridimensionales de
líneas de campo eléctrico, tales como los anaglifos, requieren un elevado número de líneas para que la
densidad de las mismas represente, al menos de forma aproximada, la intensidad de campo eléctrico.
A
A
B
+q
+q
B
+3q
+q
Fig.22
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Campo electrostático S 18
9. LEY DE GAUSS DEL CAMPO ELÉCTRICO
La descripción cualitativa del campo eléctrico mediante líneas de campo está relacionada con la
ecuación matemática denominada ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss, físico y matemático alemán,
1775S1855), que relaciona la intensidad del campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga
neta incluida dentro de la superficie. Esta ley tiene ventajas significativas frente a la ley de Coulomb
de la intensidad del campo eléctrico, pues:
a. Permite cálculos de intensidades de campo relativamente fáciles para ciertas distribuciones de carga.
b. Suministra una visión particularmente clara de ciertas propiedades básicas del campo.
c. Es aplicable a cualquier distribución de carga, independientemente de su estado de movimiento, lo
que sirve, a su vez, para definir la cantidad de carga neta en una región.
9.1. Vector superficie elemental
Toda superficie elemental dS se caracteriza, para su empleo en el cálculo
r
dS
r
vectorial, por un vector dS , tal que su módulo dS es igual al área de la superficie
(por definición) y su dirección es perpendicular a la superficie (Fig.23). El sentido
es arbitrario cuando se trata de una superficie plana, en otro caso se dirige de la
parte cóncava a la convexa.
9.2. Ángulo plano y ángulo sólido
Fig.23
El elemento de ángulo plano ordinario, dθ (Fig.24), se define como el
cociente (adimensional) entre el elemento de longitud de arco de circunferencia, dl, y el radio de la
misma:
dl
dl
dθ =
[27]
dθ
R
R
con unidades de radianes (rad) en el SI. El ángulo plano total subtendido por
una circunferencia es θ
=
Lcircunferencia 2π R
=
= 2π rad . De otra forma,
R
R
la integral de línea cerrada de
dθ es 2π rad: θ =
∫ dθ = 2π
rad . Este
linea
Fig.24
ángulo total es independiente de la forma de la trayectoria cerrada escogida,
siempre se obtendrá el mismo resultado: 2π rad .
De forma semejante, en el espacio se define el elemento de
ángulo sólido, dΩ (Fig.25), como el cociente (adimensional)
entre el elemento de superficie sobre una superficie esférica
(normal al radio), dSn , y el radio de la esfera al cuadrado:
dΩ =
dSn
R2
dS
dΩ
r r
dS ⋅ R0
[Su expresión general es dΩ =
] [28]
R2
R
siendo su unidad el estereorradián (sr) en el SI, que es el ángulo
sólido total subtendido por una superficie de 1 m2 sobre una esfera
de radio 1 m. El ángulo sólido total subtendido por una esfera es
Sesfera 4π R 2
Ω =
=
= 4π sr , es decir,
R2
R2
Ω =
∫ dΩ = 4π
sr
Fig.25
[29]
superficie
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Campo electrostático S 19
independientemente de la forma de la superficie cerrada.
El símbolo I corresponde a una integral abierta (a lo largo de una línea o superficie, según se
especifique en la parte inferior de dicho símbolo, o si no se especifica, basta con observar la variable
respecto a la que se integra). Por el contrario, el símbolo Š, con el círculo sobre el del integral,
corresponde a una integral cerrada (a lo largo de una línea o superficie cerrada, según el caso).
r
dS
9.3. Flujo elemental de un campo vectorial a través de una
superficie elemental abierta
Supongamos que en una región del espacio existe un campo
r
vectorial A , representado en la Fig.26 por sus líneas de campo,
r
y una superficie elemental dS . Se llama flujo elemental del
campo a través de dicha superficie al producto escalar
r r
[30]
dΦ = A ⋅ dS
θ
r
dSn
r
A
Fig.26
es decir, igual al producto del módulo del campo por la proyección de la superficie sobre un plano
normal a la dirección del campo:
dΦ = A ⋅ dS ⋅ cosθ = A ⋅ dSn
[31]
Puesto que la densidad de líneas de campo es directamente proporcional al módulo del mismo, se
concluye que el flujo elemental representa el número de líneas de campo que atraviesan un elemento
de superficie normal al campo.
9.4. Flujo total de un campo vectorial a través de una superficie cerrada
Para calcular el flujo total a través de una superficie cerrada (que encierra un volumen) S, se integra
el flujo elemental para toda la superficie cerrada:
Φ super. cerrada =
∫
r r
A ⋅ dS =
super.
∫
A ⋅ dS ⋅ cos θ =
super.
∫ A ⋅ dS
n
[32]
super.
obteniéndose el flujo neto, que en términos de líneas de campo significa el número de líneas de campo
que salen de la superficie cerrada menos el número de líneas de campo que entran en dicha superficie
cerrada. Teniendo en cuenta la definición de ángulo sólido (expresión [28]), la integral anterior se puede
escribir:
Φ super. cerrada =
∫ A⋅ R
2
⋅ dΩ
[33]
super.
para lo cual se necesita conocer la expresión del módulo A.
9.5. Flujo total a través de una superficie cerrada para un campo inversamente proporcional a
la distancia al cuadrado
Es el caso de los campos gravitatorio y electrostático de masas y cargas puntuales, respectivamente,
pues para ellos se puede expresar A como
A = cte
1
R2
[34]
siendo
cte = SGAm
cte = KAq
en el campo gravitatorio
en el campo electrostático
Substituyendo A en la integral del flujo total y teniendo en cuenta lo dicho para el ángulo sólido total
subtendido:
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Campo electrostático S 20
Φ super. cerrada = cte
1 2
2 R d Ω = cte ∫ dΩ = cte ⋅ 4π
R
super.
super.
∫
[35]
9.6. Ley de Gauss
Así, para el campo electrostático producido por una carga puntual interior a la superficie cerrada,
substituyendo la cte y teniendo en cuenta que K =
Φ super. cerrada =
1
, se obtiene:
4π ε 0
r r q
E
∫ ⋅ dS = ε 0
super.
[36]
que constituye una primera aproximación a la ley de Gauss del campo eléctrico.
El resultado anterior tiene una serie de propiedades interesantes que hacen de la ley de Gauss una
herramienta muy potente:
a. La ley de Gauss es consecuencia de que la intensidad del campo eléctrico debido a una carga puntual
aislada varía exactamente con la inversa del cuadrado de la distancia desde la carga, dependencia
que es una propiedad de la naturaleza que se conoce con mucha precisión. Si la dependencia fuera
distinta no se podría escribir la expresión tan sencilla Φ super.cerrada =
q
.
ε0
b. El flujo neto es directamente proporcional a la carga interior a la superficie cerrada.
Ésta era una de las propiedades en las que se basaba la visualización del campo eléctrico a través
de las líneas de campo: cuánto mayor sea la carga puntual, mayor será el flujo neto a través de una
superficie que encierre a la carga, y puesto que el flujo es una medida del número de líneas de
campo que atraviesan la superficie cerrada, más líneas tendremos que dibujar para representar el
campo eléctrico.
S
S
+q
+2q
Fig.27
En la Fig.27, la superficie cerrada escogida es esférica e igual en ambos casos. El flujo neto en
el primero es de 8 unidades (8 líneas de campo que salen de la superficie cerrada). El flujo neto en
el segundo es de 16 unidades. La razón está en que en el segundo la carga interior es doble que en
el primero.
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Campo electrostático S 21
c. El flujo neto no depende de la forma de la superficie cerrada.
En la Fig.28 se tiene un campo eléctrico producido por
una carga puntual. Están dibujadas unas cuantas líneas de
campo y dos superficies cerradas, una esférica, S1, y otra
irregular, S2. El balance neto del flujo es el siguiente:
S2
S1
Superficie
Líneas que
entran
Líneas que
salen
Flujo neto
S1
0
8
+8
S2
2
10
+8
Esta independencia de la forma de la superficie cerrada
se deduce fácilmente si de la expresión [36] si escogemos
el primero y el último término:
Φ super.cerrada =
+q
Fig.28
q
ε0
[37]
en donde no aparece la integral de superficie cerrada.
d. El flujo neto no depende de como esté distribuida la carga dentro de la superficie cerrada.
Se puede deducir cualitativamente a partir de la Fig.28: si se desplaza la carga +q dentro de los
volúmenes encerrados por S1 o S2, el flujo neto no se altera. También es consecuencia de la última
expresión [37].
e. Las cargas externas a una superficie cerrada no influyen
en el flujo neto.
En la Fig.29 se ha escogido una superficie S3 tal que la
carga +q está fuera de dicha superficie. Haciendo un
recuento de las líneas de campo que salen y entran en S3
deducimos que el flujo es nulo, independientemente de la
forma de la superficie.
S3
+q
Cuestión 1
Si el flujo neto a través de una superficie cerrada es nulo
¿podemos afirmar que la intensidad del campo eléctrico es
nula en todos los puntos de la superficie cerrada?
Fig.29
Se acaba de ver un caso ejemplificado en la Fig.29 en
donde el flujo neto es nulo porque no hay carga en el interior de la superficie cerrada, existiendo no
obstante campo eléctrico a lo largo de dicha superficie. En este caso, la integral
∫
r r
E ⋅ dS se anula.
super.
Pero el que la integral se anule no significa que el integrando sea nulo, sino que la integral de la
intensidad del campo eléctrico, no nula en este caso, a lo largo de la superficie cerrada se hace cero.
En este caso la ley de Gauss no permite obtener ninguna información sobre la intensidad del campo
eléctrico a lo largo de la superficie cerrada.
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Campo electrostático S 22
f. El flujo neto depende de la carga neta interior a la superficie cerrada.
Hasta aquí sólo se hizo referencia a una carga puntual interior a la superficie cerrada, pero la ley
de Gauss se puede generalizar a la carga neta interior como consecuencia del cumplimiento del
principio de superposición e independencia del campo eléctrico, sea cual sea la distribución de las
cargas. Su cumplimiento se observa en la Fig.30 en donde el flujo neto se debe a la contribución de
las dos cargas en el interior de la superficie cerrada S.
La última propiedad permite escribir
finalmente la forma integral definitiva de la ley
de Gauss para el campo eléctrico:
Φ neto =
∫
r r
E ⋅ dS =
super.
S
q neta interior
super. cerrada
ε0
[38]
que aunque para su deducción se partió de la ley
de Coulomb de la intensidad del campo eléctrico
de una carga puntual, es en cierto modo más
general que la ley de Coulomb, pues es aplicable
a cualquier distribución de carga y tanto a
campos electrostáticos como no electrostáticos.
En la expresión de la ley de Gauss, la carga es
la total neta en el interior de la superficie cerrada
imaginaria llamada superficie gaussiana; su
elemento de superficie es el que aparece en el
r
+q
+q
Fig.30
r
integrando, dS . La intensidad de campo E del integrando es la intensidad de campo total en los
puntos de la superficie gaussiana, el cual incluye las contribuciones de las cargas tanto interiores
como exteriores a la superficie gaussiana. En la Fig.29 de la Cuestión 1 tenemos un ejemplo en el
que la intensidad de campo a lo largo de la superficie gaussiana se debe a cargas externas a dicha
superficie, pues no existe carga neta en el interior de la misma.
La ley de Gauss para el campo eléctrico [38] expresa pues que el flujo eléctrico total a través de una
superficie gaussiana es igual a la carga eléctrica neta en el interior de dicha superficie dividida entre ε 0
y también igual a la integral del campo eléctrico a lo largo de dicha superficie.
9.7. Elección de una superficie gaussiana adecuada
Una de las finalidades de la ley de Gauss consiste en calcular la intensidad del campo eléctrico
debida a la carga neta conociendo la distribución de dicha carga. Para ello es necesario resolver la
integral
∫
r r
E ⋅ dS lo que exige escoger en primer lugar una superficie gaussiana que encierre a la
super.
carga de interés. Pero no todas las superficies gaussianas son adecuadas, ya que muchas de ellas puede
que no faciliten la resolución de la integral anterior, o hacerla irresoluble. Por tanto es necesario escoger
una superficie gaussiana adecuada, es decir, que cumpla alguna de las siguientes condiciones para
facilitar la resolución de la integral:
a. Que la superficie esté orientada tal que
r
r
que E ⋅ dS
r
E en todas sus partes sea tangente a la superficie, es decir
= 0.
b. Que la superficie esté orientada tal que
r
E en todas sus partes sea normal a la superficie y que el
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Campo electrostático S 23
r
r
módulo E sea constante en toda la superficie. Así tendremos que E ⋅ dS = E ⋅ dS ⋅ cosθ = E ⋅ dS
y al ser E constante sale fuera de la integral, simplificándola al máximo:
∫
r r
E ⋅ dS = E
super.
∫ dS = E ⋅ S
[39]
super.
Algunas veces es necesario escoger una superficie cerrada en la que no se cumpla ninguna de las
propiedades anteriores en toda la superficie. Como la integral de superficie cerrada se puede escribir
como suma de integrales de superficie abierta:
r r
E ⋅ dS =
∫
super.
cerrada
∫
r r
E1 ⋅ dS1 +
super.
abierta 1
∫
r
r
E2 ⋅ dS2 + ...+
super.
abierta 2
∫
r
r
En ⋅ dSn
[40]
super.
abierta n
puede ser útil para calcular la intensidad del campo eléctrico si en cada una de las superficies se cumple
alguna de las dos propiedades anteriores.
10. ALGUNAS APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
10.1. Intensidad del campo eléctrico originado por una carga puntual
Se desea determinar la intensidad del campo eléctrico en el punto P a una distancia R de la carga
puntual +q (Fig.31). La superficie gaussiana adecuada es una esfera de radio R, superficie S y centrada
en la carga: la intensidad de campo en todos los puntos de la superficie tendrá el mismo módulo por
estar éstos a la misma distancia de la carga y además es normal a la superficie en cualquier punto de
ésta.
r
Aplicando la ley de Gauss:
E
P
S
r r q
r
E ⋅ dS =
[41]
R
ε
0
super.
+q
∫
gaussiana
∫ E ⋅ dS ⋅ cosθ =
super.
gaussiana
q
ε0
[42]
Fig.31
r
r
siendo cosθ = 1 para cualquier punto de la superficie de la esfera por formar E y dS un ángulo de
0º, y al tener en cuenta que el módulo de la intensidad de campo es constante a lo largo de la superficie
de la esfera:
q
E ∫ dS =
[43]
ε0
super.
gaussiana
teniendo en cuenta que la integral de superficie cerrada a lo largo de la superficie gaussiana es el área
de la esfera:
E ⋅ Ssuper.
=
gaussiana
al ser
q
ε0
[44]
= 4π R 2 y despejando E:
Ssuper.
gaussiana
E=
1 q
4π ε 0 R 2
[45]
se obtiene el módulo de la intensidad de campo a una distancia R de la carga puntual, que es la misma
expresión que la del módulo de la intensidad de campo cuando se aplica la ley de Coulomb [18].
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Campo electrostático S 24
10.2. Intensidad de campo eléctrico de una corteza esférica dieléctrica con distribución de carga
neta con simetría esférica.
Supongamos una corteza esférica aislante de radio externo Re y radio interno Ri (tiene espesor), con
una carga neta +q distribuida uniformemente en el volumen de la corteza, es decir, densidad volúmica
de carga constante:
ρ=
q
= cte.
V
Se obtendrá por separado la intensidad del campo eléctrico en el exterior y en el interior de la
corteza, con la observación de que el análisis y los resultados también son válidos para el caso de que
la corteza no tenga espesor (la carga estaría distribuida uniformemente a lo largo de la superficie externa
de la esfera), dejando para el siguiente apartado el análisis del campo eléctrico en el volumen de la
corteza.
a. Puntos sobre la superficie externa de la corteza y puntos externos a la misma: R $ Re (Fig.32a. Todas
las representaciones de la Fig.32 son secciones transversales)
Como superficie gaussiana adecuada se escoge una esfera de radio R, de superficie S, exterior
y concéntrica a la corteza esférica cargada. La intensidad de campo es normal a la superficie esférica
gaussiana, como se puede deducir por simetría, y con módulo constante en todos sus puntos,
encerrando la superficie gaussiana una carga total q. Aplicando la ley de Gauss de la misma forma
que en el apartado anterior, se llega a:
E ext =
1 q
q
2 = K
4πε 0 R
R2
R ≥ Re
[46]
expresión idéntica a la intensidad de campo producida por una carga puntual: la intensidad de
campo en el exterior de la corteza esférica con distribución simétrica de carga es la misma que la
intensidad de campo producida por una carga puntual situada en el centro de la corteza y equivalente
a la carga total de la distribución, que justifica lo que se viene diciendo en esta unidad sobre la
equivalencia entre cargas puntuales y cargas con simetría esférica, consecuencia otra vez más de la
dependencia del campo eléctrico (y de la fuerza eléctrica) con el inverso de la distancia al cuadrado.
r
S
E ext
R
r
dS
r
r
E int dS
Re
Ri
S
R
R
i
a
b
Fig.32
c
b. Puntos internos a la corteza cargada: R < Ri
El interior de la corteza es una esfera en la que no existe carga, pero está rodeada por una capa
de carga. Tenemos que contestar a la siguiente pregunta: dicha capa esférica de carga (la de la
corteza), con distribución uniforme, ¿contribuye a la existencia de campo eléctrico en el interior de
la corteza?. Para ello, supongamos que la carga de la corteza sí contribuye a la existencia de un
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Campo electrostático S 25
r
campo E int en el interior. Puesto que la distribución de carga en la corteza tiene simetría esférica,
no queda otra solución para la dirección de dicho hipotético campo interno que ser normal a la
superficie de la corteza (y dirigido hacia el centro de la esfera cuando la carga de la corteza es
positiva), Fig.32b. Escojamos una superficie gaussiana de radio R (esfera concéntrica a la corteza)
por dentro de la superficie interna de la corteza (Fig.32b, en la que también se representa un
elemento de superficie gaussiana) y apliquemos la ley de Gauss:
r qint
r
[47]
E
⋅
d
S
=
int
∫
ε
0
super.
r
r
en donde E int ⋅ dS = E int ⋅ dS ⋅ cosθ = E int ⋅ dS , pues cos θ = 1 por tener la intensidad de
