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1. Números Reales:
Reales: Es
el conjunto
de todos los
números
que se
encuentran
en la recta
Racionales (Q): Son
los números que se
pueden expresar como
el cociente de dos
números enteros es
decir en forma de
fracción.
Por lo tanto son:
-Fracciones: 2/3
-Decimales: 3.25
-Decimales
periódicos: son
aquellos en el cual su
parte decimal se repite
ilimitadamente
3.838383... o bien 3.83
-Enteros: Ya se
pueden expresar como
cociente de ellos
mismo por la unidad
a=a/1.
Irracionales (Q´):
tienen un número
ilimitado de cifras, por
tanto, es imposible
escribir su valor ( son
raices inexactas
o
símbolos como
π = 3,14159…, e)
Naturales (N): son
aquellos que nos
sirven para contar
N = {1, 2, 3, 4, 5,
6…}
Enteros (Z): El conjunto
formado por los números
positivos, los números
negativos y el cero.
Primos: son
aquellos que
solo tienen dos
divisores ellos
mismos y la
unidad.
{2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23,
29, 31...}
Compuestos:
son aquellos
que tienen más
de dos
divisores.
{4,6,8,9,10,12,
14,15,16,18,20,
21,22...}
Propiedades de los números reales:
Para toda a, b y c  R , que pertenece a los reales
Propiedad
Cerradura
Conmutativa: implica
que no importa el orden
de operación, el
resultado siempre es el
mismo.
Asociatividad: implica
que no importa el orden en
que se agrupe, el resultado
es el mismo.
Adición
Multiplicación
a+b€R
a·b€R
Si se suman entre si dos
números reales, el
resultado que se obtiene es
un real único.
Si se multiplican entre si
dos números reales, el
resultado que se obtiene es
un real único.
a + b = b +a
El orden de los sumandos
no altera la suma
Por ejemplo:
4+2=2+4
a·b=b·a
el orden de los factores no
altera la producto
Por ejemplo:
4.2=2.4
( a + b ) + c = a + (b +c)
a . (b . c) = (a . b) . c
Por ejemplo:
(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
Por ejemplo:
4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9
Distributiva
Neutro o idéntico
Inverso
a. (b+c) = a.b + a.c
a+0=0+a=a
a.1=1.a=a
El real 0 es llamado:
neutro aditivo
El real 1 es llamado: neutro
multiplicativo.
Ejemplo :
Ejemplo :
5+0 = 5
a + (-a) = 0
5·1=5
a . a-1 = a. (1/a) = 1
Para cada número real a,
existe un real único
llamado el opuesto de a, y
que se denota –a tal que:
Para cada número real a,
existe un real único llamado
el recíproco de a, y que se
denota por a-1 ó 1/a tal que:
el opuesto de 5 es -5
el recíproco de -2 es 1/-2.
Ejercicios:
1. Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números:
Número/Conjunto
numérico
Natural Primo
Entero Racional Irracional
11
-7
0
¾
0.272727…
7.25
2.7985413…
1½
25

2. Identifica la propiedad que se aplica en los siguientes reactivos:
1. 7 + 5 = 5 + 7 ____________________________________________
2. 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ____________________________________
3. (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) _____________________________________
4. 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ______________________________________
5. 7 x 1 = 7 __________________________________________________
6. 11 + 0 = 11 ________________________________________________
7. 9 + -9 = 0 _________________________________________________
8. 2 x ½ = 1 __________________________________________________
9. 5 (4 x 2) = (5 x 4) 2
10. 14 + (-14) = 0
11. 3 (8 + 11) = 3 (8) + 3 (11) _____________________________________
12. (5 + 7) 9 = 9 (7 + 5) __________________________________________
13. 1· 45 =45
14. 56+34=34+56
15. (-3)+3=0
16. 5(9+2)=45+10
17. (2+1)+b=2+(1+b)
18. -34(23)=23(-34)
___________________________________________
Real
2. Los Números
Los números positivos (+) se representan a la derecha del 0 en la recta numérica, y cuando un
número no tiene signo se considera positivo.
Ejemplos: +9, +8, 4, 7, 2, 10.
Los números negativos (−) se representan a la izquierda del 0 en la recta numérica.
Ejemplos: -7, -10, -5, -1.
Todas las cifras tienen dos valores: el absoluto y el relativo.
El valor absoluto es aquel que tiene un número independientemente del lugar que ocupe en las
unidades, las decenas y las centenas. Por ejemplo:
El valor absoluto de 2 es 2
El valor absoluto de 5 es 5
El valor absoluto de 9 es 9
El valor relativo depende de la posición que ocupe en un número: unidades, decenas o centenas.
Por ejemplo:
El valor relativo de 9 en 389 es 9 porque ocupa el lugar de las unidades.
El valor relativo de 2 en 529 es 20 porque ocupa el lugar de las decenas.
El valor relativo de 7 en 732 es 700 porque ocupa el lugar de las centenas.
Los números simétricos son los números que están a igual distancia del origen (0) y en lados
opuestos.
Ejemplo: 3 es simétrico de −3
El simétrico de un número es el mismo pero con el signo contrario.
Ejemplos: La representación simétrica de los siguientes números es:
3 →− 3 8→− 8
−4→ 4 −5→ 5
− 8 →8 7 → − 7
Ejercicios
Represente el simétrico de los siguientes números.
Valor absoluto
Es la distancia que existe entre el cero y cualquier número entero, sin importar su signo. Su símbolo
es: | |
Por ejemplo:
−4valor absoluto de 4 −32valor absoluto de 32
5valor absoluto de 5
29valor absoluto de 29
Ejercicio:
Localice en la recta numérica los números.
+ 7, −2, + 4, −5, 10, −9, +2 4
* Recordemos que todo número que se encuentra a la derecha de otro en la recta numérica
será siempre mayor.
Ejemplos:
1 > −2
3>2
Orden y comparación
Comparación:
De dos números positivos, es menor el más cercano al 0.
5<7
De un número positivo y otro negativo, es menor el negativo. −5 < 2
De dos números negativos, es menor el más alejado del 0.
−7 < −2
Ejercicio:
Compare y anote los signos <, > ó = según corresponda.
3. Operaciones con números enteros:
Suma y resta
Cuando los números enteros tienen:

