Download Trigonometría

U.T.N. F.R.C.U.
Seminario Universitario – Matemática
Módulo 6
Trigonometría
“La matemática compara los más diversos fenómenos y descubre las analogías secretas que
los unen”
Joseph Fourier
TRIGONOMETRÍA
Para comenzar a trabajar con trigonometría necesitamos primero conocer que es
un ángulo orientado. Consideramos una semirrecta OM que puede girar
alrededor de su origen O. Si esta rotación se efectúa en sentido contrario al de
las agujas del reloj, diremos que la semirrecta ha rotado en sentido positivo, en
caso contrario, el sentido será negativo.
N
La semirrecta OM ha girado en sentido positivo
hasta ocupar la posición ON , engendrando el
ángulo positivo α.
α
O
Como el sentido de giro es negativo, el ángulo
engendrado por la semirrecta OM
al girar
alrededor del punto O hasta ocupar la posición
ON , es negativo.
O
M
M
α
N
Las semirrectas OM
respectivamente.
y ON reciben el nombre de lado inicial y lado terminal
1
Módulo 6
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Sistema sexagesimal
De los sistemas de medición angular el más usado es el sexagesimal, cuya
unidad es el grado sexagesimal que se define como la noventa ava parte de un
ángulo recto:
1R
1° =
90
En este sistema hay dos submúltiplos de la unidad:
1°
a) el minuto sexagesimal: que es la sesenta ava parte de un grado: 1′ =
;
60
b) el segundo sexagesimal: que es la sesenta ava parte de un minuto:
1°
′
1
1°
1′′ =
= 60 =
.
60
60
3600
En este sistema, es usual expresar la amplitud de un ángulo en forma compleja:
α = 42° 20′ 33′′
pero a veces es necesario expresar la amplitud del ángulo como un número
expresado en una sola unidad (forma incompleja).
 20   33 
α = 42° 20′ 33′′ = 42° + 
 +
 = 42°,3425
 60   3600 
Observación: la mayoría de las calculadoras hacen esta
automáticamente, consulta en el manual.
conversión
Sistema Circular
Consideramos un sistema de ejes cartesianos y una circunferencia C con centro
en el origen del sistema.
Si centramos un ángulo orientado α, vemos que éste determina sobre la
, orientado según el mismo sentido que α.
circunferencia un arco AB
y
B
α
O
A
x
En el sistema circular, se asigna como medida del ángulo a la longitud del arco
subtendido por el mismo, tomando como unidad el radio de la circunferencia, por
esto es que suele decirse que el ángulo está medido en radianes.
S
α =
En símbolos:
r
Donde S: longitud del arco y r: radio de la circunferencia.
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Si consideramos un ángulo de 360° (un giro), la longitud del arco es la longitud
de la circunferencia:
2 π r/
360° =
= 2π
r/
Es decir, un ángulo de 360° equivale a 2 π (radianes). De esta equivalencia
podemos deducir, dividiendo m.a.m por 2 y por 4 respectivamente:
180° = π
π
90° =
2
Para convertir un ángulo expresado en el sistema sexagesimal al circular nos
valdremos de una regla de tres simple. Por ejemplo:
Expresar 30° en el sistema circular:
180º ______ π
π
30º ⋅ π
=
30º ______ x =
180º
6
Observación importante: en el sistema circular, la amplitud de un ángulo está
dada por un número real (sin unidades).
Si queremos expresar un ángulo del sistema sexagesimal dado en forma
compleja en el sistema circular, antes de hacer la regla de tres, es necesario
pasarlo a la forma incompleja.
