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FRACCIONES
Fracciones
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©abril 2016. Este Módulo Educativo fue preparado por la Prof. Ileana Vallejo y autorizado por Huertas College.
Se prohíbe la reproducción parcial o total de este Módulo sin la autorización expresa de Huertas College.
Fracciones
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TABLA DE CONTENIDO
Conceptos básicos de fracciones ..................................................................................................... 4
Clasificación de fracciones ............................................................................................................ 4
Expresar números mixtos como fracciones propias ................................................................... 5
Expresar fracciones impropias como números mixtos ............................................................... 5
Fracciones equivalentes ................................................................................................................. 6
Comparar fracciones ....................................................................................................................... 6
Simplificar fracciones ..................................................................................................................... 7
Suma y resta de fracciones homogéneas......................................................................................... 8
Suma y resta de fracciones heterogéneas ....................................................................................... 9
Multiplicación y división de fracciones .......................................................................................... 11
Fracciones
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Conceptos básicos de fracciones
𝒂
Una fracción nombra parte de un todo. Está escrita en la forma 𝒃, de tal modo que b no sea igual
𝒂
a cero. Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma 𝒃 se llama número
racional. Los términos de una fracción son el numerador y el denominador. El numerador es el
número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a. El denominador es el número que
está debajo de la barra de fracción, o sea, la b. El denominador es el número de partes en que está
dividido el entero, el conjunto o grupo y el numerador indica las partes escogidas del entero, conjunto
o grupo.
𝑎
𝑏
numerador (parte)
denominador (todo)
Una fracción nombra parte de un todo.
5 partes iguales
cada parte es
1
4 partes iguales
cada parte es
5
3 partes o
3
4
1
4
están
8 figuras
5 son triángulos
5
8
son triángulos
sombreadas
Clasificación de fracciones:
1. Fracción propia: es aquella en que el numerador es menor que el denominador.
1 4
2
Ejemplos: 5 , 10 y 3
2. Fracción impropia: es aquella en que el numerador es igual o mayor que el denominador.
8 9
7
Ejemplos: 3 , 5 y 7
3. Número mixto: es un número que representa la suma de un número entero y una fracción
propia.
1
2
3
Ejemplos: 54 , 35 y 127
Fracciones
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Expresar números mixtos como fracciones propias
Para expresar un número mixto como una fracción impropia se debe seguir los siguientes pasos:
1. Multiplicar el denominador por el número entero.
2. Sumar el numerador al producto dado en el paso 1.
3. Escribir la suma donde está el numerador original.
Ejemplo:
1
2
3
1. 3 ∙ 1 = 3
2. 3 + 2 = 5
5
3. 3
2
3 ∙ 1+2
3
3
1 =
(se multiplica el denominador por el entero)
(se suma el producto (3) con el numerador (2))
(se escribe la suma en el numerador)
=
3+2
3
=
5
3
Expresar fracciones impropias como números mixtos
Para expresar una fracción impropia como un número mixto se debe seguir los siguientes pasos:
1. Dividir el numerador entre el denominador.
2. El cociente (Q) es el número entero del número mixto.
3. El residuo (R) es el numerador de la parte fraccionaria y el divisor (D) es el denominador
original.
Ejemplo:
5
3
denominador
entero
1
3| 5
-3
2
2
= 13
numerador
NOTA: Recuerda que una fracción es una división entre el numerador y el denominador.
Fracciones
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Fracciones equivalentes
Para encontrar fracciones equivalentes, se divide o se multiplica el numerador y denominador por un
mismo número que no sea 0.
1
Ejemplos:
4
4
10
3
3
1
3
12
4
∙ =
=
2
2
4
2
5
10
÷ =
3
12
=
2
5
NOTA: Una fracción que tenga como denominador 0, es un número indefinido.
También se puede determinar si las fracciones son equivalentes utilizando el producto cruzado.
Ejemplo:
2
1
=
12
6
2 · 6 = 12
12 · 1 = 12
Al multiplicar observamos que ambos productos son iguales, por lo tanto las fracciones son
equivalentes. Si el producto cruzado da resultados distintos, significa que las fracciones no son
equivalentes.
Comparar fracciones
Para determinar si una fracción es menor o mayor que otra fracción, también se puede utilizar el
producto cruzado.
Ejemplo:
1
2
?
5
9
1(9) = 9 < 2(5) = 10
1
2
<
*observa el orden de la multiplicación
9 < 10, por lo tanto
5
9
Símbolos para comparar: < menor que y > mayor que
Fracciones
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Simplificar fracciones
Las fracciones se pueden reducir o simplificar y el resultado sería una fracción equivalente. Por
3
ejemplo, 6 se puede simplificar dividiendo por un número que sea divisible por 3 y 6; en este caso, el
3:
3
6
÷
3
3
=
1
2
En la simplificación de fracciones hay que tener en cuenta las reglas de divisibilidad.
Divisible
Regla
por:
2
si el último dígito es 0, 2, 4, 6, 8
3
si la suma de los dígitos es divisible por 3
4
si los últimos dos dígitos forman un número divisible por 4
5
si los último dígitos son 0 o 5
6
si el número es par y la suma de los dígitos son divisibles por 3
9
si la suma de los dígitos es divisible por 9
10
si el último dígito es 0
También se puede simplificar fracciones buscando el Máximo Común Factor (MCF) o el Máximo
Común Divisor (MCD) entre el numerador y el denominador.
Ejemplo:
18
24
F : {1, 2, 3, 6, 9, 18}
18
F : {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
24
MCF(18 y 24) = 6
Se escoge el factor más grande que se repite, o sea, se divide el numerador y el denominador por el
MCF.
