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Unidad Didáctica 5
Movimiento vibratorio
armónico
1.- Movimiento periódico.
Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando en intervalos de tiempos iguales,
llamados periodos, adquiere la misma posición, velocidad y aceleración.
Periodo, T: es el tiempo empleado en repetir un movimiento periódico. Unidad: segundo, s.
Un ejemplo de movimiento periódico es el movimiento de la Tierra alrededor del Sol. El
periodo de este movimiento, es decir, el tiempo que tarda la Tierra en volver a una misma
posición, es de un año.
Movimiento oscilatorio o vibratorio: es aquel en el que el cuerpo se
desplaza sucesivamente a uno y otro lado de su posición de equilibrio
repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variables cinemáticas. Es un
caso de movimiento periódico. Ejemplo: el movimiento de un péndulo, de un
diapasón, o el de un cuerpo unido a un muelle.
Una vibración u oscilación es el movimiento realizado durante un periodo.
Oscilación es lo mismo que vibración, pero se suele hablar de vibración
cuando se trata de oscilaciones rápidas o de alta frecuencia.
El movimiento de un planeta alrededor del Sol es periódico, pero no es vibratorio, porque no hay
una posición central de equilibrio en torno a la que se realiza el movimiento.
2.- Movimiento armónico simple (m.a.s).
En las siglas, a (armónico) quiere decir que la ecuación del movimiento se expresa mediante
funciones armónicas, como la función seno o la función coseno y s (simple) indica que es un
movimiento de una sola variable (unidimensional).
Supongamos un muelle que se aparta de su posición de equilibrio estable. Sobre él aparecen
fuerzas restauradoras que tienden a
devolverlo a su posición de equilibrio.
r
r
Frest =-k · Δ r
Donde k (N/m), es la constante elástica,
que es característica de cada tipo de muelle y
r
Δ r (m), es el desplazamiento respecto de la
posición de equilibrio.
La fuerza restauradora tiene sentido contrario al
vector desplazamiento y está dirigida siempre
hacia la posición de equilibrio.
Una partícula tiene un movimiento oscilatorio armónico simple (M.A.S.) cuando oscila bajo la
acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto de la posición
de equilibrio y cuyo sentido es hacia la posición de equilibrio.
Un oscilador armónico es cualquier cuerpo con movimiento armónico simple.
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
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2.1.- Magnitudes características del movimiento armónico simple.
Vibración u oscilación: distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de
vaivén. Unidad: m.
Centro de oscilación, O: punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas
alcanzadas por la partícula móvil.
Elongación, (x o y): posición, en cada instante, de la partícula que vibra respecto a la posición
central de equilibrio o centro de oscilación O. Es decir, es la distancia al centro de oscilación.
Se consideran positivos las valores de esta magnitud que estén a la derecha del punto O y
negativos a la izquierda. Se suele utilizar X para estudiar oscilaciones horizontales e Y para las
verticales. Unidad: m.
Amplitud, A: valor máximo de la elongación. Unidad: m.
Periodo, T, tiempo empleado por la partícula en efectuar
una oscilación completa. Es decir, el tiempo que tarda el
móvil en pasar dos veces consecutivas por el mismo sitio y
en el mismo estado de movimiento (velocidad,
aceleración,…). Unidad: s.
Frecuencia, f, número de oscilaciones efectuadas en la unidad de
tiempo. Es la inversa del periodo:
1
f=
T
Unidad: hercio (Hz). Equivale a: vibraciones/s = ciclos (s-1).
Frecuencia angular o pulsación, ω : es el número de periodos comprendidos entre 2π unidades
de tiempo:
2π
ω=
T
Tiene el mismo valor que la velocidad angular del movimiento circular uniforme. Unidad: rad/s.
3.- Cinemática del movimiento armónico simple.
3.1.- Posición. Ecuación del movimiento.