El MISMO signo SE SUMAN y el resultado queda con el MISMO SIGNO
Ejemplo:
1 + 3 + 5 + 8 =
POSITIVOS
-1 - 3 - 5 - 8
POSITIVO
=
NEGATIVOS

17
- 17
NEGATIVO
Cuando los números tienen DIFERENTE signo SE RESTAN y se pone el signo del
mayor comparándolos sin signo.
Ejemplo:
- 5 + 3 = -2
5 - 3 = 2
me da negativo porque el mayor tiene ese signo
me da positivo porque el mayor tiene ese signo
Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos:
-7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1
1er PASO: Sumo los positivos
2 do PASO: Sumo los negativos
3 er PASO: Me queda
4 + 8 + 1 = 13
- 7 - 2 - 3 - 5 = - 17
13 - 17
Resuelvo la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor
13 - 17 = - 4
La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado
me da negativo.
Ejercicios:
1. Realiza las siguientes operaciones:
a) -7+10=
b) 10 - 7=
c) 7-10 =
d) 20 – 5 =
e) 6 + 8 =
f) -13 + 8 =
g) - 5 + 8 =
h) -9 + 5 =
i)
7 - 4 =
j) -15 + 10 =
k)
5 - 6 =
l)
0 - 8 =
m) - 6 + 10 =
n)
-7 + 3 =
o) - 5 - 3 =
p) - 6 + 6 =
q) -4-2-5-10=
r) 4+2+5+10=
s) -4+5-10-20+15-7+9 =
t) - 2 + 8 – 3 + 4 – 5 =
u) 2 + 4 – 5 – 1 + 3 – 8 =
v) - 2 + 4 – 5 + 1 + 3 – 8 =
w) - 3 + 9 – 3 + 4 – 5 =
x) 7 – 5 + 8 – 3 – 9 =
y) - 7 – 9 – 15 + 12 =
z) 12 – 7 + 15 – 18 =
MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS ENTEROS:
Si multiplico o divido números enteros tengo que seguir la siguiente regla de signos:
Ley de los signos:
Multiplicación
División
(+) por (+) da (+)
(+) por (-) da (-)
(-) por (+) da (-)
(-) por (-) da (+)
(+) entre (+) da (+)
(+) entre (-) da (-)
(-) entre (+) da (-)
(-) entre (-) da (+)
Producto de signos contrarios da un signo
negativo.
Producto de signos iguales da un signo
positivo.
Ejemplos
Ejemplos
(+3) (-2) = (-6)
(+3) (+2) = (+6)
(-3) (+2) = (-6)
(-3) (-2) = (+6)
(+4) (-1) = (-4)
(+4) (+1) = (+4)
(-12) (+2) = (-24)
(-12) (-2) = (+24)
(-6) (+3) = (-18)
(-6) (-3) = (+18)
(-12) (0) = (0)
(-12) (0) = (0)
Cuando son más de 2 factores el resultado será:
Negativo. Cuando el número de factores negativos sea impar.
Ejemplo:
(-3) (2) (-4) (-2) = -48
(3) (-2) (4) (5) = -120
Positivo. Cuando el número de factores negativos sea par.
Ejemplo:
(-3) (3) (-2) (5) = +90
(-4) (-2) (-4) (-6) = +192
Ejercicios :
a)
b)
c)
d)
e)
( 9) (5) =
(6) (-4) =
(-3) (- 4) =
(5) (6) =
(-15) (-4) =
f)
g)
h)
i)
j)
(45) (-10) =
(- 64) (3) =
(-3) ( 2) (-4) =
(9) (2) (-3) =
(2) (-3) (4) (-5) =
k) (-8) (7) =
l) (-3) (12) =
m) (5) (-3) (2) =
n) (-4) (-2) (-3) =
La división de signos iguales da un signo
positivo.
La división de signos diferentes da un signo
negativo.
Ejemplos
Ejemplos
Ejercicios:
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:
n
a
Exponente
Base
El exponente es el número que indica cuántas veces se multiplica la base por si misma.
Exponente
5
1)
2)
3)
4)
5)
3
3
5 =5x5x5=125
Base
22 = 2 x 2 = 4
32 = 3 x 3 = 9
42 = 4 x 4 = 16
52 = 5 x 5 = 25
23 = 2 x 2 x 2 = 8
6)
7)
8)
9)
10)
= 64
43 = 4 x 4 x 4
= 125
53 = 5 x 5 x 5
= 16
24 = 2 x 2 x 2 x 2
= 32
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
106 = 10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10 = 1000000
a) Las potencias con exponente par dan siempre como resultado números positivos:
Ejemplo:
b) Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo signo es igual
al de la base.
EJEMPLO:

Un error frecuente que se comete al trabajar con potencias de números es no tener en
cuenta el uso de los paréntesis. Por ejemplo, no es lo mismo (-3) 2 que -32.
En efecto, en (-3)2, el exponente 2 afecta al signo y al número; es decir:
(-3)2= (-3) · (-3)=9
En cambio, en -32, el exponente 2 sólo está afectando al número 3; es decir:
-32 = -(3·3) = 9
RADICACION
La radicación es la función inversa a la potenciación.
Índice
Radicando
y se lee raíz n de a es igual a b.
Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me
de por resultado el radicando.
a) si el índice es par y el radicado positivo la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro
negativo.
Ejemplo:
nunca va a dar negativo
b) si el índice es impar entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.
Ejemplo:
Ejercicios:
1. Escribe cada potencia como un producto de factores iguales.
a) 55
g) -35
b) 23
h) m3
c) 84
i) -136
d) -48
j) 157
e) 367
k) 48
f) -1002
1) (a + b)2
2. Encuentra el valor de cada potencia.
a) (-2)6
g) 302
b) 133
h) 153
c) (-6)5
i) (-10)4
d) 54
e) 122
f) 104
5. Escribe cada una de las siguientes multiplicaciones como una potencia y calcula su valor.
a) 13 · 13 · 13
b) (-7) · (-7) · (-7) · (-7) · (-7)
c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 d) 10 · 10 · 10 · 10
6. Escribe cada potencia como una multiplicación de factores iguales y escribe su valor.
a) 23
b) (-7)2
c) 103
d) 101
e) (-2)7
f) (-5)3
7. Escribe en forma de potencia los siguientes números de modo que la base sea la menor posible.
a) 8
b) 36
c) 64
d) 121
e) 125
f) 1000
g) 2401
8. Completa con el número que falta para que cada igualdad sea verdadera.
a) 2
= 32
e) 5 = 625
b) 3
= 81
f) 10
c) 3
= 243
d) 4 = 64
= 10, 000,000
9. Escribe cada número como una multiplicación de potencias.
a) 108
b) 432
c) 675
d) 900
10. ¿Qué número elevado a 5 es 243?
11. ¿Qué número elevado a 3 es -216?
12. ¿Cuál es el número cuyo triple de su cuadrado es 300?
e) 1.225
f) 1.125
13. Usa tu calculadora y escribe el valor de cada potencia.
a) 56 =
b) 28 =
c)113 =
d) 152 =
e) 203 =
f) 172 =
14. Indica, en cada caso, qué potencia es mayor. Verifica tus respuestas con la calculadora.
a) 25 ____ 52
b) 46 ____ 64
c) 92 ____ 29
d) 38 ____ 83
a  b si b2 = a, por ejemplo: 9  3 porque 32 = 9
Ejercicios
porque 52 = 25
25  5
1.
porque
16 
2.
36 
porque
3.
49 
porque
4. 6
64 
porque
5. 4
81 
porque
100 
porque
6.
Ejercicios
1. 3 125 
2.
3. 5
625 
 32 
porque
porque
porque
4.
576 
porque
5.
256 
porque
27 
porque
7.
196 
porque
8.
10000 
porque
9.
169 
porque
6. 3
10. 5
 243 
porque
d)103 ___ 310
3. JERARQUÍA DE OPERACIONES
Orden de operaciones
Para resolver un problema que necesite de varias operaciones aritméticas se sugieren seguir estos
cuatro pasos:
Paso 1: Se realizan potencias y raíces
Paso 2 Se realizan las multiplicaciones y divisiones
Paso 3 Se realizan las sumas y las restas
Ejemplos
6+4x3=
50 − 30 ÷ 2 =
Primero multiplicamos
Primero dividimos
6 + 4 x 3 = 6 + 12
50 – 30 ÷ 2 = 50 – 15
Después sumamos
Después restamos
6 + 12 = 18
50 – 15 = 35
Ejercicios:
1. 7 + 9 – 6 ÷ 2 =
2. 6 + 4 ( 7 ) =
3. 40 – 20 ÷ 4 =
4. (9) 10 + 9 ÷ 3 =
5. 121 ÷ 11 + 11 ( 2) =
6. 92 ÷ 2 + 3 (5)=
7. 6 ÷ 2 -19 + 37 + 15 =
8. 18 + 7( 4) - 20 =
9. (2 ) 3 - 71 + 29 =
10. 61 - 52 + 16 =
Operaciones con signo de agrupación
Para resolverlo este tipo de operaciones puedo proceder de dos maneras:
a) Por propiedad distributiva:
b) Resolviendo lo que esta dentro del paréntesis :
Multiplico el número por lo que
esta dentro del paréntesis
EJEMPLO:
EJEMPLO:
Al multiplicar por lo que se encuentra de lado izquierdo del paréntesis
ya sea un número o un signo este desaparece como en los ejemplos
anterior mente mostrados

