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Actividades del final de la unidad
1. Un cuerpo baja por un plano inclinado y sube, a continuación, por otro con
igual inclinación, alcanzando en ambos la misma altura al deslizar sin rozamiento. Este movimiento, ¿es periódico? ¿Es oscilatorio? ¿Es armónico?
Sobre el cuerpo solo actúan el peso y la normal; por tanto, la fuerza resultante sobre
el cuerpo es la componente tangencial del peso:
F = Px = m · g · sen a
De acuerdo con la ley fundamental de la dinámica:
F = m · g · sen a = m · a
Por tanto, la aceleración del cuerpo en la bajada es a = g · sen a, pues el movimiento es acelerado, mientras que en la subida, como el movimiento es decelerado, es
a = –g · sen a.
A
A'
N
s
h
α
B
P
El cuerpo parte del reposo desde el punto A, situado a una altura h, baja por el plano y llega al punto B después de recorrer una distancia:
s=
h
sen a
En el punto B alcanza su velocidad máxima:
vmáx = √2 · a · s = √2 · g · sen a · s = √2 · g · h
Debido a esta velocidad, sube hasta el punto A4, que se encuentra a la misma altura
h que A, y tarda en subir el mismo tiempo que tardó en bajar desde A a B, pues tiene una aceleración del mismo valor pero negativa.
El movimiento del cuerpo es periódico, pues siempre tarda el mismo tiempo en realizar el recorrido de ida y vuelta hasta A.
El movimiento es oscilatorio, pues el cuerpo oscila alrededor del punto B, que es una
posición de equilibrio para el cuerpo.
Pero el movimiento no es armónico, pues la aceleración, aunque es positiva cuando
el cuerpo sube y negativa cuando baja, siempre es constante en módulo, y no depende de la posición que ocupe el cuerpo.
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
85
2. Un cuerpo que oscila armónicamente tarda 10 s en realizar 5 oscilaciones.
Calcula el período y la frecuencia. ¿Cuánto tarda en ir desde la posición de
equilibrio a la de máxima elongación? ¿Y en volver a pasar por la posición de equilibrio?
Si el cuerpo tarda 10 s en realizar 5 oscilaciones, su frecuencia y período valen:
f=
10 oscilaciones
oscilaciones
1
1
=2
= 2 Hz ; T = =
= 0,5 s
5 segundos
segundo
f
2 s–1
En un período, el cuerpo realiza una oscilación completa; es decir, va desde la posición de equilibrio hasta un extremo, vuelve a la posición de equilibrio para ir hasta
el otro extremo y, finalmente, vuelve de nuevo a la posición de equilibrio. En cada
una de esas etapas emplea el mismo tiempo, un cuarto de período; por tanto, el
tiempo, t, que tarda en ir desde la posición de equilibrio a la de máxima elongación
equivale a un cuarto de período, y el tiempo, t 4, que tarda en volver a pasar por la
posición de equilibrio, desde la posición inicial, es medio período:
t=
T
T
= 0,125 s ; t 4 = = 0,25 s
4
2
3. La ecuación del movimiento armónico simple que describe un cuerpo es
x = 2 · sen (π · t) en unidades S.I. Calcula: a) La amplitud y la frecuencia de las
oscilaciones. b) La expresión de su velocidad en función del tiempo. c) La posición y la velocidad del cuerpo para t = 0 s. Dibuja las gráficas x-t y v-t.
a) Comparando la ecuación del enunciado con la ecuación general del movimiento:
x = A · sen (u · t + j0) 8 A = 2 m ; u = π rad/s
La frecuencia es, por tanto:
u
π
=
= 0,5 Hz
2·π 2·π
b) La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo:
u=2·π·f 8 f=
dx
d
=
[2 · sen (π · t)] = 2 · π · cos (π · t) m/s
dt
dt
c) La posición del cuerpo para t = 0 s es:
v=
x (0) = 2 · sen (π · 0) = 2 · 0 = 0
Por tanto, el cuerpo está en el origen en el instante inicial, y su velocidad en ese
momento es:
v (0) = 2 · π · cos (π · 0) = 2 · π m/s = 6,28 m/s
Para dibujar las gráficas x-t y v-t, construimos, en primer lugar, una tabla con los
valores de x y v cada cuarto de período (T/4 = 0,5 s):
t (s)
86
j (rad)
sen j
cos j
x (m)
v (m/s)
0
0
0
1
0
2·π
0,5
π/2
1
0
2
0
1
π
0
–1
0
–2 · π
1,5
3 · π/2
–1
0
–2
0
2
2·π
0
1
0
2·π
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
Entonces, las gráficas x-t y v-t de este movimiento son:
x (m)
+2
v (m/s)
+6,28
0,5
1 1,5
2
0,5
10 t (s)
1
1,5 2
t (s)
– 6,28
–2
4. La gráfica representa la elongación en función del tiempo de un cuerpo que
realiza un m.a.s.:
x (m)
+2
2
4
6
8
10
12
14
16
t (s)
–2
Indica si son ciertas las afirmaciones siguientes:
a) Cada 4 s está en el mismo estado de vibración.
b) El período del movimiento vale 16 s.
c) La amplitud de la oscilación vale 4 m.
d) La frecuencia vale 0,125 Hz.
e) La ecuación del movimiento es x = 2 · sen (π · t /4).
a) Falsa. Si nos fijamos, por ejemplo, en la posición x = 2 m, vemos que el cuerpo pasa
por ella en t = 2 s y t = 10 s, es decir, cada 8 segundos, que es el valor del período.