campo y el elemento de superficie la misma dirección a lo largo de toda la superficie gaussiana.
Además, Eint es constante en módulo a lo largo de dicha superficie por lo que sale fuera de la
integral:
Eint
∫ dS =
super.
qint
ε0
[48]
en donde la integral de superficie a los largo de toda la superficie gaussiana es la superficie de la
esfera S:
E int ⋅ S =
q int
ε0
[49]
Puesto que en el interior de la corteza no existe carga, qint = 0, en consecuencia EintAS = 0 en
todos los puntos de la superficie gaussiana y, al no ser nula la superficie S, se concluye que:
r
E int = 0
R < Ri
[50]
resultado que no es más que una consecuencia de la simetría del problema. Nótese que en este caso,
la corteza cargada no ejercería fuerza eléctrica sobre una carga que se situara en cualquier punto
interno.
En la Fig.32c se representan algunas
líneas de campo (en el plano) originadas por
la corteza con carga neta positiva. Si ésta
fuese negativa, la única diferencia es que las
líneas de campo tendrían sentido opuesto.
+q
Ejemplo 4
En la Fig.33 se representa la sección
transversal de la corteza del apartado
anterior. En el borde se dispusieron seis
cargas positivas iguales e igualmente
espaciadas (en los vértices de un hexaedro).
Trazando tres líneas de campo por cada
carga se trató de visualizar el campo
eléctrico resultante. Aunque se partió de
muy pocas cargas, se observa que el campo
eléctrico tiende a ser nulo en el interior. A
medida que se utilicen más cargas
dispuestas en el borde, menos penetrarán las
líneas de campo en el interior. Cuando el
número de cargas en el borde sea
+q
+q
+q
+q
+q
Fig.33
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Campo electrostático S 26
suficientemente grande como para considerar a la distribución continua, el campo eléctrico se hará nulo
en el interior.
10.3. Intensidad de campo eléctrico de una esfera dieléctrica con densidad volúmica de carga
constante
r
La distribución continua de carga se encuentra en el interior de
E
una esfera de radio R0 tal que su densidad volúmica de carga es
S
constante:
ρ=
q
= cte , siendo q la carga total y V el volumen de
V
la esfera. Consideremos dos casos a efectos de cálculo de la
intensidad de campo:
R
+q
R0
a. Puntos sobre la superficie de la esfera cargada y puntos externos
a ella: R $ R0 (Fig.34)
Como superficie gaussiana adecuada se escoge una esfera de
Fig.34
radio R, de superficie S, exterior y concéntrica a la esfera cargada.
La intensidad de campo es normal a la superficie esférica gaussiana, como se puede deducir por
simetría, y con módulo constante en todos sus puntos, encerrando la superficie gaussiana una carga
total q. Aplicando la ley de Gauss de la misma forma que en el apartado 10.1, se llega a:
E ext =
1 q
q
2 = K
4πε 0 R
R2
R ≥ R0
[51]
expresión idéntica a la intensidad de campo producida por una carga puntual y a la de una corteza
esférica cargada fuera de ella, tal como se analizó en el apartado anterior, con el mismo resultado
que en este último: la intensidad de campo en el exterior de la esfera con distribución simétrica de
carga es la misma que la intensidad de campo producida por una carga puntual situada en el centro
de la esfera y equivalente a la carga total de la distribución.
En este ejemplo se supuso que la distribución volúmica de carga es constante, pero también las
distribuciones radiales y esféricas de carga, ρ = ρ ( r ) , cumplen con la condición de simetría
esférica.
b. Puntos interiores a la esfera cargada: R < R0 (Fig.35)
Se escoge como superficie gaussiana una superficie esférica de radio R, interior a la superficie
cargada. La carga interior a la superficie gaussiana, al ser la densidad volúmica constante, es
qint = ρ ⋅ Vint = ρ
4 3
π R . Teniendo en cuenta que la intensidad de campo producido por esta carga
3
qint es normal a la superficie gaussiana, como se puede deducir también por simetría, y que la carga
de la capa externa (entre R y R0) no contribuye al campo en el interior (resultado que se obtuvo en
el apartado 10.2.b), la ley de Gauss queda:
4
ρ π R3
E⋅S = 3
[52]
ε0
2
siendo S = 4π R , el área de la superficie gaussiana interior a la esfera cargada.
ρ
R
3ε 0
R0
qint
Rr
Eint
Fig.35
Despejando E se obtiene:
E int =
S
R ≤ R0
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[53]
Campo electrostático S 27
aumentando linealmente el módulo de la intensidad de campo con la distancia al centro de la esfera.
Este resultado se puede expresar en función de la carga total de la esfera cargada, al tener en
cuenta que
q
q
=
, que al substituir en la expresión anterior:
V 4 3
πR
3 0
1
qR
=
qR
=
K
R ≤ R0
4πε 0 R03
R03
ρ=
E int
permitiendo así la comparación con la expresión
del módulo del campo fuera de la esfera. Cuando
nos situamos en la superficie de la esfera, se hace
R=R0, que al substituir en esta última expresión
del módulo del campo en el interior se obtiene el
mismo resultado que al substituir en la expresión
del módulo del campo en el exterior, indicativo
de que el campo es continuo a través de la
superficie de la esfera cargada.
E
q
K 2
R0
[54]
Esuperficie
Eint
En la Fig.36 se resumen los módulos de las
intensidades de campo en los tres casos: en el
interior, en la superficie y en el exterior.
Los resultados anteriores se podrían obtener
integrando la ley de Coulomb de la intensidad del
campo eléctrico para distribuciones (expresión [25]),
pero como se puede intuir, sería un procedimiento
bastante más difícil que el que se ha utilizado aquí.
Eext
R
R0
Fig.36
10.4. Campo eléctrico creado por una lámina dieléctrica cargada, plana e infinita
La carga neta estará distribuida en ambas superficies de la lámina, y por ser ésta infinita, la densidad
superficial de carga será uniforme, siendo la carga neta contenida en una superficie S la que se obtiene
por la expresión q = σ S .
Por simetría –recuérdese que la lámina es plana e infinita– (véase
el Ejemplo 3 en el que se deduce que no existe componente del
r
campo paralela a la distribución lineal de carga) sólo existe r
E
E
componente del campo en la dirección perpendicular a la lámina.
En la Fig.37 se representa la lámina vista de perfil (supuesta
infinita), con la carga neta supuesta positiva, distribuida
Fig.37
uniformemente a lo largo de la superficie. Se origina un campo
eléctrico, representado en dicha figura por unas cuantas líneas de
campo, normales a la lámina, estando determinado así tanto la dirección como el sentido del campo
eléctrico a ambos lados de la lámina, por lo que sólo queda por determinar su módulo.
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Campo electrostático S 28
r
dSlateral
Nos basaremos en
la ley de Gauss para
determinar el módulo
σ
del campo eléctrico,
r
para lo cual se
r
dS base
derecha
escogerá
u n a dS base
izquierda
superficie gaussiana
r
a de c ua da , por
r
E
E
ejemplo, un cilindro
de base S, normal a la
lámina, y tal que ésta
divide al cilindro en
Fig.38
dos partes iguales
(Fig.38). Puesto que las dos bases extremas del cilindro están a la misma distancia de la lámina, el
módulo de la intensidad de campo será igual para las dos bases.
Aplicando la ley de Gauss:
r r qint
E
⋅ dS =
∫
ε0
super.cilindro
[55]
siendo qint = σ S la carga neta de la superficie S cortada por el cilindro. Puesto que la superficie
cerrada del cilindro está formada por una superficie lateral y por dos bases de los extremos, la integral
de superficie cerrada a lo largo del cilindro de la ley de Gauss se descompondrá en tres integrales:
r r
E ⋅ dS base
∫
+
izquierda
base
izquierda
∫
r r
E ⋅ dSbase
+
derecha
base
derecha
r r
σS
E
⋅
d
S
=
∫
lateral
ε0
lateral
[56]
La tercera integral de [56] es nula por ser la intensidad de campo perpendicular al elemento de
∫
superficie lateral:
r r
E ⋅ dSlateral =
lateral
∫ E ⋅ dS
lateral
⋅ cos 90º = 0 .
lateral
En las dos primeras integrales de [56], la intensidad de campo y el elemento de superficie de la base
son paralelos y ambos tienen el mismo sentido. Además, como se vio antes, el módulo de la intensidad
del campo es constante en toda la superficie de la base, por lo cual cada una de las dos primeras
integrales de [56] se puede escribir como:
∫
r r
E ⋅ dSbase =
base
∫
base
E ⋅ dSbase ⋅ cos 0º = E ∫ dSbase = E ⋅ S
[57]
base
y como son dos las integrales con el mismo resultado, se tiene:
2 ES =
σS
ε0
[58]
de donde el módulo de la intensidad del campo eléctrico a ambos lados de la lámina está dado por
E=
σ
2ε 0
[59]
Del resultado, que se utilizará en la unidad Capacidad y condensadores para calcular el campo
eléctrico en el interior de un condensador plano (aunque allí se aplicará a una lámina conductora), se
deduce que el módulo del campo eléctrico es constante: no depende de la distancia del punto en el que
calculamos el campo a la lámina.
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Campo electrostático S 29
Se obtiene así una región del espacio de campo eléctrico uniforme,
r
en la cual E = cte , es decir, la intensidad de campo es constante en
dirección, módulo y sentido. Estos campos eléctricos se visualizan,
como era de esperar, por líneas de campo paralelas entre si (Fig.39).
r
E
Fig.39
En la práctica, las láminas son de extensión finita
por lo que la densidad de carga no será exactamente
uniforme y las líneas de campo, por tanto, no serán
paralelas. De todas formas, el análisis anterior es
aplicable en buena aproximación a estas láminas
finitas cuando se analiza el campo eléctrico en la zona
central de la lámina y a distancias pequeñas de ésta
comparada con las dimensiones de la misma. Así, en
la Fig.40 se dispusieron 21 cargas positivas iguales en
línea y en equilibrio electrostático (las cargas de los
Fig.40
extremos están fijas en los extremos de un segmento
soporte y las cargas interiores situadas de tal forma
que la intensidad de campo en cada una de ellas es nula. En esta situación, la energía potencial eléctrica
del sistema de cargas Sconcepto que se verá más adelanteS es mínima), y se representaron dos líneas
de campo por carga para simular el comportamiento del campo eléctrico producido por una lámina
horizontal finita, vista de perfil.
10.5. Campo eléctrico y distribución de carga en un conductor en equilibrio electrostático
Un medio conductor permite la movilidad de portadores de carga, tanto de la carga libre (un electrón
como mínimo por átomo en metales, iones en disoluciones electrolíticas, etc.) como de la carga neta
(exceso de carga). Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando no hay movimiento
neto de la carga (tanto libre como neta) dentro del conductor.
Pues bien, un conductor en equilibrio electrostático tiene cuatro propiedades muy importantes. En
este apartado se deducirán las tres primeras y en el apartado 14.3 la restante.
• La primera propiedad dice que el campo eléctrico es nulo en todo punto interior a un conductor
en equilibrio electrostático, es decir:
r
E int = 0
[60]
pues si el campo interno no fuese nulo, ejercería una fuerza eléctrica sobre cualquier carga (tanto libre
como neta) del interior del conductor, contradiciendo la condición de equilibrio electrostático que
hemos impuesto. Si el conductor sólo contiene carga libre (es neutro, no está cargado), dicha carga libre
se encontrará distribuida uniformemente por todo el volumen del conductor.
• La segunda propiedad se refiere a los conductores cargados
en equilibrio electrostático: la carga neta se encuentra en la
superficie.
En la Fig.41 se representa la sección transversal de un
conductor con carga neta de geometría arbitraria y una
superficie gaussiana (línea a trazos) exactamente en el borde
interno de la superficie del conductor. Puesto que el campo
interno es nulo, también lo es en todos los puntos de la
superficie gaussiana, pues ésta es interna al conductor. Así, en
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S
r
Eint. = 0
Fig.41
Campo electrostático S 30
cualquier parte de la superficie gaussiana tendremos
ley de Gauss:
r r
E ⋅ dS = 0 , con un flujo neto nulo. Al aplicar la
r r q neta int.
E
∫ ⋅ dS = ε 0 = 0
super.
[61]
gaussiana
por ser el integrando nulo, lo que exige que la carga neta interior al conductor sea nula,
[62]
q neta int. = 0
resultado que se puede deducir intuitivamente al considerar el
hecho de que cargas iguales se repelen.
Si la carga neta no se encuentra en el volumen interno del
conductor, la única solución es que se encuentre en la
superficie del mismo (Fig.42), originando una densidad
superficial de carga σ uniforme en conductores con simetría
esférica, variable a lo largo de la superficie del conductor en
otros casos tal que la carga tiende a concentrarse en regiones
donde la curvatura de la superficie es mayor.
qneta int.=0
Fig.42
• La tercera propiedad hace referencia a las propiedades del campo justo fuera de la superficie del
conductor con carga neta en equilibrio electrostático: no existe componente tangencial del campo a lo
largo de la superficie, sólo existe componente normal con valor
σ
.
ε0
En el exterior del conductor existirá un campo eléctrico originado por la densidad superficial de
carga neta. Ahora nos interesaremos por las características de dicho campo, fundamentalmente sobre
la superficie externa del conductor.
r
En
En la Fig.43a se muestra una
r
intensidad de campo E en un punto
cualquiera de la superficie externa y
que forma un cierto ángulo con la
misma. Esta intensidad se puede
descomponer en dos componentes:
r
una normal a la superficie, En y
r
otra tangente, Et . Esta última
r
E
dS
r
E
r
Et
a
b
Fig.43
componente representa una
intensidad de campo a lo largo de la superficie del conductor, es decir, que la carga neta de la superficie
estaría sometida a una fuerza eléctrica a lo largo de la superficie, lo que representa una movilidad de
dicha carga por la superficie, violando la condición de equilibrio electrostático. Se deduce así que la
intensidad del campo eléctrico en la superficie externa del conductor tiene que ser normal a la misma,
r
no pudiendo existir componente tangencial: E t = 0 . Una vez conocida la dirección de la intensidad
de campo en la superficie, analicemos su módulo. En la Fig.43b se muestra una superficie gaussiana
cilíndrica que es atravesada por la superficie del conductor que contiene un elemento de carga neta
r
dq = σ ⋅ dS , cilindro con una base de superficie elemental dS lo suficientemente pequeña para que
las líneas de campo sean paralelas y el módulo del campo constante. Aplicando la ley de Gauss en
forma diferencial:
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Campo electrostático S 31
E n super. ext.dS =
σ ⋅ dS
ε0
[63]
de donde se obtiene el módulo de la intensidad de campo en la superficie externa del conductor:
E n super. ext. =
σ
ε0
[64]
siendo la intensidad de campo normal a la superficie del conductor y directamente proporcional a la
densidad de carga local neta (la densidad de carga neta no tiene porque ser constante a lo largo de toda
la superficie por lo que En tampoco).
En las proximidades del exterior de la superficie del conductor tendremos una densidad de líneas
de campo que será tanto mayor cuanto más grande sea dicha densidad de carga.
Es interesante notar que se obtuvieron conclusiones importantes sobre la carga y el campo eléctrico
para este ejemplo (más adelante se obtendrán las relativas al potencial eléctrico) aplicando la ley de
Gauss a un caso que carece completamente de simetría, conclusiones que no se pueden obtener
aplicando la ley de Coulomb porque para aplicarla se necesita conocer cómo está distribuida la carga
eléctrica.
Dejaremos para el apartado 14.4 el análisis, también de un conductor con carga neta en equilibrio
electrostático, pero con una cavidad interna, pues se necesita el concepto de potencial eléctrico.
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Campo electrostático S 32
11. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA
En esta segunda parte de la unidad se hará un tratamiento escalar del campo electrostático que nos
dará un punto de vista complementario al tratamiento vectorial que se realizó hasta ahora. El enfoque
escalar, a través de los conceptos energía potencial eléctrica y potencial electrostático, aportará una
mejor comprensión de los fenómenos relacionados con los campos electrostáticos y una nueva
herramienta para la resolución de determinados problemas utilizando las relaciones de energía.
r
11.1. Variación de la energía potencial
Fei sobre j
eléctrica
A
qj
B
Consideremos dos cargas eléctricas puntuales
r
(Fig. 44, en la que qi y qj tienen el mismo signo):
dR
r
r
RA
qi fija mediante algún tipo de fuerza no
R
r
representada en la figura, y qj que se mueve desde
R
r
B
la posición A hasta la posición B bajo la acción
R0
únicamente de la fuerza eléctrica de qi sobre qj.
Puesto que qj experimenta un desplazamiento por
acción de una fuerza eléctrica, ésta realiza trabajo qi
eléctrico sobre qj. Este trabajo, al tener en cuenta
Fig.44
que la fuerza eléctrica es conservativa, se puede
expresar como una disminución de la energía
potencial eléctrica, Ue:
Wque realiza Fre i sobre j =
para desplazar q j
desde A hasta B
∫
r
RB
r
RA
r
r
Fei sobre j ⋅ dR = − ∆ U e = U eA − U eB
[65]
Nótese, tal como se indica en la expresión, que al moverse qj bajo la acción de una fuerza de campo
conservativo, la energía potencial de qj disminuye (signo negativo delante de ∆Ue). Puesto que la
energía mecánica tiene que mantenerse constante cuando las únicas fuerzas que realizan trabajo son
conservativas, si disminuye la energía potencial de qj, su energía cinética aumentará.
La integral de la expresión anterior, semejante a la obtenida en el campo gravitatorio, al substituir
r
r
la expresión de la fuerza eléctrica dada por la ley de Coulomb y al tener en cuenta que R0 ⋅ dR = dR
(demostrado cuando se calculó la energía potencial gravitatoria), es:
∫
r
RB
r
RA
r
r
r
r
r
RB R
RB dR
 1
1 
Fei sobre j ⋅ dR = Kqi q j ∫ r 02 dR = Kqi q j ∫
=
Kq
q

