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Física 5D
Prof. Daniel A. Linari
Nociones elementales de trigonometría
La parte de la Matemática que se basa en las propiedades especiales de un triángulo rectángulo se
llama trigonometría. Muchos conceptos de trigonometría son muy importantes para el estudio de la
física. Por ejemplo en la composición y descomposición de fuerzas, en la determinación de las
componentes del vector velocidad de un móvil, etc.
Razones trigonométricas:
Básicamente una razón trigonométrica es la relación entre las medidas de dos lados de un
triángulo rectángulo.
Los lados de un triángulo rectángulo se llaman:
•
•
Catetos.- Son los lados perpendiculares del triángulo (o sea, los que forman el ángulo de
90º). Si un cateto está ubicado enfrente de un ángulo agudo (el que es menor que 90º), se
dice que es su cateto opuesto.
Si el cateto es un lado del ángulo agudo, se llama cateto adyacente.
Hipotenusa.- Es el lado opuesto al recto (o sea, el único lado que no es perpendicular a
ninguno de los lados). Es el mayor de los lados del triángulo rectángulo.
Por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
b y c son los catetos.
b es el cateto opuesto al ángulo B1.
c es el cateto adyacente al ángulo B2.
a es la hipotenusa.
Las razones trigonométricas básicas del ángulo B son:
Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
1 Con relación al ángulo C, el lado b es su cateto adyacente.
2 Con relación al ángulo C, el lado c es su cateto opuesto
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sen B=
catetoopuesto b
=
hipotenusa
a
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
cos B=
cateto adyacente c
=
hipotenusa
a
Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al
ángulo.
tg B=
cateto opuesto
b
=
cateto adyacente c
Observación importante: Hemos definido en principio a las razones trigonométricas como razones
(cocientes) entre las medidas de dos de los lados de un triángulo rectángulo. Sin embargo, debe
notarse que si ampliamos (o disminuimos) uno de los lados del triángulo, los otros dos lados
también aumentarán (o disminuirán) en la misma proporción. Es decir que los dos triángulos serán
semejantes y por lo tanto guardarán las mismas proporciones entre sus lados. De modo que las
razones trigonométricas sólo dependerán del valor del ángulo con respecto al cual se definen y
no de las dimensiones de los lados.
Por depender únicamente del ángulo, a las razones trigonométricas se las denomina funciones
trigonométricas del ángulo.
Razones trigonométricas de ángulos notables:
En la siguiente tabla se consignan los valores de las funciones trigonométricas de algunos ángulos
que frecuentemente aparecen en los problemas.
Cálculo inverso:
Al proceso de encontrar el valor de una función trigonométrica teniendo como dato al valor del
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ángulo se lo llama cálculo directo.
Sin embargo, a veces es necesario hallar el valor del ángulo teniendo como dato el valor de una
función trigonométrica.
Por ejemplo, supongamos que se conoce que el seno de un ángulo es 0,866 (es decir, se sabe que
sen α=0,866 ), pero se necesita conocer cuál es el valor del ángulo cuyo seno vale 0,866. En
esos casos se usan las funciones trigonométricas inversas. En este caso sería:
α=arc sen 0,866
La expresión anterior se lee: alfa es igual al arco seno de 0,866. Esta función arco seno es una
forma abreviada de hacer la pregunta: ¿qué ángulo tiene un seno de 0,866? Con la calculadora
podemos averiguar que este ángulo es 60º.
Resumiendo:
la función inversa del seno es el arco seno (se escribe arc sen)
la función inversa del coseno es el arco coseno (se escribe arc cos)
la función inversa de la tangente es el arco tangente (se escribe arc tg)
Atención: debemos asegurarnos que la calculadora esté ajustada en grados sexagesimales
(debe aparecer en el display de la misma la letra D (de degrees).
