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Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
LA DERIVADA
Introducción.Si buscamos la definición de una tangente, desde los griegos que
trabajaron muy bien las definiciones basadas en la lógica, dada una circunferencia la
tangente es la recta que la toca a lo más en un solo punto (A), si la tocara en más de un
punto esta recta se llama secante (B).
Secantes
Tangentes
(A) (B)
Dada la siguiente curva:
En un primer momento es una tangente, pero en su
prolongación es una secante, esto no ocurre en las circunferencias, ya que no hay
tangente que en su prolongación sea secante.
F(x)
La definición de la recta tangente a una circunferencia no es el problema, sino la
generalidad hacia toda curva y el hecho de considerar la prolongación de la recta.
Sir. Isaac Newton, descubrió en forma analítica lo que luego definió como derivada, las
interpretaciones del concepto son de gran aplicación, una de ellas es la que pasamos a
explicar como la formación de la tangente a partir de la formación de una recta secante
de una curva la cual comienza avariar su pendiente hasta convertirse en una recta
tangente en un punto de la curva.
Observe en el siguiente grafico como una recta secante va variando su pendiente hasta
llegar a convertirse en una recta tangente.
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
Y
Secante (3)
Secante (2)
Secante (1)
Tangente
F(x)=curva
F(𝑥 ) F(𝑥 )
F(𝑥 ) B
F(𝑥 )-F(𝑥 )
F(𝑥 )
A
𝒙𝟒
𝒙𝟏
El ángulo de inclinación
X
Se sabe que la ecuación de una recta depende de 2 puntos, en este caso la ecuación de la
)) y
)) ; ambos
secante (1) depende de los puntos
conocidos. Pero también conocemos la ecuación punto pendiente de una recta:
)donde
) es el punto inicial y “m” es la pendiente.
En la recta Secante (1) la pendiente la encuentra mediante el vector dirección o
mediante la tangente del ángulo de inclinación =
)
)
….(*)
Para el caso de la recta tangente conocemos el punto inicial (
saber su pendiente para tener su ecuación punto pendiente.
Newton llamo a
como:
)=
F( )) solo faltaría
“incremento de x”, y expreso este incremento
; De manera que expreso la pendiente(*) como
)
)
.
Para el caso de la Secante(2) la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación =
)
)
, expresada en función del incremento
)
)
.
Para el caso de la Secante(3) la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación =
)
)
, expresada en función del incremento
)
)
.
Observe que las pendientes de todas las secantes se expresan de la misma manera, no
varía el punto inicial; la diferencia está en el
que es cada vez más pequeña.
Conforme el punto F( ) se acerque hasta F( ) y luego F( ) hasta llegar F( ) el
incremento
es cada vez más pequeño, en el extremo de coincidir con el primer
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La Derivada
punto,la recta ya no sería secante sino la misma tangente, peroél
pendiente no existiría.
entonces la
La única manera de lograr que el punto se acerque tanto hasta F ( ) sin que coincidan
es utilizando el gran invento de Newton “el concepto de límite” donde el incremento
)
nunca es cero; hallando
)
; si este límite existe se habrá encontrado la
pendiente de la recta tangente y por ende la ecuación de una recta tangente.
)
Newton llamó al
)
; la derivada de la función F(x) en el punto
.
Ahora una recta tangente referente a cualquier curva F(x) en general, es aquella recta
cuya pendiente es la derivada de la curva F(x) siempre y cuando exista; como la
curva tiene infinitos puntoses necesario que F(x) exista al evaluarla en algún punto, de
lo contrario decimos que no existe recta tangente; es lo mismo que decir “la función no
es derivable”.
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva
punto
)
)
)
en el
Solución:
)
)
)
)
Como F(x + x) =
=
)
)
)
=
)
=
= 2x – 3 luego al evaluarla en el punto (3,2) existe y es“{2(3)-3} = 3”
es decir la pendiente de la recta en dicho punto es “3”
Ecuación punto pendiente: (y- ) = m(x- ) luego la ecuación de la tangente:
(y- ) = 3(x- )
Además de encontrar la recta tangente a una curva, también se puede calcular la recta
normal a dicha curva en el mismo punto.
Recta normal
Recta tangente
(𝑥 𝑦 )
F(x)
(𝑥 𝑦 )ortogonales, luego m1.m2= -1; si se
Ambas rectas pasan por el mismo punto,son
conoce la pendiente de la tangente se conoce la pendiente de la recta normal.
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)
Las ecuaciones de cada recta:{
)
)
)
Notaciones de la derivada:
̇ Según Newton.
)
Según Lagrange
)
Según Leibniz.
) Según Cauchy y Jacobi
Halla la derivada de F(x) =
, según la definición de derivada
Solución:
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Se puede encontrar la derivada de cualquier función, pero esto incluye un buen dominio
algebraico y todo un proceso operativo, pero; podemos reducir las operaciones con
teoremas y deducción lógica.
Apliquemos a los diferentes tipos de funciones la definición:
Función Constante:
Sea F(x) = 6
Como la función no depende de la variable “x”, al aplicar la definición, resulta cero.
)
)
En adelante la derivada de cualquier constante es “0”.
Nota: a modo de observación, si grafica la función constante obtendrá una recta
horizontal de pendiente cero.
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Función Identidad:
Sea
)
)
)
)
Función Lineal:
Sea
)
Por el primer teorema, es
Es la combinación de la derivada de una función identidad y una función constante.
Función Cuadrática:
Sea F(x) = x2
)
)
)
)
)
)
)
Función Cubica:
Sea F(x) = x3
)
)
)
)
)
Función Polinómica de grado 4:
Sea F(x) = x4
)
)
)
)
)
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)
)
Si observamos todas las soluciones podemos observar que hay un comportamiento que
podemos generalizar:
La Potencia pasa como
coeficiente y la función
reduce en uno su
potencia
El problema de esta generalización es que no muestra un término muy importante a
considerar para cuando quiera hacer integrales.
Se va a derivar funciones polinómicas, es decir no derivamos solo una variable elevada
a una potencia.
La idea es no derivar por la definición por eso usamos teoremas pero aplicados a
cualquier función que permitan explicar mejor lo deducido.
Teoremas: Basados en diferenciales
1o.- Derivada de una constante:
Ya se demostró y ahora generalizamos.
F(x) = 4
; F(x) = 35
; F(x) = -9
2o.- Derivada de una constante por una función:
)
F(x) = 3x
F(x) = -5x3
)
;
;
)
F(x) = 6(x4 +2x3+8x-6)
;
Quedaentendido: “siempre la constante sale y deriva solo la función”
3o.- Derivada de una suma o diferencia de funciones:
)
)
)
)
Este teorema solo me facilita la derivación de un polinomio, ya que se asume a cada
monomio como una nueva función.
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Del ejemplo anterior:
Cada monomio es considerado como una nueva función:
Solo va a derivar una sola vez cada monomio por lo cual al final debe expresar
solamente el monomio multiplicado por “6”.
4o.- Derivada de una función elevada a una potencia diferente de cero:
)
)
)
La función es como un monomio por lo tanto; solucionamos cada monomio anterior y
queda expresada correctamente:
Del ejercicio anterior:
Al aplicar a cada monomio por separado:
{
}
Ahora la operación queda:
{
}
Tenga en cuenta que se le ha mostrado la lógica sobre cómo opera una derivada a
un polinomio cualquiera, esto es más rápido y más sencillo, solo practique para
aplicarlo directamente.
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La Derivada
)
Derive:
(
)
(
)
(
)
Para alguien acostumbrado a derivar o que ya tenga cierta práctica, esto es irrelevante o
innecesario, pero cuando las funciones sean más complejas o se le explique integrales
no entiende el proceso por ignorar esto.
5o.- Derivada de un producto de funciones:
)
)
)
)
)
)
No es difícil aplicar este teorema, pero si debe practicar intensamente y sobre todo con
orden.
Derive:
)
)
)
No es necesario multiplicar los polinomios para luego derivar.
)
)
)
)
F(x) ya ha sido derivado, que Ud. Multiplique los polinomios y lo ordene es otra cosa
que se supone ¡Deber saber!
Derive:
)
)
)
Aplicando el modelo:
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Reemplazando:
)
)
)
)
)
Ya se derivó pero; Un poco de lógica para ordenarlo sin necesidad de operar:
)
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)
)
)
)
)
Recuerde el factor común, si le parece muy complicado debe practicar, solo observe no
se le pide operar.
6o.- Derivada de un cociente de funciones:
)
)
)
)
)
)
)
)
La condición G(x) 0, solo es para cuando va a evaluar la función, en este caso no
estamos evaluando, sino solo derivamos.
)
Derivar:
Aplicando el modelo:
)
)
)
)
En el modelo solo hay algo que derivar el resto se mantiene.
)
Reemplazando:
)
)
)
Termino su proceso de derivar, el resto ya es algebra, solo ordene y facilite su
presentación:
)
Derivar:
)
)
)
)
Aplicando el modelo:
)
)
)
)
En el modelo solo hay algo que derivar el resto se mantiene.
)
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)
){
)
}
)
)
)
)
)
Reemplazando:
)
)
)
)
)
)
)
Observe el factor común, el denominador ahora esta elevado a la “6”.
)
)
)
)
)
)
Ahora sí, podemos hacer uso de estos teoremas y aplicarlos a cualquier función,
recuerde que debe practicar mucho, de su práctica depende su facilidad para entender
integrales.
Derivar: F(x) =
Derivando cada monomio separadamente:
Derivar F(x) =
Nuevamente monomio por monomio:
Derivar
)
)
)
Como es una multiplicación:
)
)
)
)
Es necesario que se ordene para que sepa que va a derivar y que no.
)
)
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Reemplazando:
)
Derivar
)
(
)
)
)
)
) }
{
)
)
)
)
)
{
}
)
Solución:
)
)
)
)
)
)
Derivar:
Es un cociente de funciones:
(
)
)
)
)
)
)
)
Reemplazando:
)
)
)
)
Derivar:
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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)
)
) )
=
)
)
)
)
)
)
)
Reemplazando:
)
) )
)
)
)
)
)
Ahora todo es algebra depende de Ud. Busque siempre un factor común y opere
Nota: 2 cosas importantes, tenga orden y siempre exprese el problema aplicando el
teorema para saber qué es lo que debe derivar, el resto solo es algebra.
Los siguientes teoremas tienen que ver con los logaritmos, pero debe conocer bien la
teoría para que se facilite el aprendizaje de las derivadas.
LOGARITMOS:
Cuando aplicamos la teoría de exponentes, como en: )
observamos que sobre la misma base (3), está cambiando el exponente.
ò
)
,
Si preguntamos: )
¿qué exponente le corresponde?, Ud. Multiplicara 3 tantas
veces sea posible hasta obtener 243, encontrará que son 5 veces, luego x=5.
Así funciona o se entiende el operador matemático llamado logaritmo, que denota:
La notación pregunta ¿Cuál es el logaritmo de 243 en base (3)?, es la misma pregunta
anterior, ¿Cuál es el exponente de 3? por lo tanto la respuesta es “5”.
Podemos cambiar la base, pero el concepto se mantiene:
Hallar
Es lo mismo que expresar:
)
; Ud. Al buscar obtendrá como respuesta x= 4
Ahora puede generalizar la búsqueda de un logaritmo no importando la base.
Hallar
Es lo mismo que expresar: )
; ud. Al buscar tendrá un problema porque no
tendrá un número exacto, esto quiere decir que hace falta ayuda de propiedades y
valores obtenidos previamente con una calculadora y que se escriben en una tabla.
)
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La Derivada
Definición: El logaritmo de un número es el exponente obtenido a partir de una
base determinada.
Siempre le darán la base, de lo contrario no podría hallar el logaritmo.
Solamente cuando no se exprese la base se debe sobrentender que la base es 10; por
ejemplo
; estos tipos de logaritmos también se conocen como logaritmos vulgares
o logaritmos de briggs.
Propiedades:
)
1. Logaritmo de una producto:
2. Logaritmo de una cociente:
3. Logaritmo de un exponente:
( )
)
Teorema:
Logaritmo de un número igual a su base:
Se entiende )
, donde x=1
)
)
Ejemplo: Hallar
Aplicando los teoremas independientemente de cuál es la base.
)
;
)
Depende de la base, para buscar en las tablas o en una calculadora
.
Por ejemplo si n=2, entonces
Lo interesante son las propiedades que ayudan a facilitar otras operaciones.
Existe otro tipo de logaritmo cuya base es la constante “e = 2.71828…”; llamado
logaritmo neperiano o natural.
Tiene las mismas propiedades y su tabla de valores correspondientes, su autor Neper,
facilitó operaciones con esta base. Su notación:
Debe notar la diferencia con la notación del logaritmo vulgar ya que no especifica la
base, además se debe sobreentender que esta es “e”.
Aplicando estos operadores a las funciones:
“conocida como la función logaritmo”
F(x) =
Ud. Opera
)
“n puede tomar cualquier valor”
Va a graficar para cada valor de “x” entonces F(x) = n. (es decir los exponentes)
Por lógica x ¿puede ser negativo?, NO;
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La Derivada
¿Puede ser cero? Tampoco entonces los “x” siempre serán mayores que cero.
y
Si cambia la base, la curva se mueve,
pero siempre pasa por este punto
Para el caso de F(x) =ln(x)
la gráfica también guarda
el mismo comportamiento
𝑥
𝑥
𝑥
1
1
2 3
4
x
Note que (1,0) es un punto común para cualquier logaritmo; luego de acuerdo a la base
el siguiente punto se encuentra en la recta horizontal Y = 1.
Nota: De acuerdo a la base la función se llama logaritmo vulgar o logaritmo neperiano.
RELACIÓN ENTRE LOGARITMO VULGAR Y NEPERIANO
Siendo
un caso de
entre ambos logaritmos.
; es decir con una base particular, existe una relación
)
La base es especial “e” y le llamamos logaritmo neperiano, para diferenciarla del resto
de logaritmos se escribe:
Podemos expresar
)
)
Que es lo mismo:
)
Relación que nos permite escribir:
Por lo tanto cuando se tiene un logaritmo vulgar podemos modificarla o transformarla
en neperiano:
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La Derivada
Es una constante que
no depende de “x”
Ejemplo:
Modifique los siguientes logaritmos vulgares a neperianos:
;
;
;
Sencillo cuando la base es 10, pero si la base es diferente a 10.
Recuerde la relación
)
Pero:
y
; al reemplazarlos:
Ahora es muy sencillo si tenemos logaritmos de diferente base:
Solamente para la base 10 de los logaritmos vulgares y los neperianos
Si fuera el caso del logaritmo vulgar:
Pero ya se sabe por
)que
)
entonces:
; luego reemplazando en
)
Significa que podemos expresar un logaritmo de base 10 o de cualquier otra base en
función de un logaritmo neperiano.
𝑥
𝑥
𝑒
7mo Derivada de un Logaritmo Neperiano
𝑥
𝑥
𝑒
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La Derivada
)
)
)
Teóricamente es sencillo si tengo el logaritmo neperiano, solo expreso la inversa de la
función por la derivada de la función. “Pero debe dominar el resto de teoremas”
Ejemplo: sea
)
)
)
)
Ejemplo: sea
)
)
)
)
)
Simplificado:
{
}
(
)
)
Es importante que mantenga el orden para poder observar que es lo que va a derivar, en
este caso es un cociente:
)
)
(
)
)
)
)
(
)
)
)
)
)
)
Al reemplazarlo en el modelo (*)
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
{
)
}
)
)
Que finalmente queda:
)
)
)
)
8vo Derivada de un LogaritmoVulgar
Si la función es
)
)
Tiene su modelo pero el logaritmo neperiano es más sencillo, razón que obliga a
modificarlo.
)=
)
“e” es una constante luego
)
)
{
}
)
No estamos memorizando otro teorema solo estamos deduciendo.
)
Ejemplo: Si la función es
)
Ahora es un logaritmo vulgar; su conversión a logaritmo neperiano, es fácil:
)
)=
)
)
9no Teorema: Derivar una función elevada a otra función
))
)
No son sencillos, pero; igualmente lo vamos a deducir empleando nuestro conocimiento
de logaritmos.
Por ejemplo sea
Se busca encontrar.
)
)
)
)
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
Si tomamos logaritmos a ambos miembros del problema
)
)
)
Por la propiedad de logaritmos:
)
)
)
Derivando ambos miembros:
)
)
Derivada
de un
producto
)
Derivada de un
Logaritmo
)
)
)
)
)
)(
)
)
)
)
)
)Es la función que pasa a multiplicar a toda la expresión de la derecha.
)
Finalmente
)
)(
) es el mismo problema.
)
Ejemplo sea
)
)
)
Se busca encontrar
)
)
(
)
)
)
)
)
Logaritmos a ambos miembros del problema:
)
)
)
Por la propiedad de logaritmos:
)
)
)
)
Derivando ambos miembros:
)
)
)
)
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
)
)
(
)
)
) )
)
)
)
)
) Siempre pasa a multiplicar a toda la expresión de la derecha:
)
){
)
Ejemplo sea
) )(
)
)
)
)
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)}
)
)
)
Como la función es una constante, su derivada resulta aún más sencilla.
Se busca encontrar
)
Logaritmos a ambos miembros del problema.
)
)
)
Por la propiedad de logaritmos:
)
)
)
)
Derivar ambos miembros:
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Aprovechamos para presentar la inversa de la Función Logaritmo Neperiano, ya que es
de la más utilizada en comparación de la inversa de un logaritmo vulgar.
Función Exponencial.Así se denomina a la inversa de la Función Logaritmo Neperiano
)
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
Como “e”, es una constante, la derivada de la función exponencial resulta muy sencilla.
Tomamos logaritmos neperianos a ambos lados de la función
)
)
Derivando ambos miembros.
)
)
)
)
Ya se sabe que:
)
)
10mo Teorema: Derivar una función exponencial:
Si se da el caso que la función exponencial esta elevada a otra función, seguimos los
modelos anteriores, teniendo presente la forma como se deriva.
Ejemplo sea
)
Tomamos logaritmos neperianos a ambos lados de la función
)
)
Aplicando la propiedad de los logaritmos:
)
)
Derivando ambos miembros.
)
)
)
)
)
El último teorema ya nos facilitó una derivada.
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
)
)
)
El factor común (
)
) facilita el ejercicio
)
)
)
Finalmente:
)
)
)
Respuesta:
)
Ahora tiene 10 teoremas expresamente para todo tipo de función en la cual además de
las funciones logaritmo vulgar y neperiano tiene la función exponencial.
Solo queda practicar de manera intensa para no memorizar sino deducir los teoremas, es
además un ejercicio para fortalecer la teoría del algebra y sobre todo de exponentes.
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS:
Las siguientes derivadas son resultado de su derivación mediante la definición, por ello
cualquier prueba respecto a alguna de ellas se puede encontrar en cualquier libro de
análisis matemático, ya que no es el objetivo de probarlo, sino de seguir deduciendo los
teoremas.
Otra observación importante es el ángulo de la función, que trae errores cuando no se
comprende su derivada, por ello es importante colocar en vez de Seno(x), el Seno(a),
donde a es un ángulo cualquiera o en todo caso otra función; de tal manera que la
derivada se exprese correcta.
11mo Teorema.- Derivada de la función seno(a)
)
)
12avo Teorema.- Derivada de la Función Coseno(a)
)
)
Aceptemos estos 2 teoremas y a partir de estas deducir las siguientes; nuevamente
hago la observación “a” no solo puede ser un ángulo sino una función derivable.
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
13avo Teorema.- Derivada de la Función Tangente(x)
Se sabe que:
)
)
)
La derivada de un cociente:
)
)
)
)
)
Los teoremas 11 y 12 facilitan la operación:
)
)
)
)
)
Por identidad trigonométrica:
)
)
14avo Teorema.- Derivada de la Función Cotangente(a)
)
)
)
Nuevamente la derivada de un cociente:
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
15avo Teorema.- Derivada de la Función Secante(a)
)
)
)
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
16avo Teorema.- Derivada de la Función Cosecante(a)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
La razón de mostrar estas derivadas es no perder de vista el ángulo, de manera de poder
derivar cualquier función trigonométrica.