El m.a.s. guarda relación con un movimiento circular
uniforme. Si se representa la posición del cuerpo
frente al tiempo, en un movimiento circular uniforme,
se obtiene una gráfica como la de la figura, en la que
se puede observar que la posición es una función
sinusoidal del tiempo (función seno o coseno
dependiente del tiempo).
La posición, en función del tiempo del oscilador
armónico respecto a la posición de equilibrio viene
dada por la elongación, que, si se utiliza la proyección
sobre el eje Y, se trata de una función seno:
y = A · sen (ωt + ϕ0)
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
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Si se utiliza la proyección sobre el eje X, se trata de una función coseno: x = A · cos (ωt + ϕ0)
Donde A es la amplitud, ω es la velocidad angular, ϕ0 es la posición angular inicial o fase inicial
llamada también, constante de fase. La expresión ϕ = (ωt + ϕ0) es la fase del movimiento.
π⎞
⎛
Nota: cos α = sen⎜ α + ⎟
2⎠
⎝
y
π⎞
⎛
sen α = cos⎜ α − ⎟
2⎠
⎝
A veces conviene usar una u otra:
1. Si la oscilación empieza en la posición de máxima elongación, debe cumplirse que, para
t=0, y = A, la fase inicial ϕ0 = π/2 ⇒ y = A sen (ωt + π/2) = A cos ωt.
2. Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que, para t = 0, la fase
inicial es cero y la ecuación: y = A sen ωt = A cos (ωt ± π/2).
3. Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno
indistintamente.
3.2.- Velocidad en el movimiento armónico simple.
Para obtener la expresión de la velocidad hay que derivar la ecuación de la elongación (posición)
respecto al tiempo:
y = A · sen (ωt + ϕ0)
dy
v=
= A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕo )
dt
La velocidad en un movimiento armónico simple también es una función sinusoidal del tiempo
con el mismo periodo que la elongación.
Se puede expresar la velocidad en función de la elongación, teniendo en cuenta la ecuación
fundamental de la trigonometría: sen2 α + cos2 α = 1
En nuestro caso: sen 2 ( wt + ϕ0 ) + cos 2 ( wt + ϕ 0 ) = 1
Despejando: sen (ω·t + ϕ0) = 1 − cos 2 (ω ⋅ t + ϕ 0 )
Sustituyendo en la expresión de la velocidad:
v = ω A sen (ωt + ϕ0) = ω A 1 − cos 2 (ω ⋅ t + ϕ 0 ) = ω A 2 − A 2 cos 2 (ω ⋅ t + ϕ0 ) = ω A 2 − y 2
Como la raíz lleva doble signo para cada valor de y hay dos posibles velocidades (de ida o de
vuelta):
v = ± ω A2 − y2
•
•
•
El valor de la velocidad depende de la posición. Cada vez que la partícula pase por la misma
posición lo Hará con la misma velocidad.
La velocidad es cero cuando x = ± A ( extremos)
La velocidad es máxima cuando x = 0 (centro) v = ± ωA
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
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3.3.- Ecuación de la aceleración en el movimiento armónico simple.
Para obtener la expresión de la aceleración hay que derivar la ecuación de la velocidad respecto
al tiempo:
v = A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ o )
dv
a=
= −Aω 2sen (ω ⋅ t + ϕ0 )
dt
Expresándolo en función de la elongación: a = -ω2 y
La aceleración en un M.A.S. es una función armónica que depende sinusoidalmente de tiempo.
•
•
•
La aceleración es nula en la posición de equilibrio (y = 0)
Es máxima en los extremos en cuyo caso vale: a = –ω2A
La aceleración es directamente proporcional a la elongación pero de sentido contrario a ésta.
3.4.- Gráficas del movimiento armónico simple.