El pasaje del sistema circular al sexagesimal se hace de la misma manera.
ACTIVIDAD 1
1) Expresar en el sistema circular los siguientes ángulos dados en el sistema
sexagesimal:
a ) 45°
b ) α = 56°25′47′′
c ) β = 97°50′42′′
d ) γ = 320°11′ 30′′
2) Expresar en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos dados en el
sistema circular:
π
3π
a) δ =
b)ε =
c ) λ = 0, 87
d ) θ = 1,26
6
2
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
B
a
C
α
b
c
A
Recordemos los elementos de un triángulo rectángulo:
• Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto.
• Catetos: Son los lados que forman el ángulo recto.
3
Módulo 6
Si consideramos el ángulo agudo α, el cateto c se denomina cateto opuesto (es
el que no determina el ángulo α) y el cateto b es el cateto adyacente, que junto
a la hipotenusa, forma el ángulo α.
a b a c b c
Con los lados del triángulo podemos formar seis razones:
; ; ; ; ; .
b a c a c b
Se puede demostrar que estas razones no dependen de las longitudes de los
lados sino que dependen exclusivamente del ángulo agudo α , por eso reciben el
nombre de funciones trigonométricas.
Cada una de ellas recibe un nombre especial:
• Seno
Seno: Se llama seno de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto al
mismo y la hipotenusa.
c
senα =
a
• Coseno: Se llama coseno de un ángulo al cociente entre el cateto adyacente
al mismo y la hipotenusa.
b
cos α =
a
• Tangente: Se llama tangente de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto
y el cateto adyacente.
c
tg α =
b
• Cotangente: Es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
b
cotg α =
c
• Secante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
a
sec α =
b
• Cosecante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
a
cosec α =
c
Enunciemos ahora algunas relaciones
trigonométricas de un mismo ángulo:
importantes
entre
las
funciones
1) Relación Pitagórica
Pitagórica:
itagórica
La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ángulo es igual
2
2
sen α + cos α = 1 .
a 1:
2) La tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno del
sen α
mismo:
tg α =
.
cos α
3) La cotangente de un ángulo es igual al cociente entre el coseno y el seno del
cos α
mismo: cotg α =
.
sen α
4) La secante de un ángulo es el valor recíproco de su coseno: sec α =
1
.
cos α
1
.
5) La cosecante de un ángulo es el valor recíproco de su seno: cosec α =
sen α
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Identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades establecidas entre dos
expresiones trigonométricas que se satisfacen para cualquier valor de los
ángulos que figuran como argumentos.
Las relaciones entre las funciones de un mismo ángulo son identidades, como así
también los casos triviales tales como cos α = cos α , etc...
Verificar una identidad trigonométrica significa reducir sus dos miembros a una
misma expresión.
En la verificación de identidades no está permitido hacer pasajes de términos o
factores (lo que significa que debemos trabajar con el primer y segundo
miembro por separado).
Ejemplo: Verificar la identidad
1 + tg2α = sec2 α
1+
sen2α
cos α
1
2
2
cos α + sen α
2
cos α
2
1
cos2 α
=
=
=
1
cos2 α
1
cos α
1
2
cos2 α
ACTIVIDAD 2
Verificar las siguientes identidades:
(
)(
)
a ) 1 − cos2 α 1 + tg 2α cotgα = tg α
b ) sen 2α +
cos α
sec α
 1

