Download Trigonometría

Seminario Universitario – Matemática
Módulo 6
Trigonometría
“La matemática compara los más diversos fenómenos y descubre las analogías secretas que
los unen”
Joseph Fourier
TRIGONOMETRÍA
Para comenzar a trabajar con trigonometría necesitamos primero conocer que es un ángulo
orientado. Consideramos una semirrecta OM que puede girar alrededor de su origen O. Si
esta rotación se efectúa en sentido contrario al de las agujas del reloj, diremos que la
semirrecta ha rotado en sentido positivo, en caso contrario, el sentido será negativo.
N
La semirrecta OM ha girado en sentido positivo hasta
ocupar la posición ON , engendrando el ángulo positivo
.

O
M
Como el sentido de giro es negativo, el ángulo
engendrado por la semirrecta OM al girar alrededor del
punto O hasta ocupar la posición ON , es negativo.
O
M

N
Las semirrectas OM y ON reciben el nombre de lado
inicial y lado terminal respectivamente.
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Sistema sexagesimal
1
Módulo 6
De los sistemas de medición angular el más usado es el sexagesimal, cuya unidad es el
grado sexagesimal que se define como la noventa ava parte de un ángulo recto:
1R
1 
90
En este sistema hay dos submúltiplos de la unidad:
1
a) el minuto sexagesimal: que es la sesenta ava parte de un grado: 1 
;
60
b) el segundo sexagesimal: que es la sesenta ava parte de un minuto:
1
1
.
1 
 60 
60
60
3600
1
En este sistema, es usual expresar la amplitud de un ángulo en forma compleja:
  42  20  33 
pero a veces es necesario expresar la amplitud del ángulo como un número expresado en
una sola unidad (forma incompleja).
 20   33 
 
  42 , 3425
 60   3600 
  42  20  33   42   
Observación: la mayoría de las calculadoras hacen esta conversión automáticamente,
consulta en el manual.
Sistema Circular
Consideramos un sistema de ejes cartesianos y una circunferencia C con centro en el origen
del sistema.
Si centramos un ángulo orientado , vemos que éste determina sobre la circunferencia un
arco AB , orientado según el mismo sentido que .
y
B

O
A
x
En el sistema circular, se asigna como medida del ángulo a la longitud del arco subtendido
por el mismo, tomando como unidad el radio de la circunferencia, por esto es que suele
decirse que el ángulo está medido en radianes.
S
En símbolos:
 
r
Donde S: longitud del arco y r: radio de la circunferencia.
Si consideramos un ángulo de 360° (un giro), la longitud del arco es la longitud de la
circunferencia:
2  r
360  
 2
r
2
Seminario Universitario – Matemática
Es decir, un ángulo de 360° equivale a 2  (radianes). De esta equivalencia podemos
deducir, dividiendo m.a.m por 2 y por 4 respectivamente:
180   

90  
2
Para convertir un ángulo expresado en el sistema sexagesimal al circular nos valdremos de
una regla de tres simple. Por ejemplo:
Expresar 30° en el sistema circular:
180º ______ 
30º  

30º ______ x =
180º

6
Observación importante: en el sistema circular, la amplitud de un ángulo está dada por un
número real (sin unidades).
Si queremos expresar un ángulo del sistema sexagesimal dado en forma compleja en el
sistema circular, antes de hacer la regla de tres, es necesario pasarlo a la forma incompleja.
El pasaje del sistema circular al sexagesimal se hace de la misma manera.
ACTIVIDAD 1
1) Expresar en el sistema circular los siguientes ángulos dados en el sistema sexagesimal:
a ) 45 
b )   56 25 47 
c )   97 50 42 
d )   320 1130 
2) Expresar en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos dados en el sistema circular:

3
a)  
b)  
c )   0, 87
d )   1, 26
6
2
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Recordemos los elementos de un triángulo rectángulo:
 Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto.
 Catetos: Son los lados que forman el ángulo recto.
Si consideramos el ángulo agudo , el cateto c se denomina cateto opuesto (es el que no
determina el ángulo ) y el cateto b es el cateto adyacente, que junto a la hipotenusa,
forma el ángulo .
a b a c b c
; ; ; ; ; .
Con los lados del triángulo podemos formar seis razones:
b a c a c b
B
a
C