En un m.a.s con fase inicial cero:
y = A · sen ωt
π⎞
⎛
v = A ⋅ ω ⋅ cos ω ⋅ t = A ⋅ ω ⋅ sen⎜ ω + ⎟ ⋅ t
2⎠
⎝
2
a = − Aω senω ⋅ t
Representando la elongación, la velocidad y
la aceleración frente al tiempo se obtienen tres
gráficas similares y se puede observar que:
•
Las tres magnitudes x, v y a varían
periódicamente ya que vuelven a tomar
los mismo valores transcurrido un
período, T.
•
Las tres gráficas están desfasadas entre sí, pues ni se anulan a la vez ni alcanzan sus valores
máximos en el mismo instante. Por ejemplo, cuando la elongación es máxima la velocidad
es nula y la aceleración es mínima.
•
La velocidad está adelantada en un cuarto de periodo respecto de la elongación y la
aceleración está desfasada medio periodo respecto de de la elongación.
4.- Dinámica del movimiento armónico simple.
Un oscilador armónico está sometido a una fuerza restauradora que tiende en todo momento a
llevarlo a su posición de equilibrio. De acuerdo con la 2ª ley de Newton, esta fuerza producirá
una aceleración: F = m · a =- m ω2 y
En cada oscilador armónico m y ω son constantes, por lo que: k = - m ω2 es constante y queda:
F= -k·y
Expresión que ya conocemos como ley de Hooke, donde k es la constante elástica.
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
pag.4
•
Para el caso de un muelle la fuerza restauradora es la fuerza elástica cuyo valor viene dado
por la ley de Hooke:
Frest =-k · Δx = - k · y.
(Δx (alargamiento del muelle) coincide en el m.a.s. con la elongación y).
Igualando: - k · y = - m ω2 y ⇒ k = m ω2
2
4π 2
2π
⎛ 2π ⎞
⇒ k=m ⎜
Como ω =
⎟ =m 2
T
T
⎝ T ⎠
Despejando el periodo: T2 =
4π 2 m
⇒ T = 2π
k
m
k
Expresión que nos permite calcular el periodo de oscilación de un muelle.
La frecuencia de oscilación: f =
•
1
1
=
T 2π
k
m
Para el caso de un péndulo simple, (caso ideal: masa puntual colgada de un hilo
inextensible, de masa despreciable y sin rozamientos)
En este caso la fuerza restauradora es la componente tangencial del peso:
Pt = - m · g · sen θ
Si la oscilación es pequeña: sen θ =
Pt = - m · g ·
y
L
y
L
(Para oscilaciones grandes esto no es correcto)
y
g
= - m ω2 y ⇒
= ω2
L
L
2
2π
g ⎛ 2π ⎞
4π 2
⇒
=⎜
Como ω =
⎟ = 2
T
L ⎝ T ⎠
T
Igualando: - m · g ·
4π 2 L
⇒ T = 2π
Despejando el periodo: T =
g
2
L
g
Expresión que nos permite calcular el periodo de oscilación de un péndulo que no depende de la
masa ni del desplazamiento que le provoquemos (siempre que este sea pequeño).
La frecuencia de oscilación: f =
1
1
=
T 2π
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
g
L
pag.5
5.- Energía en el movimiento armónico simple.
5.1.- Energía cinética.
1
mv 2
2
Como la velocidad para un oscilador es: v = A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ o )
1
Ec = m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 (ω ⋅ t + ϕo )
2
2
2
Nota: sen α + cos α = 1
1
Ec = m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ (1 − sen 2 (ω ⋅ t + ϕo ))
2
1
1
Como k = ω2 · m ⇒ Ec = k ⋅ A 2 (1 − sen 2 (ω ⋅ t + ϕo )) = k ⋅ (A 2 − A 2sen 2 (ω ⋅ t + ϕo ))
2
2
Como y = A · sen (ωt + ϕ0):
1
Ec = k ⋅ (A 2 − y 2 )
2
La energía cinética de un oscilador armónico, varía entre un valor mínimo en los extremos (Ec =
1
0, ya que y = ±A) y un valor máximo en la posición de equilibrio ( Ec = kA 2 ya que y = 0).
