Download tema 1 – números reales

Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Matemáticas
Académicas - 4º de ESO
Apuntes de Área
TEMA 1 – NÚMEROS REALES
. Objetivos / Criterios de evaluación
O.1.1 Conocer e identificar los conjuntos numéricos N, Z, Q, I,R, Im
O.1.2 Saber convertir números racionales en fracciones.
O.1.3 Redondeo y aproximación de los números decimales.
O.1.4 Saber representar en la recta real números, Intervalos, semirrectas y entornos.
O.1.5 Valor absoluto. Operaciones con valores absolutos.
O.1.6 Propiedades y operaciones con potencias.
O.1.7 Propiedades y operaciones con raíces. Racionalización
O.1.8 Concepto y propiedades de los logaritmos. Logaritmos decimales. Cambio de base.
Antilogaritmos
.
1 Conjuntos Numéricos (Página 8)
Def. Números Naturales (N).Números que existen en la naturaleza, son enteros y positivos.
Def. Números Enteros (Z).Números sin decimales, se dividen en naturales y enteros negativos.
Def. Números Racionales (Q).Números que pueden convertirse en fracción, pueden ser enteros,
decimales exactos o decimales periódicos, tanto puros como mixtos.
Def. Números Irracionales (I).Números que no pueden convertirse en fracción, tienen infinitos
decimales que no se repiten. Son las raíces de índice par no exactas y otros números (e, π,Φ,…).
Def. Números Números (R).El conjunto de los números que conocemos hasta 4º de ESO,
pueden ser racionales o irracionales
Def. Valor Absoluto. De un número es la distancia de ese número a cero en la recta real.
Coincide con su valor numérico si le quitamos el signo. Se expresa entre dos barras verticales ΙaΙ
y se lee valor absoluto de a o módulo de a
Def. Fracción. Una fracción es un cociente indicado entre dos números. Se expresa con los
números separados por una barra o raya. El de debajo se llama denominador, el de arriba se
llama numerador.
El denominador indica en cuántas partes se ha dividido la unidad.
El numerador indica cuántas de esas partes se han tomado.
Def. Fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad
que se llama número racional. Todas ellas puede obtenerse a partir de otra multiplicando o
dividiendo el numerador y el denominador por la misma cantidad
Def. Fracciones propias son las que tienen el numerador más pequeño que el denominador. Su
valor es menor que la unidad.
Def. Fracciones impropias son las que tienen el numerador mayor que el denominador. Su valor
es mayor que la unidad.
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Def. Números mixtos. Un número mixto es un número formado por una parte entera y una parte
fraccionaria.
Para pasar de número mixto a fracción se multiplica el denominador por la parte entera y se le
suma el numerador, el resultado es el numerador resultante, el denominador se conserva.
Un número mixto no es el producto de un entero por una fracción.
2. Errores y aproximaciones (Página 9)
Def. Aproximación. Una aproximación de un número decimal es otro de valor parecido pero con
menos cifras decimales. Todas las aproximaciones tienen un error
Def. Orden de una aproximación señala el máximo error absoluto que se comete al efectuarla y
también cuál es su última cifra decimal.
Aproximación por defecto: Se suprime las cifras decimales de un número, a partir de un decimal
determinado.
Aproximación por exceso: Se suprimen las cifras decimales a partir de una dada y la última que
queda se incrementa en 1.
Aproximación por redondeo: se suprime las cifras decimales a partir de una dada. Si la primera
suprimida es de 0 a 4 se deja el número como estaba, si es de 5 a 9 se suma 1 a la última cifra
decimal.
Def. Error Absoluto. Es la diferencia entre el número exacto y su aproximación.
Def. Error Relativo. Es el cociente entre el error absoluto y el número exacto.
3. Representación en la recta real (Página 10)
Números fraccionarios.
Fracciones propias: dividimos el intervalo de 0 a 1 en tantas partes como dice el denominador y
tomamos tantas partes como dice el numerador.
Fracciones impropias: se convierte la fracción propia en número mixto. Se divide el intervalo
entre el número entero del número mixto y el siguiente en tantas partes como indica el
denominador y se toman tantas como indica el numerador.
Números irracionales. Para representar números irracionales pueden utilizarse procedimientos
geométricos como el teorema de Pitágoras. En su día utilizaremos también el teorema de la altura
y el teorema del cateto.
Intervalo es un conjunto de números consecutivos que tienen un principio y un final.
