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Tema 1: Números Reales
1.1 Conjunto de los números
 Naturales (N): 0, 1, 2, 3….
Números positivos sin decimales.
Sirven para contar.

Enteros (Z): ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Racionales (Q): ..., -3, ..., -2´0 , ..., -2, ..., -1´ ..., ..., -1, ..., 0, ..., , ..., 2, ..., 2´25, ...
Números que se pueden expresar como división de dos números enteros
siendo el denominador distinto de cero.
Son los números sin decimales, con decimales finitos, o con decimales
infinitos pero periódicos.
Incluye a los enteros (números sin decimales).
No son los números con decimales infinitos y no periódicos (2´23408...)

Irracionales (I): ..., -2´23408...,

Reales (R): Incluye a los Racionales y a los Irracionales

Ejercicio 1:
Indica a qué conjunto numérico pertenecen los siguientes números:
a) -3
e)
Números enteros (positivos o negativos), sin decimales.
Incluye a los naturales.
, ..., e, ..., π, ...
Son los números con decimales infinitos y no periódicos.
Algunos se representan por letras especiales: =3´14159… e=2,71182…
Para saber si una raíz es irracional hay que realizarla:
= 1´732050…
b)
f)
c) 32,1
g)
6
d)
1.2 Jerarquía de las operaciones.
En una expresión numérica, las operaciones deben de realizarse en el siguiente orden:
1. Se resuelven los paréntesis.
2. Se realizan las potencias y las raíces.
3. Se resuelven los productos y los cocientes de izquierda a derecha.
4. Finalmente, se realizan las sumas y las restas.
Ejemplo:
Realiza la siguiente operación:
h)
i)
j)
1.3 Simplificación en las fracciones.
Para poder simplificar un número en una fracción algebraica, dicho número tiene que poderse sacar factor común tanto
en el numerador como en el denominador:

Se puede simplificar:

No se puede simplificar:

Ejercicio 2:
Realiza las siguientes operaciones:
a)
no podemos simplificar el 5, ya que no lo podemos sacar factor común.
d)
b)
e)
c)
f)
1.4 Propiedades de las potencias.
Cuidado:
El resultado de una potencia de base negativa es negativo si el exponente es impar, y positivo si es par:

Ejercicio 3:
Opera las expresiones siguientes, utilizando las propiedades de las potencias:
h)
a)
f)
d)
b)
g)
e)
c)
1.5 Radicales
Un radical es la raíz indicada de un número real:

Si n es par, A debe ser positivo, para que

Si n es impar, A puede ser cualquier número. Ejemplo:
tenga sentido en R. Ejemplo:
Un radical puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario:
 Propiedades de los radicales:
-
Radicales equivalentes:
Ejemplo:
-
Producto de radicales de igual índice:
-
Cociente de radicales de igual índice:
-
Extracción e introducción de factores en un radical:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo: Introduce
Ejemplo: Extrae
-
Potencia de un radical:
-
Radical de un radical:
Ejemplo:
Ejemplo:
=
Ejemplo:

Suma de radicales:
Los radicales sólo se pueden sumar cuando se pueden escribir de tal forma que tengan el mismo índice y
radicando (radicales semejantes).
Ejemplo:

Racionalización de denominadores:
Dada una expresión con radicales en el denominador, en ocasiones conviene encontrar otra expresión
equivalente que no los contenga en el denominador. A esta operación se la denomina racionalización de
denominadores.
Nos podemos encontrar con tres casos:
1. En el denominador hay un único sumando, en el que hay un radical de índice 2. En este caso se
multiplica y se divide la expresión por dicho radical. Ejemplo:
2. En el denominador hay un único sumando, en el que hay un radical de índice superior a 2. En este caso
se multiplica y se divide la expresión por un radical adecuado para que desaparezca el radical del
denominador. Ejemplo:
3.
Cuando el denominador es un binomio con radicales de orden 2. En este caso se multiplica y se divide
por el conjugado del denominador. Ejemplo:

Ejercicio 4:
Efectúa las siguientes operaciones:
a)

b)
Ejercicio 5:
Extrae de la raíz todos los factores que sea posible:
a)

c)
b)
b)
c)
d)
Ejercicio 7:
Realiza la siguiente suma de radicales:
a)

d)
Ejercicio 6:
Introduce dentro de la raíz y simplifica:
a)

d)
c)
b)
Ejercicio 8:
Racionaliza los siguientes denominadores:
a)
b)
1.6 Logaritmos
 Se denomina logaritmo en base a (
para obtener el número N.
c)
del número positivo N al exponente x al que se debe elevar a
Ejemplo:
ya que

Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos decimales. Su escritura se abrevia omitiendo la base.
Ejemplo:
ya que

