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C u r s o : Matemática Material N° 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12 UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS POLÍGONOS DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan). POLIGONO CONVEXO: Es un polígono donde cada ángulo interior mide menos de 180º NOMBRE DE POLÍGONOS TRIÁNGULO CUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO OCTÓGONO ENEÀGONO DECÁGONO ENDECÁGONO DODECÁGONO 3 LADOS 4 LADOS 5 LADOS 6 LADOS 7 LADOS 8 LADOS 9 LADOS 10 LADOS 11 LADOS 12 LADOS PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS: Suma de los ángulos interiores = 180º · (n – 2) Suma de los ángulos exteriores = 360º Diagonales desde un vértice = n – 3 n(n 3) Total de diagonales = 2 EJEMPLOS 1. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un heptágono? A) 1.080º B) 900º C) 720º D) 540º E) 360º 2. El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un pentágono es A) B) C) D) E) 2 3 4 5 6 3. El número total de diagonales de un hexágono es A) 6 B) 7 C) 9 D) 18 E) 27 4. La suma de los ángulos exteriores de un octágono es A) 1.440º B) 1.080º C) 900º D) 540º E) 360º 5. ¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la suma de los ángulos exteriores? A) B) C) D) E) 6. ¿Qué polígono es tal que el número total de sus diagonales es igual al número de sus lados? A) B) C) D) E) 7. Cuadrilátero Pentágono Hexágono Triángulo Ninguno de los anteriores Octógono Hexágono Pentágono Cuadrado No existe tal polígono ¿Cuál es el número de lados de un polígono, si de cada uno de sus vértices se pueden trazar 12 diagonales? A) B) C) D) E) 9 10 12 14 15 2 POLÍGONO REGULAR DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En caso contrario se dice que es irregular. a = a 180º (n 2) n a a ’ a Pentágono regular a a a a a 360° = n a a a a a a a Hexágono regular EJEMPLOS 1. ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo interior de un hexágono regular? A) 60º B) 120º C) 140º D) 160º E) 180º 2. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones, es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 3. Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo Si en un polígono sus ángulos exteriores suman 360º, entonces se sabe que el polígono es un cuadrilátero. Si un polígono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polígono es regular. Si en un polígono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un vértice, los ángulos formados en dicho vértice son iguales entre sí. I II III I y III II y III ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 150º? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 3 4. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1.800º, ¿cuántas diagonales se pueden trazar en dicho polígono? A) B) C) D) E) 5. 9 18 35 54 65 El hexágono de la figura 1, es regular. ¿Cuánto mide el ángulo x? A) 22,5º B) 45º C) 67,5º D) 90º E) 112,5º 6. fig. 1 La razón entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores de un cierto polígono es 3 : 2. ¿Cuántas diagonales tiene dicho polígono? A) B) C) D) E) 7. x 2 3 4 5 6 En el pentágono regular de la figura 2, ¿cuál es la medida del ángulo ? A) B) C) D) E) 36º 54º 60º 72º 75º fig. 2 4 CUADRILÁTERO DEFINICIÓN Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS Los cuadriláteros convexos se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES. PROPIEDADES La suma de los ángulos interiores es 360º. La suma de los ángulos exteriores es 360º. EJEMPLOS 1. En el cuadrilátero ABCD de la figura 1, CM y AM son bisectrices de ∡DCB respectivamente. Entonces, el ángulo x mide D A) 220º B) 140º C) 110º D) 80º E) 20º y ∡DAB, C 120º fig. 1 x M 80º B A 2. En el cuadrilátero PQRS de la figura 2, ∡ = 60º y ∡ = 100º. Entonces, la medida de 1 (x + y) es 2 S R y A) 200º fig. 2 B) 160º C) 100º D) 90º x E) 80º P Q 5 3. Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 4:9:11:12. Entonces el mayor de ellos mide A) 10º B) 60º C) 90º D) 110º E) 120º 4. En la figura 3, el ABD es isósceles de base AB . Si ABCD es un rombo y DE CE (A, D y E son colineales), entonces mide E A) B) C) D) E) 30º 45º 60º 75º 80º D C fig. 3 A 5. B Si en el cuadrilátero de la figura 4, + = , entonces ∡ es igual a A) 80º B) 85º C) 90º D) 95º E) 105º fig. 4 170º 6. Si en la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas, entonces ¿cuánto mide el ángulo x? A) 30º B) 40º C) 50º D) 80º E) 100º L1 x 100º 60º 70º L2 6 L4 L3 fig. 5 PARALELÓGRAMO DEFINICIÓN: Paralelógramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de paralelos. lados opuestos CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES CUADRADO NOMBRE 45º 45º 45º RECTÁNGULO a 45º Lados opuestos congruentes Ángulos opuestos congruentes Las diagonales se dimidian Ángulos contiguos suplementarios Diagonales perpendiculares Diagonales bisectrices Diagonales congruentes a a b b a b b a 45º a a a 45º 45º ROMBOIDE a a 45º a PROPIEDADES ROMBO a OBSERVACION: Si un cuadrilátero cumple con alguna de las siguientes propiedades entonces es un paralelogramo. - Ángulos opuestos congruentes Diagonales se dimidian Sus lados opuestos congruentes Ángulos contiguos suplementarios EJEMPLOS 1. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelógramo? A) B) 50º C) 130º 50º D) 50º 50º 130º 130º 130º 130º 7 E) 130º 130º 130º 50º 50º 50º 2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 3. Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo Todo paralelógramo tiene sus lados opuestos congruentes. Todo paralelógramo tiene sus ángulos opuestos congruentes. Dos ángulos contiguos de un paralelógramo son complementarios. I II III I y II I y III En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) ACDF es un paralelógramo Si = 90º entonces BCDE es un rectángulo Si AB = BE y = 90º, entonces ABEF es un cuadrado. Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo I y III I, II y III F D L1 B C L2 Para que un cuadrilátero convexo sea un paralelógramo, se debe cumplir necesariamente que A) B) C) D) E) 5. fig. 1 A 4. E sus diagonales sean congruentes. sus ángulos opuestos sean suplementarios. sus diagonales se dimidien. sus diagonales sean perpendiculares. tengan un par de lados paralelos. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) paralelógramo ABCD de diagonales AC y BD ? I) A) B) C) D) E) necesariamente verdadera(s) en un Si AC BD y AC BD , entonces ABCD es un rombo. II) Si AC BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado. III) Si AC BD y AB BC , entonces ABCD es un romboide. Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III 8 TRAPECIO DEFINICIÓN: D Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados bases. D C C A B + = 180º + = 180º C A B AB // CD Trapecio Escaleno D A B AB // C D AB // C D Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo + = 180º + = 180º - Ángulos basales congruentes - Diagonales congruentes - Ángulos opuestos suplementarios Mediana: Es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos PROPIEDADES: En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD ) son suplementarios. EJEMPLOS 1. En el trapecio de la figura 1, AB // CD y BC = CD . Si el ∡BDC = 35º, entonces el ∡ABC mide D A) B) C) D) E) 2. 180º 140º 110º 100º 70º C fig. 1 A B Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 2, AB // CD y ∡ADC = 40º, entonces el ángulo ABC mide D A) B) C) D) E) C 210º 140º 110º 70º ninguna de las anteriores. fig. 2 A 9 B 3. Si en la figura 3, ABCD es un cuadrado y EG // AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 4. D BFC isósceles. FG es altura del BFC. Los trapecios ABFE y DCFE son congruentes. C F E Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III G fig. 3 A B La mediana de un trapecio mide 60 cm. Si una de las bases es el doble de la otra, entonces la base mayor mide A) 30 cm B) 40 cm C) 60 cm D) 80 cm E) 100 cm 5. En el trapecio de la figura 4, AD DC BC que A) B) C) AB // DC . Entonces, siempre se cumple D AC BD C AD AB AC AB fig. 4 D) ∡A ∡C B A E) ∡D ∡B 6. y En la figura 5, DC // AB . Si AD BC DC , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) BDC es isósceles. D AC es bisectriz ∡DAB. CAD DBC C fig. 5 E Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III I, II y III A 10 B TRAPEZOIDE DEFINICIÓN: Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene pares de lados paralelos. CLASIFICACIÓN: Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos. C D C A TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO B D AB AD y CD CB B ( AD DC ) A TRAPEZOIDE SIMÉTRICO (DELTOIDE) PROPIEDADES DEL DELTOIDE Diagonales perpendiculares. Una diagonal es bisectriz. La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral de la otra diagonal. a a ab b b EJEMPLOS 1. En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD DE . Si ∡DGF = 109º y ∡FDE = 14º, entonces el ángulo GFE mide F A) 33º B) 57º C) 76º D) 109º E) 114º G E fig. 1 D 2. En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC . Si ∡ABC = 135º y ∡DCB = 70º, entonces ∡CDB + ∡CAD = C fig. 2 A) 45º B) 55º C) 65º D) 90º E) 125º D B A 11 3. En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD . Si ∡BAD = 50º y ∡ADC = 150º, entonces la medida del ángulo x es A) B) C) D) E) C D 95º 85º 75º 65º 55º fig. 3 x A 4. Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva se obtiene siempre A) B) C) D) E) 5. B un un un un un trapezoide. trapecio. paralelogramo. cuadrado. rombo. En el trapezoide ABCD de la figura 4, ∡DCB = 120º, ∡DAB = 60º y ∡CDB = 40º, entonces la medida del ∡DBA es C A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) 120º D B 3 fig. 4 A 6. Si en la figura 5, ABCD es un deltoide, AD = CD , AF : FD = 1 : 2 y DF = 8. Entonces, AC mide D A) B) C) D) E) fig. 5 8 7 6 5 2 5 A F B 12 C EJERCICIOS 1. Si en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es igual a 1.440º, entonces el polígono es un A) B) C) D) E) 2. Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígono es tres, entonces el polígono tiene A) B) C) D) E) 3. hexágono octógono decágono dodecágono eneágono 9 8 7 6 5 lados lados lados lados lados ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 4. En un pentágono regular, el suplemento de un ángulo interior mide 72º. El total de diagonales que se pueden trazar en un octógono son 24. La suma de los ángulos interiores de un heptágono es 720º. Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares, el ángulo interior mide el triple del ángulo exterior correspondiente? A) B) C) D) E) Triángulo Pentágono Hexágono Decágono Octógono 13 5. En el rectángulo ABCD de la figura 1, AC diagonal y PQ AC . Si ∡DPQ = 113º. ¿Cuánto mide ? A A) 23º B) 43º C) 67º D) 76º E) 113º P D 113º fig. 1 Q B 6. C En el pentágono regular de la figura 2, los puntos A, B y F son colineales. Entonces, ∡ mide C D A) 60º B) 72º C) 80º D) 90º E) 108º F B fig. 2 E A 7. Si en la figura 3, ABCD es un rectángulo y L es una recta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? L I) sº + uº = tº + vº D C II) sº + vº = uº + tº sº tº III) sº = vº y uº = tº fig. 3 A) Sólo I B) Sólo II uº vº C) Sólo I y III A B D) Sólo II y III E) I, II y III 8. La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 4, se prolonga de modo que CE = AB , entonces la medida del ∡x es E x A) 18º B) 22,5º C) 24º D) 45º E) 135º B C fig. 4 D 14 A 9. Si en el polígono de la figura 5, BE CD , AB CF y AE DF DE , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) ABE FCD FED isósceles E A ∡CFB = 45º F fig. 5 Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III 60º B 30º C D 10. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 6, AB // CD y el ∡y = 60º, ¿cuál es la medida del ∡x? D A) B) C) D) E) 160º 140º 120º 60º Ninguna de las anteriores C y fig. 6 x B A 11. En la figura 7, ABCDE es un pentágono regular y los lados de la estrella son las prolongaciones del pentágono, entonces el ángulo x mide A) B) C) D) E) 72º 54º 36º 30º 18º A E D B C fig. 7 x 12. En el rectángulo ABCD de la figura 8, ∡ = 67º, ¿cuánto mide el ángulo x? D A) 23º B) 67º C) 117º D) 127º E) 157º C fig. 8 x A 15 B 13. Si se trazan las diagonales de un paralelógramo, formando 4 triángulos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 14. Se obtienen cuatro triángulos congruentes. Se obtienen cuatro triángulos semejantes. Se obtienen sólo triángulos rectángulos. Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III Ninguna de ellas En el trapecio ABCD de la figura 9, AB // CD , BF EC , FB // DA , BF y EC son bisectrices. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) FC BC ∡ BCE = 30º FE EB F D A) B) C) D) E) Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III C 60° fig. 9 E B A 15. En la figura 10, ABCD es un trapecio isósceles, AB // CD , AE = EB . Si AB : BC = 2 : 1 y EC // AD , ¿cuál es la medida del ∡BAD? D A) B) C) D) E) 70º 60º 55º 30º 20º C fig. 10 A 16. Si en la figura 11, MNP QOR, ∡NMP = 50º y ∡OQP es E B ∡NPM = 70º, entonces la medida del P fig. 11 70º A) 130º B) 120º C) 110º D) 70º E) 50º M Q 50º N 16 R O 17. En la figura 12, ABCD es romboide. Si H es punto medio de DF y AD GD GF EF , entonces se cumple que I) II) III) A) B) C) D) E) Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo AEFD es un rombo D ∡DGH ∡HGF HG DF H F C fig. 12 I II III I y II II y III A G E B 18. En la figura 13, ABCDEF es un hexágono regular, EA , EB y EC son diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? A) B) C) D) E) I) II) AEF CED ABE CBE III) ∡ABE ∡BED F E fig. 13 A D Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III B C 19. En el polígono de la figura 14, AB // PC , AP // BC , AP y CP son bisectrices de los ángulos interiores respectivos, entonces la medida del ángulo es A A) B) C) D) E) fig. 14 160º 140º 120º 100º 60º B E P 60º C 80º D 20. En el cuadrado ABCD de la figura 15, se ha trazado la diagonal AC y el ∡ABE mide la tercera parte del ∡ABC. ¿Cuál de las siguientes opciones no es correcta? D A) ∡ACB = 45º C B) ∡EFA = 60º C) ∡AEB = 60º fig. 15 E D) ∡EFC = 105° F E) ∡DEB = 120º 17 A B 21. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales. ¿Cuánto mide cada ángulo exterior de este polígono? A) 12º B) 15º C) 24º D) 30º E) 168º 22. En la figura 16, ABCD es un paralelógramo, ∡DCA = 40º y ∡ABD = 50º. ¿Qué tipo de paralelógramo es? C D A) B) C) D) E) Rectángulo Trapecio Rombo Romboide Cuadrado fig. 16 100º B A 23. Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero se forman dos triángulos isósceles cuyas bases son la diagonal, y los ángulos basales de un triángulo miden el doble de los ángulos basales del otro. Entonces dicho cuadrilátero es un A) B) C) D) E) Cuadrado Trapecio Romboide Rombo Deltoide 24. En un trapecio isósceles los ángulos opuestos están en la razón 2:7. ¿Cuánto es la semidiferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor, respectivamente? A) 50º B) 60º C) 100º D) 120º E) 140º 25. En la figura 17, ABCD es un trapecio rectángulo en A y D, ∡ABD = 40º, y BDC es isósceles de base BC . ¿Cuál es la medida del ∡? D A) 70º B) 30º C) 90º D) 45º E) 120º C A 18 B fig. 17 26. Se puede determinar la longitud de los lados de un polígono regular si: (1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm. (2) Sus ángulos exteriores suman 360º. A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional 27. En la figura 18, ABCD es rectángulo. Se puede afirmar que ADE BCE si: (1) ∡BAE = 45º (2) E es punto medio. A) B) C) D) E) D (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional E C fig. 18 A B 28. Se puede determinar la medida del ∡BCD del cuadrilátero de la figura 19, si: (1) ABCD es un paralelógramo y triángulo ABD es equilátero. A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional fig. 19 A 29. Se puede determinar el número de lados de un polígono convexo, si: (1) Se conoce la suma de los ángulos interiores. (2) Se conoce el número total de diagonales. A) B) C) D) E) C D (2) El ángulo DAB mide 60º. (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional 19 B 30. En la figura 20, se puede determinar la medida del ángulo si : C (1) + + = 300º fig. 20 (2) ABCD es un romboide y + = 180º. A) B) C) D) E) D (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional B A RESPUESTAS Ejemplos 1 2 3 4 5 6 7 1y2 B A C E A C E 3y4 A C D D D D A 5y6 E E E A D A 7y8 A D D C D 9 y 10 E B B D A E 11 y 12 E C B C C A Págs. EJERCICIOS PÁG. 13 1. C 11. C 21. A 2. D 12. E 22. C 3. A 13. E 23. E 4. E 14. E 24. A 5. C 15. B 25. A 6. B 16. A 26. E 7. C 17. E 27. B 8. B 18. E 28. A 9. E 19. D 29. D 10. C 20. B 30. A DMDMA15 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ 20