Aunque cada 4 segundos pasa por la posición de equilibrio, no lo hace en las mismas
condiciones, ya que si una vez va hacia la derecha, a los 4 s va hacia la izquierda.
b) Falsa. Ya vimos en la cuestión anterior que el período vale 8 s.
c) Falsa. La amplitud o distancia máxima a la posición de equilibrio es 2 m.
d) Cierta. La frecuencia es la inversa del período, luego:
1
1
f= =
= 0,125 Hz
T 8s
e) Esta afirmación es cierta, ya que la amplitud es 2 m; en el instante inicial, t = 0, la
elongación es nula y, por tanto, la fase inicial es j0 = 0, y la pulsación vale:
2·π
2·π
π
u=
=
= rad · s–1
T
8s
4
Al sustituir estos datos en la ecuación general de una partícula que efectúa un
m.a.s., se obtiene la ecuación dada por el enunciado:
π
π
x = A · sen (u · t + j0) 8 x = 2 · sen
· t + 0 = 2 · sen
·t
4
4
(
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
)
( )
87
5. Una partícula describe un m.a.s. según la ecuación:
x = 0,4 · sen (0,25 · π · t + + π/2)
en unidades S.I. Calcula: a) La amplitud y el período. b) La fase en el instante
inicial y para t = 1 s. c) La elongación y la velocidad del cuerpo para
t = 0 s y para t = 10 s. d) Dibuja las gráficas x-t y v-t.
a) Al comparar la ecuación del enunciado con la ecuación general del movimiento,
x = A · sen (u · t + j0), obtenemos la amplitud y la pulsación:
A = 0,4 m ; u = 0,25 · π rad/s
La frecuencia es, por tanto:
u=2·π·f 8 f=
0,25 · π
= 0,125 Hz
2·π
Y el período resulta:
T=
1
1
=
=8s
f
0,125
b) Para t = 0, la fase vale:
j (0) = 0,25 · π · 0 +
π π
= rad
2
2
Y para t = 1 s:
j (1) = 0,25 · π · 1 +
c) La ecuación de la velocidad es:
v=
[
(
π
dx d
π
=
0,4 · sen
·t+
2
dt dt
4
)]
= 0,4 ·
π π π 3·π
= + =
rad
2
4
2
4
(
)
(
π
π
π
π
π
· cos
·t+
= 0,1 · π · cos
·t+
2
2
4
4
4
)
Sustituyendo los valores t = 0 y t = 10 s en las ecuaciones de la elongación y de la
velocidad, obtenemos:
– Para t = 0:
π
= 0,4 m
x(0) = 0,4 · sen
2
v(0) = 0,1 · π · cos
– Para t = 10 s:
()
()
π
=0
2
(
x(10) = 0,4 · sen 0,25 · π · 10 +
(
v(10) = 0,1 · π · cos 0,25 · π · 10 +
)
π
=0
2
)
π
= –0,1 · π m/s = – 0,314 m/s
2
d) A partir de la siguiente tabla de valores, obtenida cada cuarto de período, t = T/4 = 2 s:
88
t
j
sen j
cos j
x
v
0
π/2
1
0
0,4
0
2
π
0
–1
0
–0,1 · π
4
3 · π/s
–1
0
–0,4
0
6
2·π
0
1
0
0,1 · π
8
5·π/s=π/2
1
0
0,4
0
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
Se obtienen las gráficas x-t y v-t de este movimiento:
v (m/s)
x (m)
+0,314
+ 0,4
T/4
T/2
T
3T/ 2
2T t (s)
T/4
T/ 2
T
3T/ 2
2T t (s)
–0,4
–0,314
6. La elongación de un cuerpo que efectúa un m.a.s. varía con el tiempo según la
ecuación:
x = 25 · sen (4 · π · t – π/2)
donde x se mide en cm cuando t se mide en segundos. Calcula: a) La pulsación
y la amplitud de las oscilaciones. b) La posición y la velocidad del cuerpo en el
instante inicial. c) La ecuación del movimiento en función del coseno. d) Dibuja la gráfica x-t.
a) Al comparar la ecuación del enunciado con la ecuación general del movimiento
armónico simple:
x = A · sen (u · t + j0)
Tenemos que la pulsación y la amplitud del movimiento son:
u = 4 · π rad/s ; A = 25 cm = 0,25 m
b) La velocidad es la derivada de la elongación respecto al tiempo:
v=
[
(
)]
π
dx
d
=
25 · sen 4 · π · t –
2
dt
dt
(
π
v = 100 · π · cos 4 · π · t –
2
)
)
Luego, en el instante inicial, para t = 0:
(
(
π
= 25 · 4 · π · cos 4 · π · t –
2
x(0) = 25 · sen 4 · π · 0 –
(
)
( )
π
π
= 25 · sen –
= –25 cm
2
2
)
( )
π
π
= 100 · π · cos –
=0
2
2
c) Teniendo en cuenta la relación trigonométrica:
v(0) = 100 · π · cos 4 · π · 0 –
sen (a – b) = sen a · cos b – cos a · sen b
La ecuación de la elongación escrita en función del coseno resulta:
(
x = 25 · sen 4 · π · t –
[
x = 25 · sen (4 · π · t) · cos
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
()
π
2
)
( )]
π
π
– cos (4 · π · t) · sen
2
2
= –25 · cos (4 · π · t)
89
d) La gráfica de la posición en función del tiempo es:
x (cm)
+ 25
T /4
T /2
T = 0,5
3T /2
2T t (s)
– 25
7. Deduce la expresión de la velocidad en función de la elongación de un m.a.s.
si la ecuación es x = A · sen (u · t). ¿Cuánto vale la velocidad cuando la elongación es máxima? ¿Para qué posición es máxima la velocidad y cuál es su valor?
¿En qué posición la velocidad es la mitad de ese valor máximo?
La ecuación de la velocidad es:
v=
dx
d
=
[A · sen (u · t)] = A · u · cos (u · t)
dt
dt
Teniendo en cuenta que:
cos a = ± √1 – sen2 a
podemos escribir:
v = A · u · cos (u · t) = ± A · u · √1 – sen2 (u · t)
Por tanto, la expresión de la velocidad en función de la posición es:
v = ±u · √A2 – A2 · sen2 (u · t) = ±u · √A2 – x 2
Cuando la elongación es máxima, x = ± A, la velocidad es nula:
v = ± u · √A2 – A2 = 0
La velocidad es máxima cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, x = 0, ya
que en ese momento la raíz cuadrada de la expresión anterior toma su máximo valor:
vmáx = ± u · √A2 – 02 = ± u · A
donde el doble signo significa que el cuerpo puede ir hacia la derecha (signo positivo) o hacia la izquierda (signo negativo).
Calculemos en qué posición la velocidad es la mitad de su valor máximo:
A2
u·A
A
= u · √A2 – x 2 8
= √A2 – x 2 8
= A2 – x2
4
2
2
Despejando, obtenemos:
√3
3
A2 3
= · A2 8 x = ±
x 2 = A2 –
· A2 = ± A ·
2
4 4
4
v=
√
Por tanto, el cuerpo no alcanza la mitad de su velocidad máxima cuando la elongación es la mitad de la amplitud, x = ± A/2, sino en los puntos:
x1 = A ·
90
√3
√3
; x2 = –A ·
2
2
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
8. Un cuerpo describe un m.a.s. de acuerdo con la ecuación:
x = 0,25 · sen (40 · t)
en unidades S.I. Calcula: a) La pulsación, la frecuencia y la amplitud del movimiento. b) La ecuación de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo. c) La velocidad y la aceleración máximas. d) La velocidad y la aceleración
para x = 0,15 m.
a) Al comparar la ecuación general de un movimiento armónico simple: x=A·sen(u·t)
con la del enunciado:
x = 0,25 · sen (40 · t)
a) observamos que la amplitud vale A = 0,25 m, y que la pulsación es u = 40 rad/s.