Si hay signos de agrupación, en primer lugar se desarrollan las
operaciones contenidas en los signos de agrupación mas
interiores; es decir, trabajamos de adentro hacia fuera.
 Si no hay signos de agrupación o estos ya fueron eliminados, se
desarrollan primero las operaciones de multiplicación y división
y, luego, las de suma y resta. En todo caso, tiene preferencia la
operación situada más a la izquierda.
Ejemplo1:
23 + 45 x 3 – (23 x 2 – 4) =
23 + 45 x 3 – (46 – 4) =
23 + 45 x 3 – (42) =
Realizamos las operaciones dentro del paréntesis
elimino paréntesis multiplicando y realizó la
multiplicación
23 + 135 – 42 =
resuelvo
158 – 42 = 116
Resultado
Ejemplo2: Con signos de agrupación
-3+ {-1+ [4-(3-7)]+3}= primero resuelvo lo que esta dentro del
paréntesis
-3+ {-1+ [4-(-4)]+3}= ahora multiplica el signo
-3+ {-1+ [4+4]+3}=
3+ {-1+ [8]+3}=
resuelvo lo que esta dentro del corchete
multiplico el signo para eliminar el corchete
-3+ {-1+8+3}=
resuelvo lo que esta dentro de las llaves sumando
positivo con positivo y negativo con negativo
-3+ {-1+11}=
-3+ {10}=
adentro
-3+10= 7
Ejemplo3:
elimino llave multiplicando el signo por lo que esta
resuelvo
Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves:
Ejemplo4:
Cuando dos paréntesis, corchetes o llaves están juntos uno cerrado y el otro abierto y no hay
ningún signo entre ellos, hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.
(
)(
)
hay un signo de multiplicación
Ejemplo5:
Cuando hay un número al lado de un paréntesis, corchete entre el cual no hay ningún signo ,
entonces hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.
· (
)(
)
hay un signo de multiplicación
Ejercicios:
1) 63-84=
2) (+34) - ( -25 ) =
3) ( -48) - ( -52) =
4) ( + 75 ) - ( - 39 ) =
5) 256- ( + 256 ) =
6) ( -4 ) - ( + 12 ) =
7) 68- ( 21 - 54 ) + ( 7 - 72 ) =
8) - ( 24 - 89 + 18 ) + ( - 91 + 24 ) =
9) - ( - 417 - 78 ) - ( -518- 287 ) =
10) 14 + [ 23 - ( 34 - 57 ) ] =
11) 14 - [ 23 - ( 34 - 57 ) ] =
12) - 32 - [ 19- ( 24 - 46 ) ] =
13) ( - 3 ) ( - 6 ) ( + 4 ) =
14) ( -8 ) ( - 3 ) ( - 7 ) =
15) ( - 6 ) 8 ( - 10 ) =
16) - 14 + 3 ( - 8 ) =
17) 29 [(-10) + 1 ] =
18) 12 [ 40 + ( - 3 ) ] =
19) ( 4 - 20) 13 =
20) (- 5 ) . 7 - 9 ( - 4 ) =
21) -13 - ( - 3 ) ( - 9 ) + 5 ( - 8 ) =
22) (- 48 + 32 ) - ( 67 - 82 ) =
23) 48 - [ 15 - ( 43 - 38 ) - 27 ] =
24) - [ - 13 + ( 24 - 68 ) ] - ( - 48 + 95 ) =
25) (-12 ) . 7 - 13 ( - 5 ) =
26) 12 ( - 7 ) - 12 =
27) (- 13 ) 3 =
28) 8 ( - 11 ) =
29) 2 {-3 [8-(2 . 3) + (4 – 3)] + (8 . 5) – (3 + 1) + 2} =
30) {4–3 [5 – 6 (7 – 2)]}  {8 – [2 – (6 – 3)]} =
31) {4[3-(5 . 6)] – (7 –2)}  [8 – 2 (6-3)]=
32) [(-2) + (-3) -(-9) ](+2) - (+8)=
33) (-4) + (-3) + (-2)(+1)=
34) (+4) + [(-2)(-1) + (+4) ](-2)=
35) (-3)(+4) - [(-5)(+6) - (+1) ](-3)=
36) [(+4) - (+3) + (-2) ][(-2) + (-3) + (+4) ]=
37) (+10) - (-3)(-3)=
38) (-3)[(+5)(+4) - (+1) ] - [(+3) - (+2) ](+2)=
39) (-4)(-8) + (-2)(+3) - (+1) - (+5)=
40) (-3)(+4)[(-2) + (-1) ] - [(+4)(+5) - (+2) ](-2)=
41) (+8)(+9) - (+35)(+2)=
42) [(-9) + (-1) - (+3) ](-2) - (+4)(-8)=
43) (-2)(+3)(-4) - (+5)(-6)(+7)=
44) (+3){(-1) + [(+2)(-3) + (-2) ](+2) } + (-1)=
45) (-4) - [(+2) - (+3) + (-4) ] + (-5)=
46) (-2) - { (+2) - [(-2) + (-3)] + (-4) }=
47) (+5) + { [(-3)(+2) + (+1)](-2) }(-2)=
48) (+2) - { (+3) - [(+2) + (-1) - (+5) ] + (-4)}=
49) (+4) + (-3) - (+2) + (-105) + (+106)=
50) (-4)(-3) + [(-2)(-3) + (-1) ](-4)=
51) { (+5) - [(+6)(+7) + (-2) ] + (-2) }(+4)=
52) (-7)(-8)(+10) - [(-4)(-3) + (-1) ]=
53) (-2)(-2)(-3) - (+1)(-4)(-5)=
54) [(-2)(+4) - (+1) ] - { (+2) - [(+3) + (-4)] }=
55) { (+2) + [(-2) + (-1) ] }{ (-4) + [(-2) + (-1) ] }=
56) { (-4) - [(+2)(+3) + (+4)] }{ - [(+3) - (+1)] }=
57) (+2)(-3) + (-4)(-8)(+12) - (+3)(-5)=
4. Problemas de aplicación
Carmelita trabaja en una papelería y vendió 3 libretas que cuestan $12.00, 4 plumas de $5.00 y 2
lápices de $1.00. ¿Cuánto debe cobrar?
(3 x 12) + (4 x 5) + (2 x 1) = 6
36 + 20 + 2 = 58
Ejercicios
1. María compró 14 mangos, 14 manzanas, 14 peras y 14 naranjas para regalarlas en bolsas. Si
en cada bolsa colocó una fruta de cada tipo. ¿Cuántas bolsas pudo formar?
2. Juan compró cuatro paletas que le costaron $5.00 pesos y tres chocolates de $2.00 ¿Cuánto
pagó en total?
3. Carlos compró en una Ferretería lo siguiente: 2 martillos de $30.00, 3 brochas de $15.00 y 2
desarmadores de $20.00. Si pagó con un billete de $200.00 ¿Cuánto le dieron de cambio?
4. Manuel recolectó 5 toronjas, 6 naranjas y 10 peras para ponerlas en una caja. ¿Cuántas