b
c
A
3
Módulo 6
Se puede demostrar que estas razones no dependen de las longitudes de los lados sino que
dependen exclusivamente del ángulo agudo  , por eso reciben el nombre de funciones
trigonométricas.
Cada una de ellas recibe un nombre especial:
 Seno: Se llama seno de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto al mismo y la
hipotenusa.
c
sen  
a
 Coseno: Se llama coseno de un ángulo al cociente entre el cateto adyacente al mismo y
la hipotenusa.
b
cos  
a
 Tangente: Se llama tangente de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto y el
cateto adyacente.
c
tg 
b
 Cotangente: Es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
b
cot g  
c
 Secante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
a
sec  
b
 Cosecante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
a
cosec  
c
Enunciemos ahora algunas relaciones importantes entre las funciones trigonométricas de un
mismo ángulo:
1) Relación Pitagórica:
La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ángulo es igual a 1:
sen2  cos2   1 .
2) La tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno del mismo:
sen 
.
tg 
cos 
3) La cotangente de un ángulo es igual al cociente entre el coseno y el seno del mismo:
cos 
cot g  
.
sen 
4) La secante de un ángulo es el valor recíproco de su coseno: sec  
1
.
cos 
1
5) La cosecante de un ángulo es el valor recíproco de su seno: cosec  
.
sen 
Identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades establecidas entre dos expresiones
trigonométricas que se satisfacen para cualquier valor de los ángulos que figuran como
argumentos.
Las relaciones entre las funciones de un mismo ángulo son identidades, como así también
los casos triviales tales como cos   cos  , etc...
4
Seminario Universitario – Matemática
Verificar una identidad trigonométrica significa reducir sus dos miembros a una misma
expresión.
En la verificación de identidades no está permitido hacer pasajes de términos o factores (lo
que significa que debemos trabajar con el primer y segundo miembro por separado).
Ejemplo: Verificar la identidad
1  t g2  sec2 
1
sen2
cos 
2

1
cos 
2
1
cos   sen 
2
2
cos 
2
1
cos 
2


1
cos 
1
2
cos 
2
ACTIVIDAD 2
Verificar las siguientes identidades:

a ) 1  cos2 
1  t g   cot g   t g 
2
b ) sen 2 

cos   1
1


 1
2
2
sec   sen  sec   1 
cos4   sen 4
 sen   cos  
2
c)
cos   sen 
2
2

1
1  2 sen  cos 
FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Recordemos que dos ángulos son complementarios si su suma es igual a un ángulo recto.
En un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son complementarios, ya que:
ˆ  Bˆ  Cˆ  2R
A
B
ˆ
pero A  1R
Bˆ  Cˆ  1R
a
Notemos además, que el cateto c es
opuesto para el ángulo Ĉ pero adyacente
para el ángulo B̂ ; algo similar ocurre con
b: es adyacente para el Ĉ , pero opuesto
para el B̂ .
C
c
b
A
En consecuencia:
sen Cˆ 
cos Cˆ 
c
a
b
a
 cos Bˆ
 sen Bˆ
Utilizando las relaciones entre funciones de un mismo ángulo:
sen Cˆ
cos Bˆ
t g Cˆ 

= cot g Bˆ
sen Bˆ
cos Cˆ
Si hacemos lo mismo con las demás funciones veremos que, las funciones y cofunciones de
un ángulo, son respectivamente las cofunciones y funciones de su complemento.
5
Módulo 6
(coseno, quiere decir, justamente seno del complemento...)
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Es una circunferencia con centro en el origen de un sistema de coordenadas y radio
unitario.
y
O
x
r=1
Para cualquier número real a, existe un arco de la misma que tiene longitud a y en
consecuencia queda determinado un ángulo central cuya medida en radianes es también a.
y
A  (x; y)

a
y
a
O
x
x
El extremo libre del arco determina el punto A cuyas coordenadas son (x; y). El segmento
OA recibe el nombre de radio vector.
Podemos ahora definir las funciones trigonométricas del número real a en función de las
coordenadas del punto A. Resulta:
sen a 
cos a 
tg a 
ordenada
radio vector
abscisa
radio vector
ordenada