2
5.2.- Energía potencial.
Sabemos que la energía cinética es: E c =
Es el trabajo realizado por la fuerza conservativa para llevar la partícula desde la posición y hasta
la posición de equilibrio.
o
⎡
1 ⎤ 1
y2 ⎤
⎡1
Epelástica = W = ∫ Felástica ⋅ dy = ∫ − k ⋅ y ⋅ dy ⎢− k ⎥ = − k ⎢ 0 2 − y 2 ⎥ = ky 2
2 ⎦ 2
2 ⎦y
⎣2
⎣
x
y
1
Como y = A · sen (ωt + ϕ0): Epelástica = kA 2sen 2 (ωt + ϕ0 )
2
0
0
La energía potencial de un oscilador armónico, varía entre un valor mínimo en la posición de
1
equilibrio (Ep =0, ya que y =0) y un valor máximo en los extremos ( Ep = kA 2 , ya que y=± A).
2
5.3.- Energía mecánica.
1
1
Como la energía cinética es: Ec = k ⋅ (A 2 − y 2 ) y la potencial es: Ep = ky 2
2
2
1
1
La energía mecánica será: Em = Ec + Ep = k ⋅ (A 2 − y 2 ) + ky 2
2
2
1
E m = kA 2
2
•
•
•
•
La energía mecánica solo depende de las características del
oscilador, k y de la amplitud, A.
Si no hay fuerzas de rozamiento (que disipen energía) la energía
mecánica permanece constante en el tiempo. Por tanto, la amplitud también será constante.
Se trata de un sistema conservativo. La energía potencial aumenta a medida que la energía
cinética disminuye y viceversa.
Se pueden hacer los cálculos de la energía en función de la elongación x, obteniéndose
expresiones análogas.
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
pag.6
6.- Oscilaciones forzadas y fenómenos de resonancia.
En los sistemas reales, la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo hasta pararse debido
al rozamiento con el aire. Es lo que ocurre, por ejemplo,
con un columpio, si dejamos de empujarlo.
Las oscilaciones, en este caso, reciben el nombre de
oscilaciones amortiguadas.
Un movimiento oscilatorio es amortiguado si la energía
mecánica de su movimiento disminuye gradualmente y va
disminuyendo, también, la amplitud de las oscilaciones
con el tiempo.
La elongación en estos casos viene dada por:
y = A0 e-bt cos (ωt)
Donde A0 es el desplazamiento inicial, b es la constante de amortiguamiento, ω es la
frecuencia angular o pulsación, que es característica de cada oscilador.
Las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales a la velocidad del cuerpo y de sentido
contrario: F = - b · v
Si b es cero no hay amortiguamiento. A medida que b aumenta disminuye la amplitud. Si b es
muy grande, el cuerpo volverá a su posición de equilibrio y no oscilará.
Se puede mantener la amplitud de las oscilaciones si un agente externo proporciona la energía
que se pierde por rozamiento.
Se llaman oscilaciones forzadas a las producidas en un sistema oscilante debido a la energía
suministrada por una fuerza externa de forma periódica.
El papel de la fuerza externa es aportar, mediante su trabajo, la energía que disipa el sistema. En
general la frecuencia angular o pulsación de la fuerza externa es distinta de la frecuencia angular
del sistema. Pero, cuando estas frecuencias coinciden, la amplitud de la las oscilaciones del
sistema aumenta drásticamente. Esto se conoce como resonancia.
Por ejemplo, para conseguir que un columpio, siga oscilando y elevándose cada vez a mayor
altura, hay que empujarlo de forma que nuestro impulso acompañe a su movimiento.
El fenómeno de resonancia se produce cuando se aplica sobre el sistema una fuerza externa
con una frecuencia angular que coincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema,
dando lugar a un aumento de la amplitud.