frutas recolectará para 3 cajas?
5. Un atleta debe correr un trayecto total de 1.789 Km., En una hora recorre 952 Km., A la
siguiente media hora recorrió la mitad del trayecto anterior.
6. ¿Cuánto ha corrido el atleta después de una hora y media de iniciada la partida?
7. ¿Cuántos km., le faltan para terminar el trayecto total?
8. 6) En un restauran de comida rápida, se ofrecen las siguientes promociones:
9. Un grupo de 8 amigos pide cada uno una pizza regular y una bebida grande, además de 4
ensaladas y 5 cafés.
10. ¿Cuánto dinero les sobra, después de pagar la cuenta, si entre todos logran juntar $30.000?
11. En una hacienda hay 1425 caballos, 2783 vacas, 3264 ovejas y 875 cabras. ¿Cuántos
animales hay en total?
12. En una casa comercial compran 165 quintales de harina a $ 23700 cada uno. Se vende a
$24300 el quintal. ¿Cuál fue el valor total de la compra?, ¿Cuál fue el precio total de la
venta? y ¿Cuál fue la ganancia?.
13. Un frutero compra 10 canastos de naranjas con 18 docenas cada uno. Se le pudren 160
naranjas y vende las restantes a $ 1000 el ciento. ¿Cuál es precio total de la venta?.
14. Una persona estuvo ausente de su patria 2555 días. ¿Cuántos años estuvo en el extranjero?.
15. Una persona invierte $ 26733 en comprar un artículo que cuesta $ 67 la unidad. ¿Cuántos
artículos compró?.
16. Se han comprado 15300 árboles para plantarlos en las calles de una ciudad. ¿Cuántas
manzanas se rodearán con ellos, si en cada una se pueden plantar 340 árboles?.
17. ¿En cuántos días se concluirá un camino de 15322 mts., si diariamente se hacen 326 mts.?.
18. El producto de dos números es 201135 y uno de los factores es 8745. ¿Cuál es el otro
número?
19. El cuociente de una división es 480 y el divisor es 275. ¿Cuál es el dividendo?.
20. El cuociente de una división es 23.¿Cuál es el divisor, si el dividendo es 120037?.
21. Si 32 mts. de género valen $3840.¿Cuánto valen 28 mts. y 40 mts.?
22. Siete hermanos compran una propiedad en $ 24 062 500 y al venderla de nuevo cada uno
recibe $ 5055000. ¿Cuánto ganó cada uno?.
23. Un comerciante compra dos partidas de animales en $ 47300 y $ 51780 y las vende ganando
en la primera $ 10430 y en la segunda $ 12480. ¿En cuánto vendió los animales?
24. El arriendo anual de una casa es $ 900.000. ¿Cuánto vale el arriendo de 5, 8 y 10 meses?
25. Seis hermanos heredaron $ 21.426.000. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
26. Un padre de familia deja $ 12.716.000, la mitad para su viuda y el resto para sus 11 hijos.
¿Cuánto recibe cada heredero?.
27. Se quieren repartir 7540 caramelos entre 44 personas. Si 25 reciben 180 caramelos cada una.
¿Cuánto recibirá cada una de las restantes?
28. Dos niños recolectan conchitas de caracoles en la playa, juntan 325 conchitas que deciden
guardar en cajas; para ello disponen de 8 cajas. ¿Podrán colocar igual cantidad de conchitas
en todas las cajas?; si no ¿Cuántas conchitas sobrarían?
5. Números Racionales (Fracciones):
Una fracción es un número escrito en la forma a/b, de tal modo que b no sea igual a cero.
Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma a/b se llama número racional.
Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas
partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y
el denominador.
Numerador: nos indica cuantas partes
tomamos del entero.
Denominador: nos indica en cuantas partes
dividimos el entero.
El número 3/8 representa la parte
sombreada. Del mismo modo, el
número 5/8 representa la parte no
sombreada; 3/8 y 5/8 son fracciones.
Numerador
Denominador
Señala la fracción sombreada correspondiente a cada figura.
Sombrea la fracción indicada
2/3
3/4
3/4
1/2
5/8
2/5
2/7
1
Tipos de fracciones:
FR ACC IÓ N M IX TA es t á c o mp u es ta
de
una
p ar t e
e nt e ra
y
o t ra
f rac ci on a ri a .
Fracciones equivalentes:
Las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, aun cuando sus numeradores y
denominadores sean diferentes.
3
6
y
son fracciones equivalentes porque valen lo mismo, no obstante tienen
4
8
diferente numerador y denominador.
Recuerde que
Para obtener una fracción equivalentes multiplicamos o dividimos su numerador y su denominador
por el mismo número.
Recuerda.:
¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción
también lo tienes que hacer a la parte de abajo!
Amplificación de fracciones
Si multiplicamos se llaman fracciones amplificadas
1 2 2

