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PROPORCIONES Y SEMEJANZA
Veamos el siguiente ejemplo: Cuando tomamos una fotografía con nuestra
cámara, si pedimos al laboratorio fotográfico que nos imprima dos copias
de tamaño 5 X 7 pulgadas, las figuras observadas en estas fotos serán
iguales y tendrán el mismo tamaño, esto es, son congruentes, pero si
hubiéramos pedido una foto de 5 X 7 y otra de 10 X 14 pulgadas, las
figuras que aparecerán en la foto serán iguales, pero tendrían diferente
tamaño. Las figuras obtenidas en esta última pareja de fotos, son
semejantes y guardan entre sí la misma relación que las medidas del papel
en que fueron impresas, esto es:
En estas figuras,
a = (1/2).a’ y b = (1/2).b’ o a’ = 2.a y b’ = 2.b
Comparando las dimensiones de los lados correspondientes se tiene que
(a/a’) = (b/b’) = ½
o
(a’/a) = (b’/b) = 2
Definición: Se dice que a, b, c y a’, b’, c’ son proporcionales si y sólo si:
a b c
= = =k
a ' b' c'
Al número real k, se le llama razón de proporcionalidad.
A la comparación entre dos cantidades para saber cuantas veces contiene una
a la otra se le denomina comparación geométrica o razón geométrica y a la
igualdad de dos razones geométricas se le llama proporción.
A una expresión de la forma
se le denomina proporción continua si
a’ = b, es decir si los medios proporcionales son iguales.
Dada la proporción
, a los términos a y b se les llama antecedentes y se
denomina consecuentes a los términos c y d.
Como la proporción
, también se puede escribir así :
entonces se acostumbra decir que a y d son los extremos de la proporción y b,
c son los medios.
Propiedades de las proporciones.
Las siguientes son las propiedades más importantes de las proporciones y las
utilizaremos para la demostración de algunos teoremas y problemas.
1) El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
(a/b) = (c/d)
2)
=>
a.d = b.c
Si se intercambia medio por medio o extremo por extremo, se obtiene
otra proporción:
(a/b) = (c/d)
=>
(a/c)
= (b/d)
3) Si se invierten sus términos se obtiene otra proporción.
(a/b) = (c/d)
4)
=>
(b/a)
= (d/c)
Si se suma a los antecedentes su consecuente,
proporción.
(a/b) = (c/d)
=>
se obtiene otra
(a+b)/b = (c+d)/d
5) Si se resta a los antecedentes su consecuente, se obtiene otra proporción.
(a/b) = (c/d)
=>
(a-b)/b = (c-d)/d
TRIANGULOS SEMEJANTES
Definición: “Dados 2 triángulos ABC y MNQ, decimos que son
semejantes si y sólo si, tienen iguales sus 3 pares de ángulos.”
De la definición anterior se deduce que 2 triángulos idénticos son
semejantes pero 2 triángulos semejantes no tienen porqué ser idénticos. La
Semejanza de triángulos, así definida, es una cualidad de mayor dimensión
que la identidad.
Otro corolario que se obtiene de la semejanza de 2 triángulos es que los
lados correspondientes en ambos son proporcionales.
TEOREMA DE THALES DE MILETO
Tales de Mileto vivió hacia el año 600 a. de c. Es el más antiguo de los Siete Sabios
de Grecia y aunque se sabe muy poco de su vida, no hay duda en considerarle como
el padre de la Geometría.
Enunciado:”Dada una familia de rectas paralelas, que son intersectadas
por 2 transversales, los segmentos sobre las primeras que éstas determinan.
resultan ser proporcionales.”
Las rectas r y s cortan a las rectas paralelas a, b, c y d. Según el enunciado
anterior debe ser:
(AB) / (CD) = (EF) / (GH), veamos la demostración del mismo.
Se consideran los segmentos AI y CK paralelos a la recta s, de la
definición vista de triángulos semejantes, se deduce que los ABI y CDK
son semejantes pues tienen sus tres lados respectivamente paralelos y por
ende sus 3 pares de ángulos son iguales, por lo tanto estos triángulos tienen
sus lados correspondientes proporcionales es decir:
(AB)/(AI) = (CD)/(CK), pero AI = EF y CK = GH, por ser ambos
cuadriláteros paralelogramos por construcción, por tanto sustituyendo
resulta:
(AB)/(EF) = (CD)/(GH)
y aplicando la propiedad 2 vista de las proporciones se obtiene:
(AB)/(CD) = (EF)/(GH) c.q.d.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULLOS
Primer Criterio:”Dos triángulos con 2 pares de ángulos iguales son
Semejantes”
Segundo Criterio:”Dos triángulos con sus tres lados paralelos son
Semejantes”
Tercer Criterio:”Dos triángulos con un par de ángulos iguales y los lados
de éstos, proporcionales, son Semejantes”
Cuarto Criterio:”Dos triángulos que tengan sus lados respectivamente
proporcionales, son Semejantes”.
HOMOTECIA
Definición:”Es una transformación del plano en sí mismo, Biyectiva, con
un y sólo un punto fijo, (llamado centro de Homotecia) y tal que para todo
punto P del plano, se tiene una imagen P’, alineada con P y el centro de la
transformación, de modo que sea (OP’)/(OP) = r constante. Dicha constante
r que debe ser diferente de 0, se denomina razón de la Homotecia”
Propiedades
La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:
1) El alineamiento: las imágenes de puntos alineados están alineados.
2) El centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen
del baricentro es el baricentro de las imágenes.
3) El paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas.
4) Los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos.
5) La imagen de una recta, que no pase por O, es otra recta paralela. Si la
recta pasa por O entonces es UNIDA.
Todas las longitudes son multiplicadas por |r|, el valor absoluto de la razón.
k = - 1 corresponde a la simetría de centro O, o una rotación alrededor de O
de
ángulo
180º,
con
centro
de
giro
en
O.
|k|
>
1
implica
una
ampliación
de
la
figura.
|k|
<
1
implica
una
reducción.
k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro O
con una homotecia sin inversión.