−

i j
RA R
RA R 2
 RA RB 
[66]
por lo que la disminución de energía potencial eléctrica queda:
 1
1
− ∆ U e = U eA − U eB = Kqi q j 
−

 RA RB 
[67]
es decir, en función de las posiciones inicial y final de qj sin que importe el camino seguido por qj al
pasar de A a B, tal como era de esperar por proceder de un campo conservativo.
Para que qj realice el camino inverso (de B a A, en el supuesto dado en la Fig.44 en la cual qi y qj
tienen el mismo signo) tendremos que aplicar sobre qj una fuerza externa que compense a la fuerza
eléctrica (tardando por tanto un tiempo infinito en el proceso) que actúa sobre qj. En este caso
realizamos un trabajo sobre qj en contra de la fuerza eléctrica del campo, incrementando la energía
potencial eléctrica de qj. Este trabajo externo sobre qj es:
Wque realiza Fr
= Wque realiza Fr
= − ∆ U e = − (U eB − U eA )
[68]
externa sobre q j
para desplazar q j desde
B hasta A
ei sobre j
para desplazar q j
desde A hasta B
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Campo electrostático S 33
11.2. Energía potencial eléctrica de un sistema de dos cargas puntuales (o equivalentes)
Habitualmente se trabaja con energías potenciales U, en lugar de las variaciones de energía
potencial. Puesto que la física clásica a lo sumo permite calcular variaciones de energía potencial y no
sus valores absolutos, lo que se hace es definir una energía potencial de referencia, siendo lo usual
tomar energía potencial nula cuando la distancia de separación es infinita.
Así, hagamos que qj se desplace desde A hasta el infinito y hagamos U4 = 0 (podría tomar otro valor
cualquiera, pero sería molesto arrastrar dicho valor en los cálculos). Para ello basta con substituir RB
por 4 en la expresión de la variación de la energía potencial:
 1
1
U eA − 0 = Kqi q j 
− 
 RA ∞ 
[69]
es decir:
U eA = K
qi q j
[70]
RA
expresión que podemos reescribir sin hacer referencia al punto concreto A como:
Ue = K
qi q j
tomando U e = 0 para R = ∞
Rij
[71]
siendo Rij la distancia (valor siempre positivo por ser un módulo) entre qi y qj. Esta expresión es válida
para cargas puntuales o distribuciones esféricas de carga en las condiciones señaladas para la ley de
Coulomb de la fuerza eléctrica (apartado 4.1.a).
Ue
Téngase en cuenta que la Ue dada por la
qi·qj > 0
expresión [71] es una energía potencial eléctrica
relativa a la referencia energía potencial eléctrica
nula cuando las cargas están separadas una
qi
distancia infinita, aunque a menudo no se explicite
Rij
el adjetivo “relativa”.
qi·qj < 0
En cuanto al significado de Ue podemos
interpretarlo como el trabajo realizado por el campo
Fig.45
eléctrico cuando la carga qj se desplaza desde la
posición Rij hasta el infinito, manteniendo fija a qi:
U e = Wque realiza Fre
i sobre j
para desplazar q j
desde Rij de qi hasta el ∞
=
∫
∞
r
Rij
r
r
Fei sobre j dR
[72]
Pero también admite la interpretación inversa respecto a la carga que se mueve: el trabajo realizado
por el campo eléctrico cuando la carga qi se desplaza desde la posición Rij hasta el infinito, manteniendo
fija a qj. En ambos casos, independientemente del camino seguido por la carga que en ese momento se
mueve.
La simetría anterior permite considerar a Ue como la energía potencial eléctrica relativa mutua del
sistema formado por dos cargas, en vez de asignarla a una u otra carga, es decir, compartida por las dos
cargas. En este sentido, Ue representa el trabajo que realiza el campo eléctrico para deshacer la
distribución de cargas: desde una situación inicial en la que están separadas por una distancia Rij entre
ellas a una situación final en la que están separadas por una distancia infinita, en donde se ha tomado
la referencia de energía potencial nula. Por tanto SUe representará el trabajo externo que tendremos que
realizar sobre las dos cargas para aproximarlas (desde una situación inicial de no interacción Sdistancia
de separación infinitaS hasta una distancia de separación Rij).
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Campo electrostático S 34
En cuanto a los valores numéricos de Ue, pueden ser:
• Positivos, cuando las cargas tienen el mismo signo: qiAqj > 0. En este caso Ue disminuye al
aumentar la separación entre cargas. Esto es coherente, pues las cargas se repelen y evolucionan,
bajo la acción del campo, hacia energías potenciales menores.
• Nulos, cuando la distancia de separación entre cargas es infinita.
• Negativos, si las cargas tienen distinto signo: qiAqj < 0. En este caso Ue disminuye (con valores
negativos) al aproximarse las cargas, ya que se atraen.
En la Fig.45 están representadas la características citadas anteriormente.
11.3. Energía potencial eléctrica de un sistema de n cargas puntuales (o equivalentes)
Comenzaremos con un caso concreto: Reuniendo tres cargas puntuales (supongamos todas ellas
positivas) en varias etapas para configurar un sistema de dichas cargas (Fig.46), analizando en cada una
de las etapas la energía potencial del sistema.
En primer lugar supongamos que tenemos una carga puntual fija q1. A continuación traemos la carga
q2 desde el infinito hasta la distancia R12 de q1 y fijamos q2 en esa posición. En este proceso se realizó
trabajo externo sobre q2, pasando de ser nula la energía potencial inicial (q1 y q2 estaban separadas por
una distancia infinita), a adquirir el sistema una energía potencial (relativa) Ue12:
U e12 = K
q1q 2
R12
[73]
En la siguiente etapa traemos q3 desde el infinito a las
proximidades de q1 y q2 y fijamos q3 en una posición tal que las
distancias a q1 y q2 son respectivamente R13 y R23. En este proceso
se realizó trabajo externo sobre q3 para vencer la repulsión de q1
y q2, por lo que la energía potencial del sistema aumenta en Ue13
+ Ue23:
U e13 + U e23
q1q3
q2q3
= K
+ K
R13
R23
q1
R12
q2
R 13
R 23
[74]
q3
La energía potencial eléctrica total del sistema formado por las
tres cargas, queda finalmente:
U e = U e12 + U e13 + U e23
q1q 2
q1q 3
q2q3
= K
+K
+K
7[5]
R12
R13
R23
Fig.46
resultado que es independiente del orden seguido en la colocación de las cargas. En este caso el orden
fue 1, 2 y 3. El resultado sería el mismo si comenzáramos por la carga 3, después la 1 y finalmente la
2. Se debe tener en cuenta, además, que el proceso de llevar cada una de las cargas desde el infinito
hasta su posición en el sistema se debe realizar lentamente, de tal forma que siempre estén en equilibrio
las fuerzas eléctricas y mecánicas. Así no existe aceleración y, por tanto, se prescinde de la variación
en la energía cinética.
Generalizando el procedimiento, incluyendo a cargas de cualquier signo, la energía potencial
eléctrica (relativa) de un sistema formado por n cargas puntuales (o equivalentes) es:
Ue =
∑
todos los
pares
U eij = K
∑
todos los
pares
qi q j
Rij
[76]
que representa el trabajo externo que debemos realizar para formar el sistema de n cargas o el trabajo
que realiza el campo eléctrico para romper (llevar las cargas desde sus posiciones en el sistema hasta
una separación infinita entre ellas) el sistema de n cargas.
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Campo electrostático S 35
Otra forma equivalente a la expresión [76] es:
n q
1 n n
1 n n qi q j 1 n
j
U e = ∑ ∑ U eij = K ∑ ∑
= K ∑ qi ∑
2 i =1 j =1
2 i =1 j = 1 Rij
2 i =1 j =1 Rij
j≠i
j≠i
en donde se ha introducido el factor
[77]
j≠i
1
porque las parejas están contabilizadas dos veces (una como
2
ij y la otra como ji).
Otra forma alternativa:
n −1
Ue = K∑
n
∑
i =1 j =i +1
qi q j
[78]
Rij
Ejemplo 5
Calcular la energía potencial del sistema de cuatro cargas puntuales
q1 = 2 nC, q2 = 4 nC, q3 = S8 nC y q4 = S3 nC fijas en los puntos (S1,
0), (0, S1), (0, 1) y (1, 0) m respectivamente del plano xSy. El medio es
el vacío.
Aplicamos la expresión [76] a este caso, analizando el número de q1
todas las posibles parejas (sin repetición), en este caso seis, siendo la
energía potencial relativa del sistema:
Ue = Ue12 + Ue13 + Ue14 + Ue23 + Ue24 + Ue34
q q
qq
qq
qq
qq
qq 
Ue = K 1 2 + 1 3 + 1 4 + 2 3 + 2 4 + 3 4 
R13
R14
R23
R24
R34 
 R12
y
q3
q4 x
q2
Fig.47
siendo las distancias:
R12 = R13 = R24 = R34 =
2
y
R14 = R23 = 2
Substituyendo estas distancias y los valores de las cargas (incluyendo el signo) en la expresión de
Ue se obtiene:
 2 ⋅ 4 2 ⋅ ( − 8) 2 ⋅ ( − 3) 4 ⋅ ( − 8) 4 ⋅ ( − 3) ( − 8) ⋅ ( − 3)  − 9
U e = 9 ⋅ 109 
+
+
+
+
+
10 ⋅ 10 − 9

2
2
2
2
2
 2

Ue = S145,5A10S9 J
que representa el trabajo que realizan las fuerzas del campo eléctrico para romper el sistema de cargas.
Como el resultado es negativo, el sistema es más estable que el de referencia (separación infinita, en
la cual se tomó energía potencial cero). Por ello, para romper el sistema tenemos que realizar trabajo
externo.
12. POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
La descripción vectorial del campo eléctrico la realizábamos a través de dos magnitudes: una, la
fuerza eléctrica, que depende de dos cargas, y la otra, la intensidad del campo eléctrico, que depende
de la carga fuente. Pues bien, en el tratamiento escalar realizado hasta aquí se ha encontrado la energía
potencial eléctrica, que depende de dos cargas, es decir, el equivalente a la fuerza eléctrica en la
descripción vectorial. Nos falta, entonces, la magnitud escalar que dependa de una sola carga, esto es,
el potencial electrostático. Para deducirlo, seguiremos un camino similar al de la obtención de la
intensidad de campo a partir de la fuerza: obteníamos la intensidad de campo dividiendo la fuerza sobre
la carga de prueba entre la carga de prueba.
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Campo electrostático S 36
12.1. Potencial electrostático
Hagamos lo mismo aquí: la energía potencial eléctrica (relativa) de un sistema formado por dos
cargas puntuales, q y qp, separadas una distancia R es:
Ue = K
qq p
[79]
R
Definimos el potencial electrostático (o potencial escalar ) V como la energía potencial eléctrica por
unidad de carga de la carga de prueba:
V =
Ue
qp
[80]
por lo que al dividir [79] entre qp se obtiene
V = K
q
R
tomando V = 0 para R = ∞
[81]
que nos da el potencial electrostático relativo V
originado por una carga puntual fuente q (o una
q>0
distribución esférica de carga en las mismas
condiciones que para la intensidad de campo) a una
distancia R de la misma. Nótese que el potencial
q
eléctrico depende únicamente de la carga fuente q (y el
signo de dicho potencial en un punto del espacio es
q<0
igual al signo de la carga que lo crea) aun cuando la
carga de prueba qp intervino en la definición de V. Esto
también sucedía en la definición de la intensidad de
campo eléctrico.
R
Fig.48
En la Fig.48 se representa la dependencia de V con el signo de la carga fuente q y la distancia R. El
potencial se hace nulo a una distancia infinita de la carga fuente, pues así se ha definido la referencia.
En cuanto al signo, cargas fuente positivas originan potenciales positivos y cargas fuente negativas
originan potenciales negativos.
V>0
r
E
+q
r
E
+qp
- qp
-q
+qp
- qp
V<0
a
b
Fig.49
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Campo electrostático S 37
En los casos de la Fig.49 se indican los sentidos en los que se mueven cargas de prueba de distintos
signos en presencia de una carga fuente fija también de distintos signos: sentido que se deduce
fácilmente analizando el tipo de fuerza (atractiva o repulsiva) que ejerce la carga fuente sobre la de
prueba. Se obtiene:
Las cargas de prueba positivas al abandonarlas en un campo eléctrico, se
mueven hacia potenciales decrecientes (y en el mismo sentido que las líneas de
campo).
Las cargas de prueba negativas al abandonarlas en un campo eléctrico, se
mueven hacia potenciales crecientes (y en sentido contrario a las líneas de
campo).
conclusiones que son independientes del signo de la carga fuente q. En cualquier caso, las cargas de
prueba (independientemente del signo) evolucionan libremente hacia energías potenciales menores.
Además:
Las líneas del campo eléctrico señalan en la dirección en la que disminuye el
potencial eléctrico.
conclusión a la que se volverá sobre ella cuando se analice la relación entre diferencia de potencial e
intensidad de campo eléctrico.
Teniendo en cuenta la definición de V (expresión [80]) y la expresión [72] obtenemos la
interpretación del potencial eléctrico en un punto: representa el trabajo eléctrico por unidad de carga
de prueba positiva que realiza el campo eléctrico sobre dicha carga para trasladarla desde el citado
punto hasta el infinito:
Wque realiza Fre
V =
sobre q p
para desplazar q p desde
la posicion R hasta el ∞
qp
=
Ue
1
=
qp qp
∫
∞
r
R
r
r
Fesobre q p dR
[82]
Así, el campo eléctrico originado por toda carga eléctrica se puede describir de forma vectorial a
través de la intensidad del campo eléctrico, o de forma escalar, a través del potencial electrostático con
ventajas de cálculo respecto al planteamiento vectorial en determinados problemas.
Si en un punto del espacio conocemos (bien porque lo calculamos a partir de las cargas fuente o bien
porque ya es conocido) el valor del potencial eléctrico, podemos calcular fácilmente la energía potencial
de una carga de prueba qp que coloquemos en dicho punto, simplemente (a partir de la definición de
potencial, expresión [80]) multiplicando la carga de prueba por el potencial en el punto en cuestión:
U e = q pV
[83]
procedimiento en dos etapas similar al analizado en el planteamiento vectorial (calcular la fuerza
eléctrica sobre una carga a partir de la intensidad de campo en la posición de la carga) y con las ventajas
ya señaladas. Los signos de U y V no tienen porque ser el mismo, pues depende del signo de la carga
de prueba.
La expresión diferencial equivalente a la [83], para carga constante, es
dU e = q p dV
[84]
que nos da la variación infinitesimal en la energía potencial eléctrica experimentada por una carga de
prueba cuando se mueve entre dos puntos con una variación infinitesimal del potencial eléctrico.
La unidad de potencial eléctrico en el S.I. es de julio por culombio (J/C, véase la expresión [80]),
que se denomina voltio, en honor del físico italiano Alessandro Volta (1745S1827), inventor de la pila
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Campo electrostático S 38
voltaica y del precursor del voltímetro moderno, siendo su símbolo V.
12.2. Relación entre trabajo eléctrico y diferencia de potencial electrostático
A partir de las expresiones [65] y [83] se obtiene fácilmente la relación entre ambas magnitudes:
Sea una carga de prueba qp que se mueve bajo la acción del campo eléctrico desde el punto A con un
potencial eléctrico relativo VA, hasta el punto B con un VB. Esta carga de prueba tendrá una energía
potencial eléctrica relativa en A que es (por la expresión [83]) U eA = q pVA . Cuando llega a B tendrá
en esa posición una energía potencial eléctrica relativa U e = q pVB . Substituyendo estas energías
B
potenciales en la expresión [65] se obtiene:
Wque realiza Fre
sobre q p
= − ∆ U e = U eA − U eB = q pVA − q pVB = q p (VA − VB )
[85]
para desplazar q p
desde A hasta B
es decir, el trabajo eléctrico realizado por el campo eléctrico es, en función de la diferencia de potencial:
Wque realiza Fre
sobre q p
= q p (VA − VB ) = − q p ∆ V
[86]
para desplazar q p
desde A hasta B
siendo su expresión diferencial
dWque
r
realiza Fe sobre q
p
para desplazar q p
desde A hasta B
= − q p dV
[87]
A la diferencia de potencial eléctrico (ddp) entre dos puntos también se le denomina, tensión
eléctrica (o voltaje). Nótese que la física permite obtener diferencias de potencial, no potenciales
absolutos. Así, para una pila de 1,5 V, la diferencia de potencial eléctrico entre bornes es de 1,5 V. No
sabemos cuánto vale el potencial eléctrico en cada borne, auque podemos asignar 0 V al borne negativo
y 1,5 V al positivo (el borne positivo tiene siempre potencial eléctrico más alto que el negativo), pero
serían valores relativos: es decir, también podríamos asignar 12 V al negativo y 13,5 V (12 + 1,5) al
positivo.
Observemos, a partir de la expresión [86], que si una carga de prueba de 1 C se mueve entre dos
puntos con una diferencia de potencial de 1 V, el trabajo realizado sobre dicha carga es de 1 J.
El trabajo a realizar por una fuerza externa que se oponga a la fuerza del campo será
Wque realiza Fr
externa sobre q p
= q p (VB − VA ) = q p ∆ V
[88]
paradesplazar q p
desde A hasta B
Ejemplo 6
La separación más probable entre el electrón y el núcleo del hidrógeno (un protón) es R = 5,29A10S11
m. La carga del electrón es S1,60A10S19 C.
a. Calcular el potencial eléctrico V a una distancia R del protón.
b. Calcular la energía potencial eléctrica Ue del átomo.
a. La carga del protón es qp+ = +e. El potencial eléctrico V originado por el protón a una distancia R es,
empleando la expresión [81] por considerar al protón como carga puntual:
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Campo electrostático S 39
V = K
q p+
R
= 27,2 V
b. Ahora colocamos el electrón (carga de prueba) a una distancia R del protón y calculamos la energía
potencial eléctrica (relativa) del sistema protónSelectrón utilizando la expresión [83]:
Ue = qpAV = qeSAV = S1,60A10S19 CA27,2 V = S4,36A10S18 J
Este es un ejemplo en donde el potencial y la energía potencial tienen distinto signo. También se
pone de manifiesto el procedimiento en dos etapas para calcular la energía potencial: primero se calcula
el potencial en un punto y después se coloca en dicho punto la carga de prueba para calcular su energía
potencial.
12.3. El electrónS
S voltio como unidad de energía
Como se deduce del ejemplo anterior, el julio es una unidad demasiado grande para expresar
energías típicas de sistemas atómicos. Por ello es conveniente utilizar otra unidad de energía en la física
y química atómica y nuclear, esto es, el electrónSvoltio (su símbolo es eV) tal que 1 eV es la energía
de una carga positiva cuya magnitud es la carga de un electrón, en una posición donde el potencial
eléctrico tiene el valor de 1 voltio (recordar la expresión [83]: U e = q pV ).
La relación entre el eV y el J es fácil de calcular teniendo en cuenta dicha expresión [83] y la carga
del electrón:
1 eV = 1 eA1 V = 1,60A10S19 CA1 V
o
1 eV = 1,60A10S19 J
[89]
Así, la energía potencial del resultado del ejemplo anterior corresponde a S27,2 eV.
13. RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES VECTORIALES Y MAGNITUDES ESCALARES EN
EL CAMPO ELÉCTRICO
Volviendo a la expresión [60] y reescribiéndola de una forma más simple tenemos:
r
RB
r
RA
r
r
∆ U e = − ∫ Fe ⋅ dR
[90]
obteniendo su forma diferencial derivando:
r r
dU e = − Fe dR
[91]
r
que constituye la primera relación entre una magnitud escalar (Ue) y una magnitud vectorial ( Fe ).
Dividiendo ambos miembros entre la carga de prueba qp:
r
dU e
Fe r
= −
dR
qp
qp
[92]
Recordando la relación entre las variaciones infinitesimales de la energía potencial y el potencial
(expresión [84]) y la definición de intensidad del campo electrostático (expresión [17]), se obtiene la
segunda relación:
r r
dV = − E ⋅ dR
[93]
que nos da la variación infinitesimal del potencial eléctrico que ocurre en un desplazamiento
infinitesimal como el producto escalar de la intensidad del campo electrostático por el desplazamiento,
cambiando de signo.
Algunos de los aspectos implícitos en esta última relación se analizarán a continuación:
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Campo electrostático S 40
a. Relaciona la descripción vectorial con la escalar de los campos electrostáticos.
b. Puesto que la variación en la energía potencial entre dos posiciones no dependía del camino (o
trayectoria) seguido, tampoco dV dependerá del camino, puesto que dV fue definido a partir de dUe.
Por ello, la integral de la expresión [93] es:
r
RB
r
RA
r r
∆ V = − ∫ E ⋅dR
[94]
r
E , que no dependerá del camino, sino de las posiciones
r
inicial y final. Esto es consecuencia de que el campo electrostático, cuya intensidad es E , es un
llamada integral de línea o circulación de
campo conservativo. (Existen campos eléctricos cuyas integrales de línea no son independientes del
camino, por tanto son no conservativos. Estos campos están asociados normalmente a cargas que
se mueven muy rápidamente).
Evidentemente, dicha integral de línea a lo largo de una trayectoria cerrada será cero, puesto que
en este caso ∆ V = 0 ya que los puntos inicial y final coinciden y por tanto tienen el mismo
potencial:
r r
d
V
=
−
E
∫
∫ ⋅ dR = 0
[95]
De esta expresión y de la relación entre trabajo y potencial (expresión [86]) se deduce que un
campo eléctrico que actúe sobre una partícula cargada y ésta describa una trayectoria cerrada no
realiza trabajo sobre dicha partícula, y por tanto no varía su energía potencial eléctrica.
c. Al desplazarnos a lo largo y en el sentido de la línea de campo, el potencial disminuye y su variación
r
r
es máxima. Esto es así porque cuando E y dR son paralelos y tienen el mismo sentido, el
producto escalar de la expresión [93] toma el valor máximo. El potencial disminuye debido a la
presencia del signo negativo. A este resultado ya habíamos llegado anteriormente de una forma más
intuitiva.
d. El potencial eléctrico no varía si nos desplazamos perpendicularmente a la línea de campo. En este
r
r
caso E y dR son perpendiculares por lo cual su producto escalar será nulo, dV = 0 y en
consecuencia V = cte. Esto da lugar a la existencia de superficies equipotenciales (o
r
equipotenciales) en las cuales todos sus puntos tienen el mismo potencial eléctrico y en cada punto E
(y la línea de campo) es perpendicular a la superficie. Sobre este aspecto se volverá más adelante
cuando se representen equipotenciales.
e. La expresión [93] permite calcular potenciales eléctricos a partir del conocimiento de la intensidad
del campo eléctrico, aspecto que se aplicará en algún ejemplo. También permite el cálculo de la
intensidad del campo eléctrico a partir del potencial.
f. Se deduce una nueva unidad para la intensidad del campo eléctrico: la de
V
en el SI.
m
14. ALGUNOS EJEMPLOS DE OBTENCIÓN Y APLICACIÓN DEL POTENCIAL
ELECTROSTÁTICO
14.1. Potencial electrostático originado por una distribución discreta de cargas puntuales (o
equivalentes)
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Campo electrostático S 41
Supongamos una distribución de n cargas fuente: q1, q2, ..., qn fijas. Cada una de ellas origina en el
punto P un potencial eléctrico (así como una intensidad de campo eléctrico). El potencial eléctrico total
en el punto P es la suma escalar de los potenciales individuales (principio de superposición e
independencia aplicado al potencial eléctrico):
V = V1 + V2 + ... + Vn
[96]
es decir,
i=n
V =
∑V
i =1
[97]
i
Una justificación intuitiva de la aditividad de los potenciales eléctricos se fundamenta en la
aditividad de las energías potenciales. Una justificación más formal se puede obtener a partir de la
independencia y superposición de las fuerzas eléctricas que originan distintas cargas sobre una carga
de prueba y repetir todos los pasos desde la expresión [65].
Teniendo en cuenta que cada potencial eléctrico en P originado por qi está dado por la expresión
[81] ( Vi = K
qi
), el potencial total en P originado por una distribución finita de cargas fuente
Ri
puntuales (o equivalentes) vendrá dado por:
i =n
V =
∑V
i =1
i=n
i
= K∑
i =1
qi
Ri
[98]
siendo Ri la distancia desde la carga fuente qi al punto P.
Ejemplo 7
Sea una distribución de tres cargas puntuales q1 = 2 nC,
q2 = 4 nC y q3 = S8 nC fijas en los puntos (S1, 0), (0, S1)
y (0, 1) m respectivamente del plano xSy. El medio es el
vacío. Calcular:
a. El potencial eléctrico en el punto A(1, 0) m.
b. La energía potencial eléctrica de una carga de prueba
de S3 nC que colocamos en A.
c. El trabajo que realiza el campo para llevar dicha carga
de prueba desde A hasta B(2, 1) m.
y
q3
q1
a. Aplicando la expresión [98] y teniendo en cuenta que
R1 = 2 m y
es:
R2 = R3 =
B
2 m , el potencial total en A
A
x
q2
Fig.50
− 8
2 4
VA = 9 ⋅ 109  +
+
⋅ 10 − 9 = − 16,5 V

2
2
2
b. La energía potencial de la carga de prueba de S3 nC que se coloca en el punto A se obtiene por la
expresión [83]:
U e = q pVA = − 3 ⋅ 10 − 9 ⋅ ( − 16,5) = 49,4 ⋅ 10 − 9 J
que representa el trabajo que realiza el campo eléctrico de la distribución sobre la carga de prueba para
llevarla desde el punto A hasta el infinito.
Nótese que esta energía potencial eléctrica de una carga en un punto es distinta a la energía potencial
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Campo electrostático S 42
eléctrica del sistema de cargas (comparar con el resultado del ejemplo 5). Esto es así porque la primera
representa el trabajo que realiza el campo para llevar la carga de prueba desde esa posición hasta el
infinito, mientras que la segunda representa el trabajo que realiza el campo para llevar todas las cargas
desde sus posiciones en el sistema hasta el infinito.
c. El trabajo que realiza el campo para llevar una carga de prueba desde A hasta B se puede obtener
a partir de la expresión [86]:
W = q p (VA − VB )
para lo cual se necesita calcular antes VB procediendo de la misma manera que en el primer apartado
en el cual se calculó VA:
4
− 8
 2
VB = 9 ⋅ 10 9 
+
+
⋅ 10 − 9 = − 17,6 V

2 
8
 10
siendo entonces el trabajo realizado por el campo:
W = S3A10S9(S16,5 S (S17,6)) = S3,3A10S9 J
que al ser negativo, tendremos que aplicar una fuerza externa sobre la carga de prueba (negativa en este
caso) para llevarla desde A Spotencial altoS hasta B Spotencial bajoS (recordar que las cargas negativas
se mueven, al abandonarlas en un campo eléctrico, de potencial bajo a potencial alto).
14.2. Potencial eléctrico originado por una esfera dieléctrica con densidad volúmica de carga
constante
Aquí tenemos un caso de una distribución continua de carga eléctrica. Podemos considerar que cada
elemento de carga d q de la distribución contribuye con un elemento de potencial (a partir de la
expresión [81] en forma diferencial: dV = K
dq
) al potencial total en un punto P. Entonces el
R
potencial total en dicho punto se obtendrá integrando para toda la distribución:
V = K∫
dq
R
[99]
substituyendo dq por λ dl , σ dS o ρ dV según el caso.
También se puede obtener el potencial a partir de la intensidad del campo eléctrico, relación que
utilizaremos en esta aplicación, puesto que la intensidad de campo en el exterior y en el interior ya fue
calculada en el apartado 10.3 a partir de la ley de Gauss.
r
E
a. Puntos sobre la superficie de la esfera cargada y puntos externos
a ella: R $ R0 (Fig.51).
La intensidad del campo eléctrico está dada por el resultado
[51] que en forma vectorial es:
r
q r
E = K 2 R0
R
[100]
r
R
+q
R0
siendo q la carga total de la esfera y R0 el vector unitario en la
dirección del radio. Substituyendo en [93]:
q r r
Fig.51
[101]
2 R0 dR
R r r
y al tener en cuenta que R0 dR = dR , que q es constante e integrando en la región de validez de
dV = − K
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Campo electrostático S 43
la intensidad de campo (desde el infinito hasta una distancia R del centro de la esfera, tal que R $
R0):
dR
∞
∞ R2
q
 1 1
V − V∞ = Kq  −  = K
R
R ∞
∫
V
dV = − Kq ∫
R
[102]
[103]
y haciendo V4 = 0 se obtiene el potencial relativo para la superficie y el exterior de la esfera:
V = K
q
R
para R ≥ R0
[104]
expresión idéntica a la [81], tal como cabría esperar, pues, tanto a efectos de la intensidad de campo
como del potencial eléctricos en el exterior, la distribución esférica de carga se comporta como si
toda su carga se encontrase concentrada en el centro de la esfera.
b. Puntos interiores a la esfera cargada: R < R0 (Fig.52)
A partir de la intensidad de campo en el interior de la esfera (resultado [54])
y procediendo de la misma forma que para el exterior se obtiene, integrando
desde la superficie hasta una distancia R del centro:
∫
V
V(R0 )
dV = −
Kq R
R ⋅ dR
R03 ∫ R0
[105]
R0
qint
R r
E int
Fig.52
siendo el resultado un poco más complicado (téngase en cuenta que V(R0) es el potencial relativo
dado por [104] haciendo R = R0):
1 Kq 
R2 
V =
3− 2
2 R0 
R0 
para R ≤ R0
[106]
Nótese que, a diferencia de la intensidad de campo, el potencial en el interior no depende sólo
de la carga de la esfera de radio R interna, sino que también influye la carga de la capa externa.
En la Fig.53 se representan los potenciales en las distintas regiones de esta aplicación (carga neta
positiva):
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Campo electrostático S 44
V
3 q
K
2 R0
K
q
R0
R0
R
Fig.53
14.3. Potencial electrostático en un conductor cargado y en equilibrio electrostático
En el apartado 10.5, a partir de la necesidad de que el campo eléctrico en el interior de un conductor
en equilibrio electrostático debe ser nulo, se ha encontrado, aplicando la ley de Gauss, que la carga neta
se encuentra en la superficie y que la intensidad del campo en la superficie es perpendicular a la misma
y está dada por la expresión [64].
• Finalizaremos con la cuarta propiedad: todo conductor con carga neta en equilibrio electrostático
es una equipotencial.
r
Respecto al interior, al ser E int. = 0 , al substituir en la expresión [93]:
r
r
dVint. = − E int. ⋅ dR = 0
[107]
de donde se deduce que no existe variación de potencial en el interior del conductor, o lo que es lo
mismo, el potencial electrostático es constante en el interior de un conductor en equilibrio electrostático.
Respecto a la superficie, en donde se encuentra la carga neta que está en reposo, el potencial
electrostático tiene que ser constante a lo largo de toda la superficie, pues en caso contrario la carga neta
se desplazaría de un punto a otro de la superficie como consecuencia de una variación en el potencial.
A este resultado también se llega a partir de la expresión [93] escogiendo un desplazamiento
infinitesimal a lo largo de la superficie del conductor (tangente a la superficie) y teniendo en cuenta que
la intensidad de campo es normal a dicha superficie:
r
r
dVsuper. = − E n ⋅ dRtangente
a la super .
=0
[108]
siendo dVsuper. = 0 por ser nulo el producto escalar de dos
vectores perpendiculares entre si.
Pero, además, el potencial en el interior tiene que ser igual
al potencial en la superficie. Si no fuera así, otra vez más,
existiría desplazamiento de carga neta de la superficie al
interior (o viceversa, dependiendo del signo de la carga neta)
incumpliéndose la condición de equilibrio electrostático.
En resumen, un conductor en equilibrio electrostático
r
E
qneta int.=0
r
E int = 0
Vint = Vsuperficie = cte.
Fig.54
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Campo electrostático S 45
constituye un volumen equipotencial:
Vint. = Vsuperficie = cte.
[109]
En la Fig.54 se resumen los resultados encontrados relativos a la localización (en la superficie) de
la carga neta (supuesta positiva), a la intensidad de campo (nula en el interior, perpendicular a la
superficie en el exterior) y al potencial electrostático.
Ejemplo 8: Intensidad de campo y potencial electrostáticos en una esfera conductora cargada
a. Intensidad de campo electrostático
r
Ya conocemos que E int. = 0 .
Para la superficie y el exterior se puede calcular la intensidad de campo electrostático aplicando
la ley de Gauss tal como se hizo en el apartado 10.3. El resultado, es (expresión [51])
E ext . = K
q
para R $ R0
R2
con dirección radial, como era de esperar al tener en cuenta que la carga distribuida uniformemente
a lo largo de la superficie de la esfera se comporta como si fuese puntual y colocada en el centro de
la esfera.
Nótese que la intensidad de campo en la superficie es (substituyendo R por R0)
E super. = K
q
, conclusión a la que también se puede llegar a partir de la expresión [64] teniendo
R02
en cuenta que la densidad superficial de carga es constante (por tener el conductor simetría esférica)
y vale
σ =
q
q
=
.
S 4π R02
b. Potencial electrostático
El potencial en el exterior se puede calcular a partir de la intensidad de campo, tal como se
procedió en el apartado 14.2.a. El resultado, al que también se puede llegar al tener en cuenta la
expresión [81] en donde ya se indicaba que era válida para cargas puntuales y equivalentes
(distribuciones esféricas de cargas), es por tanto:
Vext. = K
q
R
para R $ R0
[110]
El potencial en la superficie y en el interior del conductor, dado que es el mismo en todos los
puntos, es:
Vint. = Vsuper. = K
q
R0
[111]
En la Fig.55 se resumen las conclusiones obtenidas respecto a la intensidad de campo y potencial
electrostáticos para un conductor esférico cargado y en equilibrio electrostático (con carga neta
positiva).
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Campo electrostático S 46
E
K
V
q
R02
K
R0
q
R0
R
R0
R
Fig.55
14.4. Conductor con carga neta en equilibrio electrostático y con cavidad
En la Fig.56 se representa la sección de un conductor de
V = cte
forma arbitraria con carga neta en equilibrio electrostático, al
qneta int.=0
que se le practicó una cavidad (también de forma arbitraria) sin
cargas. Ya sabemos que la carga neta está repartida por la
S
superficie externa y que el campo en el interior macizo del
r
E int = 0
conductor es nulo. Ahora se trata de encontrar las propiedades
eléctricas del interior de la cavidad y de la pared de la misma.
Rodeemos la cavidad por una superficie gaussiana S
(representada por línea a trazos en la figura) y apliquemos la
Fig.56
ley de Gauss: Puesto que la intensidad de campo es nula a lo
largo de toda la superficie S, la carga neta encerrada por S tiene que ser nula. Como dicha superficie S
puede hacerse coincidir con la pared de la cavidad, se deduce que la carga neta en la pared de la misma
es nula.
Bien, ya sabemos que la parte interna maciza del conductor y la pared de la cavidad no contienen
carga neta. Sin embargo, esto no prueba que toda la pared de la cavidad esté descargada: puede tener
carga positiva en unos puntos y negativa en otros tal que el
balance sea nulo. Vemos, pues, que la ley de Gauss no
proporciona la solución completa del problema.
Pero aún podemos continuar: supongamos que sí existe una
r
separación de cargas en la pared interna de la cavidad, al
A
dR
menos una zona con carga positiva en A y otra con negativa en
B
r
r
E
B, Fig.57, lo que originaría un campo eléctrico E en el
interior de la cavidad, con lo cual la diferencia de potencial
entre A y B sería, por la expresión [94]:
r
B r
VB − VA = − ∫ E ⋅ d R
[112]
A
Fig.57
y puesto que siempre es posible encontrar una trayectoria a lo
r
r
r
largo de la dirección de E entre A y B para la cual E ⋅ dR sea siempre positivo a lo largo de dicha
trayectoria, la integral anterior sería positiva y en consecuencia existiría una diferencia de potencial
distinta de cero entre A y B, estando en contradicción con la propiedad ya obtenida en el apartado
anterior de que todo el conductor constituye un volumen equipotencial. La única salida para resolver
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Campo electrostático S 47
la contradicción es que la integral sea cero, cualquiera que sea la trayectoria, para lo cual es necesario
que el campo en el interior sea cero y no exista separación de cargas en la pared de la cavidad.
En resumen: la carga neta se encuentra en la pared exterior del conductor, no existiendo campo
eléctrico en la cavidad (sin cargas en su interior) ni cargas en su pared.
14.5. Reparto de carga entre conductores
Cuando dos conductores (al menos uno de ellos con carga neta) se ponen en contacto externo, la
carga total inicial se reparte entre ambos en un proceso muy rápido hasta que al final los dos
conductores quedan al mismo potencial, condición necesaria para que exista equilibrio electrostático.
Respecto a la carga total inicial, ésta es la suma algebraica de las cargas de los conductores que se
ponen en contacto. Por ello, cuando inicialmente los conductores tienen cargas de distintos signos,
existe una neutralización parcial (o total si la cantidad de carga positiva es igual a la cantidad de carga
negativa).
Ejemplo 9. Reparto de carga entre conductores
Una esfera metálica A de radio 1,00 cm tiene una densidad superficial de carga de 3,98A10S4 C/m2.
Otra esfera B, muy alejada de la esfera A, de radio 1,50 cm tiene un potencial en su superficie de
S1,80A105 V. Se ponen en contacto y después se separan lo suficiente para que no exista influencia
electrostática. El medio es el vacío. Calcular la carga de cada esfera y el potencial electrostático en su
superficie.
La carga inicial de la esfera A, qAi, se calcula a partir de la densidad de carga superficial (la carga
está situada en la superficie por ser un metal en equilibrio electrostático y la distribución de carga es
uniforme por tener simetría esférica),
σA =
q Ai
q Ai
=
, de donde se obtiene qAi = +500 nC.
S A 4π R A2
La carga inicial de la esfera B, qBi, se obtiene a partir del potencial electrostático en la superficie de
dicha esfera (expresión [110]): VBsuperficie = K
q Bi
, resultando qBi = S300 nC.
RB
Cuando se ponen en contacto existe movilidad de carga eléctrica a lo largo de la superficie del
metal, siendo la carga neta (por conservación de la carga eléctrica): qneta = qAi + qBi = +500 nC S300 nC
= +200 nC (en este caso existe una neutralización parcial de la carga). Debido al traspaso de carga
eléctrica de una esfera a otra, el potencial electrostático de cada una de ellas se modifica tal que, por
el apartado 14.3, las dos esferas metálicas adquieren el mismo potencial constituyendo toda la superficie
metálica de las dos esferas una superficie equipotencial.
Al separar las esferas, la carga neta se reparte tal que (conservación de la carga):
qneta = qAf + qBf
[113]
siendo qAf y qBf la carga final de cada una de las esferas, de tal forma que cada una de ellas conserva el
potencial en su superficie que existía cuando estaban en contacto (el mismo potencial para las dos
esferas), por lo que se cumple también la siguiente igualdad para los potenciales finales en la superficie
de cada esfera cuando están lo suficientemente separadas una de la otra como para que no exista
influencia electrostática y por tanto la carga esté distribuida uniformemente en la superficie:
VAf = VBf
es decir:
K
q Af
RA
= K
q Bf
[114]
RB
Se resuelve el sistema de dos ecuaciones [113] y [114] obteniendo los valores finales:
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Campo electrostático S 48
qAf = 80 nC
qBf = 120 nC
VAf = VBf = 7,20A104 V
15. VISUALIZACIÓN DEL CAMPO ESCALAR DE POTENCIALES ELECTROSTÁTICOS
En el apartado 8 se analizó la representación de la descripción vectorial del campo eléctrico
mediante las líneas de campo. Se trata, ahora, de intentar representar el potencial electrostático.
15.1. Superficie equipotencial
En el apartado 13 que relaciona el potencial con la intensidad de campo
electrostáticos, concretamente en el punto d, se decía que al desplazarnos
perpendicularmente a la línea de campo, el potencial no varía. Supongamos una
superficie elemental dS orientada de tal forma que la intensidad del campo
eléctrico en el punto P es perpendicular a ella (Fig.58). Al desplazarnos de P a P’
r
(también en la superficie) a lo largo de dR se obtiene una variación de potencial
dV que está dada por la expresión [93],
r r
r
dV = − E ⋅ dR . Pero como dR es
r
perpendicular a E , el producto escalar de ambos vectores es nulo. Se concluye
r
E
r
dR
r
dS
P
P'
Fig.58
r
que el potencial V es constante sobre una superficie infinitesimal normal al campo eléctrico E .
La superficie sobre la cual el potencial eléctrico V posee siempre el mismo valor se denomina
superficie equipotencial (o simplemente equipotencial).
Lo anterior no se cumple sólo para superficies elementales, sino que también se cumple para
superficies no elementales, como veremos a continuación en algunos casos, extrayendo además algunas
conclusiones importantes.
El suelo se extiende hasta una distancia infinita con respecto a un sistema de cargas por lo que se
puede considerar como una superficie equipotencial y por ello es habitual escoger la referencia V = 0
en la superficie de la Tierra.
15.2. Carga puntual (o equivalente)
Hemos visto que el potencial eléctrico relativo de una carga puntual (o equivalente) está dado por
la expresión V
= K
q
. De ella se deduce que el potencial eléctrico tiene siempre el mismo valor a
R
lo largo de la superficie de una esfera de radio R centrada en la carga fuente, siendo por tanto dicha
superficie una equipotencial. De hecho, todas las superficies esféricas centradas en la carga fuente son
superficies equipotenciales. Puesto que estas superficies tridimensionales no son representables
directamente en el plano, la visualización se hará representando secciones transversales de las mismas,
obteniendo líneas equipotenciales. Así, en la Fig.59 están representadas varias líneas equipotenciales
(circulares en este caso, y equidistantes en valores del potencial) y algunas líneas de campo eléctrico
(terminan en punta de flecha) para una carga fuente puntual positiva de 1 nC en el vacío.
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Campo electrostático S 49
De la figura se pueden extraer
conclusiones generales, por otra
parte deducibles a partir de la
expresión [93]:
a. La intensidad de campo
eléctrico en un punto es siempre
perpendicular a la equipotencial
que pasa por dicho punto.
b. El sentido de la intensidad de
campo en un punto nos da el
sentido de máxima disminución
(debido al signo negativo de la
expresión [93]) del potencial
eléctrico.
V4
V3
+1 nC
V1 (1 cm) = 900 V
V2 (1,29 cm) = 700 V
V3 (1,8 cm) = 500 V
V4 (3 cm) = 300 V
V2
V1
Fig.59
c. El potencial eléctrico no varía a lo largo de una equipotencial (si seguimos el contorno de una curva
de nivel alrededor de una colina, mantendremos siempre la misma altura). Por ello, el campo
eléctrico no realiza trabajo sobre una carga de prueba cuando se desplaza a lo largo de la
equipotencial, y, en consecuencia, la variación de la energía potencial eléctrica de dicha carga de
prueba será nula (expresión [84]).
d. En las zonas con intensidad de campo eléctrico elevada (con mayor densidad de líneas de campo),
las equipotenciales están más próximas cuando se trazan con una diferencia de potencial fija entre
ellas.
15.3. Dipolo eléctrico
En la Fig.60 se representan algunas líneas de
campo (trazo grueso terminando en punta de flecha)
y algunas líneas equipotenciales (de trazo fino). La
equipotencial rectilínea equidistante a las cargas
(que corresponde a una superficie equipotencial
plana perpendicular al plano del papel) tiene un
potencial electrostático nulo, ya que todos sus
puntos son equidistantes a las cargas,
contribuyendo la carga positiva con potencial
positivo y la carga negativa con potencial negativo.
Las equipotenciales situadas a la izquierda de la
equipotencial rectilínea tienen potenciales
positivos. Las equipotenciales de la derecha tienen
potenciales negativos.
+q
-q
Fig.60
En la Fig.61a se muestra el potencial a lo largo
de la dirección que une a ambas cargas. En la Fig.61b se representa el potencial a lo largo del plano que
contiene a las cargas, estando truncado en las inmediaciones de dichas cargas.
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Campo electrostático S 50
V
+q
A
-q
a
b
Fig.61
Notar que en el punto A (señalado en la Fig.61a, equidistante a las dos cargas y en la dirección que
las une) se anula el potencial eléctrico, pero no así la intensidad del campo eléctrico.
15.4. Dos cargas iguales
V
+q
+q
1
+q
a
A
+q
b
Fig.62
En la Fig.62a se representan algunas líneas de campo y algunas equipotenciales para un sistema de
dos cargas puntuales iguales. En la Fig.62b se representa el potencial a lo largo de la dirección que une
a ambas cargas. Observar que el potencial no se anula en el punto A (señalado en la Fig.62b,
equidistante a las dos cargas y en la dirección que las une), sin embargo, la intensidad del campo
r
eléctrico si es nula en dicho punto, EA = 0 , y por la expresión [93], dVA = 0, por lo que VA
corresponde a un máximo o un mínimo, en este caso a un mínimo.
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Campo electrostático S 51
16. MÁS CONSIDERACIONES SOBRE EL EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO
Aunque el equilibrio electrostático (cargas eléctricas en reposo) ya se abordó al estudiar la
localización de la carga en un conductor, así como sus implicaciones en el campo y potencial
electrostáticos, en este apartado se tratará desde el punto de vista energético.
16.1. Energía potencial y equilibrio.
r
Toda fuerza conservativa (tal como la eléctrica, gravitatoria, elástica, etc), Fc , se relaciona con la
energía potencial U a través de la expresión ([91]):
r
r
Fc ⋅ dR = − dU
[115]
Supongamos un caso unidimensional, en la dirección x. La expresión anterior se convierte, ya en
formato escalar, en:
FcxAdx = SdU(x)
[116]
de donde
Fc x = −
dU ( x )
dx
[117]
(que constituye un procedimiento para calcular la fuerza a partir de la energía potencial en el caso
unidimensional).
Una partícula, cuyo movimiento está limitado a la dirección x, estará en equilibrio cuando la fuerza
sobre ella sea nula, Fcx = 0, lo que significa según la expresión [117] que U(x) es un máximo o un
mínimo para una posición x de equilibrio.
En la Fig.63 se representa una energía potencial U(x)
arbitraria U(x) de la partícula en función de la
B
posición de ésta a lo largo de la dirección x. Las
Fcx
Fc
x
posiciones A y B corresponden a posiciones de
equilibrio de la partícula, pues corresponden a un
mínimo y a un máximo, respectivamente, de U(x),
siendo Fcx = 0 tanto en A como en B.
Fcx
Fc x
El punto A corresponde a una posición de
A
equilibrio estable, pues si estando inicialmente la
x
partícula en A la desplazamos ligeramente hacia la
Fig.63
izquierda o hacia la derecha, la fuerza la devuelve a
la posición inicial, A.
El punto B corresponde a una posición de equilibrio inestable, pues si estando inicialmente la
partícula en B la desplazamos ligeramente hacia la izquierda o hacia la derecha, la fuerza la aleja de la
posición inicial, no retornando a ella.
16.2. Aplicación a la energía potencial electrostática
Una carga, o varias cargas, en un sistema de cargas, estará en equilibrio electrostático cuando la
energía potencial electrostática del sistema sea mínima.
Teniendo en cuenta que, a partir del último término de la expresión [77] que da la energía potencial
electrostática de un sistema de cargas, ésta se puede expresar en función del potencial electrostático
como
1 n
U e = K ∑ qiVi
2 i =1
[118]
siendo Vi el potencial electrostático en la posición de qi debido a todas las demás cargas. Para que Ue
sea mínima, el potencial Vi debido a todas las demás cargas en la posición de qi debe ser mínimo, y por
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Campo electrostático S 52
r
la expresión [93], la intensidad del campo eléctrico Ei debida a todas las demás cargas debe ser cero
y, en consecuencia, la fuerza eléctrica que ejercen todas las demás cargas sobre qi debe ser cero, siendo
estas últimas conclusiones evidentes puesto que la carga debe estar en reposo.
Resumiendo, cuando una carga sobre la cual actúan únicamente fuerzas eléctricas está en equilibrio,
se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
S La fuerza eléctrica total sobre dicha carga es cero.
S La intensidad del campo eléctrico en el punto en el que está la carga es cero.
S El potencial electrostático debido a las demás cargas en el punto en el que se encuentra la carga
debe ser mínimo.
Si sobre la carga actúan además fuerzas no eléctricas, alcanzará el equilibrio cuando la resultante
de las fuerzas eléctricas y no eléctricas sea nula.
Ejemplo 10
Una carga +q se fija en la posición A(0, 0). Una segunda carga +2q se fija en la posición B(1, 0).
a. Obtener la posición entre A y B que debe ocupar una tercera carga +q para que se encuentre en
equilibrio. Realizar el análisis desde el punto de vista de la energía potencial, del potencial y de la
intensidad de campo.
b. Calcular la fuerza mecánica a aplicar sobre la carga +2q para mantenerla fija en su posición.
Suponer que las distancias están dadas en metros, la unidad de carga q = 1 nC y están en el vacío.
a.1. Análisis a partir de la energía potencial
electrostática del sistema.
A
Situemos en un principio la tercera carga +q en
+q
la posición x (Fig.64). La energía potencial del
sistema quedará por tanto en función de la
coordenada x:
d
B
+2q
+q
x
x
(d-x)
Fig.64
2 
 q ⋅ q q ⋅ 2q q ⋅ 2q 
1 2
Ue = K
+
+
= Kq 2  + +

d
d − x
 x
 x d d − x 
Derivando Ue respecto a x y haciendo igual a cero para obtener la posición x de mínima energía:
2
2
 2

 2

dU e
2
1
2
2 2 x − (d − x )
2 x + 2dx − d
= Kq 
= Kq 

2 −
2  = Kq 
2 2
2 2  = 0
dx
x 
 (d − x )
 (d − x ) x 
 (d − x ) x 
2
2
para lo cual se debe anular el numerador: x + 2dx − d = 0 , que substituyendo d = 1 y
resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene x = 0,414 (la otra solución x = S2,41 no es válida por
estar fuera de los límites impuestos).
a.2. Análisis a partir del potencial electrostático.
El potencial electrostático en la posición x debido a las cargas de los extremos es:
2q 
2 
q
1
Vx = K  +
=
Kq
+
 x d − x 
 x d − x 
Derivando Vx respecto a x, igualando a cero y resolviendo la ecuación respecto a x se obtiene el
mismo resultado que en el apartado anterior.
a.3. Análisis a partir de la intensidad de campo.
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Campo electrostático S 53
La intensidad de campo electrostático en la posición x debida a las cargas de los extremos está
dada por:
r
r
r 
 q r
2q
 1
2
r
E = E xi = K  2 i +
(
−
i
)
=
Kq
−

 x 2 (d − x) 2  i
(d − x) 2
x



La carga +q a colocar en la posición x
estará en equilibrio electrostático si la
intensidad del campo debido a las otras cargas
en la posición x se hace nulo, para lo cual debe
ser nulo el término entre corchetes de la
expresión anterior
V(x)
0.2
0.4
0.6
1
2
= 0
2 −
x
(d − x) 2
de donde se obtiene la solución válida x =
0,414.
0.8
1
x
Ex(x)
Fig.65
En la Fig.65 están representados V(x) y Ex(x). La posición de equilibrio para la tercera carga
corresponde al mínimo de V(x) y al punto en el cual Ex se hace nulo y cambia de sentido.
b. Cálculo de la fuerza mecánica necesaria para mantener fija a la carga +2q.
La intensidad de campo en la posición de la carga +2q debida a la carga +q en la posición A y
a la carga +q en la posición x calculada es:
r
r
 q r
q
 1
1 r
EB = K 2 i +
i
=
Kq
+
i


2
(d − x ) 2 
(d − x ) 2 
d
d
que teniendo en cuenta los valores de K, q, d y x:
r
r N
E B = 35,2 i
C
de donde la fuerza eléctrica sobre la carga +2q es:
r
r
r
Fesobre +2 q = + 2q ⋅ E B = 70,4 ⋅ 10− 9 i N
Para que la carga +2q se mantenga fija en B se tiene que ejercer una fuerza mecánica sobre dicha
carga que compense a la fuerza eléctrica, es decir:
r
r
Fmsobre +2 q = − 70,4 ⋅ 10− 9 i N
17. MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS EN CAMPOS UNIFORMES
En este apartado se analizará el comportamiento de una partícula cargada sometida a interacciones
para obtener sus parámetros cinemáticos (velocidad, posición, tiempo, etc.), energéticos, etc. en
situaciones sencillas.
r
g.
r
Además, si la partícula tiene carga neta q, experimentará fuerza eléctrica si existe campo eléctrico E .
Toda partícula, por tener masa m, experimentará fuerza gravitatoria si existe campo gravitatorio
Por el momento no se considerará la existencia de otras interacciones. Por ello la fuerza neta a la que
está sometida la partícula es
r r
r
r
r
F = Fg + Fe = mg + qE
[119]
Puede suceder que una de las fuerzas anteriores sea mucho menor que la otra. En este caso se puede
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Campo electrostático S 54
despreciar la fuerza más débil y trabajar únicamente con la restante. También puede suceder que no
exista alguno de los campos por lo que tampoco existirá la interacción correspondiente.
r
r
Se limitará el análisis a la presencia de campos uniformes ( E = cte., g =cte), a velocidades
pequeñas y observador inercial. En estas condiciones, la aceleración de la partícula es constante
r
r F
a=
m
[120]
por ser constantes la masa y la fuerza. La cinemática de la partícula corresponderá, por tanto, al
movimiento de cuerpos con aceleración constante y la trayectoria será rectilínea (velocidad inicial nula
o misma dirección para la velocidad y la aceleración) o parabólica (dirección de la velocidad distinta
a la de la aceleración). En las regiones en las que no exista interacción (porque no existe campo
eléctrico y la fuerza gravitatoria es demasiado débil), la fuerza resultante será nula y en consecuencia
la partícula se mantendrá en reposo o seguirá una trayectoria rectilínea si tiene velocidad cuando entra
en dicha región.
En cuanto a la energética, tener en cuenta que las fuerzas que estamos considerando son
conservativas permaneciendo entonces la energía mecánica de la partícula constante por lo cual se
pueden utilizar las relaciones de energía de forma muy fácil.
Al ser pequeña la velocidad (comparada con la velocidad de la luz) de la partícula cargada, no se
tendrán en cuenta consideraciones relativistas por lo que la masa de la partícula será constante.
Tampoco se considerará el campo magnético originado por el movimiento de la partícula respecto al
observador y que pudiera dar lugar a interacciones magnéticas con otras partículas cargadas,
interacciones muy débiles frente a la eléctrica cuando la velocidad es pequeña. Finalmente, tampoco
se tendrá en cuenta la energía radiada en forma de onda electromagnética originada por toda carga con
aceleración.
Ejemplo 11
Un campo eléctrico uniforme de valor E = 200 N/C está dispuesto horizontalmente en la dirección del
eje x. Se deja en libertad en el origen O, y partiendo del reposo, una partícula cargada con q = 3,00 µC
y m = 0,120 g. También existe un campo gravitatorio uniforme vertical con g = 9,80 m/s2.
a. ¿Se puede despreciar alguna de las fuerzas a las que está sometida la partícula?
b. Calcular el desplazamiento vertical, yA, que experimentó la partícula sabiendo que xA = 4,00 m.
c. Calcular el módulo de la velocidad de la partícula cuando pasa por A.
d. Calcular la variación de la energía potencial en el mismo recorrido
e. Calcular la diferencia de potencial eléctrico entre la posición final e inicial de la partícula.
a. Para responder a la pregunta comparemos los módulos de las dos fueras a las que está sometida la
partícula. La fuerza eléctrica vale Fe = qAE = 6,00A10S4 N. La fuerza gravitatoria vale Fg = mAg =
1,176A10 S 3 N. De los resultados se deduce que son del mismo orden por lo que no se puede
despreciar ninguna de las fuerzas.
b. La fuerza total a la que está sometida la partícula es
r r
r
r
r
F = Fe + Fg = qEi + mgj . Puesto que la
fuerza resultante es constante y que la velocidad inicial es nula, la trayectoria será rectilínea con la
misma dirección y sentido que la fuerza resultante (movimiento rectilíneo uniformemente
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Campo electrostático S 55
acelerado). De la Fig.66 se deduce que
Fg
y
tan θ =
= A
Fe xA
xA
O
x
que substituyendo Fg, Fe y xA se obtiene yA = 7,84 m.
q
m
θ
c. La velocidad en A se puede calcular fácilmente por
cinemática, o ya que nos piden el módulo se puede
obtener a partir del teorema de la energía cinética
calculando antes el incremento de energía cinética
que experimenta la partícula, camino que
seguiremos:
Por el teorema de la energía cinética:
WFr =
∫
r
E
r
Fg
r r
F ⋅ d R = ∆ Ec = Ec A − Ec O = Ec A
por ser nula la energía cinética en el origen.
Entonces
r r
E cA = ∫ F ⋅ dR =
r
r
r
r
= ∫ (qEi + mgj )(dxi + dyj ) =
xA
r
Fe
yA
r
F
A
y
r
g
Fig.66
yA
= qE ∫ dx + mg ∫ dy =
0
0
= 116
, ⋅ 10
−2
J
La velocidad de la partícula en A estará dada por
vA =
2 E cA
= 13,9 m / s
m
d. La energía mecánica es la suma de la energía cinética de la partícula y de las energías potenciales,
es decir:
Em = Ec + U
siendo U = Ue + Ug la energía potencial total.
Al ser conservativas las fuerzas que realizan trabajo sobre la partícula, no existe variación en la
energía mecánica:
∆Em = ∆Ec + ∆U = 0
de donde se obtiene la variación en la energía potencial:
∆U = S ∆Ec = S(EcA S EcO) = S(EcA S 0) = SEcA = S1,16A10S2 J
habiéndose calculado el incremento de energía cinética en el apartado anterior.
e. La variación en el potencial eléctrico se calcula, puesto que conocemos el campo eléctrico,
integrando la expresión [93]:
r r
xA
r
r
∆ V = VA − VO = − ∫ E ⋅ dR = − ∫ Ei ⋅ dxi = − E ∫ dx = − 800 V
0
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Campo electrostático S 56
18. ALGUNAS ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS GRAVITATORIO Y
ELECTROSTÁTICO
18.1. Analogías
Las analogías entre ambos campos provienen de que formalmente tienen expresiones idénticas, SG
y m en el campo gravitatorio, K y q en el campo electrostático:
a. Ambos son newtonianos: la intensidad de campo es función, en cada punto, inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia. Con un alcance, por tanto, infinito.
b. La interacción en cada caso es directamente proporcional al producto de las magnitudes activas que
interaccionan (masas en un caso, cargas en el otro).
c. Son campos vectoriales que cumplen el principio de superposición.
d. Son campos centrales (en la dirección de la magnitud activa). Por ser centrales y depender sólo de
la distancia, son conservativos. Por ello se puede definir una energía potencial y un potencial escalar
en cada caso.
En la siguiente tabla se resumen las expresiones para ambos campos, tanto desde el punto de vista
vectorial como escalar (valores relativos al valor nulo en el infinito), para magnitudes activas puntuales
(o equivalentes):
CAMPO GRAVITATORIO
Descripción
vectorial
Interacción
Magnitud
del
campo
Descripción
escalar
CAMPO ELECTROSTÁTICO
Descripción
vectorial
Descripción
escalar
r
mi m j r
mi m j r
qi q j r
qi q j
Fgi sobre j = − G 2 R0ij U g = − G
Fei sobre j = K 2 R0ij U e = K
Rij
Rij
Rij
Rij
m r
r
g = − G 2 R0
R
m
Vg = − G
R
r
q r
E = K 2 R0
R
Ve = K
q
R
18.2. Diferencias
a. Las masas se presentan siempre con el mismo signo, por ello las interacciones gravitatorias son
siempre atractivas mientras que las cargas se presentan con dos signos por lo que las interacciones
electrostáticas pueden ser atractivas o repulsivas. También por ello existen los dipolos eléctricos,
pero no se conocen los dipolos gravitatorios.
b. El campo gravitatorio es universal: existe para todos los cuerpos. El campo eléctrico sólo existe
cuando los cuerpos contienen carga neta.
c. La intensidad del campo gravitatorio no depende del medio (G, para un sistema de unidades, tiene
un valor universal). Sin embargo el medio influye en el campo electrostático a través de la
permitividad dieléctrica del medio.
d. El campo gravitatorio cruza las substancias. El campo eléctrico puede apantallarse (el campo
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Campo electrostático S 57
eléctrico externo no penetra en la substancia), aspecto muy útil, por ejemplo, en los aparatos de
medida para evitar las influencias de campos eléctricos externos.
e. La intensidad del campo eléctrico es mucho mayor que la intensidad del campo gravitatorio (K es
unas 1020 veces mayor que G). De esta forma, en la mayoría de los fenómenos eléctricos podemos
despreciar las interacciones gravitatorias.
f. Se pueden obtener regiones de campo eléctrico nulo como sucede en el interior de un conductor
cargado en equilibrio electrostático o en el exterior de un condensador (en este caso debido a que
hay dos clases de cargas). Es muy difícil, o prácticamente imposible, obtener regiones de campo
nulo con masas.
g. El campo gravitatorio puede ser uniforme en grandes regiones del espacio debido a que la masa
puede acumularse. No así el campo eléctrico uniforme que se reduce a pequeñas regiones del
espacio (tal como la región comprendida entre dos placas metálicas con cargas opuestas) porque la
carga del mismo signo es muy difícil acumular por la repulsión que aparece.
h. Hay conductores eléctricos en los cuales los portadores de carga se pueden desplazar bajo un campo
eléctrico. No hay conductores másicos.
i. Se puede aumentar (dentro de unos límites) la carga de un cuerpo mediante el fenómeno de la
inducción eléctrica. Por contra no existe la inducción gravitatoria.
j. Una masa, esté en reposo o en movimiento siempre crea un campo gravitatorio. Una carga eléctrica
en reposo crea un campo eléctrico y cuando está en movimiento, además del eléctrico crea un campo
magnético.
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Campo electrostático S 58
19. CUESTIONES Y PROBLEMAS
19.1. Carga eléctrica y distribuciones de carga
1. Razonar si un cuerpo puede tener una carga de 2,0A10S19 C. qe = 1,602A10S19 C.
2. Calcular la constante de Faraday en C/mol teniendo en cuenta que representa la cantidad de carga
eléctrica contenida en un mol de electrones. qe = 1,602A10S19 C. NA = 6,022A1023 molS1.
1 F . 96 500 C/mol
3. Calcular el número de electrones que entran y salen en un segundo por la resistencia de una bombilla
de 2,5 V y 0,75 W que funciona con corriente continua. ¿Qué conclusión se puede extraer sobre la
observación de la cuantización de la carga eléctrica a nivel macroscópico?. qe = 1,602A10S19 C.
. 1,9A1018 electrones
4. Una esfera conductora de 3,50 cm de radio se carga con 240 µC. Una segunda esfera de 4,20 cm de
radio del mismo material que la primera se carga con 180 µC. Las dos esferas se funden en una sola
esfera. Calcular la densidad superficial de carga de la esfera resultante. Tener en cuenta que la carga
eléctrica se conserva y se supone que el volumen de la esfera resultante es la suma de los volúmenes
de las dos esferas iniciales.
1,40 µC/cm2
5. Un hilo rectilíneo de 2,30 m de longitud situado en la dirección x tiene una hipotética densidad lineal
de carga neta que está dada por la expresión 5x2, en unidades del SI. Determinar la carga neta total que
contiene el hilo.
20,3 C
19.2. Fuerza eléctrica: Ley de Coulomb
6. El hecho de que se pueda utilizar la expresión
r
qi q j r
Fei sobre j = K 3 Rij ¿significa que el módulo de
Rij
la fuerza eléctrica depende del inverso de la distancia entre cargas al cubo?
7. Supongamos que tenemos dos cargas de 1 C separadas por una distancia de 1 m. ¿Cuánto debe valer
la masa de un cuerpo situada en la superficie de la Tierra para que sea atraído por la gravedad terrestre
con una fuerza semejante a la fuerza eléctrica entre dichas cargas? ¿Qué conclusión se puede extraer
sobre la unidad culombio?. g = 9,81 m/s2.
. 9A108 kg
8. Calcular la razón de la fuerza eléctrica a la fuerza gravitatoria entre dos protones situados en el vacío
(observar que esta razón es independiente de la distancia de separación). qe = 1,602A10S19 C, mp+ en
reposo = 1,673A10S27 kg, G = 6,672A10S11 NAm2/kg2.
Fe . 1036 Fg
9. Determinar en cuánto disminuye la fuerza entre dos cargas separadas por una distancia fija cuando
inicialmente están en el vacío y después, con la misma configuración, se introducen en agua (gr agua
= 80,1). Los cristales iónicos se encuentran en estado sólido a temperatura ambiente formando una red
cristalina, siendo la fuerza eléctrica neta entre iones atractiva. Teniendo en cuenta el resultado obtenido
al principio, explicar porqué dicha estructura cristalina se desmorona al introducirla en agua.
Fagua = 0,0125AFvacío
10. De un punto del techo cuelgan dos hilos inextensibles y sin masa de 87,0 cm de longitud cada uno
en cuyos extremos hay dos esferas de 1 g cada una, con la misma carga eléctrica. Debido a la repulsión
eléctrica, las masas se separan hasta que sus hilos forman entre si un ángulo de 60º. Calcular el valor
de la carga de cada esfera. g = 9,81 m/s2.
±740 nC
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Campo electrostático S 59
11. Tres cargas puntuales de 2 nC, 4 n C y S6 nC se encuentran en las posiciones (x = 0, y = 1), (0, 0)
y (1, 0) m respectivamente. Calcular la fuerza que ejerce dicha distribución sobre una cuarta carga
puntual de 3 nC situada en la posición (1, 1) m. Considerar que el medio es el vacío.
r
r
(92,2i − 124 j )10 − 9 N
12. En el modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno, el electrón describe una órbita circular de radio
5,29A10S11 m. Calcular el período del electrón. qe = 1,602A10S19 C, meS en reposo = 0,911A10S30 kg.
1,5A10S16 s
19.3. Intensidad del campo eléctrico
13. El principio de superposición de campos hace referencia a vectores. ¿Es posible entonces utilizarlo
en la forma escalar E = E1 + E2 + ... + En?
14. ¿El campo electrostático es un campo central? ¿Será un campo conservativo?
15. En el cálculo de la intensidad de campo producida por una distribución discreta de carga, ¿la
expresión de dicho vector intensidad resultante dependerá del sistema de ejes elegidos?. ¿Y el módulo
de la intensidad?. Realizar el análisis tanto para la traslación como para la rotación de los ejes.
16. En una región del espacio existe un campo gravitatorio uniforme, vertical y dirigido hacia abajo de
intensidad g = 9,81 mAsS2. También existe un campo eléctrico uniforme de intensidad 2,50A105 N/C. En
un punto de esa región se sitúa una gota de aceite de 4,67A10S3 kg de masa y con carga neta negativa,
permaneciendo en reposo en dicho punto.
a. Representar los campos gravitatorio y eléctrico.
b. Calcular la carga de la gota.
c. La magnitud de la fuerza electrostática que se ejerce sobre la gota.
b) S0,183 µC; c) 4,58A10–5 N
17. Una pequeña esfera de 0,5 g y carga q, colgada de un hilo de masa despreciable,
está colocada dentro de un campo eléctrico uniforme y horizontal de 400 N/C
(Fig.PS17). g = 9,81 m/s2.
a. Sabiendo que en la posición de equilibrio, α=15º, calcular el valor de q de la
α
esfera.
r
E
b. Si duplicamos el campo eléctrico, calcular el nuevo ángulo de equilibrio.
a) q=+3,29 µC; b) α=28,2º
18. Una partícula de carga S2q se sitúa en el origen del eje x. A un metro de distancia
y en la parte positiva del eje se sitúa otra partícula de carga +q.
a. Calcular el punto (o puntos) sobre el eje x en el que se anula el campo eléctrico.
m q
b. ¿En qué situación estaría una carga de prueba que se coloque en dicho punto?
Fig.PS17
a. 3,41 m; b. equilibrio inestable
19. En tres esquinas consecutivas de un cuadrado se fijan tres cargas puntuales de
+2q, Sq y +2q, respectivamente. ¿Qué carga hay que colocar en el cuarto vértice para que la intensidad
de campo eléctrico en el centro del cuadrado sea nula?
Sq
20. Un sistema de tres cargas puntuales de 2 nC, 4 nC y –6 nC se sitúan respectivamente en los puntos
(–1, 0) m, (0, –1) m y (2, 0) m. El medio es el vacío. Calcular:
a. El vector intensidad de campo eléctrico, debido al sistema de tres cargas, en el punto A(1, 0) m.
b. El módulo de la fuerza que ejerce el sistema de las tres cargas sobre una carga de 3 nC que se coloca
en el punto A.
r
r N
; b) 217A10S9 N
C
a) (71,2i + 12,7 j )
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Campo electrostático S 60
21. En los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado se
sitúan las cargas q1 = 2 nC, q2 = 1 nC y q3 = S2 nC, de acuerdo
con la Fig.PS21. Teniendo en cuenta que el medio es el vacío,
calcular la intensidad del campo eléctrico en el centro del
triángulo, punto en el que se sitúa el origen de coordenadas.
y
q3
r
r N
(5,85i + 23,6 j )
C
22. Calcular la intensidad del campo eléctrico en la posición (x =
d, 0) originada por una distribución lineal, uniforme y continua de
carga λ que se extiende a lo largo del eje y desde y = Sd/2 hasta
q1
y = d/2.
λr
0,894 K i
d
x
q2
Fig.PS21
19.4. Líneas de campo eléctrico
23. Razonar si dos o más líneas de campo eléctrico se pueden cruzar.
24. ¿Es constante el módulo del campo eléctrico a lo largo de una línea de campo?
En general no. Una excepción se encuentra en los campos uniformes
25. En el apartado 8.1 se dijo que en general una línea de campo no es la trayectoria seguida por una
carga de prueba que se abandona en él. Poner algunos ejemplos y analizar en que condiciones la
trayectoria sí coincide con la línea de campo.
26. Visualizar en el plano mediante líneas de campo eléctrico el producido por una distribución discreta
de dos cargas puntuales formada por Sq y S3q, separadas una cierta distancia.
27. Visualizar en el plano mediante líneas de campo eléctrico el producido por una distribución discreta
de dos cargas puntuales formada por Sq y +3q, separadas una cierta distancia.
19.5. Momento dipolar eléctrico
28. Analizar la polaridad del enlace CO en la molécula de dióxido de carbono. ¿Cómo será el momento
dipolar de enlace? Sabiendo que el momento dipolar de la molécula es nulo, ¿cómo será la disposición
geométrica de los átomos?
29. Estimar el momento dipolar de enlace HSO en la molécula de agua sabiendo que el ángulo de enlace
HOH es 105º y el momento dipolar de la molécula vale 1,85 D. [1 D SdebyeS = 3,3A10S30 CAm]
1,52 D
19.6. Ley de Gauss
30. ¿Sería válida la ley de Gauss si la ley de Coulomb no fuera una ley del inverso del cuadrado de la
distancia?
31. Si el flujo neto a través de una superficie cerrada es nulo, ¿implica que no existen cargas eléctricas
en el interior de dicha superficie?
32. Dibujar una superficie que encierre un dipolo eléctrico. Analizar la carga neta, el flujo neto y las
consecuencias que se pueden extraer para el campo eléctrico al aplicar la ley de Gauss a dicha superficie
cerrada.
33. Si la intensidad del campo eléctrico es nula en cualquier punto de una superficie cerrada, ¿qué
conclusiones se pueden extraer sobre el flujo neto y la carga neta en su interior?
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Campo electrostático S 61
34. Una superficie esférica S1 encierra una carga neta q1. Otra carga neta q2 está encerrada en un cubo
con una superficie S2. Determinar la relación entre cargas sabiendo que
∫
r 1 r
r
r
E1 ⋅ dS1 = ∫ E2 ⋅ dS 2 .
4
q2 = 4Aq1
35. Calcular la intensidad del campo eléctrico, utilizando la ley de Gauss, a una distancia x medida
perpendicularmente a una distribución continua, lineal, infinita y uniforme de carga eléctrica situada
a lo largo del eje y. Como superficie gaussiana tomar un cilindro coaxial con la línea de carga.
Visualizar el campo eléctrico mediante líneas de campo alrededor de la distribución de carga.
E = 2K
λ
x
36. Una carga eléctrica puntual de +2 µC se sitúa en el centro geométrico de un cubo de 2 m de arista.
El medio es el vacío. Calcular:
a. La intensidad de campo en el centro de una de las caras.
b. El flujo eléctrico a través de la superficie cúbica.
c. El flujo eléctrico a través de una de las caras.
a) 1,8A104 N/C; b) 2,26A105 VAm; c) 3,77A104 VAm
19.7. Energía potencial y potencial electrostáticos
37. Una carga negativa se mueve libremente en una zona en donde existe un campo eléctrico uniforme.
¿Cómo varían el potencial y la energía potencial de la carga negativa?
38. La diferencia de potencial electrostático entre dos puntos ¿dependerá del camino que los conecte?
39. ¿En qué dirección podremos movernos respecto a un campo eléctrico de modo que el potencial
eléctrico no varíe? ¿Y para que la variación de potencial sea máxima?
40. ¿Puede existir potencial eléctrico en un punto de una región en la que el campo eléctrico tenga un
valor nulo? ¿Puede ser nulo el potencial en un lugar en el que la intensidad de campo no sea nula?
Poner un ejemplo de cada caso.
41. ¿Es correcta la expresión E = V/R ?
42. Calcular la intensidad del campo eléctrico en una región del espacio en la que existe un potencial
eléctrico dado por la expresión V(x) = 23 S 5x (en unidades del SI). ¿Depende la intensidad de campo
de la elección del cero del potencial eléctrico?
r
rV
E = 5i
m
43. Un plano de gran extensión tiene una densidad superficial de carga de +6,02 nC/m2. Calcular la
diferencia de potencial entre la superficie del plano y un punto distante 50,0 cm medidos
perpendicularmente a dicho plano. Razonar que punto tiene el potencial más alto. Dibujar
equipotenciales en las proximidades del plano.
170 V
44. Una partícula de carga –2q se situa en el origen del eje x. A un metro de distancia y en la parte
positiva del eje, se situa otra partícula de carga +q. Calcular los puntos del eje x en los que:
a. Se anula el potencial electrostático
b. Se anula el campo electrostático
a) 2/3 y 2 m; b) 3,41 m
45. Dos cargas están situadas en el plano xy: q1 = 1 nC en (0, 1) m y q2 = –1nC en (0, –1) m. Obtener:
a. La intensidad del campo electrostático en cualquier punto del eje x.
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Campo electrostático S 62
b. El potencial electrostático en cualquier punto del eje x. Comentar el resultado.
r
a) E ( x ,0) = − 18
1
(x
2
)
+1
3
2
r N
j
; b) V(x,0) = 0 V
C
46. Calcular el trabajo externo que tenemos que subministrar a cuatro cargas puntuales de +1 nC,
inicialmente aisladas, para situarlas en las esquinas de un cuadrado de 1 m de lado.
4,87A10S8 J
47. Dos cargas puntuales de +2 y +3 nC están situadas en las posiciones (0, 1) y (0, S1) m,
respectivamente. El medio es el vacío. Calcular:
a. El potencial electrostático en el punto A(0, 0) m.
b. El potencial electrostático en el punto B(2,0) m.
c. El trabajo eléctrico a subministrar a una carga de S0,3 nC para llevarla de A a B. ¿Qué agente
subministra dicho trabajo?
a) 45,0 V; b) 20,1 V; c) S7,47A10S9 J
48. Cuatro cargas puntuales de S1, +1, S1 y +1 nC se fijan en las posiciones (1, 1) m, (1, S1) m, (S1,
S1) m y (S1, 1) m respectivamente. El medio es el vacío. Calcular:
a. La intensidad del campo electrostático en el punto A(0, 0) m.
b. El potencial electrostático relativo en el punto A.
c. La energía potencial electrostática relativa del sistema de cargas. Interpretar el resultado.
d. Las cargas se cambian a las nuevas posiciones (0.5, 0.5) m, (0.5, S0.5) m, (S0.5, S0.5) m y (S0.5,
0.5) m respectivamente. Calcular la nueva energía potencial del sistema y comparar con el resultado
del apartado anterior. ¿Se podría aplicar la conclusión a la formación de una red iónica
bidimensional?
a) 0; b) 0; c) S1,16A10S8 J; d) S2,33A10S8 J
49. Un sistema de tres cargas puntuales está formado por +1, S2 y +2 nC en las posiciones (0, 1), (0,
S1) y (S1, 0) m respectivamente. El medio es el vacío. Calcular:
a. La intensidad del campo electrostático en el punto A(0, 0) m.
b. El potencial electrostático en el punto A.
c. La energía potencial electrostática del sistema de tres cargas.
d. El trabajo necesario para llevar una cuarta carga de 0,5 nC desde el infinito al punto A. ¿Qué agente
debe realizar el trabajo?
e. La energía potencial electrostática de la cuarta carga en el campo originado por el sistema de tres
cargas.
f. La energía potencial electrostática del sistema de cuatro cargas. ¿Qué relación existe entre este
resultado y los obtenidos en los apartados c) y e)?.
a)
r
r N
(18i − 27 j ) ; b) 9 V; c) S2,17A10S8 J; d) S4,5A10S9 J; e) 4,5A10S9 J; f) S1,72A10S8 J
C
50. Un conductor metálico neutro, es decir, sin carga neta, se puede considerar como una red cristalina
formada por iones positivos del metal y electrones de valencia libres. Cuando dicho conductor se
encuentra en equilibrio electrostático, ¿se le podrá aplicar los resultados obtenidos (distribución de
carga libre, intensidad de campo y potencial en el interior y en la superficie) para los conductores
cargados y en equilibrio electrostático?
51. Una lámina metálica, con cierto espesor, plana, e infinita se carga positivamente. Obtener, aplicando
la ley de Gauss, el campo eléctrico tanto en el interior de la lámina como a ambos lados. Téngase en
cuenta que al ser de extensión infinita, la carga se distribuirá uniformemente a lo largo de ambas caras,
con una densidad superficial de carga constante en cada cara.
Eint = 0; Eext = σ/g0 siendo uniforme y normal a la lámina
52. Una esfera conductora en equilibrio posee una carga superficial de densidad σ conocida. Se sabe
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Campo electrostático S 63
que a una distancia L de su centro, el potencial es 1/10 del potencial de dicha esfera. Calcular en función
de L (y de σ , si procede):
a. El radio de la esfera conductora.
b. La carga eléctrica de la esfera.
c. El potencial eléctrico de la esfera.
d. La intensidad del campo eléctrico en un punto de su superficie.
a) 0,1AL; b) 4A10S2πσL2; c) 0,4πKσL; d) 4πKσ
53. Se carga una esfera metálica de 6 cm de radio con una carga neta de 3 nC y se hace contacto con
una segunda esfera metálica descargada y de 10 cm de radio. Después las separamos y aislamos una de
la otra. Calcular:
a. La carga neta que adquiere cada esfera.
b. El potencial electrostático en la superficie de cada esfera.
c. La intensidad del campo eléctrico a 8 cm del centro de cada esfera.
a) q1 = 1,125 nC; q2 = 1,875 nC; b) V1 = V2 = 168,75 V; c) E1 = 2,81A103 N/C; E2 = 0
54. Una esfera metálica de 6 cm de radio tiene una carga neta de 3 nC. Una segunda esfera también
metálica con radio de 10 cm tiene y carga neta de S5 nC se pone en contacto con la primera y después
se separan lo suficiente para que no exista influencia electrostática. Calcular:
a. El potencial electrostático de cada esfera antes de ponerlas en contacto.
a. La carga neta que adquiere cada esfera después del contacto.
b. El potencial electrostático de cada esfera después del contacto y suficientemente separadas.
a) V1i = 450 V; V2i = S450 V; b) q1 = S0,75 nC; q2 = S1,25 nC; c) V1f = V2f = S112,5 V
55. ¿Qué movimiento tendría una carga de prueba negativa que se abandona en un punto de la
equipotencial debida a dos cargas positivas iguales separadas una cierta distancia? ¿Y si la carga de
prueba fuese positiva?
56. En un conductor neutro rectilíneo y muy delgado que comienza en la posición A(x = 0) m y termina
en la posición B(x = 1) m se depositan inicialmente dos cargas, siendo cada una de ellas +q. Debido a
la repulsión y a que el soporte es conductor, estas cargas ocuparán las posiciones extremas del
conductor. A continuación se depositan otras dos cargas, siendo también cada una de ellas + q , que
ocuparán posiciones para las cuales la energía potencial electrostática total del sistema sea mínima.
a. Escribir la función energía potencial U(x). Téngase en cuenta que dos cargas están en los extremos
y de las otras dos, una estará en la posición x y, por simetría, la otra estará en la posición 1Sx.
b. Representar U(x) entre x = 0 y x = 1.
c. Calcular las posiciones que ocuparán las dos cargas intermedias.
d. Comparar las posiciones finales que ocupan las cargas con unas hipotéticas posiciones en las que
estuviesen uniformemente distribuidas. Explicar la diferencia.
e. ¿Cómo será el potencial y cuánto valdrá la intensidad de campo eléctricos en las posiciones que
ocupan las cargas intermedias?
f. ¿Por qué la intensidad de campo eléctrico en los extremos no es nula?
a)
U ( x) = 1 +
2
2
1
+
+
; c) 0,319 y 0,681 m; e) 0
x 1− x 1 − 2x
19.8. Movimiento de cargas en campos uniformes
57. Demostrar que la velocidad final de una partícula con carga neta y masa constante que es acelerada
 2q∆ V 