Como la pulsación está relacionada con la frecuencia por medio de la expresión
u = 2 · π · f, la frecuencia es:
f=
40
20
u
=
=
= 6,37 Hz
π
2·π 2·π
b) La ecuación de la velocidad que corresponde a este movimiento es:
v=
dx
d
=
[0,25 · sen (40 · t)] = 10 · cos (40 · t) m/s
dt
dt
y la aceleración vale:
a=
dv
d
=
[10 · cos (40 · t)] = –400 · sen (40 · t) m/s2
dt dt
c) La velocidad es máxima cuando cos (40 · t) = 1; luego:
vmáx = 10 m/s
Y la aceleración es máxima cuando sen (40 · t) = –1; luego:
amáx = 400 m/s2
d) Para calcular la velocidad y la aceleración para x = 0,15 m, lo más cómodo es utilizar las expresiones de la velocidad y de la aceleración en función de la elongación:
v = ±u · √A2 – x2 = ±40 · √0,252 – 0,152 = ±40 · √0,04 = ±40 · 0,2 = ±8 m/s
a = –u 2 · x = –402 · 0,15 = –240 m/s2
También se podía calcular sustituyendo el valor de la posición en la expresión de
la elongación:
0,15
x = 0,15 = 0,25 · sen (40 · t) 8 sen (40 · t) =
= 0,6
0,25
Por tanto, para x = 0,15 m:
sen j = 0,6 8 cos j = ± √1 – sen2 j = ± √1 – 0,062 = ±0,8
Entonces, la velocidad es:
v = 10 · cos (40 · t) = ±10 · 0,8 = ±8 m/s
Y la aceleración:
a = –400 · sen (40 · t) = –400 · 0,6 = –240 m/s2
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
91
9. Dada la siguiente gráfica x-t de un m.a.s., calcula: a) El período y la amplitud
del movimiento. b) La ecuación de la elongación y de la velocidad en función
del tiempo. c) La velocidad y la aceleración máximas. d) La velocidad para
t = 0,1 s y t = 0,3 s.
x (m)
+ 0,2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
t (s)
– 0,2
a) A la vista de la gráfica, deducimos que la amplitud del movimiento vale A = 0,2 m,
y el período, T = 0,4 s; por tanto, la frecuencia vale f = 1/T = 1/0,4 = 2,5 Hz, y la
pulsación es u = 2 · π · f = 2 · π · 2,5 = 5 · π rad/s.
b) Como para el instante inicial el cuerpo se encuentra en la posición de máxima
elongación, su ecuación es del tipo x = A · cos (u · t); luego, sustituyendo los valores conocidos, la ecuación de la elongación, en unidades del S.I., es:
x = 0,2 · cos (5 · π · t)
La ecuación de la velocidad, también en unidades del S.I., es:
v=
dx
d
=
[0,2 · cos (5 · π · t)] = –π · sen (5 · π · t)
dt
dt
c) La velocidad y la aceleración máximas son:
vmáx = π = 3,14 m/s
amáx = u2 · A = (5 · π)2 · 0,2 = 49,35 m/s2
d) La velocidad para t = 0,1 s vale:
v(0,3) = – π · sen (5 · π · 0,1) = –π · sen
π
= – π m/s
2
La velocidad para t = 0,3 s vale:
v(0,3) = –π · sen (5 · π · 0,3) = –π · sen
3·π
= –π · (–1) = π m/s
2
10. Una partícula efectúa un movimiento armónico simple de frecuencia 1 Hz.
Si en el instante t = 0 s su elongación es 1,40 cm y su velocidad 8,78 cm/s,
calcula: a) La amplitud y la fase inicial. b) La máxima velocidad de la partícula.
a) Si partimos de la ecuación general de la elongación en función del seno,
x = A · sen (u · t · j0), la ecuación de la velocidad es v = A · u · cos (u · t + j0).
Como la frecuencia es f = 1 Hz, la pulsación del movimiento vale:
u = 2 · π · f = 2 · π · 1 = 2 · π rad/s
92
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
Como las condiciones iniciales del movimiento son x0 = 1,4 cm y v0 = 8,78 cm/s:
x0 = 1,4 = x(0) = A · sen j0
[1]
8,78
= 1,4
2·π
Dividiendo miembro a miembro [1] entre [2], obtenemos la fase inicial, j0:
v0 = 8,78 = A · 2 · π · cos j0 8 A · cos j0 =
[2]
A · sen j0 1,4
π
=
8 tg j0 = 1 8 j0 = 45° = rad
A · cos j0 1,4
4
Y elevando ambas ecuaciones al cuadrado y sumándolas, la amplitud resulta:
(A · sen j0)2 + (A · cos j0)2 = 1,42 + 1,42 8 A2 = 3,92 8 A = 1,98 cm
Con estos valores de la amplitud y la fase inicial, la ecuación del movimiento queda:
π
x = 1,98 · sen 2 · π · t +
4
b) La velocidad máxima de una partícula que describe un m.a.s. viene dada por:
(
)
vmáx = A · u 8 vmáx = 1,98 · 2 · π = 12,44 cm/s
11. Un cuerpo que realiza un m.a.s. alcanza una velocidad máxima de 1,1 m/s, y
su máxima aceleración es de 24,2 m/s2. Calcula la amplitud y la frecuencia de
las oscilaciones.
La velocidad máxima y la aceleración máxima de este m.a.s. son:
vmáx = A · u = 1,1 m/s
[1]
amáx = A · u 2 = 24,2 m/s2
[2]
Dividiendo [2] entre [1], obtenemos la frecuencia:
A · u2
u
24,2
22
=
8 u = 22 rad/s 8 f =
=
= 3,5 Hz
1,1
2·π 2·π
A·u
Y sustituyendo en [1], la amplitud resulta:
A · 22 = 1,1 8 A = 0,05 m
12. Demuestra que un cuerpo que efectúa un m.a.s. tarda la mitad de tiempo en
ir del origen a +A/2 que en ir de +A/2 a +A. Comprueba este resultado si la
ecuación del movimiento es x = 2 · sen (π · t /6).