¡Atención!: La resonancia no se produce porque la fuerza externa sea muy grande sino porque
coinciden las frecuencias. Ejemplos:
• La resonancia hace que el aire dentro de una guitarra vibre con la misma frecuencia que vibra
una de sus cuerdas, de forma que la intensidad del sonido se ve amplificada
•
La sintonización de emisoras de radio o TV.
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
pag.7
•
En 1940, un puente colgante de nuevo diseño que se había inaugurado recientemente en
Tacoma (estado de Washington) se derrumbó. El puente, que había soportado fuertes vientos
sin problemas, en un día de viento suave sufrió una serie de oscilaciones y torsiones y se
cayó debido a que las turbulencias que creaba el viento a través de las estructuras del puente
tenían la misma frecuencia que la propia de oscilación del puente y entró en resonancia.
Resumen de fórmulas de M.A.S.
Frecuencia
Frecuencia angular o pulsación
Elongación
1
T
2π
ω=
T
y = A · sen (ωt + ϕ0)
f=
v=
Velocidad
dy
= A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕo )
dt
Aceleración máxima
v = ± ω A2 − y2
v = ± ωA
dv
a=
= − Aω 2sen (ω ⋅ t + ϕ0 )
dt
a = -ω2 y
a = –ω2A
Fuerza restauradora
Frest = - k · y
Constante elástica
k = m ω2
Periodo de oscilación de un muelle
T = 2π
m
k
Frecuencia de oscilación de un muelle
f=
1
2π
k
m
Periodo de oscilación de un péndulo
T = 2π
L
g
Velocidad máxima
Aceleración
Energía mecánica
1 g
2π L
1
Ec = m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 (ω ⋅ t + ϕo )
2
1
Ec = k ⋅ (A 2 − y 2 )
2
1 2
ky
2
1
E m = kA 2
2
Elongación en oscilaciones amortiguadas
y = A0 e-bt cos (ωt)
Frecuencia de oscilación de un péndulo
Energía cinética
Energía potencial elástica
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
f=
pag.8
Problemas de M.A.S.
1.- Una partícula animada de m.a.s. inicia el movimiento en el extremo positivo de su trayectoria
y tarda 0'25 s en llegar al centro de la misma. La distancia entre ambas posiciones es de 10 cm.
Calcula: a) El periodo y la frecuencia del movimiento. b) El número de vibraciones que realiza
en un minuto. c) La ecuación del movimiento. d) La posición de la partícula 0'5 s después de
iniciado el movimiento
2.- Una partícula material tiene un m.a.s. dado por la ecuación y = 5 · sen(πt -
π
), donde y viene
2
dado en centímetros cuando t se expresa en segundos. Determina: a) la amplitud, la pulsación, el
periodo, la frecuencia y la fase inicial. b) La fase, la elongación y la velocidad para t = 1/4 s.
3.- Una partícula de 250 g de masa vibra con m.a.s. de forma que, para t = 0, pasa por la posición
de equilibrio en sentido negativo. Si tarda 1 minuto y 40 segundos en dar 125 oscilaciones
completas y la distancia recorrida en una oscilación completa es de 6,48 m, calcula: a) Las
constantes del movimiento; b) La ecuación del movimiento, expresada en seno y coseno; c) La
velocidad y aceleración máximas.
4.- Un oscilador vibra de forma que para t=0 se encuentra a 4 cm de la posición de equilibrio con
una velocidad v0 = 87 cm/s. Si la frecuencia del movimiento es de 2 Hz, calcula: a) La fase
inicial y la amplitud del movimiento; b) La elongación y la velocidad en el instante t = 0,5 s; c)
El valor máximo de la velocidad.
5.- Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en la
forma x = A sen ωt. En la figura se representa la velocidad de esta
partícula en función del tiempo.
a) Determina la frecuencia angular y la amplitud de la oscilación.
b) Calcula la energía cinética de m en el instante t1 = 0'5 s y la
potencial en t2 = 0'75 s.