1
−

 =1
2
2
 sen α sec α − 1 
cos α − sen α
4
4
( senα + cos α )
c)
2
cos α − sen α
2
2
=
1
1 + 2 senα cos α
FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Recordemos que dos ángulos son complementarios si su suma es igual a un
ángulo recto.
En un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son complementarios, ya que:
ˆ + Bˆ + Cˆ = 2R
A
B
ˆ = 1R
pero A
∴Bˆ + Cˆ = 1R
a
Notemos además, que el cateto c es
opuesto para el ángulo Cˆ pero
adyacente para el ángulo Bˆ ; algo
similar ocurre con b: es adyacente
para el Cˆ , pero opuesto para el Bˆ .
c
C
b
A
En consecuencia:
5
Módulo 6
c
senCˆ =
= cos Bˆ
a
b
= sen Bˆ
cos Cˆ =
a
Utilizando las relaciones entre funciones de un mismo ángulo:
tgCˆ =
senCˆ cos Bˆ
=
=cotg Bˆ
cos Cˆ sen Bˆ
Si hacemos lo mismo con las demás funciones veremos que, las funciones y
cofunciones de un ángulo, son respectivamente las cofunciones y funciones de
su complemento.
(coseno, quiere decir, justamente seno del complemento...)
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Es una circunferencia con centro en el origen de un sistema de coordenadas y
radio unitario.
y
O
r=1
x
Para cualquier número real a, existe un arco de la misma que tiene longitud a y
en consecuencia queda determinado un ángulo central cuya medida en radianes
es también a.
y
A ≡ (x; y)
ρ
y
a
a
O
x
x
El extremo libre del arco determina el punto A cuyas coordenadas son (x; y). El
segmento OA recibe el nombre de radio vector.
Podemos ahora definir las funciones trigonométricas del número real a en
función de las coordenadas del punto A. Resulta:
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sen a =
cos a =
ordenada
radio vector
abscisa
=
y
=
x
radio vector
ordenada y
tg a =
=
x
abscisa
abscisa
x
cotg a =
=
ordenada y
radio vector
sec a =
=
abscisa
radio vector
cosec a =
ordenada
ρ
ρ
ρ
x
=
ρ
y
De acuerdo al cuadrante al que pertenezca el punto A, las funciones
trigonométricas tendrán diferentes signos, que dependen de los signos de su
abscisa y su ordenada. (El radio vector es siempre positivo.)
y
Segundo cuadrante:
Primer cuadrante:
abscisa y ordenada
positiva
abscisa negativa y
ordenada positiva
x
O
Tercer cuadrante:
abscisa y ordenada
negativa
Cuarto Cuadrante:
abscisa positiva y
ordenada negativa
Podemos resumir los signos de las funciones en el siguiente cuadro:
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
IC
+
+
+
+
+
+
II C
+
–
–
–
–
+
III C
–
–
+
+
–
–
IV C
–
+
–
–
+
–
ACTIVIDAD 3
1) Si sen α =
7
25
∧ α ∈ I C , calcular las demás funciones.
2) Sabiendo que cos α = −
3
5
∧ sen α < 0 , calcular las demás funciones.
7
Módulo 6
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES
Los ángulos notables son: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. Sus funciones
trigonométricas se obtienen por métodos geométricos. No daremos aquí las
demostraciones sino que simplemente mostramos un cuadro de sus valores.
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
0°
0
1
0
∞
1
∞
30°
1
2
3
2
3
3
3
2 3
3
2
45°
2
2
2
2
1
1
2
60°
3
2
1
2
3
3
3
2
2 3
3
90°
1
0
∞
0
∞
1
2
Estos valores son fáciles de recordar teniendo en cuenta la siguiente regla
mnemotécnica:
Los senos de los ángulos notables son respectivamente
decir, todos tienen la forma
n
2
0
2
;
1
2
;
2
2
;
3
2
;
4
2
. Es
con n = 0;1;2;3;4 . Teniendo en cuenta que 0° y
90°, 30 y 60° son complementarios y que 45° es complemento de sí mismo, la
columna correspondiente a la función coseno, es la del seno escrita en forma
inversa. Para las demás funciones, se utilizan las relaciones entre las funciones
de un mismo ángulo.
ACTIVIDAD 4
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones:
1
1) sen60° ⋅ cos 45° + cos 60° ⋅ sec 60° − sen 45° ⋅ cotg30° =
2
2
2
2
2
cos 0° + cos 60° cos 0° − cos 60°
2)
+
=
sen30° − sen90°
sen30° + sen 90°