Si expresamos la pulsación en función del período, T, la ecuación de la elongación es:
(
)
2·π
·t
T
Esta ecuación corresponde al movimiento de un cuerpo que en el instante inicial se
encuentra en la posición de equilibrio:
x = A · sen (u · t) = A · sen
x0 = x(0) = 0
Para x = A/2, tenemos:
2·π
2·π
2·π
π
1
A
T
= A · sen
· t 8 sen
·t =
8
·t=
8 t=
T
T
T
6
2
2
12
Para x = A, tenemos:
2·π
2·π
2·π
π
T
A = A · sen
· t 8 sen
·t =1 8
·t=
8 t=
T
T
T
2
4
(
(
)
)
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
(
(
)
)
93
Es decir, para t = 0, el cuerpo está en el origen; para t = T/12, se encuentra en x =
= A/2, y para t = T/4, está en x = A.
x=0
x = A /2
v = vM
x = +A
v>0
O
+X
t1
t2
v=0
Por tanto, en ir desde el origen, x = 0, hasta el punto x = A/2, el cuerpo tarda un
tiempo:
T
T
t1 =
–0=
s
12
12
Y en ir desde x = A/2 hasta el extremo, x = A, tarda un tiempo:
t2 =
T
T
3·T–T 2·T
T
–
=
=
= s = 2 · t1
4 12
12
12
6
Vemos que t2 = 2 · t1. Este resultado, aunque parezca extraño, es lógico, pues el
cuerpo va muy rápido cuando está cerca de la posición de equilibrio, y muy lento
cuando se acerca o se aleja de un extremo.
Podemos particularizar estos resultados para el caso del problema:
( )
π
·t
6
– Para t = 0:
8
}
x = 2 · sen
A=2m
2·π 2·π
π
=
= 12 s
u = rad/s 8 T =
u
π/6
6
x(0) = 2 · sen
– Para t =
12
T
=
= 1 s:
12 12
x(3) = 2 · sen
– Para t =
π·0
=0
6
π·1
=2·1=2m
6
12
T
=
= 3 s:
4
4
x(1) = 2 · sen
π·3
= 2 · 0,5 = 1 m
6
Por tanto, el cuerpo tarda 1 segundo en ir desde x = 0 a x = 1 m, y emplea 2 segundos en pasar de x = 1 m a x = 2 m.
13. Un cuerpo de masa 0,4 kg describe un movimiento armónico simple de período 0,5 s. Sus condiciones iniciales (para t = 0) son x0 = 0,43 m y v 0 = 3,14 m/s.
Calcula: a) La amplitud y la fase inicial. b) La ecuación del movimiento. c) La
energía cinética máxima del cuerpo.
a) La ecuación general del movimiento y la de la velocidad son:
x = A · sen (u · t + j0) ; v = A · u · cos (u · t + j0)
Como el período vale 0,5 s, la pulsación del movimiento es:
2·π 2·π
u=
=
= 4 · π rad/s
T
0,5
94
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
Como las condiciones iniciales del movimiento son x0 = 0,43 m y v0 = 3,14 m/s:
x0 = 0,43 = x(0) = A · sen j0 8 A · sen j0 = 0,43
v0 = 3,14 = A · 4 · π · cos j0 8 A · cos j0 =
3,14
= 0,25
4·π
[1]
[2]
Dividiendo [1] entre [2], obtenemos la fase inicial:
A · sen j0 0,43
π
=
= 1,72 8 tg j0 = 1,72 8 j0 = 60° = rad
A · cos j0 0,25
3
Elevando ambas ecuaciones al cuadrado y sumándolas, tenemos:
(A · sen j0)2 + (A · cos j0)2 = 0,432 + 0,252 8 A2 = 0,432 + 0,252
A = √0,432 + 0,252 = 0,5 m
b) Teniendo en cuenta los valores obtenidos, la ecuación del movimiento es:
π
x = 0,5 · sen 4 · π · t +
3
(
)
c) La energía cinética del cuerpo es Ec = (1/2) · m · v 2, y alcanza su valor máximo
cuando la velocidad es máxima:
1
1
2
v = vmáx = A · u = 0,5 · 4 · π = 6,28 m/s ; Ec. máx = · m · vmáx
= · 0,4 · 6,282 = 7,89 J
2
2
14. Un cuerpo de 2 kg de masa unido al extremo de un muelle realiza 20 oscilaciones cada segundo. Calcula: a) La constante elástica del muelle. b) El valor
de la fuerza resultante cuando la elongación valga 5 cm.
a) Como el cuerpo realiza 20 oscilaciones cada segundo, f = 20 Hz, y su pulsación es:
u = 2 · π · f = 2 · π · 20 = 40 · π rad/s
La constante elástica del muelle vale:
k = m · u2 = 2 · (40 · π)2 = 31 583 N/m
b) Cuando la elongación vale 5 cm, la fuerza sobre el cuerpo vale:
F = k · x = 31 583 · 0,05 = 1 580 N
15. La constante recuperadora de un oscilador armónico vale 50 N/m, y su masa
es de 2 kg. Calcula: a) La frecuencia del oscilador. b) La fuerza máxima que
actúa sobre el cuerpo si la amplitud de las oscilaciones es de 10 cm. c) ¿Y si la
amplitud fuese de 20 cm?
a) Sustituyendo y despejando en la expresión que relaciona la masa y la pulsación
con la constante recuperadora, obtenemos el valor de la pulsación:
k = m · u2 8 50 = 2 · u2 8 u2 = 25 8 u = 5 rad/s
La frecuencia vale:
u
5
=
= 0,8 Hz
2·π 2·π
b) Si la amplitud vale A = 10 cm = 0,1 m, la fuerza máxima es:
f=
Fmáx = k · A = 50 · 0,1 = 5 N
c) Si la amplitud se duplica, la fuerza máxima también se duplica:
A4 = 2 · A = 0,2 m 8 F máx
4 = k · A4 = 50 · 0,2 = 10 N
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
95
16. Calcula la masa del cuerpo que hemos de unir a un muelle de constante elástica k = 39,5 N/m para que el sistema oscile con una frecuencia de 2 Hz. ¿Cuál
sería el valor de la masa para que la frecuencia fuese de 1 Hz?
