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1. LOS NÚMEROS REALES
1.- EL CONJUNTO DE LOS REALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
1.1.- NÚMEROS RACIONALES: EL CONJUNTO Q
Caracterización
Una fracción es el cociente de dos enteros, donde el denominador es diferente de cero.
El conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada se denomina número
racional, es decir un número racional es una fracción y todas sus equivalentes. El conjunto
de todos los números racionales se indica con la letra Q
Todo número racional puede escribirse en forma de decimal exacto o periódico, puro o
mixto. Ejemplos:
- Decimal exacto:1’2
)
- Decimal periódico puro: 1'2
)
- Decimal periódico mixto: 1'23
De hecho todos estos casos clasifican los números racionales.
El recíproco también es cierto ie cualquier número decimal exacto o periódico puede
expresarse en forma racional. A dicha fracción la llamaremos ‘fracción generatriz’
Ej: Cálculo de la fracción generatriz en los distintos supuestos
1.2.- NÚMEROS IRRACIONALES. EL CONJUNTO I
Llamamos así a aquellos números decimales que no poseen expresión decimal exacta ni
periódica, ie que no pueden expresarse en forma racional. Ej:
2 ,e, 0’01001000100001...
El conjunto de todos los números irracionales se indica con la letraI
Pueden ser algebraicos, aquellos que son raíz de una ecuación a coeficientes enteros 2 ,
o trascendentes, aquellos que no son lo son. Algunos son: e, π, φ ...
Ej: Creación de números irracionales
1.3.- EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES: R. REPRESENTACIÓN
El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se le llama ‘conjunto
de los números reales’ Se indica con la letra
R
Tendremos pues la siguiente clasificación:
⎧
⎧
⎧− Positivos : 3,5 ,...
⎪
⎪− Enteros ⎨
⎪
⎪− Racionales
⎩− Negativos : -7 ,- 2 ,-654 ...
⎨
⎪
Reales ⎨
4 4 21
⎪
⎪
⎪⎩− Fraccionarios : 5 , − 3 , 4 ,...
⎪
⎪− Irracionales : π, e, 2 ,...
⎩
- Completitud de la recta real
Es la representación gráfica de los números reales en una recta. A cualquier número
racional corresponde un punto de la recta real, pero quedan algunos puntos en ella que no
son racionales: son precisamente los números irracionales. Por ello decimos que el conjunto
de los números reales ‘completa la recta real’
Representación de racionales por Tales , e irracionales por Pitágoras
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2- ORDEN EN R. INTERVALOS
2.1.-DEFINICIONES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La relación de orden en R (todo par de elementos están ordenados) permite definir
algunos subconjuntos de números que tienen una representación sencilla en la recta real
- Intervalos: Están determinados por dos números reales, llamados extremos, y formados
por todos los números comprendidos entre ellos. Según entren o no los extremos
hablaremos de intervalos:
Cerrados: [ a , b ] = { x ∈ ℜ / a ≤ x ≤ b }
Abiertos:
] a, b [ = { x ∈ ℜ / a < x < b }
Semiabiertos (derecha o izquierda):
[ a, b [ = { x ∈ ℜ / a ≤ x < b }
Llamaremos centro de un intervalo de extremos a y b al número real
a+b
, y radio a la
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distancia entre el centro y uno cualquiera de sus extremos
- Entornos de un punto: El conjunto de números reales que pertenecen al intervalo
abierto ]c-r, c + r[ , donde r>0, se llama entorno abierto del punto c con radio r, y se
denota E (c, r)
El conjunto (c-r, c + r)-{c} se llama entorno reducido del punto c, con radio r, y se denota
E*(c,r)
- Los intervalos en el infinito son las semirrectas: Están determinadas por un número, y
formadas por todos los números mayores o menores que el dado. Según dicho número
entre o no se dan las siguientes semirrectas: abiertas o cerradas, por derecha o izquierda.
Suele denotarse ℜ = ] − ∞ , + ∞ [
2.2.- OPERACIONES CON INTERVALOS
Unión: Conjunto de puntos que pertenecen a uno y otro intervalo
Intersección: Conjunto de puntos que pertenecen a ambos intervalos
2.3.- VALOR ABSOLUTO. DISTANCIAS
⎧ x si x < 0
El valor absoluto de un número real se define como x = ⎨
⎩− x si x ≥ 0
Interpretación de
x <a, y x ≥ a
Distancias: La distancia entre dos puntos a y b de la recta real se define como:
d ( a ,b ) = b − a
⎧d (a ,b ) ≥ 0
⎪
Propiedades: ⎨d (a ,b ) = d (b , a )
⎪d (a ,b ) + d (b ,c ) ≤ d (a ,c )
⎩
3.- NOTACIÓN CIENTÍFICA
Consiste en representar un número real como producto de un número decimal, cuya
parte entera esté comprendida entre 1 y 9, y una potencia de 10.