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Son segmentos cuyas medidas, tomando al radio de la circunferencia
trigonométrica como unidad, representan los valores y signos de las funciones
trigonométricas de los ángulos.
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L
D
F
E
c
A
0
B
C
H
t
sen α = med BA cos α = med OB tg α = med CD
cotg α = medEF
sec α = medOH
cosec α = med OL
Las rectas t y c se llaman respectivamente ejes de tangentes y de cotangentes.
Como actividad te proponemos graficar las líneas trigonométricas para ángulos
de los demás cuadrantes.
Importante: Los ejes de tangentes y de cotangentes no cambian de posición.
GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1) y = sen x: Sinusoide o Senoide
Características:
a) Es continua
b) Es periódica (período 2 π)
c) Su dominio es ℝ.
d) Su recorrido es {y / –1 ≤ y ≤ 1}
e) Alcanza su valor máximo para
π
x=
y todos sus congruentes.
2
f) Alcanza su valor mínimo para
3π
x=
y todos sus congruentes.
2
g) Sus ceros son
x=0+2kπ; x=π+2kπ
Observación: 2 k π, k ∈ ℤ indica un número exacto de giros, al sumarlo al ángulo
estamos indicando todos sus congruentes.
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Módulo 6
2) y = cos x: Cosinusoide o Cosenoide
Características:
a) Es continua
b) Es periódica (período 2π)
c) Su dominio es ℝ.
d) Su recorrido es {y / –1 ≤ y ≤ 1}
e) Alcanza su valor máximo para
x = 0 + 2 k π.
f) Alcanza su valor mínimo para
x
= π + 2 k π.
g) Sus ceros son
π
3π
x=
+2kπ;x=
+2kπ
2
2
3) y = tg x: Tangentoide
Características:
a) Es discontinua, presenta saltos
infinitos en
π
3π
x=
+2kπ; x=
+2kπ
2
2
b) Es periódica (período π)
c) Su dominio es:
π
3π
ℝ–{ +2kπ;
+ 2 k π}
2
2
d) Su recorrido es ℝ
e) No tiene valor máximo ni mínimo
f) Sus ceros son x = 0 + k π.
4) y = cotg x: Cotangentoide
Características:
a) Es discontinua, presenta saltos
infinitos en
x=0+2kπ; x=π+2kπ
b) Es periódica (período π)
c) Su dominio es:
ℝ – {0 + 2 k π ; π + 2 k π}
d) Su recorrido es ℝ
e) No tiene valor máximo ni mínimo
π
f) Sus ceros son x =
+kπ
2
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5) y = sec x: Secantoide
Características:
a) Es discontinua, presenta saltos
infinitos en
π
3π
x=
+2kπ; x=
+ 2 k π.
2
2
b) Es periódica (período 2 π)
c) Su dominio es:
π
3π
ℝ–{ +2kπ;
+ 2 k π}
2
2
d) Su recorrido es Rec = {y/|y| ≥ 1}
e) No tiene valor máximo ni mínimo
f) No tiene ceros.
6) y = cosec x: Cosecantoide
Características:
a) Es discontinua, presenta saltos
infinitos en
x = 0 + 2 k π ; x = π + 2 k π.
b) Es periódica (período 2 π)
c) Su dominio es:
ℝ – {0 + 2 k π ; π + 2 k π}
d) Su recorrido es Rec = {y/|y| ≥ 1}
e) No tiene valor máximo ni mínimo
f) No tiene ceros.
INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Llamaremos problema directo al siguiente:
“Dado un ángulo, encontrar el valor de una función trigonométrica”, por
ejemplo, haciendo uso de la calculadora:
cos 23º15’ = 0,91879121…
El problema inverso es:
“Dado el valor de una función trigonométrica, hallar el ángulo”. Por ejemplo:
Si sen α = 0,43421; hallar α
Se dice que α es el arco seno de 0,43421 y se expresa:
α = arc sen 0,4321
α = 25º 44’ 6”
De igual manera se procede para las demás funciones.
Pero notemos que el valor de α no es único, porque además de los infinitos
congruentes con él, existe otro ángulo menor que un giro que es solución del
problema. Para ello, recordemos que el seno es positivo en el primer y segundo
cuadrante, entonces, el ángulo del segundo cuadrante es:
180º – (25º 44’ 6”) = 154º 15’ 54”
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Módulo 6
Es conveniente trabajar siempre con el valor positivo de la función (entonces
obtendremos un ángulo del primer cuadrante) y después, de acuerdo al signo de
la función, ubicar los ángulos correspondientes de la siguiente forma:
Llamando α al ángulo del primer cuadrante:
a) Segundo cuadrante:
180º – α
b) Tercer cuadrante:
180º + α
c) Cuarto cuadrante:
360º – α
Ejemplo: Si tg α = − 3 , hallar α.
(
α = arc tg − 3
)
como la tangente es negativa, los ángulos que cumplen con esta condición son
del segundo o del cuarto cuadrante.
Buscamos arc tg 3 = 60°
En consecuencia, el ángulo del segundo cuadrante es α1 = 180° − 60° = 120°
y el del cuarto cuadrante es α2 = 360° − 60° = 300° .
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo es calcular sus elementos teniendo como datos
dos de ellos. Se dan cuatro casos, llamados casos clásicos:
1. Datos: La hipotenusa y un ángulo agudo
2. Datos: Un cateto y un ángulo agudo
3. Datos: La hipotenusa y un cateto
4. Datos: Los dos catetos.
Para resolver triángulos rectángulos son suficientes las definiciones de seno,
coseno y tangente y el teorema de Pitágoras.
No desarrollaremos aquí los casos clásicos, que pueden consultarse en cualquier
texto de trigonometría, sino que veremos aplicaciones a problemas.
Ejemplo 1:
Calcular la longitud de la sombra que proyecta un poste vertical de 3 m de
altura, cuando el sol está a 48° sobre el horizonte.
Resolución:
Es fundamental hacer un gráfico de la situación para saber qué debemos aplicar:
Poste:
h=3m
48°
Sombra: x
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Como se desprende del gráfico, calcular la longitud de la sombra es hallar el
cateto adyacente al ángulo de 48°, conociendo el cateto opuesto que es la altura
del poste.
El siguiente paso es buscar una función trigonométrica del ángulo dado como
dato, que relacione la altura del poste (cateto opuesto) con la longitud de la
sombra (cateto adyacente). Dicha función es la tangente. En consecuencia:
3m
3m
tg 48° =
⇒x =
= 2,70 m
x
tg 48°
Ejemplo 2:
La base de un rectángulo mide 4 cm y su altura
2 cm. Calcular:
a) la longitud de su diagonal;
b) el ángulo que forma la diagonal con la base.
d
2 cm
α
4 cm
Resolución:
Para hallar la longitud de la diagonal, vemos que ésta es la hipotenusa del
triángulo rectángulo que tiene por catetos a la base y a la altura del rectángulo.
Por teorema de Pitágoras:
d =
( 4 cm )
2
+ ( 2 cm ) = 16 cm 2 + 4 cm 2 = 20 cm 2 = 2 5 cm
2
Para calcular el ángulo, buscamos una función del mismo que vincule a los datos,
esta función es la tangente:
2 cm
1
tg α =
=
4 cm
2
1
⇒ α = arc tg
2
′
α = 26° 33 54′′
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Para resolver triángulos oblicuángulos (no rectángulos), aplicaremos dos
teoremas que no demostraremos:
1) Teorema del Coseno
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos, menos el doble producto de los mismos multiplicado por el
coseno del ángulo que ellos forman.
A
ˆ
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A
c
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos Bˆ
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos Cˆ
b
C
B
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Módulo 6
2) Teorema del Seno
En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
A
a
ˆ
sen A
=
b
sen Bˆ
=
c
b
c
senCˆ
C
B
Ejemplo:
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de 175 N y 225 N. Si las direcciones de las
fuerzas forman un ángulo de 50º 10’, encontrar la intensidad de la resultante y
el ángulo que forma con la fuerza más grande.
Resolución: Primeramente hagamos un gráfico de la situación:
D
a =175
C
b=?
129°50’
50°10’
A
c = 225
a =175
B
Veamos cómo hemos calculado el ángulo Bˆ :
ˆ + Dˆ = 360°
ˆ + Bˆ + BCD
En el paralelogramo ABCD: DAB
(
)
ˆ + Bˆ = 360°
Pero, como los ángulos opuestos son congruentes: 2 DAB
Entonces:
ˆ + Bˆ = 180°
DAB
ˆ = 180° − 50° 10′ = 129° 50′
⇒ Bˆ = 180° − DAB
Aplicando el teorema del coseno:
b 2 = 2252 + 1752 − 2 ⋅ 225 ⋅ 175 ⋅ cos129° 50′
b 2 = 131693, 8291
b = 131693,8291
b = 362, 9 N