Si el cuerpo oscila con una frecuencia de 2 Hz, su pulsación vale:
u = 2 · π · f = 2 · π · 2 = 4 · π rad/s
Y como k = m · u , el valor de la masa que hemos de unir al muelle es:
2
39,5
= 0,25 kg
157,9
Para analizar cómo varía la masa al variar la frecuencia, escribimos la expresión de
la constante recuperadora de modo que aparezca esta magnitud:
39,5 = m · (4 · π)2 = m · 157,9 8 m =
k
4 · π2 · f 2
Si deseamos que en el segundo caso oscile con una frecuencia igual a la mitad del
primer caso, entonces: f 4 = f /2. Por tanto, la relación entre las masas m y m 4 que
oscilan a frecuencias f y f 4, será:
k
m 4 4 · π2 · f 42 f 2 f 2
=
= 2 = 2 = 4 8 m 4 = 4 · m 8 m4 = 4 · 0,25 = 1 kg
f
f4
m
k
2
2
2
4·π ·f
k = m · u2 = m · (2 · π · f )2 = m · 4 · π2 · f 2 8 m =
()
17. Al colocar un bloque de 2 kg suspendido de un resorte se produce un alargamiento de 4 cm. Si, a continuación, se le estira otros 5 cm y se suelta dejándolo oscilar libremente, el bloque describe un m.a.s. Calcula: a) La constante
elástica del muelle. b) La frecuencia de las oscilaciones. c) La fuerza máxima
que actúa sobre el bloque. d) La ecuación del movimiento.
a) Al colgar el bloque de 2 kg, el muelle se estira hasta que la fuerza elástica contrarresta el peso, es decir, hasta que los módulos de ambas fuerzas son iguales:
19,6
Fe = P 8 k · x = m · g 8 k · 0,04 = 2 · 9,8 = 19,6 8 k =
= 490 N/m
0,04
b) La frecuencia la obtenemos a partir de la expresión que relaciona la pulsación
con la masa y con la constante recuperadora:
u
15,65
k = m · u2 8 490 = 2 · u2 8 u = 15,65 rad/s 8 f =
=
= 2,5 Hz
2·π 2·π
c) Al estirarlo 5 cm por debajo de la posición de equilibrio, la amplitud del movimiento vale 5 cm y, por tanto, la fuerza máxima sobre el bloque es:
Fmáx = k · A = 490 · 0,05 = 24,5 N
Ten en cuenta que hemos medido la elongación del muelle desde la posición de
equilibrio, donde el peso queda contrarrestado por la fuerza elástica. Obtenemos
el mismo resultado si tenemos en cuenta el peso y medimos la deformación del
muelle desde su longitud habitual:
F = Fe – P = k · x 4 – m · g = 490 · 0,09 – 2 · 9,8 = 44,1 – 19,6 = 24,5 N
d) Como A = 0,05 m y u = 2 · π · f = 2 · π · 2,5 = 5 · π rad/s, y el cuerpo inicia su movimiento en el extremo positivo, la ecuación de su movimiento, en unidades S.I., será:
x = A · cos (u · t) 8 x = 0,05 · cos (5 · π · t)
96
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
18. La ecuación del m.a.s. que describe un cuerpo de 0,1 kg es x = 0,2 · sen (2 · π · t).
Calcula: a) La expresión de la fuerza que actúa sobre el cuerpo en función de
la elongación y del tiempo. b) El valor máximo de la fuerza. c) Para qué posiciones y en qué instantes alcanza ese valor máximo.
a) A partir de la ecuación del movimiento, obtenemos las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo:
dx
dv –
= 0,4 · π · cos (2 · π · t) ; a =
= 0,8 · π2 · sen (2 · π · t) = –4 · π2 · x
dt
dt
Y como la fuerza es F = m · a, la expresión de la fuerza en función del tiempo es:
v=
F = m · a = 0,1 · [– 0,8 · π2 · sen (2 · π · t)] = – 0,08 · π2 · sen (2 · π · t)
En función de la elongación, la fuerza se expresa en la forma:
F = m · a = 0,1 · (–4 · π2 · x) = –0,4 · π2 · x
b) El valor máximo de la fuerza se obtiene cuando el seno alcanza su valor máximo,
y su valor es:
Fmáx = ±0,08 · π2 = ±0,79 N
donde el doble signo indica que esta fuerza toma ese valor en ambos sentidos.
c) Si hacemos F = Fmáx en la expresión de la fuerza en función del tiempo, y despejamos t, obtenemos los instantes en que la fuerza es máxima:
–0,08 · π2 · sen (2 · π · t) = ±0,08 · π2 8 sen (2 · π · t) = ±1
π
2·n+1
8 t=
; n = 0, 1, 2, ...
2
4
Luego, para t = 0,25 s, 0,75 s, 1,25 s, 1,75 s, etc., la fuerza es máxima.
2 · π · t = (2 · n + 1) ·
Del mismo modo, si hacemos F = Fmáx en la expresión en función de la elongación, tenemos:
F = – 0,4 · π2 · x = ±0,08 · π2 8 x = ±0,2 m
Por tanto, la fuerza es máxima cuando la elongación alcanza los valores x = ±0,2 m.
19. Dos cuerpos de igual masa realizan un m.a.s. de igual amplitud; si la frecuencia del primero es la mitad de la del segundo, determina la relación entre:
a) Sus períodos. b) Sus velocidades máximas. c) La fuerza máxima que actúa
sobre cada cuerpo.
Si la frecuencia del primero, f1, es la mitad de la del segundo, f2, entonces f2 = 2 · f1.
a) La relación entre los períodos del m.a.s. de ambos cuerpos será, por tanto:
1 °
1
f1 §
f2
T2
f
f
T
1
= 1 = 1 = 8 T2 = 1
¢8 T =
2
f
2
·
f
2
1 §
1
1
2
1
T2 =
f2 £
f1
T1 =
b) La velocidad máxima de un m.a.s. es:
vmáx = A · u = A · 2 · π · f
Como ambos tienen la misma amplitud, la relación entre sus velocidades será:
A · 2 · π · f2
v2
f
2 · f1
=
= 2 =
= 2 8 v2 = 2 · v1
A · 2 · π · f1
v1
f1
f1
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
97
c) La fuerza máxima viene dada por la expresión:
Fmáx = k · A = m · u2 · A = m · 4 · π2 · f 2 · A
Por tanto:
f22
m · 4 · π2· f22 · A
F2
(2 · f1)2
=
=
=
= 4 8 F2 = 4 · F1
f12
F1 m · 4 · π2 · f12 · A
f12
20. Un cuerpo de 100 g de masa realiza un m.a.s. cuya gráfica x-t es la de la figura. Calcula: a) La velocidad inicial del cuerpo. b) Su aceleración para t = 1 s y
t = 3 s. c) El valor y el sentido de la fuerza que actúa sobre él para t = 0,25 s y
t = 0,75 s.