y

x

y

abscisa
x
abscisa
x
cotg a 

ordenada y
sec a 
radio vector


abscisa
x
radio vector

cosec a 

ordenada
y
6
Seminario Universitario – Matemática
De acuerdo al cuadrante al que pertenezca el punto A, las funciones trigonométricas
tendrán diferentes signos, que dependen de los signos de su abscisa y su ordenada. (El
radio vector es siempre positivo.)
y
Segundo cuadrante:
Primer cuadrante:
abscisa negativa y
ordenada positiva
abscisa y ordenada
positiva
x
O
Tercer cuadrante:
abscisa y
negativa
ordenada
Cuarto Cuadrante:
abscisa positiva y
ordenada negativa
Podemos resumir los signos de las funciones en el siguiente cuadro:
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
+
+
–
–
+
–
–
+
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
–
+
+
+
–
–
IC
II C
III C
IV C
ACTIVIDAD 3
1) Si sen  
7
25
   I C , calcular las demás funciones.
2) Sabiendo que cos   
3
5
 sen   0 , calcular las demás funciones.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES
Los ángulos notables son: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. Sus funciones trigonométricas se
obtienen por métodos geométricos. No daremos aquí las demostraciones sino que
simplemente mostramos un cuadro de sus valores.
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
0°
0
1
0

1

30°
1
2
3
2
3
3
3
2 3
3
2
7
Módulo 6
45°
2
2
2
2
1
1
2
2
60°
3
2
1
2
3
3
3
2
2 3
3
90°
1
0

0

1
Estos valores son fáciles de recordar teniendo en cuenta la siguiente regla mnemotécnica:
0
Los senos de los ángulos notables son respectivamente
todos tienen la forma
n
2
;
2
1
2
;
2
2
;
3
2
;
4
2
. Es decir,
con n  0; 1; 2; 3; 4 . Teniendo en cuenta que 0° y 90°, 30 y 60°
son complementarios y que 45° es complemento de sí mismo, la columna correspondiente a
la función coseno, es la del seno escrita en forma inversa. Para las demás funciones, se
utilizan las relaciones entre las funciones de un mismo ángulo.
ACTIVIDAD 4
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones:
1
1) sen 60   cos 45   cos 60   sec 60   sen 45   cot g 30  
2
2
2
2
2
cos 0   cos 60  cos 0   cos 60 
2)


sen 30   sen 90 
sen 30   sen 90 
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Son segmentos cuyas medidas, tomando al radio de la circunferencia trigonométrica como
unidad, representan los valores y signos de las funciones trigonométricas de los ángulos.
L
D
F
E
c
A
0
B
C
H
t
sen   m ed BA cos   m ed OB t g   m ed CD
cot g   m ed EF
sec   m ed OH
cosec   m ed OL
Las rectas t y c se llaman respectivamente ejes de tangentes y de cotangentes.
Como actividad te proponemos graficar las líneas trigonométricas para ángulos de los
demás cuadrantes.
Importante: Los ejes de tangentes y de cotangentes no cambian de posición.
8
Seminario Universitario – Matemática
GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1) y = sen x: Sinusoide o Senoide
Características:
a) Es continua
b) Es periódica (período 2 )
c) Su dominio es .
d) Su recorrido es {y / –1  y  1}
e) Alcanza su valor máximo para

y todos sus congruentes.
2
f) Alcanza su valor mínimo para
3
y todos sus congruentes.
2
g) Sus ceros son
x=0+2k; x=+2k
x=
x=
Observación: 2 k , k   indica un número
exacto de giros, al sumarlo al ángulo estamos indicando todos sus congruentes.
2) y = cos x: Cosinusoide o Cosenoide
Características:
a) Es continua
b) Es periódica (período 2)
c) Su dominio es .
d) Su recorrido es {y / –1  y  1}
e) Alcanza su valor máximo para
+ 2 k .
f) Alcanza su valor mínimo para
+ 2 k .
g) Sus ceros son

3
x=
+2k;x=
+2k
2
2
x=0
x=
3) y = tg x: Tangentoide
Características:
a) Es discontinua, presenta saltos infinitos
en
9
Módulo 6
x=

2
+2k; x=
3
2
+2k
b) Es periódica (período )
c) Su dominio es:

3
–{ +2k;
+ 2 k }
2
2
d) Su recorrido es 
e) No tiene valor máximo ni mínimo
f) Sus ceros son x = 0 + k .
4) y = cotg x: Cotangentoide
Características:
a) Es discontinua, presenta saltos infinitos
en
x=0+2k; x=+2k
b) Es periódica (período )
c) Su dominio es:
 – {0 + 2 k  ;  + 2 k }
d) Su recorrido es 
e) No tiene valor máximo ni mínimo

f) Sus ceros son x =
+k
2
5) y = sec x: Secantoide
Características:
a) Es discontinua, presenta saltos infinitos
en