Intervalo abierto es un intervalo en el que no se incluyen los extremos. Se expresa con
paréntesis y se representa con circunferencitas. ( ○─○)
Intervalo cerrado es un intervalo en el que se incluyen los extremos, se expresa con corchetes y
se representa con circulitos. (●─●)
Semirrecta es un intervalo en el uno de sus extremos es + ó - ∞. Se representan con una flecha
en el extremo infinito.(●→)
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Entorno de centro C y radio R es un intervalo que comienza en C-R y termina en C+R. Son los
puntos que están a una distancia de C menor o igual a R, dependiendo que el entorno sea abierto
o cerrado, se expresa E(C,R)
Valor absoluto. Operaciones con intervalos
Operaciones con intervalos
Unión: La unión de dos intervalos es el conjunto de puntos que pertenecen a uno o al otro
intervalo
Intersección: La intersección de dos intervalos es el conjunto de puntos que pertenecen
simultáneamente a los dos intervalos.
4.Potencias (Página 12)
Def. Potencia.La potenciación es una operación matemática en la que un número
llamado base se multiplica por sí mismo tantas veces como indica otro número llamado
exponente.
an=a·a·a·a…a (n veces)
Cálculo de potencias con la calculadora: para calcular potencias con la calculadora se
utiliza la tecla ^ . De manera que 34 se calcula como 3 ^ 4. Algunas calculadoras
disponen de teclas específicas para las potencias de grado 2 y 3. Así pueden utilizarse las
teclas x2 y x3 . Otras disponen de la tecla xy , en este caso 34 se calcula como 3 xy 4
Operaciones con potencias.
Producto y cociente de potencias de la misma base: El producto de potencias de la
misma base es otra potencia de igual base y exponente la suma de los exponentes de las
potencias.:
23·24=2(3+4)=27
El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de igual base y exponente la
diferencia de los exponentes de las potencias.
35/32=3(5-2)=33
Producto y cociente de potencias del mismo exponente: el producto de potencias del
mismo exponente es otra potencia cuyo exponente es el mismo y su base es el producto
de las bases de las potencias originales.
24·54=(2·5)4=104
El cociente de potencias del mismo exponente es otra potencia cuyo exponente es el
mismo y su base es el cociente de las bases de las potencias originales.
124/34=(12/3)4=44
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Potencia de una potencia: la potencia de una potencia es otra potencia con la misma
base y como exponente el producto de los exponentes.
(34)5=3(4·5)=320
Potencias de exponente negativo: una potencia de exponente negativo es igual al
inverso de la misma potencia con exponente positivo.
4-2=1/42
Potencias de exponente cero: una potencia de exponente cero siempre vale 1.
70=1
Def.: notación científica: es un tipo de notación matemática utilizada para números muy
grandes o muy pequeños. Se utilizan las potencias de 10.
Consta de un número bien entero, bien con pocos decimales, y una potencia de 10.
2 340 000 000=2,34 ·109
0,000 002 = 2 · 10-6
Uso de la calculadora: en la calculadora, se utiliza la tecla exp que sustituye a 10. Así,
4·103 se escribe en la calculadora 4 exp 3
Operaciones con números en notación científica: se opera con los números y las
potencias de 10 por separado:
4·104 · 3·105=(4·3)·10(4+5)=12·109
5 Raíces. Potencias de exponente fraccionario (Página 14)
n
Def. Raíz: Raíz enésima de un número real a es otro número real b tal que b =a
√a= b
n
si b n= a
n
Notación.
√a
n recibe el nombre de índice y es un número natural. El signo se llama radical y simboliza
un “r” y a, (lo que se encuentra debajo del signo radical) se llama radicando.
Cálculo de raíces con la calculadora. Para calcular raíces con la calculadora se utiliza
x
la tecla
√y
. Algunas calculadoras tienen teclas específicas para las raíces cuadradas o cúbicas.
Las raíces como potencias de exponente fraccionario: las raíces pueden considerarse
potencias de exponente fraccionario. Así
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√a= a
n
1
√a
n
n
de la misma forma
m
=a
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m
n
Producto y cociente de raíces del mismo índice: El producto de raíces del mismo
índice es otra raíz del mismo índice y cuyo radicando el producto de los radicandos.
El cociente de raíces del mismo índice es otra raíz cuyo índice es el mismo índice y cuyo
radicando es el cociente de los radicandos.
Producto y cociente de raíces del mismo radicando: El producto de raíces del mismo
radicando se realiza pasando las raíces a la forma de potencia de exponente fraccionario
y sumando los exponentes.