x (cm)
+8
0,25
0,5 0,75
1 1,25
1,5 1,75
2 t (s)
–8
La gráfica muestra que la amplitud del movimiento y su período valen:
A = 8 cm ; T = 1 s
Luego, su frecuencia y su pulsación valen:
f=
1
= 1 Hz 8 u = 2 · π · f = 2 · π · 1 = 2 · π rad/s
T
a) Como para t = 0 el cuerpo se encuentra en el origen de coordenadas y va hacia
elongaciones positivas, entonces su velocidad inicial es la velocidad máxima y es
positiva, es decir:
v0 = A · u = 0,08 · 2 · π = 0,5 m/s
b) Para obtener la aceleración del cuerpo, utilizaremos la relación a = –u 2 · x. Para
ello, calcularemos, previamente, la elongación del cuerpo en esos instantes:
– Para t = 1 s, el cuerpo está en el origen, x = 0. Por tanto, a = 0.
– Para t = 3 s, han transcurrido dos períodos desde el instante anterior; por tanto,
el cuerpo se encuentra en el mismo estado de oscilación; es decir, vuelve a estar en el origen, x = 0, y con aceleración nula, a = 0.
c) La fuerza que actúa sobre el cuerpo es F = m · a = –k · x. Para obtenerla, procedemos como en el apartado anterior:
– Para t = 0,25 s, el cuerpo se encuentra en x = +A = 0,08 m, luego:
F = m · a = –m · u2 · x = – 0,1 · (2 · π)2 · 0,08 = – 0,32 N
– Para t = 0,75 s, el cuerpo se encuentra en x = –A = –0,08 m, luego:
F = m · a = –m · u2 · x = –0,1 · (2 · π)2 · (–0,08) = 0,32 N
98
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
21. Un péndulo simple está formado por una cuerda de 6,2 m y una masa puntual de 2 kg que separamos 5° de la vertical y dejamos oscilar libremente.
Calcula: a) El período y la amplitud de las oscilaciones. b) La tensión de la
cuerda y la fuerza resultante sobre el cuerpo cuando la elongación es máxima. Dato: g = 9,8 m · s–2.
a) El período de un péndulo simple es:
√
T=2·π·
√
l
=2·π·
g
6,2
=5s
9,8
La amplitud de las oscilaciones coincide con la distancia que se separa el cuerpo
de la vertical:
A = l · sen a = 6,2 · sen 5° = 0,54 m
b) La tensión, T, queda contrarrestada por la componente Py del peso; por tanto:
T = Py = m · g · cos a = 2 · 9,8 · cos 5° = 19,52 N
La fuerza neta sobre el cuerpo es la componente Px del peso:
F = Px = m · g · sen a = 2 · 9,8 · sen 5° = 1,7 N
NOTA: Consúltese la figura del péndulo simple de la página 91 del libro del alumno si se considera necesario.
22. Calcula el período de un péndulo en la Luna si su período en la Tierra es de
2 s, sabiendo que el valor de la gravedad en la Tierra es g T = 9,81 m · s–2, y en
la Luna, g L = 1,62 m · s–2.
La longitud del péndulo para que su período en la Tierra sea de 2 segundos es:
T=2·π·
√
( )
l
T
8 l=g·
g
2·π
2
= 9,81 ·
( )
2
2·π
2
= 0,994 m
Con esta longitud, su período en la Luna será:
T=2·π·
√
l
=2·π·
g
√
0,994
= 4,92 s
1,62
Obtenemos el mismo resultado si comparamos el período de dos péndulos que tienen la misma longitud pero situados en puntos donde la gravedad es distinta:
T2
=
T1
2·π·
√
√
√
l
g2
–––––––––––
2·π·
l
g1
=
g1
T
8 2 =
g2
2
√
9,81
8 T2 = 4,92 s
1,62
23. Un cuerpo de 2 kg de masa realiza un m.a.s. de 20 Hz de frecuencia y 20 cm de
amplitud. Calcula: a) Su energía potencial máxima. b) La energía cinética en
la posición de equilibrio. c) Las energías cinética y potencial para x = 10 cm.
a) La energía potencial máxima coincide con la energía mecánica del cuerpo:
1
1
1
Ep. máx = Em = · k · A2 = · m · u2 · A2 =
· m · 4 · π2 · f 2 · A2
2
2
2
Ep. máx =
1
· 2 · 4 · π2 · 202 · 0,22 = 631,65 J
2
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
99
b) Cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, su elongación es nula,
x = 0, y, por tanto, su energía potencial también lo es:
Ep =
1
· k · x2 = 0
2
Por tanto, su energía cinética en esa posición coincide con la energía mecánica:
Ec = Em = 631,65 J
c) Para x = 0,1 m, la energía potencial es:
Ep =
1
1
1
· k · x 2 = · m · u2 · x 2 = · m · 4 · π2 · f 2 · x 2
2
2
2
Ep =
1
· 2 · 4 · π2 · 202 · 0,12 = 157,91 J
2
Y la energía cinética:
Ec = Em – Ep = 631,65 – 157,91 = 473,74 J
24. La ecuación del m.a.s. que describe un cuerpo de 0,2 kg es x = 0,5 · sen (2 · π · t).
Calcula:
a) La amplitud, la frecuencia y el período.
b) La fuerza sobre el cuerpo en cada instante.
c) Las energías cinética, potencial y total del cuerpo en función del tiempo.
d) Dibuja las gráficas Ec-t, Ep-t y Em-t.