3
x=
+2k; x=
+ 2 k .
2
2
b) Es periódica (período 2 )
c) Su dominio es:

3
–{ +2k;
+ 2 k }
2
2
d) Su recorrido es Rec = {y/|y|  1}
e) No tiene valor máximo ni mínimo
f) No tiene ceros.
6) y = cosec x: Cosecantoide
Características:
a) Es discontinua, presenta saltos infinitos
en
x = 0 + 2 k  ; x =  + 2 k .
b) Es periódica (período 2 )
c) Su dominio es:
10
Seminario Universitario – Matemática
 – {0 + 2 k  ;  + 2 k }
d) Su recorrido es Rec = {y/|y|  1}
e) No tiene valor máximo ni mínimo
f) No tiene ceros.
INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Llamaremos problema directo al siguiente:
“Dado un ángulo, encontrar el valor de una función trigonométrica”, por ejemplo, haciendo
uso de la calculadora:
cos 23º15’ = 0,91879121…
El problema inverso es:
“Dado el valor de una función trigonométrica, hallar el ángulo”. Por ejemplo:
Si sen  = 0,43421; hallar 
Se dice que  es el arco seno de 0,43421 y se expresa:
 = arc sen 0,4321
 = 25º 44’ 6”
De igual manera se procede para las demás funciones.
Pero notemos que el valor de  no es único, porque además de los infinitos congruentes
con él, existe otro ángulo menor que un giro que es solución del problema. Para ello,
recordemos que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, entonces, el ángulo
del segundo cuadrante es:
180º – (25º 44’ 6”) = 154º 15’ 54”
Es conveniente trabajar siempre con el valor positivo de la función (entonces obtendremos
un ángulo del primer cuadrante) y después, de acuerdo al signo de la función, ubicar los
ángulos correspondientes de la siguiente forma:
Llamando  al ángulo del primer cuadrante:
a) Segundo cuadrante:
180º – 
b) Tercer cuadrante:
180º + 
c) Cuarto cuadrante:
360º – 
Ejemplo: Si t g    3 , hallar .

  arc t g  3

como la tangente es negativa, los ángulos que cumplen con esta condición son del segundo
o del cuarto cuadrante.
Buscamos arc t g 3  60 
En consecuencia, el ángulo del segundo cuadrante es 1  180   60   120 
y el del cuarto cuadrante es 2  360   60   300  .
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo es calcular sus elementos teniendo como datos dos de
ellos. Se dan cuatro casos, llamados casos clásicos:
1. Datos: La hipotenusa y un ángulo agudo
2. Datos: Un cateto y un ángulo agudo
3. Datos: La hipotenusa y un cateto
11
Módulo 6
4. Datos: Los dos catetos.
Para resolver triángulos rectángulos son suficientes las definiciones de seno, coseno y
tangente y el teorema de Pitágoras.
No desarrollaremos aquí los casos clásicos, que pueden consultarse en cualquier texto de
trigonometría, sino que veremos aplicaciones a problemas.
Ejemplo 1:
Calcular la longitud de la sombra que proyecta un poste vertical de 3 m de altura, cuando el
sol está a 48° sobre el horizonte.
Resolución:
Es fundamental hacer un gráfico de la situación para saber qué debemos aplicar:
Poste:
h=3m
48°
Sombra: x
Como se desprende del gráfico, calcular la longitud de la sombra es hallar el cateto
adyacente al ángulo de 48°, conociendo el cateto opuesto que es la altura del poste.
El siguiente paso es buscar una función trigonométrica del ángulo dado como dato, que
relacione la altura del poste (cateto opuesto) con la longitud de la sombra (cateto
adyacente). Dicha función es la tangente. En consecuencia:
3m
3m
t g 48  
x 
 2, 70 m
x
t g 48 
Ejemplo 2:
La base de un rectángulo mide 4 cm y su altura 2 cm.
Calcular:
a) la longitud de su diagonal;
b) el ángulo que forma la diagonal con la base.
d
2 cm

Resolución:
4 cm
Para hallar la longitud de la diagonal, vemos que ésta es la hipotenusa del triángulo
rectángulo que tiene por catetos a la base y a la altura del rectángulo. Por teorema de
Pitágoras:
d 
 4 cm 
2
  2 cm

2
 16 cm  4 cm
2
2
 20 cm
2
 2 5 cm
Para calcular el ángulo, buscamos una función del mismo que vincule a los datos, esta
función es la tangente:
2 cm
1
tg 

4 cm
2
1
   arc t g
2
  26  33  54 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
12
Seminario Universitario – Matemática
Para resolver triángulos oblicuángulos (no rectángulos), aplicaremos dos teoremas que no
demostraremos:
1) Teorema del Coseno
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos, menos el doble producto de los mismos multiplicado por el coseno del ángulo
que ellos forman.
A
2
2
2
ˆ
a  b  c  2 b c cos A
b
2
2
2
 a  c  2 a c cos Bˆ
c
2
2
2
 a  b  2 a b cos Cˆ
b
c
C
B
2) Teorema del Seno
En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
A
a
ˆ
sen A

b
sen Bˆ

c
sen Cˆ
b
c
C
B
Ejemplo:
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de 175 N y 225 N. Si las direcciones de las fuerzas
forman un ángulo de 50º 10’, encontrar la intensidad de la resultante y el ángulo que forma
con la fuerza más grande.
Resolución: Primeramente hagamos un gráfico de la situación:
D
a =175
C
b=?
129°50’
50°10’
A
c = 225
a =175
B
Veamos cómo hemos calculado el ángulo B̂ :
ˆ  Dˆ  360 
ˆ  Bˆ  BCD
En el paralelogramo ABCD: DAB


ˆ  Bˆ  360 
Pero, como los ángulos opuestos son congruentes: 2 DAB
Entonces:
ˆ  Bˆ  180 
DAB
ˆ  180   50  10   129  50 
 Bˆ  180   DAB
Aplicando el teorema del coseno:
13
Módulo 6
b
2
 225  175  2  225  175  cos129  50 
b
2
 131693, 8291
2
2
b  131693, 8291
b  362, 9 N
Para hallar el ángulo que la resultante forma con la fuerza de 225 N, aplicamos el teorema
del seno:
175  sen 129  50 
175
362, 9

 sen  
 0, 370307
sen 
sen 129  50 
362, 9
  arc sen 0, 370307
  21  40 
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Todos conocemos la fórmula A 
b h
2
calcular el área de un triángulo:
, pero existen otras expresiones que permiten
A
1) El área de un triángulo es igual al
semiproducto de dos lados, multiplicado
el seno del ángulo que ellos forman:
Área 
1
2
por
b
c
ˆ
b  c  sen A
C
B
2) Fórmula
de
Herón:
Área 
semiperímetro y es p 
a b c
2
p  p  a  p  b  p  c  ,
donde
p
se
denomina
.
FUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Las funciones trigonométricas no son distributivas con respecto a la suma ni a la resta de
ángulos. Las expresiones que permiten hallar el seno, coseno y tangente de la suma o
diferencia de dos ángulos son las siguientes:
a) Seno de la suma y diferencia de dos ángulos
sen      = sen   cos  cos   sen 
sen       sen   cos  cos   sen 
b) Coseno de la suma y diferencia de dos ángulos
cos       cos   cos   sen   sen 
cos       cos   cos   sen   sen 
c) Tangente de la suma y diferencia de dos ángulos
14
Seminario Universitario – Matemática
t g     
t g     
t g  t g
1  t g  t g
t g  t g
1  t g  t g
Ejemplo:
Hallar las funciones de 75°, haciendo 75° = 45º + 30º.
Resolución:
sen 75   sen  45  30    sen 45  cos 30   cos 45   sen 30  
2
3
2 1


 
2
2
2 2
2
cos 75   cos  45   30    cos 45   cos 30   sen 45   sen 30  
2
3
2 1


 
2
2
2 2
2

3 1

4

3 1

4
3
3 3
1
t g 45   t g 30 
3 3
3
3
t g 75   t g  45   30   



2 3
1  t g 45   t g 30 
3
3 3
3 3
1 1 
3
3
ACTIVIDAD 5
Calcular:
1) sen     , sen     , cos     , cos     , si sen  
2) tg     , tg     si t g   2 y sen  
1
4
2
3
y cos  
1
2
.
.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLO
Las funciones del ángulo duplo pueden deducirse muy fácilmente de las funciones de la
suma de dos ángulos, haciendo 2  =  + .
Las fórmulas correspondientes son:
sen  2   2 sen  cos
cos  2    cos   sen 
2
tg
2   
2
2 tg
1  tg 
2
Ejemplo: Calcular las funciones de 180° sabiendo que es el duplo de 90°.
Resolución:
sen180   sen  2  90    2  sen 90   cos 90   2  1  0  0
cos180   cos  2  90    cos2 90   sen2 90   0 2  12  1
Surge un problema para calcular la tangente de 180° pues necesitamos la de 90°, pero ésta
no está definida. Entonces, en lugar de usar la fórmula de la tangente del duplo de un
ángulo hacemos:
sen180 
0
t g180  