(partiendo del reposo) por un campo eléctrico está dada por v f = 
 m 
1/ 2
. ¿Es necesario que el
campo eléctrico sea uniforme en la región en la que se mueve la partícula?
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Campo electrostático S 64
58. Sea un sistema formado por dos electrodos (conductores metálicos)
planos, paralelos y supuestos infinitos sometidos a una diferencia de
potencial constante (VA S VB = cte), Fig.PS58.
a. Dibujar las líneas de campo entre los electrodos (suponer que los
electrodos tienen una extensión infinita). ¿Qué características tendría
dicho campo eléctrico, tanto entre los electrodos como fuera de ellos?
b. En el mismo instante se abandona un protón en el electrodo A (en la
superficie interna) y un electrón en el electrodo B. ¿Alcanzarán el A
B
electrodo contrario en el mismo instante? Considerar que el protón y el
Fig.PS58
electrón están lo suficientemente alejados como para no interaccionar.
Suponer además que las únicas fuerzas a tener en cuenta son las
eléctricas.
c. Obtener la relación entre las velocidades del protón y electrón una vez que llegan a los electrodos.
mp+ en reposo = 1,673A10S27 kg, meS en reposo = 0,911A10S30 kg.
b) No; c) ve/vp = 42,9
B
59. Un electrón entra en la dirección x con una
3
velocidad de 1,00A10 m/s por el origen de coordenadas
A
y
en una región A con un campo eléctrico uniforme de
4,04A10S5 N/C, saliendo de dicha región con una altura
y1 respecto al eje x. Entra en la región B en la que no
y2
existe campo eléctrico, impactando con una pantalla a
una altura y2. Sabiendo que d1 = 15,0 cm, d2 = 50,0 cm,
y1
qe = 1,602A10S19 C, meS en reposo = 0,911A10S30 kg y que
r
no se considera ninguna otra interacción distinta a la
v0
x
eléctrica (Fig.PS59):
a. Razonar porque la trayectoria es parabólica en la
d1
región A y rectilínea en la región B.
b. Calcular y1 e y2.
d2
b) y1 = 7,99 cm; y2 = 61,3 cm
Fig.P–59
60. Un péndulo (simple) eléctrico de 1,00 m de
longitud tiene una esfera de masa 10,0 g con una carga
eléctrica de 200 nC. Este péndulo está situado en un campo gravitatorio uniforme vertical y descendente
de intensidad 9,81 mAs–2 y un campo electrostático uniforme vertical y ascendente de intensidad E. Al
separar el péndulo de su posición de equilibrio y soltarlo tarda 211,8 s en dar 100 oscilaciones si su
carga es positiva y 191,2 s si es negativa.
a. Obtener la expresión del período del péndulo simple cuando la carga es positiva.
b. Calcular E.
a) T = 2π
ml
; b) E = 5,00A104 N/C
mg − qE
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