Sea el número irracional
Los logaritmos en base e se denominan logaritmos neperianos, y se denotan con el símbolo ln:
Ejemplo:
ya que
Ejemplo:
ya que
Los logaritmos decimales y neperianos se pueden hallar directamente en la calculadora


Ejercicio 9:
Aplicando la definición, calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a)
g)
c)
e)
h)
b)
f)
d)

Ejercicio 10:
Utilizando la calculadora halla:
a)
c)
b)

d)
Ejercicio 11:
Calcula, si es posible, el valor de x en cada una de las siguientes expresiones:
a)
c)
e)
b)
d)
f)
1.7 Cambio de base
La siguiente fórmula permite el cálculo de un logaritmo en cualquier base mediante logaritmos en otra base diferente:
Ejemplo:
La fórmula del cambio de base permite calcular cualquier logaritmo con la calculadora, haciendo el cambio a base
decimal o neperiana.
 Ejercicio 12:
a)
Ejemplo:
Halla con la calculadora los siguientes logaritmos:
b)
c)
1.8 Propiedades de los logaritmos
1. En cualquier base, el logaritmo de 1 vale 0:
Ejemplo:
ya que
2. El logaritmo en base a del número a vale 1:
Ejemplo:
ya que
3. En cualquier base, el logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de
dichos números:
Ejemplo:
4. En cualquier base, el logaritmo del cociente de dos números positivos es igual a la diferencia de los logaritmos
de dichos números:
Ejemplo:
5. En cualquier base, el logaritmo de una potencia de base positiva es igual al producto del exponente por el
logaritmo de la base:
Ejemplo:

Ejercicio 13:
Calcula el valor de x en cada caso:
a)
b)

c)
d)
Ejercicio 14:
Quita los logarítmos en:
a)
b)
1.9 Números Combinatorios
 Factorial de un número natural
Se denomina factorial de un número natural
Ejemplos:
Por convenio se considera que
 Número Combinatorio:
Dados dos números naturales m y n, siendo
Ej.:
c)
y se escribe
, al producto:
, se llama número combinatorio de m sobre n,
,a

Ejercicio 15:
Halla el valor de:
b)
a)

Binomio de Newton:
Una aplicación muy importante de los números combinatorios es el desarrollo de la potencia de un binomio.
Se denomina Binomio de Newton al desarrollo:
y
Ej.: Calcula el desarrollo de
=
En el caso de
se alternan los signos + y -.
Ej.: Calcula el desarrollo de
=
1.10
Identidades notables:
o
Ejemplos:
o
Ejemplo:

Ejercicio 16:
Desarrolla las siguientes potencias:
a)
c)
b)
d)
e)
f)
1.11 Notación Científica
La notación científica se utiliza para expresar cantidades muy grandes o para cantidades muy pequeñas.
Un número escrito en notación científica se compone de dos factores:
 Un número decimal: con una única cifra no nula en la parte entera, y con un número finito de cifras decimales
Ejemplo: 4,36
 Una potencia de 10: cuyo exponente se denomina orden de magnitud.
Será positivo el orden para los números grandes. Ejemplo:
Será negativo el orden para los números pequeños. Ejemplo:
Ejemplos: 4,36·
ó 3,2·
Las calculadoras tienen una tecla especial que permite introducir números en notación científica: EXP
Para escribir 3,2·
, sería: 3,2 EXP +/- 9 y la pantalla mostrará:
, no mostrándose la potencia de 10.
1.12 Intervalos y semirrectas.
 Se llama intervalo abierto de extremos a y b, y se denota por (a, b), el conjunto de números reales comprendido
entre a y b, sin incluir estos extremos:
Ejemplo: (-2, 3)

Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, y se denota por [a, b], el conjunto de números reales
comprendido entre a y b, incluyendo los extremos:
Ejemplo: [-2, 3]

Serán semiabiertos o semicerrados cuando incluyan uno solo de los extremos.

Se llama semirrecta al intervalo determinado por un número real y todos los números mayores o menores que
él.
1.13 Valor absoluto de un número real
Dado un número real , su valor absoluto,
, coincide con él si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo.
Ejemplo:
El valor absoluto es siempre mayor o igual a cero:
El valor absoluto de un número es siempre igual que el de su opuesto:
Ejemplo:

Aplicación del valor absoluto a funciones:
Debemos pasar a rama cada valor absoluto de la función, despejando la x posteriormente:
Ejemplos:
a)
b)

Ejercicio 17:
Desarrolla las expresiones aplicando la definición de valor absoluto; calcula su valor para
y calcula para qué valores de x la expresión vale 2:
a)
e)
b)
c)
d)
f)
+
g)
+
h)
+