¿Coinciden? ¿Por qué?
6.- Se tiene un cuerpo de masa m = 10 kg
que realiza un movimiento armónico
simple. La figura es la representación de
su elongación, y, en función del tiempo, t .
Calcula:
a) La ecuación matemática del movimiento
armónico y(t) con los valores numéricos
correspondientes que se tienen que deducir
de la gráfica.
b) La velocidad de dicha partícula en función del tiempo y su valor concreto en t = 5 s.
7.- Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de 2 kg en su extremo libre y se requiere una fuerza de 8
N para mantenerlo a 20 cm del punto de equilibrio. Si el cuerpo realiza un m.a.s. al soltarlo,
halla: a) la constante recuperadora del resorte; b) el periodo de su oscilación.
8.- En una catedral hay una lámpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a
2 m del suelo. Se observa que oscila levemente con una frecuencia de 0'1 Hz. ¿Cuál es la altura,
h, de la nave? Dato: g = 9'8 m/s2.
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
pag.9
9.- La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente horizontal y
armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un periodo T = 2 s y una amplitud
A= 2 cm. a) Obtén la ecuación de la velocidad de la bolita en función del tiempo y represéntala
gráficamente. Toma origen de tiempo (t = 0) en el centro de la oscilación.
b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde la
intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte del terrestre?
10.- Un péndulo simple está construido con una bolita suspendida de un hilo de longitud L=2m.
Para pequeñas oscilaciones, su periodo de oscilación en un cierto lugar resulta ser T= 2'84 s.
Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar donde se ha medido el periodo.
11.- El cuerpo de la figura tiene masa, m = 0'5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal
sin rozamiento y sujeto al extremo de un resorte de
constante recuperadora k = 20 N/m. Partiendo de la
posición de equilibrio, x = 0, se desplaza el bloque 5 cm
hacia la derecha y se libera con velocidad inicial nula, de
forma que empieza a oscilar armónicamente en torno a
dicha posición.
a) Calcula el periodo de oscilación.
b) Calcula las energías cinética y potencial de m en los extremos de su oscilación y cuando pasa
por el centro de la misma.
c) Durante la oscilación, ¿es constante la energía mecánica de m? ¿Por qué?
12.- Disponemos de un muelle que se alarga 5 cm cuando se cuelga de él una masa de 1,0 kg.
Colocamos después este muelle unido a una masa de 500 g sobre una mesa horizontal sin
rozamiento. La masa se separa 3 cm de su posición de equilibrio y se deja vibrar sobre el eje
horizontal. Calcula: a) la constante de recuperación del resorte; b) la energía potencial en el
punto de máxima deformación en horizontal; c) La energía cinética cuando x = 2 cm; d) la
velocidad de la partícula en el punto mencionado en el apartado anterior.
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
pag.10
Problemas de Selectividad
1.- (Junio de 2006) a) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es
proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario.
b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial
pasa por la posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es
máxima la aceleración.
2.- (Junio 2007) Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple
a) Escriba la ecuación del movimiento si la aceleración máxima es de 5π2 cm·s-2, el periodo de
las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2'5 cm.
b) Represente gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo y comente la
gráfica.
3.- (Junio 2008) a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características
cinemáticas y dinámicas. b) Una masa oscila verticalmente suspendida de un muelle. Describa
los tipos de energía que intervienen y sus respectivas transformaciones.
4.- (Junio 2011) a) Movimiento armónico simple. Características cinemáticas y dinámicas.
b) Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: en un movimiento armónico simple la
amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la energía mecánica.
5.- (Junio 2013) a) Explique el significado de las magnitudes que aparecen en la ecuación de un
movimiento armónico simple e indique cuáles son sus respectivas unidades en el sistema
internacional.
b) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al
desplazamiento de la posición de equilibrio pero de sentido contrario.
Unidad 5: Movimiento vibratorio armónico
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