Para hallar el ángulo que la resultante forma con la fuerza de 225 N, aplicamos
el teorema del seno:
175 ⋅ sen129° 50′
175
362, 9
=
⇒ sen α =
= 0,370307
sen α
sen129° 50′
362, 9
α = arc sen 0,370307
α = 21° 40′
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ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Todos conocemos la fórmula A =
b ⋅h
2
, pero existen otras expresiones que
permiten calcular el área de un triángulo:
A
1) El área de un triángulo es igual al
semiproducto
de
dos
lados,
multiplicado por el seno del ángulo
que ellos forman:
Área =
1
2
C
ˆ
b ⋅ c ⋅ sen A
B
2) Fórmula de Herón: Área =
semiperímetro y es p =
b
c
p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) , donde p se denomina
a +b +c
2
.
FUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Las funciones trigonométricas no son distributivas con respecto a la suma ni a la
resta de ángulos. Las expresiones que permiten hallar el seno, coseno y
tangente de la suma o diferencia de dos ángulos son las siguientes:
a) Seno de la suma y diferencia de dos ángulos
sen ( α + β ) =senα ⋅ cosβ + cos α ⋅ senβ
sen ( α − β ) = senα ⋅ cosβ − cos α ⋅ senβ
b) Coseno de la suma y diferencia de dos ángulos
cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ
cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + senα ⋅ senβ
c) Tangente de la suma y diferencia de dos ángulos
tg ( α + β ) =
tg ( α − β ) =
tgα + tgβ
1 − tgα ⋅ tgβ
tgα − tgβ
1 + tgα ⋅ tgβ
Ejemplo:
Hallar las funciones de 75°, haciendo 75° = 45º + 30º.
Resolución:
sen 75° = sen ( 45° + 30° ) = sen 45° ⋅ cos 30° + cos 45° ⋅ sen 30° =
2
3
2 1
⋅
+
⋅ =
2
2
2 2
2
(
3 +1
)
4
15
Módulo 6
cos 75° = cos ( 45° + 30° ) = cos 45° ⋅ cos 30° − sen 45° ⋅ sen30° =
2
2
3
2 1
⋅
−
⋅ =
2
2
2 2
(
)
3 −1
4
3
3+ 3
1+
tg 45° + tg30°
3+ 3
3 =
3/
tg75° = tg ( 45° + 30° ) =
=
=
=2+ 3
1 − tg 45° ⋅ tg30°
3
3− 3 3− 3
1−1⋅
3
3/
ACTIVIDAD 5
Calcular:
1) sen ( α + β ) , sen ( α − β ) , cos ( α + β ) , cos ( α − β ) , si sen α =
2) tg ( α + β ) ,tg ( α − β ) si tg α = 2 y sen β =
1
4
2
3
y cos β =
1
2
.
.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLO
Las funciones del ángulo duplo pueden deducirse muy fácilmente de las
funciones de la suma de dos ángulos, haciendo 2 α = α + α.
Las fórmulas correspondientes son:
sen ( 2α ) = 2 senα cosα
cos ( 2α ) = cos α − sen α
2
tg ( 2α ) =
2
2 tg α
1 − tg α
2
Ejemplo: Calcular las funciones de 180° sabiendo que es el duplo de 90°.
Resolución:
sen180° = sen ( 2 ⋅ 90° ) = 2 ⋅ sen90° ⋅ cos 90° = 2 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0
cos180° = cos ( 2 ⋅ 90° ) = cos2 90° − sen2 90° = 02 − 12 = −1
Surge un problema para calcular la tangente de 180° pues necesitamos la de
90°, pero ésta no está definida. Entonces, en lugar de usar la fórmula de la
tangente del duplo de un ángulo hacemos:
sen180°
0
tg180° =
=
=0
cos180° −1
ACTIVIDAD 6
Calcular sen ( 2α ) y cos ( 2α ) si cos α =
2
3
.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
α
Dado un ángulo α, el ángulo mitad es
funciones de la mitad del ángulo,
16
α
2
2
. Las fórmulas que proporcionan las
, conociendo la de cos α son:
U.T.N. F.R.C.U.
Seminario Universitario – Matemática
α 
sen   =
2
1 − cos α
2
α 
cos   =
2
1 + cos α
α 
tg   =
2
2
1 − cos α
1 + cos α
Por ejemplo, calcularemos las funciones de 22° 30’, que es el ángulo mitad de
45°:
1 − cos 45°
sen22° 30′ =
2
1 + cos 45°
cos 22° 30′ =
2
=
=
1 − cos 45°
=
1 + cos 45°
tg22° 30′ =
2
2 =
2− 2
2
=
2
2− 2
=
4
2− 2
2
2
2 =
2+ 2
2
=
2
2+ 2
=
4
2+ 2
2
2
2 =
2
1+
2
2− 2
2/
=
2+ 2
2/
1−
2
1+
2
1−
(2 − 2 ) ⋅ (2 − 2 ) = (2 − 2 )
=
4−2
2 + 2 ) ⋅ (2 − 2 )
(
2− 2
2+ 2
(2 − 2 )
2
=
2− 2
2
=
2
=
2
2 racionalizando nuevamente
racionalizando
=
=
2 2 −2
= 2 −1
2
ACTIVIDAD 7
Verificar las siguientes identidades:
1) 2 sen
α
2
⋅ cos
α
2
α
2 tg
2
2
:
2
1 − tg
α
= cos α