a) Comparando la ecuación del enunciado con la ecuación general del movimiento,
x = A · sen (u · t), tenemos que:
1
u
2·π
A = 0,5 m ; u = 2 · π rad/s ; u = 2 · π · f 8 f =
=
= 1 Hz ; T = = 1 s
f
2·π 2·π
b) La constante de proporcionalidad entre la fuerza y la elongación es:
k = m · u2 = 0,2 · (2 · π)2 = 7,9 N/m
Entonces, la fuerza resultante sobre el cuerpo es:
F = –k · x = –k · A · sen (u · t) = –7,9 · 0,5 · sen (2 · π · t) = –3,95 · sen (2 · π · t) N
c) La velocidad del cuerpo en función del tiempo es:
v=
dx
= 0,5 · 2 · π · cos (2 · π · t) = π · cos (2 · π · t) m/s
dt
Por tanto, la energía cinética en función del tiempo vale:
Ec =
1
1
· m · v 2 = · 0,2 · π2 · cos2 (2 · π · t) = 0,99 · cos2 (2 · π · t) J
2
2
La energía potencial en función del tiempo es:
Ep =
1
1
· k · x 2 = · 7,9 · 0,52 · sen2 (2 · π · t) = 0,99 · sen2 (2 · π · t) J
2
2
La energía total del cuerpo es la energía mecánica, suma de la energía cinética
más la energía potencial, luego:
E = Ec + Ep = 0,99 · cos2 (2 · π · t) + 0,99 · sen2 (2 · π · t) = 0,99 J
100
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
d) Las gráficas de Ec-t (línea de trazos), Ep-t (línea de puntos) y E-t (línea negra) del
cuerpo son las que se representan a continuación:
E
E = 0,99 J
Ec = 0,99· cos 2 (2 · π ·t ) J
Ep = 0,99 · sen 2 (2 · π ·t ) J
0,25
0,75
0,5
1
t (s)
25. Una masa de 0,1 kg está unida a un muelle horizontal de constante recuperadora k = 40 N/m. El muelle se comprime 10 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Calcula:
a) La elongación en función del tiempo.
b) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la
trayectoria.
c) La energía mecánica del sistema y las energías cinética y potencial a 2 cm
de uno de los extremos de la trayectoria.
Al dejarlo en libertad, el muelle oscila con una frecuencia angular:
u=
√ √
k
=
m
40
= 400 = 20 rad/s
0,1 √
a) El cuerpo inicia su movimiento desde la posición de máxima contracción
del muelle, es decir, x0 = –A = – 0,1 m. Por tanto, la ecuación del movimiento es
x = A · sen (u · t – π/2), o, lo que es lo mismo, x = –A · cos (u · t). Teniendo en
cuenta los datos de A y u, tenemos:
(
x = 0,1 · sen 20 · t –
)
π
= –0,1 · cos (20 · t)
2
b) Cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria, el valor de la
fuerza es el que corresponde a la fuerza máxima:
F = k · A = 40 · 0,1 = 4 N
c) La energía mecánica del sistema es:
Em =
1
1
· k · A2 = · 40 · 0,12 = 0,2 J
2
2
Si el cuerpo está a 2 cm de uno de los extremos, se encuentra a 8 cm de la posición de equilibrio, por lo que su elongación vale x = ±0,08 m. Sus energías potencial y cinética en ese punto valen:
Ep =
1
1
· k · x2 = · 40 · 0,082 = 0,128 J ; Ec = Em – Ep = 0,2 – 0,128 = 0,072 J
2
2
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
101
26. La fuerza que actúa sobre un cuerpo de 0,2 kg unido a un muelle en función
de la elongación es la representada en la figura. Calcula: a) La energía mecánica de este oscilador. b) La máxima velocidad del cuerpo. c) El período de
sus oscilaciones.
F (N)
10
– 0,2
– 0,1
0,1
0,2
x (m)
– 10
A la vista de la gráfica del enunciado, la constante recuperadora del muelle es:
10
F
k=
=
= 50 N/m
0,2
x
Y la amplitud de las oscilaciones:
A = 0,2 m
a) La energía mecánica del oscilador es:
1
1
Em = · k · A2 = · 50 · 0,22 = 1 J
2
2
b) El cuerpo alcanza su máxima velocidad cuando pasa por la posición de equilibrio,
pues en ese instante su energía potencial es nula y toda su energía es cinética.
Despejando en la expresión de la energía cinética, la velocidad máxima resulta:
Ec. máx = Em =
1
2
· m · vmáx
8 vmáx =
2
√
2 · Ecmáx
=
m
√
2 · Em
=
m
c) Teniendo en cuenta que k = m · u , el período resulta:
√
2·1
= 3,16 m/s
0,2
2
T=
2·π
=2·π·
u
√
m
=2·π·
k
√
0,2
= 0,4 s
50
27. Calcula la relación entre las energías cinética y potencial de un oscilador armónico cuando la elongación es la mitad de la amplitud.
La energía potencial para x = A/2 vale:
Ep =
()
A
1
·k·
2
2
2
=
1
· k · A2
8
La energía total o mecánica de un oscilador es la suma de la energía cinética más la
energía potencial. Por tanto, la energía cinética en el punto indicado vale:
1
1
1
3
Em = · k · A2 8 Ec = Em – Ep = · k · A2 – · k · A2 = · k · A2
2
2
8
8
Entonces, la relación entre las energías cinética y potencial para x = A/2 es:
3
· k · A2
Ec 8
=
= 3 8 Ec = 3 · Ep
Ep 1
· k · A2
8
102
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
28. Tenemos dos osciladores armónicos de constantes k2 = 2 · k1 y masas
m2 = 2 · m1. Si la amplitud del oscilador 2 es el doble que la del 1, calcula la relación entre:
a) Los períodos de ambos osciladores.
b) La pulsación de cada uno.
c) La energía mecánica de cada uno.
d) Las velocidades máximas de ambos.
e) La fuerza máxima sobre cada uno.
De acuerdo con el enunciado, tenemos los siguientes datos:
m2 = 2 · m1 ; k2 = 2 · k1 ; A2 = 2 · A1
a) La relación entre los períodos es:
T2
T1
=
2·π
u2
2·π
u1
=
u1
u2
=
√
√
k1
m1
k2
m2
=
√
k1 · m2
=
k2 · m1
√
k1 · 2 · m1
=1
2 · k1 · m1
Los períodos de ambos osciladores son iguales.
b) Para la pulsación, resulta:
u2
u1
=
2·π
T2
2·π
T1
=
T1
T2
=1
Las pulsaciones de ambos osciladores son iguales.
c) La relación entre las energías mecánicas de los osciladores es:
1
· k · A22
E2 2 2
k · A22 2 · k1 · (2 · A1)2
=
= 2
=
=8
E1 1
k1 · A12
k1 · A12
2
· k · A1
2 1
Por tanto, la energía mecánica del oscilador 2 es ocho veces la del oscilador 1:
E2 = 8 · E1
d) La relación entre las velocidades máximas de ambos osciladores es:
v2 A2 · u2 2 · A1 · u1
=
=
=2
A1 · u1
v1 A1 · u1
Entonces, la velocidad máxima del oscilador 2 es el doble que la del 1:
v2 = 2 · v1
e) La relación entre las fuerzas máximas de ambos osciladores es:
F2
=
k2 · A2
2 · k1 · 2 · A1
=4
F1 k1 · A1
k1 · A1
Esto es, la fuerza máxima sobre el oscilador 2 es el cuádruple que la fuerza máxima
sobre el oscilador 1:
F2 = 4 · F1
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
=
103
29. Una niña de 20 kg se balancea con una amplitud de 30 cm en un columpio,
cuyas cuerdas miden 3 m. Calcula:
a) El tiempo que tarda en hacer una oscilación.