El cociente de raíces del mismo radicando se realiza pasando las raíces a la forma de
potencia de exponente fraccionario y restando los exponentes.
Meter y sacar factores de las raíces
Para introducir factores en una raíz hay que elevarlos al mismo exponente que índice
tiene la raíz.
Sólo pueden extraerse factores de una raíz que se encuentren elevados al mismo
exponente que índice tiene la raíz. En este caso, cuando salen de la raíz pierden el
exponente.
Reducción de raíces a índice común
Para reducir raíces al mismo índice se convierten todas en potencias de exponente
fraccionario.
A continuación se transforman todos los exponentes a común denominador.
Por último se convierten de nuevo las potencias a raíces.
Suma y resta de raíces.
Suma de raíces: sólo pueden sumarse raíces que tengan el mismo radicando. Para ello
se saca factor común a la raíz y se suman los coeficientes.
Racionalización.
Def.: Racionalizar fracciones: es quitar las raíces de los denominadores de las
fracciones.
Para racionalizar una fracción con una sola raíz en el denominador se multiplica el
numerador y el denominador por la raíz del denominador.
Def.: conjugado de una suma o resta de expresiones es la suma o resta respectiva de
las mismas expresiones..
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Para racionalizar una fracción que tiene en el denominador una suma o resta en la
que se incluye una raíz se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del
denominador.
6. Logaritmos (Página 18)
Def.: Logaritmo en base a de un número b es otro número tal que al elevar la base a a
él, obtenemos el número b. Podemos entender la palabra logaritmo como exponente.
Cuando calculamos el logaritmo en base a de un número b estamos calculando el
exponente al que hay que elevar a la base para encontrar el número.
logab=x / ax=b
El logaritmo de 1 es cero en cualquier base.
El logaritmo de un número utilizando como base el mismo número es siempre 1.
Sólo tienen logaritmo los números positivos.
Logaritmos decimales. Logaritmos naturales o neperianos
Def. Logaritmo decimal es un logaritmo cuya base es 10. Para expresarlo se omite
escribir la base, así log 100 es el logaritmo decimal de 100. En el caso de las potencias
de 10 el logaritmo corresponde con los ceros que acompañar al uno o con las cifras
decimales que tiene el número, cambiado de signo, así
log 100=2,
log 10 000= 4,
log 0,001=-3
Def. Logaritmo natural o neperiano es un logaritmo cuya base es el número e. Se
exprese como L o como ln.
Los logaritmos en la calculadora
Las máquinas calculadoras disponen de teclas para calcular los logaritmos decimales y
los logaritmos neperianos. La tecla log calcula el logaritmo decimal de un número y la
tecla In calcula el logaritmo neperiano de un número.
Propiedades y operaciones con logaritmos.
La suma de logaritmos de la misma base es el logaritmo del producto
log a + log b = log (a·b)
La diferencia de logaritmos de la misma base es el logaritmo del cociente
log a – log b = log (a/b)
El producto de un logaritmo por un escalar es el logaritmo del número elevado al escalar
b·log a = log ab
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Para calcular logaritmos en una base utilizando logaritmos en otra base se utiliza una
fórmula que permite el cambio de base de los logaritmos. Esta fórmula es particularmente
útil en el caso de utilización de la calculadora para el cálculo de logaritmos en bases
distintas de 10 o e (logaritmos decimales y neperianos, que son los únicos que hay en las
calculadoras).
logab=log b/log a
Antilogaritmos.
Se llama tomar logaritmos a convertir una expresión algebraica en otra logarítmica
utilizando las propiedades de los logaritmos.
Se llama tomar antilogaritmos a convertir una expresión logarítmica en otra algebraica
utilizando las propiedades de los logaritmos.
7. Interés simple y compuesto (Página 21)
Interés simple: Se dice que un material se ha depositado a interés simple cuando los
intereses generados en cada periodo de tiempo se retiran al final de ese periodo y no
producen nuevos intereses.
Cf=Ci·(1+r·t/100)
Interés compuesto: Se dice que un material se ha depositado a interés compuesto
cuando los intereses generados en cada periodo de tiempo no se retiran al final de ese
periodo sino que pasan, junto con el capital preexistente, a producir nuevos intereses.
El Capital final resultante de un capital depositado a interés compuesto puede calcularse
con la siguiente fórmula:
Cf=Ci·(1+r)t
donde:
Cf es el capital al final del periodo
Ci es el capital al inicio del periodo
r es el rédito, interés aplicado en tanto por uno.
t es el tiempo aplicado.
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