Es obvio que puede ser pesado deducir ya que debe tener una base del manejo de
identidades y algebra, pero es un buen método para después retener los modelos
Ejemplo: Derivar Sen(x)
Por el teorema.
)
)
)
①Ejemplo: Derivar Sen(3x)
Por el teorema:
)
)
)
Ahora si se puede observar la importancia de considerar el ángulo.
②Ejemplo: Derivar Sen(4x-3)
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
Por el teorema:
)
)
)
③Ejemplo: Derivar Sen(
)
)
)
)
④Ejemplo: Derivar Sen(
)
)
)
)
)
(
(
)
)
)
)
)
)
)
Nota: es preferible escribir la respuesta:
)
)
)
)
)
Para no confundir el ángulo con el polinomio.
⑤Ejemplo: Derivar Tg(
)
)
(
)
)
)
)
)
)
Aquí escribimos al final la función trigonométrica para no confundir el ángulo.
⑥Ejemplo: Derivar Sec
)
)
)
)
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
)
)
)
)
)
)
La expresión de la fórmula es clara y la presencia de la derivada del ángulo.
)
)
)
)
)
)
Observe el orden para no confundir el ángulo con el polinomio.
Hasta aquí hay una combinación de los teoremas de las funciones trigonométricas con
los 10 primeros teoremas.
He observado que ahora sucede un problema con la teoría de exponentes, el alumno
confunde e interpreta de diferente manera los exponentes aplicados a funciones
trigonométricas.
Debe recordar la teoría de exponentes:
)
)
) ; Igualmente Sen(x).Sen(x) =
)peroOtra cosa es Sen )
Debe diferenciar entre la función trigonométrica elevada a un exponente y el ángulo
elevado a un exponente, ambos no significan lo mismo.
)
);
) ; Sec(
) ;
)
Recuerde:
)
Derive:
)
), por eso debe verlo como una función
Ud. Sabe derivar el Sen(x), pero no
elevada al cubo.
)
)
)
)
)
No olvide considerar el ángulo cuando así se requiera.
Derive:
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Es necesario que siga la secuencia y tenga orden.
)
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
)
Derive:
)
)
))
(
)
))
(
))
)
)
))
)
Derive:
)
)
)
(
)
)
)
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
)
)
(
)
)
)
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:
Sea, Sen (x) = a
x = Arc Sen(a) conocida como la función inversa del Seno, al
igual que las funciones trigonométricas no es un objetivo hacer las demostraciones de
sus derivadas, pero las pueden encontrar en cualquier libro de análisis matemático.
17avo Teorema.- Derivada de la función inversa seno o Arco Seno
)
√
Al igual que las funciones trigonométricas, es importante considerar el valor de “a” si
este fuera “x” simplemente desaparece el término
.
18avo Teorema.- Derivada de la función inversa Coseno
)
√
19avo Teorema.- Derivada de la función inversa Tangente
)
20avo Teorema.- Derivada de la función inversa Cotangente
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
)
21avo Teorema.- Derivada de la función inversa Secante
)
√
22avo Teorema.- Derivada de la función inversa Cosecante
)
√
Su práctica se verá cuando comience con las integrales, conocer estas derivadas facilita
mucho la integral de lo contrario debe aplicar métodos para visualizar la función.
Ejemplo: Sea F(x) = ArcSen(x-3)
)
)
)
√
Ejemplo: Sea F(x) = ArcTg (
)
)
)
)
Ejemplo: Sea F(x) = ArcSec (
)
)
)
)
)√
)√
)
)
Ejemplo: Sea F(x) = ArcCos (
)
√
√
)
)√
)
)
)
Lic.MIGUEL CANO
La Derivada
√
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√
√
( √
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(
√
)
√
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)
√
(√
)
√
(
√
)
)
)
))
Ejemplo: Sea F(x) = ArcTg (
))
))
))
(
))
)
)
)
Todavía falta considerar las funciones trigonométricas hiperbólicas, así como sus
inversas, todo hace en total 34 teoremas para poder adquirir destreza en las integrales.