18
24
6
3
6
4
÷ =
Una fracción está simplificada si el MCF o el MCD del numerador y el denominador es 1.
Fracciones
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Suma y resta de fracciones homogéneas
Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador.
1
Ejemplos:
4
3
,
4
5
,
4
2
,3
4
Para sumar o restar dos fracciones homogéneas, suma o resta sus numeradores y el denominador
se queda igual.
1
Ejemplos:
5
+ =
3
1+3
5
5
1
5 −1
9
9
5
- =
9
=
4
=
4
5
9
Para sumar o restar números mixtos homogéneos, suma o resta las fracciones, según el
procedimiento, y luego suma o resta los enteros.
Ejemplos:
4
5
+3
8
5
6
1
-3
6
5
4
6
1
6
3
3
6
3
2 ÷
6
=2
1
2
*recuerda que todo resultado tiene que estar simplificado y expresado como una fracción
propia.
En algunas ocasiones, en la resta se tiene que reagrupar:
2
3
-1
6
1
7
6
7
6
6
1= + =
1
6
5
6
= 2
= 1
7
8
6
5
-3
6
2
2
6
2
1 ÷
5
0
5
5
5
5
1= + =
1
=1
3
= 8
1
5
= 3
0
5
1
5
= 7
= 3
4
5
5
1
5
4
5
Fracciones
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Suma y resta de fracciones heterogéneas
Método de Suma o Resta #1
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones heterogéneas mentalmente.
𝑎
regla:
𝑐
Sean 𝑏 y 𝑑 dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
Para la resta, se aplica el mismo algoritmo con la diferencia de que se restan los productos.
Ejemplos:
1.
1
1
+ =
4
2
1
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
4
1
4
2
(1∙2) + (4∙1)
2
8
=
6
÷ =
2
3
2
4
multiplica cruzado
suma los productos
8
simplifica si es posible
1
6
2
Paso 1:
Paso 3:
1
+ =
2(4)=8
- =
3
Paso 2:
8
8
8
multiplica los denominadores
2
2+4
6
2.
1
+ =
3
2
3
1
- =
18
1
(2∙6)− (3∙1)
6
18
- =
12− 3
9
18
multiplica los denominadores
6
18
=
9
9
18
1
9
2
÷ =
multiplica cruzado
suma los productos
simplifica si es posible
3(6)=18
Fracciones
P á g i n a | 10
Método de Suma #2
El otro método de suma de fracciones es utilizando el Mínimo Común Múltiplo (MCM). Buscando el
MCM de los denominadores, convertimos las fracciones de heterogéneas a homogéneas y luego las
sumamos.
Ejemplos:
1.
1
4
1
+ =
busca los múltiplos de ambos denominadores
2
M : {4, 8, 12, 16,…}
4
El MCM de 4 y 2 es el 4
M : {2, 4, 6, 8,…}
2
1∙1=1
1
4
1∙2=2
1
1
2
3
2
4
4
4
+ = + =
4 ∙ 1=4
2.
El MCM va a ser el denominador de las fracciones homogéneas. Ten
en cuenta que cada fracción homogénea tienen que ser equivalente a
la heterogénea correspondiente. Luego aplica la regla de la suma de
fracciones homogéneas.
2 ∙ 2 =4
2
3
1
- =
busca los múltiplos de ambos denominadores
6
M : {3, 6, 9, 12,…}
3
El MCM de 3 y 6 es el 6
M : {6, 12, 18, 24,…}
6
2 ∙ 2=4
2
3
1 ∙ 1=1
1
4
1
3
6
6
6
6
- = - =
3 ∙ 2=6
3
6
6 ∙ 1 =6
3
1
3
2
÷ =
El MCM va a ser el denominador de las fracciones homogéneas. Ten
en cuenta que cada fracción homogénea tienen que ser equivalente a
la heterogénea correspondiente. Luego aplica la regla de la suma de
fracciones homogéneas.
simplifica
Para sumar o restar fracciones mixtas heterogéneas, aplicamos cualquiera de los 2 métodos.
Recuerda que se trabajan las fracciones y los enteros apartes.
Fracciones
P á g i n a | 11
Multiplicación y división de fracciones
Para multiplicar fracciones, no importa si son homogéneas o heterogéneas, multiplica numerador con
numerador y denominador con denominador.
Ejemplo:
2
3
3
2(3)
4
3(4)
∙ =
6
=
12
1
=
2
Antes de multiplicar se puede simplificar las fracciones, ya sea en forma individual o cruzada.
1 2
1
3
∙
1
3
4
1(1)
=
1(2)
2
1
=
2
Para multiplicar números mixtos, hay que cambiar la fracción de mixta a impropia y luego aplicar el
proceso de la multiplicación.
Ejemplo:
1
1
2
3
2 ∙1 =
5
4
20
3
6
∙ =
2
=
10
3
1
=3
3
Al igual que en la multiplicación, para dividir dos fracciones, no se toma en consideración si son
homogéneas o heterogéneas. Se divide numerador con numerador y denominador con denominador,
si es posible.
Ejemplo #1 :
Ejemplo #2 :
18
2
9
1
5
4
4
÷ = =2
20
3
÷
5
2
7
=
en este caso no se puede dividir para el lado
DATO: Dividir es lo mismo que multiplicar por su recíproco. El recíproco de una fracción es aquella
que multiplicada por ella, el producto sea igual a 1.
3
4
recíproco
4
2
3
5
recíproco
5
2
Por lo tanto, cambiamos la división por multiplicación del recíproco:
3
5
∙
7
2
=
21
10
=2
1
10
Para dividir números mixtos, hay que cambiar la fracción de mixta a impropia y luego aplicar el
proceso de la división.