2 2 4
1 3 3

23 6
por lo tanto
1 2 3
 
2 4 6
×2
1
2
=
×2
2
4
×2
=
4
8
×2
Simplificar fracciones
Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente
más simple (más pequeña).
Para simplificar una frac ción dividimos numerador y denominador por
un mismo número
.
Empezaremos a simplificar probando por los primeros números
primos: 2, 3, 5, 7,... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador
entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así suc esivamente .
Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.
÷2
24
108
=
÷2
÷2
12
54
=
÷2
÷3
6
27
=
÷3
2
9
Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos
quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador.
540 54 18
=
=
210 21 7
Conversión de fracción mixta a impropia
Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo
denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el
denominador más el numerador, del número mixto.
+
Ejemplo:
2
x
1 3x2  1 7
=
=
3
3
3
Conversión de fracción impropia a mixta
Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el
numerador por el denominador. El coci ente es el entero del número mixto y
el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.
2
8
2
= 2
3 8
Entero
3
3
Numerador
2
Conversión de fracción a decimal
El método más simple es dividir la parte de arriba (el numerador)
entra la parte de abajo (el denominador).
Ejemplo: ¿Cuánto es 5/8 como fracción?
5 / 8 = 0.625
Conversión de decimal a fracción
Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego del punto. (Por
ejemplo, si hay dos números luego del punto decimal, multiplícalos por 100, si hay tres por 1000,
etc.).
Ejemplo1:
0.75
Multiplica el número de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):
× 100
0.75
1
=
75
100
× 100
(¿Ves como el número de arriba se convierte en un entero?)
Simplifica la fracción:
÷ 25
75
100
=
3
4
÷ 25
Ejemplo2:
0.625
Multiplica el número de arriba y el de abajo por 1000 (había 3 dígitos luego del punto así que es
10×10×10=1000)
625
1,000
Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):
÷ 25
625
1000
=
÷ 25
÷5
25
40
=
5
8
÷5
Relación orden
Ordenar dos o más fracciones significa determinar qué fracción es menor, mayor o igual que
otra.
 El signo < se lee "MENOR QUE"
Significa que la fracción que está a la izquierda del signo es menor que la fracción está a la derecha

El signo > se lee "MAYOR QUE"
Significa que la fracción que está a la izquierda del signo es mayor que la fracción que está a la
derecha.
 El signo = se lee “IGUAL ”
Significa que son fracciones equivalentes
Para relacionar el orden se puede utilizar la regla del producto cruzado extremos por extremo y
medio por medio y se observa que producto fue mayor o menor.
a
c
b
d
(a)(d)
(c)(b)
Ejemplos:
3
4
6
8
8x3 = 4x6
24=24 son equivalentes
1
6
2
8
8<12
Ejemplo : Anota el signo que corresponda entre cada pareja de racionales, >, < o =.
3 2
2
8