Componentes de un vector:
Un método de sumar vectores (fuerzas, velocidades, etc.) emplea las proyecciones de un vector a lo
largo de los ejes de un sistema de ejes de coordenadas. Estas proyecciones se llaman componentes
del vector. Cualquier vector se puede describir completamente con sus componentes.
Por ejemplo, en la figura siguiente se representa un vector ⃗
A en un sistema de coordenadas
cartesianas.
⃗ se puede expresar como la suma de dos vectores,
Notar que A
sobre el eje y.
⃗ sobre el eje x, y
Ax
⃗
Ay
Es decir
⃗
⃗ Ay
⃗
A= Ax+
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⃗ ) es la componente x de ⃗
Ax ( valor de Ax
A
⃗ ) es la componente y de ⃗
Ay (valor de Ay
A .
Estas componentes pueden ser positivas (si los sentidos de los vectores componentes coinciden con
el sentido positivo de los ejes cartesianos) -como en este ejemplo, o negativas (si los sentidos de los
vectores componentes coinciden con el sentido negativo de los ejes cartesianos.
Aplicando trigonometría:
cos θ=
Por lo tanto, las componentes del vector
Ax
A
y
sen θ=
Ay
A
⃗
A son:
Ax=A⋅cos θ
Ay= A⋅sen θ
Estas componentes forman dos lados de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es el módulo de
⃗
A . La dirección del vector ⃗
A puede establecerse conociendo el valor del ángulo θ .
Aplicando el teorema de Pitágoras y la definición de tangente, obtenemos:
A= √ Ax + Ay
2
2
tg θ=
Ay
Ay
→ θ=arc tg ( )
Ax
Ax
En los párrafos siguientes se ejemplifica como se aplica este procedimiento de descomponer un
vector para obtener la fuerza total que actúa sobre un cuerpo. Este problema aparece en física
frecuentemente y se denomina:
Composición de fuerzas:
Muchas veces tenemos distintas fuerzas aplicadas sobre un cuerpo y en distintas direcciones. Para
conocer su comportamiento lo que hacemos es calcular la fuerza resultante, equivalente a la
suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas.
Por ejemplo, sobre un cuerpo (no representado en la figura) actúan las fuerzas que se indican en el
siguiente esquema:
F1 = 100 Newton
F2= 80 Newton
α =20° del eje X
β = 115° del eje x
Para resolver este tipo de problemas, lo que hay que hacer
es:
1. Descomponer a las fuerzas proyectándolas
(hallando sus componentes) sobre los ejes x e y
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por medio de relaciones trigonométricas.
Componentes de la fuerza F1
F1x = F1 Cos α = 100 N Cos 20º = 93,97 N
F1y = F1 Sen α = 100 N Sen 20º = 34,20 N
Para la F2
F2x = F2 Cos β = 80 N Cos 115º = - 33,81
F2y = F2 Sen β = 80 N Sen 115º = 72,50
2. Una vez que hemos descompuesto todas las fuerzas sobre los dos ejes, hallamos la
componente x de la fuerza resultante, sumando (algebraicamente) las componentes de
todas las fuerzas sobre dicho eje. Y lo mismo para la componente y de la fuerza
resultante (sumamos algebraicamente las componentes de todas las fuerzas sobre el eje y).
Fx=∑ Fix=F1x+ F2x=93,97 N −33,81 N =60,16 N
Fy=∑ Fiy=F1y+ F2y=34,20 N +72,50 N =106,7 N
3. Componemos Fx y Fy para hallar la fuerza resultante
⃗ que actúa sobre el cuerpo
Fr
Hallamos el módulo (valor) de la fuerza resultante aplicando el corolario del Teorema de
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Pitágoras.
F = √ Fx 2 +Fy 2
F = √ 60,16 +106,7 =122,49 N
2
2
4. Hallamos la dirección de la fuerza resultante determinando el ángulo que forma con el eje
horizontal x mediante la función arco tangente.
γ=arc tan (
Fy
106,7
)=arc tan (
)→
Fx
60,16
γ=60º 35' 5´ ´
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