b) La energía cinética de la niña y su velocidad máxima.
a) Considerando el columpio como un péndulo simple de 3 m de longitud, el período de las oscilaciones, es decir, el tiempo que tarda en hacer una oscilación, es:
l
3
T=2·π·
=2·π·
= 3,48 s
9,8
g
√
√
b) La energía mecánica de la niña en el columpio es:
1
E=
2
· k · A2 =
E=
1
2
1
2
· m · u2 · A2 =
· 20 ·
4 · π2
3,482
1
2
·m·
4 · π2
T2
· A2
· 0,32 = 2,93 J
y coincide con la energía cinética máxima; luego:
Ec. máx = E = 2,93 J
La velocidad máxima es:
vmáx =
√
2 · Ec. máx
=
m
√
2 · 2,93
= 0,54 m/s
20
30. Calcula para qué valores de la posición de un cuerpo que realiza un movimiento armónico simple:
a) Su energía cinética es igual a su energía potencial.
b) La energía potencial es la cuarta parte de su energía mecánica.
a) En un oscilador armónico, la energía mecánica vale:
Em =
1
2
· k · A2
Y como esta es la suma de las energías cinética y potencial, si igualamos la energía cinética a la potencial y sustituimos en el cálculo de la energía total, tenemos:
Ec = Ep =
E=
1
2
1
2
· k · x2
· k · A2 = Ec + Ep = 2 · Ep = 2 ·
1
2
· k · x2 = k · x2
Desarrollando y despejando, las posiciones en las que ambas energías coinciden son:
1
1
A
· k · A2 = k · x 2 8 x 2 = · A2 8 x = ±
2
2
√2
b) Si la energía potencial es la cuarta parte de la energía mecánica, entonces:
Ep =
104
1
4
· Em 8
1
2
· k · x2 =
1
4
·
1
2
· k · A2 8 x 2 =
A2
4
8 x=±
A
2
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
31. La gráfica energía potencial-posición para un cuerpo de 60 g que efectúa un
m.a.s. cuya energía mecánica vale 4 J es la siguiente:
E (J)
4
Energía total
3
2
1
x (m)
0,1 0,2 0,3 0,4
Determina: a) La amplitud, la pulsación y el período de las oscilaciones.
b) Las energías cinética y potencial en los extremos y en el centro de la trayectoria. c) La velocidad para x = 0,2 m.
a) En la gráfica observamos que la energía potencial es igual a la energía total para
x = 0,4 m. Esto sucede cuando la energía potencial es máxima; luego, A = 0,4 m.
Sustituyendo en la expresión de la energía total y despejando, obtenemos el valor
de la constante k:
E=
1
2
· k · A2 8 4 =
1
2
· k · 0,42 8 k =
8
0,42
= 50 N/m
Y como m = 0,06 kg, la pulsación vale:
u=
√ √
k
=
m
50
= 28,87 rad/s
0,06
El período es:
T=
2·π 2·π
=
= 0,22 s
u
28,87
b) En los extremos, la energía cinética es nula y la potencial es máxima y coincide
con la total; por tanto:
Ec(A) = 0 ; Ep(A) = 4 J
En el centro de la trayectoria, que es la posición de equilibrio, la energía potencial es nula y la cinética, máxima, y coincide con la total:
Ep(0) = 0 ; Ec(0) = 4 J
c) Para x = 0,2 m, la energía potencial es:
1
1
Ep(0,2) = · k · x2 = · 50 · 0,22 = 1 J
2
2
Luego, la energía cinética vale:
Ec = E – Ep = 4 – 1 = 3 J
Y la velocidad en ese punto resulta:
v=
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
√
2 · Ec
=
m
√
2·3
= 10 m/s
0,06
105
32. La gráfica v-t de una partícula de masa m = 50 kg que oscila armónicamente a
lo largo del eje OX es la siguiente:
v (m /s)
+ 11
0,1
0,2
0,3
0,4 t (s)
– 11
Calcula: a) La amplitud y la frecuencia. b) La posición en función del tiempo.
c) La energía mecánica de la partícula. d) Las energías cinética y potencial de
la partícula para t = 0 y t = 0,05 s.
A la vista de la gráfica del enunciado, concluimos que el período y la velocidad máxima del movimiento valen:
T = 0,2 s ; vmáx = 11 m/s
a) Si el período es 0,2 s, la frecuencia y la pulsación valen:
1
1
2·π 2·π
f= =
= 5 Hz ; u =
=
= 10 · π = 31,4 rad/s
T 0,2
T
0,2
Y como la velocidad máxima es vmáx = A · u, entonces la amplitud es:
11
v
A = máx =
= 0,35 m
u
31,4
b) Si la velocidad es máxima y positiva en el instante inicial, entonces la elongación
inicial es nula y la partícula se dirige hacia los valores positivos de la elongación;
por tanto, su ecuación es del tipo:
x = A · sen (u · t)
Teniendo en cuenta los valores obtenidos en el apartado anterior, la ecuación de
la elongación en función del tiempo es:
x = 0,35 · sen (10 · π · t)
c) La energía mecánica de la partícula es:
1
1
1
Em = · k · A2 = · m · u2 · A2 = · 50 · (10 · π)2 · 0,352 = 3 023 J
2
2
2
d) Para t = 0, la elongación es x(0) = 0,35 · sen (10 · π · 0) = 0; por tanto, la energía
potencial es nula y la cinética coincide con la energía mecánica:
1
Ep(0) = · k · x 2 = 0 8 Ec(0) = Em = 3 023 J
2
Para t = 0,05 s, la elongación es:
x (0,05 s) = 0,35 · sen (10 · π · 0,05) = 0,35 · sen (0,5 · π) = 0,35 m
Como coincide con la amplitud, el cuerpo se encuentra en el extremo positivo;
entoncs, la energía potencial coincide con la energía mecánica y, por tanto, la
energía cinética es nula:
Ep(0,05 s) = Em = 3 023 J 8 Ec(0,05 s) = 0
106
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico