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MATEMÁTICAS
PROFESORES:
Cristina Montero
Teodoro Rodríguez
ÍNDICE
U.D. 1: ECUACIONES Y
SISTEMAS
Pág.
180
U.D. 2: INECUACIONES
181
U.D. 3: FUNCIONES Y
PROPIEDADES
182
U.D. 4: LÍMITES Y
CONTINUIDAD
183
U.D. 5: DERIVADAS
184
U.D. 6: INTEGRALES
185
U.D. 7: NÚMEROS
COMPLEJOS
186
U.D. 8: TRIGONOMETRÍA
PLANA
187
U.D. 9: GEOMETRÍA
PLANA
188
ANEXO 1.1
189
ANEXO 2.1
191
ANEXO 3.1
192
ANEXO 3.2
193
ANEXO 4.1
194
ANEXO 5.1
195
ANEXO 6.1
196
LECCIÓN 1ª: Título: ECUACIONES Y SISTEMAS
1. Objetivos:
Que los alumnos sean capaces de:
· Resolver ecuaciones de 1º y 2º grado, así como bicuadradas
· Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
· Resolver sistemas de hasta 3 ecuaciones con 3 incógnitas
· Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones y sistema de ecuaciones
Contenidos:
Conceptos:
· Ecuaciones. Ecuaciones de 1º y 2º grado. Significado geométrico.
· Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
· Sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 incógnitas. Método de Gauss.
· Sistemas de ecuaciones no lineales.
Procedimientos:
· Utilización del lenguaje algebraico para expresar y resolver sistemas
mediante igualdades.
!
Resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones por distintos
métodos, incluido el gráfico.
· Formulación de problemas con la utilización del lenguaje algebraico.
· Uso del método de Gauss en la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales.
Actitudes:
· Perseverancia en la búsqueda de soluciones de ecuaciones y sistemas
!
Curiosidad por plantear y encontrar las soluciones de problemas que
pueden resolverse con ecuaciones o sistemas
!
Disposición favorable para interpretar y comprobar la validez de las
soluciones de ecuaciones y problemas
2. Evaluación de conocimientos previos:
Para conseguir una comprensión significativa de la unidad didáctica es
necesario que el alumno conozca las operaciones con polinomios, y las ecuaciones y
sistemas de primer y segundo grado. Para ello, se realizará un ejercicio (sin calificación)
el primer día de clase (ver anexo 1.1)
3. Motivación cognitiva:
Plantear una situación concreta de la vida cotidiana, para que los alumnos vean
la necesidad de las ecuaciones. Por ejemplo, los dos problemas planteados en pág. 80.
5. Desarrollo de la lección:
1ª ses.: Evaluación inicial de conocimientos anteriores.
2ª ses.: Definición de ecuación, ecuaciones de 1º y 2º grado. Obtención de la
solución de una ec. 2º grado con demostración. Discriminante. Resolución de
ecuaciones sencillas, similares al ej. 2, pág.60
3ª4ª ses.: Ecuaciones bicuadradas. Ejerc. de resolución de ecuaciones, del tipo
del ej. 6, pág. 60
5ª6ªses.: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Ejercicios del tipo del ej. 78
pág. 60
7ª ses.: Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Definición y
clasificación. Resolución por reducción, igualación y sustitución. Ejercicios del tipo del
ej. 91011 pág. 6061
8ª9ª ses.: Método de Gauss. Ejercicios del tipo del ej. 12 pág. 60
10ª ses.: Sistemas de ecuaciones no lineales. Ejercicios del tipo del ej. 13, pág.
60
11ª12ª ses.: Problemas que se resuelvan mediante ecuaciones y/o sistemas, del
tipo de los de pág. 61. Añadir algún problemas más de edades, cifras, etc.
13ª15ª ses.: Ejercicios de autoevaluación, pág. 63. Ejercicios del anexo 2.1.
6. Evaluación:
Se realizará una prueba escrita al acabar la U.D. 2.
- Mínimo: Resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como
bicuadradas con métodos tanto algorítmicos como gráficos. Resolver sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas por reducción, igualación y sustitución. Verificar la
validez de las soluciones.
- Medio: Además de lo anterior, resolver ecuaciones exponenciales y
logarítmicas y sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de Gauss.
Plantear y resolver problemas sencillos mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones,
interpretar las soluciones y verificar su validez. Manejar las herramientas algebraicas
básicas y la notación simbólica en la resolución de problemas.
- Alto: Además de lo anterior, plantear y resolver problemas más complicados
mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
LECCIÓN 2ª: Título: INECUACIONES
1. Objetivos:
Que los alumnos sean capaces de:
· Resolver inecuaciones lineales con una y con dos incógnitas.
· Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
· Resolver sistemas de inecuaciones lineales.
· Manejar el método gráfico de resolución de inecuaciones y sistemas de
inecuaciones.
· Plantear y resolver situaciones relacionadas con desigualdades.
Contenidos:
Conceptos:
· Desigualdades e inecuaciones.
· Inecuaciones lineales con una incógnita.
· Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
· Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
· Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Procedimientos:
· Resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales por distintos
métodos.
Actitudes:
· Perseverancia en la búsqueda de soluciones de inecuaciones y sistemas de
inecuaciones.
· Disposición favorable para interpretar y comprobar la validez de las
soluciones de inecuaciones
5. Desarrollo de la lección:
1ª ses.: Definición de inecuación. Resolución de inecuaciones lineales con una
incógnita. Ejercicios del tipo del ej 56 pág. 76
2ª ses.: Solución gráfica de inecuaciones lineales con 1 incógnita. Ejercicios del
tipo del ej. 910 pág. 77.
3ª ses.: Inecuaciones de 2º grado con 1 incógnita. Resolución analítica y gráfica.
Ejercicios del tipo del ej. 1112 pág. 7677
4ª ses.: Sistemas de dos inecuaciones con dos incógnitas. Resolución gráfica
(solamente). Ejercicios del tipo del ej.14 pág. 77
5ª ses.: Ejercicios de repaso de ecuaciones e inecuaciones: ver anexo 2.1.
Ejercicio del tipo del ej. 18,pág.77
6ª ses.: Prueba escrita de globalización que abarcará las U.D. 1 y 2
6.Actividades de globalizaciónevaluación final:
- Mínimo: Resolver inecuaciones de primer grado de forma analítica y gráfica.
Manejar las herramientas algebraicas básicas y la notación simbólica en la resolución de
problemas relacionados con inecuaciones y sistemas de inecuaciones.
- Medio: Además de lo anterior, idem con inecuaciones de 2 grado.
- Alto: Además de lo anterior, resolver sistemas de inecuaciones de forma
gráfica.
LECCIÓN 3ª: Título: FUNCIONES Y PROPIEDADES
1. Objetivos:
Que los alumnos sean capaces de:
!
Analizar e identificar funciones definidas mediante una tabla, una
gráfica o una expresión analítica, y encontrar sus propiedades (dominio, recorrido,
simetrías, monotonía y extremos).
!
Asociar funciones a fenómenos concretos, e interpretar fenómenos
expresados en forma de tabla o de gráfica funciones elementales (rectas, parábolas,
racionales...) y reconocer sus propiedades.
· Representar gráficamente funciones constantes, afines, lineales y
cuadráticas.
Contenidos:
Conceptos:
· Funciones, tablas y gráficas.
· Dominio, recorrido, simetrías y monotonía de una función.
· Funciones polinómicas de grado 0 y 1, y funciones polinómicas de segundo
grado.
Procedimientos:
· Elaboración de tablas de valores a partir de datos conocidos.
· Representación gráfica de funciones constantes, afines, lineales y
cuadráticas.
!
Análisis de las propiedades de funciones elementales a partir de sus
representaciones gráficas y de su expresión analítica.
Actitudes:
!
Valorar el lenguaje gráfico como herramienta útil para la
interpretación de fenómenos asociados a funciones.
· Actitud crítica ante la información recibida a partir de una gráfica.
· Gusto por el orden, la limpieza y la precisión en la representación gráfica de
funciones.
2. Evaluación de conocimientos previos:
Ver anexo 3.1
3. Motivación cognitiva:
Ver anexo 3.2
5. Desarrollo de la lección:
1ª ses.: Evaluación de conocimientos previos. Que la realicen individualmente.
Definición de función. Ejercicio 3, pág. 230
2ª3ª ses.: Dominio de una función (polinómica, racionales, logarítmicas, con
raíces, exponenciales). Ejercicios de cálculo de dominio de funciones, similares al ej. 5
pág. 230
4ª ses.: Recorrido de una función (gráficamente). Simetrías. Ej.similares al ej. 8
pág. 231.
5ª6ª ses.: Definición de función creciente, decreciente, máximos y mínimos.
Ejercicio 6 (sin acotación ni extremos) pág. 231.
7ª ses.: Problemas del tipo del ej. 25 pág. 235.
8ª9ª ses.: Representación de rectas y parábolas. Resolución de los ejercicios de la
ev. Previa. Ejercicios del tipo del ej. 1 y 6 pág. 252.
10ª11ª ses.: Funciones definidas a trozos. Ejercicios del tipo del ej. 2223 y 28 a)
pág. 252.253
12ª ses.: Prueba escrita, en la que se incluirán los contenidos de las U.D.
anteriores.
6.Actividades de globalizaciónevaluación final:
- Mínimo: Representar gráficamente funciones polinómicas de grado 0, 1 y 2, y
determinar sus características.
- Medio: Además de lo anterior, determinar las características de una función
(dominio, recorrido, simetrías, monotonía y extremos) a partir de su gráfica.
- Alto: Además de lo anterior, resolver problemas sencillos.
LECCIÓN 4ª: Título: LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. Objetivos:
Que los alumnos sean capaces de:
· Calcular las tendencias de una función a partir de su gráfica.
· Resolver las indeterminaciones más usuales en el cálculo de límites.
· Determinar de forma intuitiva la continuidad de una función a partir de su
gráfica.
!
Resolver mediante el cálculo de límites la continuidad de una función
dada por su expresión analítica.
Contenidos:
Conceptos:
· Cálculo de límites de sucesiones.
· El número e.
· Límite de una función en un punto. Límites infinitos en un punto
. 1Cálculo de límites; indeterminaciones del tipo del ej. .
· Continuidad de funciones.
· Asíntotas de una función: verticales, horizontales y oblicuas.
Procedimientos:
· Determinación de las tendencias de una función a partir de su gráfica.
!
Cálculo de límites de funciones expresadas en forma analítica,
resolviendo las indeterminaciones que aparezcan.
!
Determinación de asíntotas verticales y horizontales de una función,
en forma gráfica y analítica.
· Análisis de la continuidad en forma analítica y gráfica.
Actitudes:
· Valoración del lenguaje gráfico.
!
Curiosidad por abordar matemáticamente problemas relacionados con
las tendencias de fenómenos asociados a funciones.
2. Evaluación de conocimientos previos:
Conocimientos de la u.d. anterior (funciones definidas a trozos, parábolas y
rectas)
3. Motivación cognitiva:
Buscar juego con la calculadora!!!!!!!
5. Desarrollo de la lección:
1ª2ª ses.: Definición de sucesión. Idea intuitiva de límite de una sucesión.
Cálculo de límites de sucesiones: indeterminaciones . Ejercicios del tipo del ej. 1 pág.
260
3ª4ª ses.: El número e. Cálculo de límites. Ejercicios del tipo del ej.1 pág. 261 y
ej. 1 pág. 276
5ª6ª ses.: Límite de una función en un punto. Idea intuitiva de límites laterales
(gráficamente). Ejercicios del tipo del ej. 1 pág.264; 1 y 2 pág. 265; 1 pág. 267; 5 pág.
276; 11 pág 276.
7ª8ª ses.: Indeterminación . Ejercicios del tipo del ej. 6 pág 276.
9ª11ª ses.: Definición de función continua en un punto. Ejercicios del tipo del
ej.19 c) pág.277 (en la lección aparecen pocos; es necesario añadir alguno), es decir,
insistir en estudiar la continuidad de funciones definidas a trozos, formadas por rectas y
parábolas, representándolas gráficamente e identificando el tipo de discontinuidad que
presentan.
12ª13ª ses.: Ejercicios del tipo del ej.1,3,4,5 pág 279.
14ª ses.: Asíntotas de una función: horizontales, verticales y oblicuas (sólo en
funciones racionales). Ejemplos. Ejercicios similares al 14 y 20, pág. 277
1516ª ses.: Ejercicios de repaso, anexo 4.1.
17ª ses.: Prueba escrita.
6.Actividades de globalizaciónevaluación final:
- Mínimo: Comprender y definir el concepto de límite de una sucesión y de una
función. Calcular límites de sucesiones y de funciones resolviendo las
indeterminaciones más sencillos. Utilizar el cálculo de límites para determinar la
continuidad de una función a partir de su expresión analítica.
- Medio: Además de lo anterior, conocer y manejar el número e en el cálculo de
límites de sucesiones. Calcular límites más complejos.
- Alto: Además de lo anterior, resolver problemas en los que haya que utilizar
límites.
LECCIÓN 5ª: Título: DERIVADAS
1. Objetivos:
Que los alumnos sean capaces de:
· Interpretar geométricamente el concepto de derivada de una función en un
punto.
· Aplicar correctamente la regla de la cadena en la derivación de
composiciones de funciones.
· Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado.
· Estudiar el comportamiento de una función y representarla gráficamente.
Contenidos:
Conceptos:
· Derivada de una función en un punto.
· Función derivada.
· Cálculo de derivadas.
· Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto
· Criterios de crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, concavidad,
convexidad y puntos de inflexión.
Procedimientos:
· Cálculo de la derivada de una función en un punto utilizando la definición.
· Resolución de funciones derivadas utilizando las reglas de derivación.
· Utilización de la regla de la cadena para derivar funciones compuestas
· Determinación de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto
dado
· Estudio y representación de funciones racionales, logarítmicas y
exponenciales
Actitudes:
· Valoración de la utilidad de la regla de la cadena y del resto de las reglas de
derivación.
!
Estimación de la importancia del concepto de derivada para la
interpretación de fenómenos asociados a funciones.
!
Valoración del concepto de derivada como herramienta para
encontrar las ecuaciones de rectas tangentes a curvas, así como su importancia en la
representación de funciones.
5. Desarrollo de la lección:
1ª2ª ses.: Definición de derivada de una función en un punto. Ejemplos sencillos.
3ª4ª ses.: Definición de función derivada. Tabla de derivadas. Ejercicios de
derivación (para dominar el “ algoritmo” de la derivación). Ver anexo 5.1. Ejercicios
del tipo del ej. 34567 pág. 296
5ª7ª ses.: Más ejercicios aplicando la regla de la cadena.
8ª ses.: Interpretación geométrica de la derivada: enunciado y demostración.
Ejemplos.
9ª10ª ses.: Ejercicios del tipo del ej. 1314152122 pág. 297.
11ª12ª ses.: Aplicaciones de la derivada: criterios de crecimiento, decrecimiento,
máximos y mínimos (con sus definiciones) sin demostración. Ejemplos en funciones
polinómicas, racionales, exponenciales, con radicales y logarítmicas
13ª14ª ses.: Criterios de concavidad, convexidad y puntos de inflexión, con sus
definiciones (sin demostración). Ejemplos en funciones polinómicas, racionales,
exponenciales, con radicales y logarítmicas.
15ª16ª ses.: Estudio completo de una función racional: dominio, puntos de corte,
simetrías, asíntotas, regiones, crecimiento (con extremos) y concavidad (con puntos de
inflexión). Representación gráfica.
17ª20ª ses.: Idem de otras tres funciones racionales, dos logarítmicas, una
exponencial, una polinómica
21ª ses.: Se dedicará una sesión completa para realizar el estudio de una función
individualmente.
6.Actividades de globalización evaluación final:
Una vez explicadas todas las reglas de derivación se realizarán pruebas escritas
diarias durante los 10 primeros minutos de la sesión, que consistirán en la derivación de
5 funciones.
- Mínimo: Emplear las reglas de para el cálculo de derivadas de funciones
simples y compuestas. Estudiar el comportamiento de las funciones utilizando la
derivada.
- Medio: Además de lo anterior, utilizar la derivada para obtener la de la recta
tangente a una curva en un punto. Realizar el estudio completo de una función racional
y representarla.
- Alto: Además de lo anterior, realizar el estudio completo de cualquier función
y representarla.
LECCIÓN 6ª: Título: INTEGRALES
1. Objetivos:
Que los alumnos sean capaces de:
· Comprender el concepto de primitiva de una función e interpretar su
significado geométrico.
!
Calcular algunas integrales utilizando los métodos de integración por
sustitución, por partes, racionales simples y por descomposición.
· Entender el concepto de integral definida e interpretar el significado de la
regla de Barrow.
· Hallar áreas de regiones planas determinadas por gráficas de funciones.
Contenidos:
Conceptos:
· Primitiva de una función. Definición de integral indefinida. Propiedades.
· Integrales inmediatas.
· Integrales por sustitución.
· Integrales racionales reales simples
· Integrales por partes
· Definición de integral definida. Propiedades. Regla de Barrow.
· Área de una región plana.
Procedimientos:
· Cálculo de primitivas inmediatas.
!
Utilización de las primitivas inmediatas, del método de sustitución,
partes e integrales racionales para calcular integrales indefinidas.
· Determinación de áreas de recintos del plano delimitados por curvas y rectas
Actitudes:
· Rigor en el cálculo de integrales de funciones.
!
Valoración de la importancia del cálculo integral en el análisis
matemático y en sus aplicaciones.
!
Valoración de la utilidad de la representación gráfica en el cálculo de
áreas de recintos planos determinados por gráficas de funciones
5. Desarrollo de la lección:
1ª ses.: Definición de primitiva y de integral indefinida. Se irá viendo la tabla de
integrales inmediatas de manera que los alumnos deduzcan algunas de ellas
(entendiendo la integración como la operación inversa de la derivación).
2ª3ª ses.: Ejemplos de integrales potenciales, utilizando exponentes negativos y
fraccionarios. Ejercicios de integrales inmediatas: del tipo del ej. 2 pág 314
4ª5ª ses.: Integrales inmediatas compuestas: ejercicios 3457, del tipo del ej. pág
314.
6ª8ª ses.: Integrales racionales simples reales: descomposición en fracciones
simples. Exposición del método. Ejercicios (anexo 6.1)
9ª10ª ses.: Método de integración por sustitución. Ejemplos.
11ª13ªses.: Método de integración por partes: casos en los que se aplica.
Ejercicios (anexo 6.1).
14ª ses.: Ejercicios de integrales de los tipos explicados (anexo 6.1).
15ª ses.: Prueba escrita con la resolución de 10 integrales indefinidas.
16ª ses.: Definición de integral definida: idea intuitiva de suma superior e
inferior, y de integral definida como límite de las sumas superiores e inferiores.
Interpretación geométrica. Propiedades de la integral definida. Ejemplos sencillos para
comprender esta interpretación geométrica.
17ª ses.: Forma de calcular estas integrales: enunciado de la regla de Barrow.
Ejercicio del tipo del ej. 1 pág 311.
18ª 19ª ses.: Cálculo de áreas planas: áreas entre rectas y el eje x, parábolas y el
eje x, rectas y parábolas. Hacer siempre una representación gráfica. Ejercicios similares
a ej. 7, 11 y 12, pág. 316.
20ª ses.: Hallar el área encerrada entre una función polinómica y el eje x. Idem
con alguna función racional y polinómica.
6. Evaluación:
Se realizarán pruebas escritas diarias durante los 10 primeros minutos de la
sesión, que consistirán en la integración de 5 funciones.
- Mínimo: Calcular integrales indefinidas por los métodos de descomposición,
por partes, racionales y por sustitución sencillas
- Medio: Además de lo anterior, calcular integrales indefinidas por los métodos
de descomposición, por partes, racionales y por sustitución más complejas. Hallar el
área encerrada entre rectas y parábolas utilizando la integral definida
- Alto: Además de lo anterior, hallar el área encerrada entre cualquier curva de
las de los tipos estudiados este curso.
LECCIÓN 7ª: Título: NÚMEROS COMPLEJOS
1. Objetivos:
Que los alumnos sean capaces de:
· Representar gráficamente números complejos.
!
Obtener a partir de una expresión cualquiera de un número complejo
todas las demás formas de expresión de dicho número.
· Operar con números complejos en todas sus formas de expresión.
Contenidos:
Conceptos:
!
Números complejos. Números complejos opuestos y conjugados.
Afijo de un número complejo.
· Representación gráfica de números complejos.
· Operaciones con números complejos en forma binómica.
· Expresiones de un número complejo.
· Operaciones en forma polar y trigonométrica.
Procedimientos:
· Resolución de ecuaciones cuyas soluciones sean números complejos.
· Representaciones gráficas de números complejos.
· Cálculo de operaciones con números complejos, utilizando todas sus
expresiones.
Actitudes:
!
Valoración de la importancia de los números complejos en la
resolución de ecuaciones que no tengan soluciones reales.
· Rigor y precisión en el cálculo y en las representaciones gráficas.
2. Evaluación de conocimientos previos:
Es necesario conocer las r.t. de los ángulos de 0, 30º, 45º, 60º, 90º así como los
que se deducen de estos.
3. Motivación cognitiva:
Plantear una ecuación de 2º grado que no tenga solución real, destacando la
necesidad de “ inventar” un nuevo conjunto de números (igual que anteriormente
fueron necesarios los nº enteros, reales etc.).
5. Desarrollo de la lección:
1ª ses.: Definición de la unidad imaginaria. Potencias de i. Definición de nº
complejo en forma binómica, conjugado y opuesto de un nº complejo. Forma cartesiana
de un nº complejo y representación gráfica.. Ej. Del tipo del ej. 2, 15 pág.92
2ª3ª ses.: Operaciones en forma binómica: suma, multiplicación y división. Ej.
4,6,8, del tipo del ej. pág.92.
4ª5ªses.: Números complejos imaginarios puros y reales “ puros” . Ej. 1011, 18,
del tipo del ej. pág. 92. Potencias de nº complejos: hacer el ejercicio 12 del tipo del ej.
pág. 92 (y alguna potencia más complicada) para ver la necesidad de una nueva forma
de expresar los nº complejos. Forma polar de un nº complejo
6ª ses.: Operaciones en forma polar: multiplicación, división y potenciación.
Forma trigonométrica de un nº complejo. Ej 22, 23 del tipo del ej. pág 93.
6. Evaluación:
- Mínimo: Operar con números complejos, utilizando correctamente las
propiedades de las operaciones
- Medio: Además de lo anterior, manejar las distintas formas de expresar los
números complejos y su representación gráfica
- Alto: Además de lo anterior, utilizar los números complejos para intercambiar
información y resolver problemas basados en la vida cotidiana, en situaciones
relacionadas con otras esferas del saber y en el ámbito de la ciencia y de la tecnología.
LECCIÓN 8ª: Título: TRIGONOMETRÍA PLANA
1. Objetivos:
Que los alumnos sean capaces de:
!
Calcular las razones trigonométricas de ángulos, a partir de las
relaciones existentes entre ellas y de las razones conocidas de otros ángulos.
!
Utilizar correctamente las fórmulas de las razones trigonométricas de
la suma y la diferencia de ángulos, así como las del ángulo doble y el ángulo mitad.
· Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas.
!
Plantear y resolver problemas en los que se precise la trigonometría
para obtener su solución. Determinar todos los elementos de un triángulo, conocidos
algunos de ellos.
· Utilizar correctamente el teorema del seno y el del coseno.
· Encontrar la solución de situaciones o problemas relacionados con la
resolución de triángulos
Contenidos:
Conceptos:
· Definición de las razones trigonométricas y relaciones entre ellas.
!
Razones trigonométricas de los ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º y
los ángulos que se deducen de estas.
!
Razones trigonométricas de la suma y de la diferencia de ángulos, del
ángulo doble y del ángulo mitad.
· Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas.
· Teorema del seno y del coseno..
· Resolución de triángulos. Aplicaciones.
Procedimientos:
!
Obtención de las razones trigonométricas de ángulos, utilizando la
reducción a ángulos comprendidos entre 0º y 45º.
!
Cálculo de las razones trigonométricas de ángulos que son la suma o
la diferencia de otros ángulos dados, del ángulo doble y del ángulo mitad de otro
ángulo cuyas razones son conocidas.
· Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas.
· Resolución de problemas relacionados con la trigonometría.
· Resolución de triángulos cualesquiera, utilizando los diferentes casos
posibles.
Actitudes
· Rigor en la aplicación de las técnicas y las fórmulas de la trigonometría.
!
Perseverancia en la búsqueda de soluciones de las ecuaciones y
sistemas de ecuaciones trigonométricas.
· Tendencia a la comprobación de la validez de soluciones en las ecuaciones
trigonométricas.
!
Valoración de la utilidad de la trigonometría para la resolución de
situaciones reales y problemas.
· Rigor en la aplicación de las fórmulas de trigonometría y de sus teoremas.
· Perseverancia en la búsqueda de soluciones de los problemas relacionados
con triángulos.
!
Valoración de la utilidad de la trigonometría para la resolución de
situaciones reales y problemas
5. Desarrollo de la lección:
1ª ses.: Definición de las 6 razones trigonométricas, así como las relaciones
fundamentales que existen entre ellas (con demostración). Todo es “ repaso” de 4º
ESO. Ejericios del tipo del ej. 10,11 y 12 pág. 132
2ª ses.: Fórmulas de las r.t. de la suma y diferencia de ángulos (sin
demostración). Ej. del tipo del ej. 1415 pág. 132
3ª ses.: Fórmulas del ángulo doble (con demost.) y del ángulo mitad. Ej. del tipo
del ej. 17 pág.132
4ª ses.: Aplicación de fórmulas a ejercicios de simplificar y ecuaciones: ej. del
tipo del ej. 18 pág. 132, ej. 32, 36; pág. 133
5ª6ª ses.: Sistemas de ecuaciones: ej. del tipo del ej.19 pág. 132
7ª ses.: Problemas sencillos: ejercicios del tipo del ej. 24, 25 y 26 pág. 133
8ª9ª ses.: Teorema del seno y del coseno (con demost). Ej. del tipo del ej.4 pág
146.
10ª ses.: Problemas más complicados de resolución de triángulos: del tipo del
ej. pág. 146147
11ª ses.: Prueba escrita de la U.D. de nº complejos y de trogonometría.
6. Evaluación:
- Mínimo: Deducir las restantes r.t. conociendo una de ellas y el cuadrante al
que pertenece el ángulo. Simplificar expresiones sencillas. Utilizar de forma correcta los
teoremas de seno y del coseno para resolver triángulos distintos. Utilizar el lenguaje
simbólico adecuado en la resolución de problemas geométricos
- Medio: Además de lo anterior, resolver ecuaciones trigonométricas sencillas y
deducir las r.t. de ángulos que son suma, diferencia, doble o mitad de otro. Resolver
triángulos cualesquiera, utilizando los diferentes casos posibles en diversas situaciones
reales y problemas, valorando e interpretando dichas soluciones en su contexto real.
- Alto: Además de lo anterior, resolver ecuaciones trigonométricas más
complejas y sistemas de ecuaciones. Utilizar las técnicas básicas del álgebra y de la
geometría en la resolución de problemas. Utilizar y valorar el dibujo para facilitar la
comprensión y la resolución de situaciones y problemas relacionados con la geometría.
Utilizar las distintas expresiones que relacionan las razones trigonométricas en
diferentes contextos, valorando la conexión entre la trigonometría y otras partes de las
matemáticas.
LECCIÓN 9ª: Título: GEOMETRÍA PLANA
1. Objetivos:
Que los alumnos sean capaces de:
· Obtener todas las ecuaciones de la recta.
· Determinar las posiciones relativas de dos rectas en el plano.
· Resolver problemas relacionados con distancias y ángulos.
Conceptos:
Conceptos
· Ecuaciones de la recta.
· Determinación de una recta. Puntos alineados.
· Posición relativa de dos rectas en el plano.
· Ángulo de dos rectas.
· Distancias.
Procedimientos:
· Obtención de todas las ecuaciones de una recta a partir de algunos elementos
dados.
!
Cálculo de puntos de una recta, de su pendiente, de un vector normal
y de un vector director de dicha recta, a partir de su ecuación.
!
Discusión de las posiciones relativas de dos rectas en el plano a partir
de sus pendientes o mediante la resolución del sistema formado por sus ecuaciones.
!
Resolución de problemas métricos relacionados con ángulos y
distancias.
Actitudes:
· Gusto por la presentación en la resolución de problemas geométricos.
!
Valoración de la representación gráfica como método muy útil para
resolver problemas geométricos.
!
Tendencia a la descripción literal y a la representación gráfica en la
resolución de problemas geométricos.
4. Materiales didácticos:
Calculadora para algún ejercicio concreto.
5. Desarrollo de la lección:
1ª2ª ses.: Ecuaciones de la recta: empezando por la ecuación vectorial, deducir
las restantes, indicando sus nombres (son
nociones del curso anterior). Ej. del tipo del ej.6 pág. 180, ej. 2. pág 183
3ª ses.: Ej. 7, 9, 13 pág. 180
4ª5ªses.: Definición de pendiente de una recta y distintas formas de hallarla.
Posiciones de dos rectas en el plano. Criterios de paralelismo y perpendicularidad. Ej.,
del tipo del ej. 11, 12, 1417 pág. 180; ej. 4 pág 183
6ª7ª ses.: Ángulo de dos rectas. Ej. del tipo del ej. 9 pág. 181. Distancia entre
dos puntos. Ej. del tipo del ej. 18 pág. 180
8ª11ªses.: Distancia de un punto a una recta (sólo fórmula). Ej. del tipo del ej. 19
pág. 180. Elementos de un triángulo: medianas y alturas, ortocentro y baricentro. Área
de un triángulo. Ejercicios del cálculo de estos elementos, conociendo los tres vértices
de un triángulo.
12ª14ª ses.: Problemas: del tipo del ej. pág. 181, ej. 1, 2, 3, 12, 13, 14, 15, 16,
19, 21
15ª ses.: Prueba escrita.
6. Evaluación:
- Mínimo: Obtener las distintas ecuaciones de una recta y saber pasar de una de
ellas a otra cualquiera. Determinar la posición relativa de dos rectas cualesquiera en el
plano. Utilizar el lenguaje simbólico adecuado en la resolución de problemas
geométricos.
- Medio: Además de lo anterior, resolver situaciones reales diversas y problemas
sencillos relacionados con rectas, distancias y ángulos.
- Alto: Además de lo anterior, resolver situaciones reales diversas y problemas
más complejos relacionados con rectas, distancias y ángulos. Utilizar y valorar el dibujo
para facilitar la comprensión y la resolución de situaciones y problemas relacionados
con la geometría.
HASTA LA PÁGINA 195 INCLUSIVE, DESTINADAS A LOS ANEXOS DE
MATE.