0
cos180  1
15
Módulo 6
ACTIVIDAD 6
Calcular sen  2  y cos  2  si cos  
2
3
.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
Dado un ángulo , el ángulo mitad es

. Las fórmulas que proporcionan las funciones de
2

, conociendo la de cos  son:
2
 
1  cos 
la mitad del ángulo,
sen   
2 
2
 
cos   
2 
 
tg   
2 
1  cos 
2
1  cos 
1  cos 
Por ejemplo, calcularemos las funciones de 22° 30’, que es el ángulo mitad de 45°:
1  cos 45 
sen 22  30  
2
1  cos 45 
cos 22  30  
2
1  cos 45 
t g 22  30  
1  cos 45 
2
2 
2 2
2

2
2 2
2
2 
2 2
2

2
2 2
2
2 
2
1
2
2 2
2

2 2
2
1

2
1

2
1

2  2   2  2   2  2 
4 2
2  2   2  2 
2


2 2
2

4
2
2 2

4
2 2
2 2
2

2  2 
2
2 2

2

2
racionalizando nuevam ent e
racionalizando

2 2 2
2
 2 1
ACTIVIDAD 7
Verificar las siguientes identidades:
1) 2 sen

2
 cos

2

2 tg
2
:
2
1  tg

 cos 



2 
2  
2)   cos
 sen
  2 sen  cos
2
2
2
2
 
2
TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO
16
2

  1  sen 2

Seminario Universitario – Matemática
En ocasiones es conveniente expresar la suma o diferencia de dos senos o dos cosenos
como un producto de funciones trigonométricas, (en otras, conviene expresar un producto
como una suma o resta). Para ello nos valdremos de las siguientes fórmulas:
a) Transformación en producto de la suma de dos senos
   
  
sen   sen   2 sen 
 cos 


2


2

Ejemplo:
2
 60   30  
 60   30  
sen 60   sen 30   2 sen 
cos15   2 cos15 
  cos 
  2  sen 45  cos15   2 
2
2
2




b) Transformación en producto de la diferencia de dos senos
   
  
sen   sen   2 cos 
 sen 


2


2

c) Transformación en producto de la suma de dos cosenos
   
  
cos   cos   2 cos 
 cos 


2


2

d) Transformación en producto de la diferencia de dos cosenos
   
  
cos   cos   2 sen 
 sen 


2


2

Estas fórmulas sirven también para calcular la suma o diferencia entre un seno y un coseno,
por ejemplo:
sen 30   cos 50   cos  90   30    cos 50   cos 60   cos 50  
por ser ángulos
com plem ent arios
 60   50  
 60   50  
2 cos 
 cos 
  2 cos 55   cos 5 
2
2




ACTIVIDAD 8
1) Aplicando transformaciones en producto, hallar el valor numérico de las siguientes
expresiones:
a ) sen 15   cos15  
b ) cos 75   sen 75  
2) Verificar la identidad:
sen x  sen 2 x  sen 3x
cos x  cos 2 x  cos 3 x
 t g 2x
17
Módulo 6
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS
Actividad 1:

4
2) a ) 30 
1) a )
b ) 0, 98488
c ) 1, 70772
d ) 5, 58840
b ) 270 
c ) 49  50  50 
d ) 72 11 34 
Actividad 2: A cargo del alumno.
24
7
24
25
25
; tg 
; cot g  
; sec  
; cosec  
25
24
7
24
7
4
4
3
5
5
2) sen    ; t g  
; cot g  
; sec    ; cosec   
5
3
4
3
4
Actividad 3:
1) cos  
Actividad 4:
1) 1
2) –2
Actividad 5:
2  15
1) sen      
6
2) tg      
sen     
32  5 15
11
Actividad 6: sen  2  
2  15
6
tg      
2 14
9
cos     
5 2 3
6
cos     
5 2 3
6
32  5 15
11
cos  2   
5
9
Actividad 7: A cargo del alumno.
Actividad 8:
6
2
1) a)
b) 
2
2
2) A cargo del alumno (sugerencia: asociar las funciones de x y de 3x para aplicar
transformaciones en producto).
18
Seminario Universitario – Matemática
19