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UNIDAD 1 FUNCIONES
CONCEPTOS BASICOS DE: FUNCIONES EXPONENCIALES,
POTENCIA, INVERSA, LOGARITMOS Y TRIGONOMETRICAS.
Definición de función exponencial
Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo
a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial
tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica por
cuanto se cumple que:
Representación gráfica de varias funciones exponenciales.
Función exponencial, según el valor de la base.
Propiedades de las funciones exponenciales
Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes
propiedades generales:
 La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:
f (0) = a0 = 1.
 La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:
f (1) = a1 = a.
 La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la
aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.
f (x + x?) = ax+x? = ax × ax? = f (x) × f (x?).
 La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al
minuendo dividida por la función del sustraendo:
f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).
La función ex Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex.
El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que
tiende la expresión:
(1 + 1/n) n
cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida
para los logaritmos naturales o neperianos.
La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en
las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia
derivada.
Ecuaciones exponenciales
Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente.
Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.
Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:


Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para
lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada
a distintos exponentes:
Ax = Ay.
En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la
igualdad x = y.
Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la
ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original
en otra más fácil de resolver.
22x - 3 × 2x - 4 = 0
t2 - 3t - 4 = 0
luego se? ¿deshace? el cambio de variable.
Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de
sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de
ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de
igualación de la base y de cambio de variable.
Función Potencia
La función potencia
es una función de la forma
donde a es un
número real, distinto de 0, y n es un número natural distinto de 1. La función potencia
esta definida para los números reales y su gráfica depende del exponente.
Donde el coeficiente a que acompaña a X es un número real distinto de cero y n es un
numero natural. Dominio y Recorrido de la Función Potencia, El dominio de la función
potencia son todos los valores x tales que y=f(x) exista. En este caso son todos los reales.
El recorrido de la función potencia son todos los valores y=f(x) tales que sean la función
de un x perteneciente la función.
FUNCIÓN INVERSA
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4
Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de
su función inversa.Si dos funciones son inversas su composición es la función
identidad.
(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x
Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer
cuadrante.
Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una
función,
.
Cálculo de la función inversa
1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2.Se despeja la variable x en función de la variable y.
3.Se intercambian las variables.
Ejemplos Calcular la función inversa de:
1.
LOGARITMOS
Definición
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe
elevar la base para obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
7
8
De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un
número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
Propiedades
1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores:
Ejemplo
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor:
Ejemplo
3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el
logaritmo de la base:
Ejemplo
4 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y
el índice de la raíz:
Ejemplo
5 Cambio de base:
Ejemplo
Logaritmos decimales y neperianos
Logaritmos decimales
Los logaritmos decimales tienen base 10. Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos
Los logaritmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
CONCEPTO DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la
aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable
independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones
trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y
tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también
definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.
La función seno
Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón
trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función
seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos
los números reales.
Gráfica de la función seno.
La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en
radianes.
La función coseno
La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón
trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta
función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números
reales.
Gráfica de la función coseno.
La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo
dado expresado en radianes.
La función tangente
Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la
razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se
expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada
en radianes.
Gráfica de la función tangente.
La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en
radianes.
Propiedades de las funciones trigonométricas
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden
resaltarse las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera
que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente
es p.

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números
reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos
en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.


Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x)
= -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y:
cos (-x) = cos x.
Funciones circulares recíprocas
Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones
trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular
recíproca, según la relación siguiente:



La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x.
La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x.
La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg
x.
Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos
polinomios.
Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un
polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales. En estas
páginas sobre funciones racionales vamos a considerar solamente funciones racionales
cuyo denominador es un polinomio de grado mayor que 0. Las funciones racionales
pueden tener características que las diferencian de las funciones polinómicas y que
vamos a revisar en estas páginas:
- Singularidades: En algunos casos, algunos valores de x son problemáticos. Esto es
debido a que las funciones racionales hay un denominador que puede ser 0 y no
podemos dividir entre 0. Esos valores de x que hacen 0 el denominador juega un papel
especial. Como no podemos calcular el valor de la función en esos valores decimos que
la función no está definida para esos valores de x. También decimos que esos puntos no
pertenecen al dominio de la función. El dominio de una función racional está
determinado por las restricciones impuestas por el denominador: dividir entre 0 es
imposible.
El dominio es el conjunto de los números reales para los que la función está definida. En
el caso de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales que no son
ceros del denominador. Por lo tanto, para determinar el dominio de una función racional
tenemos que encontrar los ceros reales del denominador. A estos puntos se les llama
singularidades y es interesante ver cómo se comporta la función cerca de esos puntos.
- Puntos de corte con el eje de abscisas: Se trata de encontrar los valores de x que hacen
que el gráfico de la función cruce el eje de abscisas. Son los valores de x para los que
f(x)=0.
- Continuidad: Las funciones racionales son continuas en su dominio (pero su dominio
puede no ser todos los números reales).
- Comportamiento "en el infinito": Es interesante el estudio del comportamiento de la
función cuando x se hace más y más grande en valor absoluto (siendo x positivo o
negativo). Veremos que en algunos casos la función se aproxima a una recta (horizontal
u oblicua). En estos casos diremos que la función tiene una asíntota horizontal u oblicua
(según los casos). En todos los casos el comportamiento de una función racional "en el
infinito" está determinado por una función polinómica.
Empezamos nuestro estudio con las funciones racionales lineales. Una función racional
lineal es una función racional cuyo numerador es un número o un polinomio de grado 1 y
que tiene por denominador un polinomio de grado 1.
La más simple de las funciones racionales es
Al dibujar su gráfica obtenemos una hipérbola equilátera.
Cuando x=0 no podemos calcular el valor de la función porque no podemos dividir entre
0 (abusando del lenguaje, a veces se dice que 'el cociente se hace infinito'). La función
no está definida en x=0. Es decir, el dominio de la función es:
Para x = 1 resulta y = 1. Para x > 1 el numerador es más pequeño que el denominador y el
cociente resulta menor que 1.
Veamos con más detalle el comportamiento de la función cuando x se hace más y más
grande. Conforme aumenta x la fracción 1/x disminuye. Por lo tanto, si nos movemos
desde el 0 hacia la derecha, el valor de y=1/x es cada vez menor y la curva se aproxima al
eje de abcisas tanto como queramos. Es decir, la función se comporta como una recta
horizontal. A esta recta la llamamos asíntota horizontal. La recta y=b es una asíntota
horizontal de la gráfica de f(x) si f(x) se aproxima a b conforme x aumenta o disminuye
sin cota. En este primer caso, la asíntota horizontal es el eje de abcisas:
Cuando nos aproximamos a 0 por el lado del 1 (valores positivos), el denominador se está
aproximando a 0 mientras que el numerador es igual a 1. La función aumenta cuanto
queramos, aumenta sin límite y obtenemos una rama que se 'va hacia el infinito'.
Si nos aproximamos a 0 por la izquierda (valores negativos) entonces la gráfica de la
función se 'va hacia el infinito' pero negativo. Decimos que la función tiene una asíntota
vertical. La gráfica de esta función está dividida en dos 'ramas'.
La recta x=b es una asíntota vertical de la gráfica de f(x) si f(x) crece o decrece sin cota
conforme x se acerca a b por la derecha o por la izquierda. Una función racional tendrá
asíntotas verticales en los ceros del denominador (pero tendremos que comprobar el
comportamiento de la función en los casos en que un cero del denominador también sea
cero del numerador.
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que
están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones, … pero no divisiones.
Los
No
exponentes
puede
sólo
pueden
ser
un
número
infinito
tener
0,1,2,3,...
de
etc.
términos.
==> Exponente
Polinomios
Un polinomio es así:
un ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos
Están hechos de:
constantes (como 3, -20, o ½)
variables (como x e y)
exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc
Que se pueden combinar usando:
+-×
sumas, restas y multiplicaciones...
... ¡pero no divisiones!
Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!
¿Son polinomios o no?
Estos son polinomios:



3x
x-2
3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5
Y estos no son polinomios


2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser
0,1,2,...)
Pero esto sí está permitido:


x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)
también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)
Monomios, binomios, trinomios
Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:
(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan
poco)
Muchos términos
Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.
¿Qué tienen de especial los polinomios?
Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.
Por ejemplo sabemos que:


Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio
Si multiplicas polinomios te sale un polinomio
Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un
polinomio al final.
Grado
El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.
Ejemplo:
El grado es 3 (el mayor exponente de x)