>
(8)(2)< (3)(9)
40=40
8 9
5 20
5 2
8
1

=
5x4=10x2
40=40
10 4
40 5
35 7
2 8


2x9< 3x8
280=280
40 8
3 9
1 2
3 2

 27> 16
7>6
3 7
8 9
1 25
1
25


30<150
100=100
6 30
4 100
1 3
1 125


6=6
1000 =1000
2 6
8 1000
 Escribe el nombre de las siguientes fracciones.
9
12
7
2
4
7
4
7
11
3
5
8
17
13
7
24
9
2
7
16
5
8
18
 Determinará el orden entre dos fracciones.
6
Instrucciones.-anota
el signo <, >, = que corresponda.
9
6/8
5/4
8/6
6/5
5/6
1 2/5
3/9
1 1/3
7/4
4/8
4 2/3
28/6
Convierte la fracción mixta
en fracción impropia.
Convierte la fracción mixta
en fracción impropia.
Convierte estas fracciones impropias a mixtas, y las mixtas a impropias.
4
=
4
2
5
=
4
1
=
3
4
6
=
4
3
=
4
7
=
4
1
1
=
2
8
=
4
6
4
=
3
4
=
5
2
1
=
5
7
=
3
1
3
=
7
3
2
6
Convierte las siguientes fracciones en números decimales:
a)
b)
c)
d)
e)
¼
½
5/20
8/10
59/100
f)
g)
h)
i)
j)
347/500
8/40
30/6
3/8
5/2
Convertir los decimales a fracción.
1) 0.49
2) 0.6
3) 1.323
4) 41.93
5) 1.19
Reglas de divisibilidad: son criterios que sirven para saber si un número es divisible por otro sin
necesidad de realizar la división.
Divisible significa que al dividirlo por ese número el resultado es una división exacta. Por ejemplo,
30 es divisible por 5 porque al dividirlo por 5 el resto es cero 30  5=6.
Las reglas:
2
Un número es divisible por :
Si termina en 0 o en cifra par (2,4,6,8) Ejemplos: 50, 192, 24456
3
Si la suma de sus cifras es múltiplo de
tres o tres
5
Si termina en 0 o en 5
7
Si a la ultima cifra se le multiplica por
dos y al sustraerle el resto de las cifras
el resultado 0 o múltiplo de 7
Ejemplos: 333 (dado que 3+3+3 =9); 9 es
un múltiplo de 3; (3x3=9)
123 ( dado que 1+2+3 =6 ); 6 es múltiplo
de 3
Ejemplos: 35; 70; 1115
Ejemplos : 343 ( dado la ultima cifra es 3
y (3)(2)= 6 y 34-6= 28 ); 28 es múltiplo de
7
105 ( dado que la ultima cifra es 5 y
(5)(2)= 10 y 10-10 = 0 )
S i l a di ferenci a ent r e l a sum a de
l as ci fras qu e ocupa n l os
4 224
11
l ugar es par es y l a d e l os
(4 + 2) - (2 + 4) = 0
i m pares es 0 ó m úl t i pl o de 11 .
Descomposición de un número en factores primos
Los números enteros compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números
primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.
La descomposición de un número es muy útil pues ayuda a poder calcular el máximo común divisor
o mínimo común múltiplo de varios números.




Dividir el número por el menor número primo posible.
Si el resultado puede dividirse nuevamente por ese número, realizar la división.
Si el resultado no puede volver a dividirse por ese número, buscar el menor número primo
posible para continuar dividiendo.
Seguir con el procedimiento hasta obtener el cociente igual a uno.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.
Para calcularlo:
Factorizamos los números
Tomamos todos los factores
El m.c.m. es el producto de los factores anteriores
Ejemplo:


24 36 40
2
12
6
3
1
1
1
2
2
3
3
5
18
9
9
3
1
1
20
10
5
5
5
1

Máximo Común Divisor (M.C.D.)
El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite
dividir a esos números.
Para calcularlo:
Factorizamos los números
Tomamos todos los factores que son divisores comunes de los números que estemos manejando
El M.C.D. es el producto de los factores anteriores
Ejemplo :
24 36 40
2◄ este es divisor de los tres porque todos tienen mitad
12
6
3
1
1
1
2◄ y este también
2
3
3
5
18
9
9
3
1
1
20
10
5
5
5
1
Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de
números.
a) 40 y 60
d) 415 y 520
b) 35 y 48
e) 140, 325 y 490
c) 225 y 300
f) 725, 980 y 1400
OPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOS
SUMA Y RESTA
Suma y resta con igual denominador:
Simplemente se suman los reales de los numeradores y se deja el mismo denominador:
Suma y resta con diferente denominador:
Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogéneas es encontrar el común denominador,
el cual es el mínimo común múltiplo de todos los denominadores presentes. Mira estos ejemplos:
En el ejemplo anterior se obtuvo el común denominador multiplicando los denominadores. en este
caso 15.
Además nota que la operación es muy sencilla:
 Se encuentra el mínimo común múltiplo y se coloca como denominador común
 se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el
numerador
153= 5 luego 5 * -2 = -10
 Se repite la operación para cada uno de las fracciones
 Se suman los resultados obtenidos y listos.
Veamos otro ejemplo:
Se escoge el 8 por que es múltiplo común tanto de 2 como de 4 y del mismo 8. Eso no quiere decir
que si tú escogieras por ejemplo 16, 24, 32 o cualquier otro múltiplo más grande estaría mal. ¡No!
Sólo sería un múltiplo innecesariamente grande y por lo tanto las multiplicaciones por los
numeradores se crecerían igualmente.
Algunas veces obtener el común denominador mentalmente no es fácil, entonces debes recurrir a la
reglita para hallar el mínimo común múltiplo.
Ejemplo:





sacar el mínimo común múltiplo
12 16 18
2
6
3
3
3
1
1
2
2
2
3
3
8
4
2
1
1
1
9
9
9
9
3
1
24*32=2*2*2*2*3*3=144
Por lo tanto el común denominador será 144
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS
Para este tema debes conocer las tablas de multiplicar, las leyes de la multiplicación de signos y en
lo posible saber simplificar fraccionarios.
La multiplicación se realiza numerador con numerador y denominador con denominador
Así:
Ejemplos:
a)
3
3x7
7
x
2
=
=
4
21
2x4
8
b)
c) Entero por fracción (al entero se le agrega un uno abajo)
6 2  =  6  2   6 x 2  12
5
 1  5 
1x5
5
d) Cuando hay una fracción mixta (la fracción mixta se transforma a impropia)
2 2 8 2 16
2    
3 5 3 5 15
DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS
=
 Se multiplica en cruz:
 División vertical: se multiplica extremo por extremo y medio por medio :
Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son útiles en uno u otro
momento.
POTENCIACION :
3
 
2
4
Exponente
Base
Resolver una potencia significa, multiplicar la base por si misma, tantas veces como lo diga
el exponente, Ej.
4
3 3 3 3 81
3
   . . . 
2 2 2 2 16
2
4
ó
34 81
3
   4 
2
16
2
 Sumará y restará fracciones
INSTRUCCIONES.-REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES.
SIMPLIFICA LOS RESULTADOS.
4/5 + 2/9 – 8/12 =
5 2/6 – 4 8/ 13=
2 1/5 + 3 5/8 – 1 4/9 =
12/8 – 12/5 + 3 4/7=
Examen de aritmética
NÚMEROS ENTEROS. OPERACIONES
2. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(+5) + (3) =
(+7) – (–4) – (+12) =
(–2) + (–3) – (+4) =
–(+4) – (–5) + (–7) =
(–374) + (–47) =
–(–37) – (–15) + (–7) =
3. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(–4) · (–2) · (+5) =
(+3) · (–6) : (–2) =
(–2) · (+7) · (–5) =
(–4) : (+2) =
(–7) · (+2) · (–2) : (–4) =
–[(–4) · (–3) : (–2)] =
4. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3 · (2 + 5) – 6 · 5 + 2 · (3 – 4) – (6 – 8) =
1 – [6 · (2 + 3) – (4 + 1) · 2] · 2 =
4 + 7 · (4 + 5) – 8 · (9 – 7) + (–7 – 2) =
3 + 2 · 3 · ( 4 · 2) – ( 6 – 7) – 2 · 4 · (–1) =
1 + (3 + 4 · 2 – 6) · 2 – (5 – 7) · 2 =
3 – 4 · (2 – 3) · 2 + ( 4 + 3 + 2) · (–1) · 2 =
5. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 – [3 – (2 – 5) · 3 + 2 · (1 – 3) · (–2)] + 5 =
4 – 5 · {2 – 3 · [–4 + 2 · (5 – 4) · (–1)] · (–1)} · (–1) =
8 – [4 + (2 – 5) · 2 – 6 · 3 + (6 – 2)] · (–1) + 5 · (–3 – 2) =
1 – {2 – [3 · (4 – 5) · 2 – 3] · 2} · (–2) =
2 · {2 · [–2 · (–5 + 4) · 2] + 1 } · (–2) =
6 – 4 · (–1 – 2) – 3 · 2 · (2 · 4) · (–1) =
6. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(–2)3 =
–(+4)3 =
(-2)2 · (–3)3 =
(–5)3 · [(–3) + (–2)] =
(–5)3 · (–5)2 =
(–5)3 : (–5)2 =
[(–2)3 · (–2)2] : (–2) =
Razón
A la relación que existe entre dos cantidades se le conoce como razón.
Por lo regular representa el número de veces que una cantidad está contenida en otra. Las
razones se pueden representar por dos puntos o un cociente.
Por ejemplo, si se dice que un automóvil se desplaza a 60 km/h y que la de una bicicleta es
de 20 km/h, su razón será de 3, porque la velocidad de un automóvil contiene tres veces la
de la bicicleta.
La razón se puede plantear de la siguiente manera:
60 km/h del auto es a 20 km/h de la bicicleta.
Esto se representa como 60:20, o bien como 60/20.
Esta relación también podría haber sido 30/10, 9/3, 90/30 o 12/4, ya que todas estas
fracciones son equivalentes a 3.