α
α
2 α
2 α 
2)   cos
− sen
 + 2 sen ⋅ cos  = 1 + sen2α
2
2
2
2 
 
2
TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO
En ocasiones es conveniente expresar la suma o diferencia de dos senos o dos
cosenos como un producto de funciones trigonométricas, (en otras, conviene
expresar un producto como una suma o resta). Para ello nos valdremos de las
siguientes fórmulas:
a) Transformación
Transformación en producto de la suma de
α + β
sen α + senβ = 2 sen 

2
dos senos

α −β 
 cos 


2


17
Módulo 6
Ejemplo:
2
 60° + 30° 
 60° − 30° 
sen 60° + sen 30° = 2 sen 
⋅ cos 
= 2 ⋅ sen 45° cos15° = 2 ⋅
cos 15° = 2 cos15°


2
2
2




b) Transformación en producto de la diferencia de dos senos
α + β 
α −β 
sen α − senβ = 2 cos 
 sen 

2


2


c) Transformación en producto de la suma de dos cosenos
α + β 
α −β 
cos α + cos β = 2 cos 
 cos 


2


2

d) Transformación en producto de la diferencia de dos cosenos
α + β 
α − β 
cos α − cos β = −2 sen 
 sen 


2


2

Estas fórmulas sirven también para calcular la suma o diferencia entre un seno y
un coseno, por ejemplo:
sen30° + cos 50° = cos ( 90° − 30° ) + cos 50° = cos 60° + cos 50° =
por ser ángulos
complementarios
 60° + 50° 
 60° − 50° 
2 cos 
 cos 
 = 2 cos 55° ⋅ cos 5°
2
2




ACTIVIDAD 8
1) Aplicando transformaciones en producto, hallar el valor numérico de las
siguientes expresiones:
a ) sen 15° + cos15° =
b ) cos 75° − sen 75° =
2) Verificar la identidad:
18
sen x + sen 2x + sen 3x
= tg 2x
cos x + cos 2x + cos 3x
U.T.N. F.R.C.U.
Seminario Universitario – Matemática
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS
π
4
2) a )30°
1) a )
Actividad 1:
b )0, 98488
c )1,70772
d )5,58840
b )270°
c ) 49° 50′ 50′′
d )72° 11′ 34′′
Actividad 2: A cargo del alumno.
24
7
24
25
25
; tg α =
; cotg α =
; sec α =
; cosec α =
25
24
7
24
7
4
4
3
5
5
2) senα = − ; tg α =
; cotg α =
; sec α = − ; cosec α = −
5
3
4
3
4
Actividad 3:
1) cos α =
Actividad 4:
1) 1
2) –2
Actividad 5:
1)sen( α + β ) =
2)tg( α + β ) =
2 + 15
6
sen( α − β ) =
32 + 5 15
11
Actividad 6: sen ( 2α ) =
2 − 15
6
tg( α − β ) =
2 14
cos ( α + β ) =
6
cos ( α − β ) =
5 +2 3
6
32 − 5 15
11
cos ( 2α ) = −
9
5 −2 3
5
9
Actividad 7: A cargo del alumno.
Actividad 8:
8:
1)
a)
6
2
b) −
2
2
2) A cargo del alumno (sugerencia: asociar las funciones de x y de 3x para
aplicar transformaciones en producto).
19