*Notación científica con calculadora
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4.- APROXIMACIÓN Y ERRORES
4.1.- APROXIMACIÓN DE NÚMEROS. TRUNCAMIENTO Y REDONDEO
Aproximar un número consiste en sustituir el valor exacto por uno próximo. Si el valor
aproximado es mayor que el exacto, la aproximación se denomina por ‘exceso’; si es más
pequeño, por ‘defecto’
Existen dos formas de aproximar: redondeo y truncamiento
Redondeo: Consiste en escoger, de entre la aproximación por defecto i por exceso la más
próxima al valor exacto, ie la de menor error: Si el valor de la primera cifra que
queremos suprimir es menor que 5, a anterior queda igual (aproximación por
defecto ) , si es mayor o igual que 5, aumentamos la anterior en una unidad
(aproximación por exceso)
Truncamiento: Consiste en cortar y eliminar las cifras a partir de un cierto orden.
*Notar que los errores cometidos por aproximación de números irracionales no pueden
conocerse exactamente, pero pueden ‘acotarse’
4.2.- ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO
Cuando aproximamos un número cometemos un error:
ƒ
Llamamos error absoluto a la diferencia, en valor absoluto, entre el valor exacto y
el aproximado.
Si llamamos x’ al valor aproximado, tenemos εa = x − x '
Llamamos error relativo al cociente entre el error absoluto y el exacto, es decir
ε
εr = a
x
Ejemplo: Báscula que comete un error de 50 gramos en diferentes pesadas ( 1 kg y 50 kg)
ƒ
5.-POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Y RACIONAL
5.1.- POTENCIAS. PROPIEDADES
a) Potencias de exponente natural (o entero positivo)
Una potencia es un producto entre factores iguales. Llamamos base al factor que
multiplicamos por sí mismo, y exponente al número de veces que lo hacemos.
n
n)
Se representan por: a = a ⋅ ... .. ⋅ a
⎧−Base Positiva : Resultado positivo
⎪
Según la base tendremos: ⎨
⎧Exponente par : Resultado positivo
⎪− Base negativa ⎨Exponente impar : Resultado negativo
⎩
⎩
Propiedades: Toda potencia de base 0 es 0
Toda potencia de exponente 0 es 1
b) Potencias de exponente entero negativo
Una potencia de exponente negativo es igual a la inversa de la base elevada al exponente
con signo positivo, es decir:
n
⎛1⎞
⎛a⎞
a − n = ⎜ ⎟ ; o bien ⎜ ⎟
a
⎝ ⎠
⎝b⎠
−n
⎛b⎞
=⎜ ⎟
⎝a⎠
n
m
c) Potencias de exponente racional: Se definen como sigue: a n = n a m
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Propiedades de las potencias
(a ⋅ b )n
- Potencia de un producto:
= a n ⋅ b n (Se eleva cada uno de los factores al exponente
indicado)
n
an
⎛a⎞
⎟ = n (Se elevan numerador y denominador al exponente
b
⎝b⎠
- Potencia de un cociente: ⎜
indicado)
- Producto de potencias de la misma base: a n ⋅ a m = a n + m (Es otra potencia de igual base y
exponente la suma de los exponentes )
- Cociente de potencias de la misma base:
an
= a n − m ( Es otra potencia de igual base y
am
exponente la suma de los exponentes)
- Potencia de potencia:
de los exponentes)
((a ) )
n m
= a n⋅m (Es otra potencia de igual base y exponente el producto
5.2.- RADICALES
¾ Definiciones
Si a y b son dos números reales, decimos que b es la raíz n-sima (o de índice n) de a, y lo
escribimos
n
a = b , si b n = a
El número n se llama índice, y a radicando
*Nota: Las raíces de índice par de números negativos no existen en R, y las de índice
impar de números positivos tienen 2 soluciones.
Dos radicales son equivalentes cuando tienen las mismas raíces.
Reducir dos o más radicales a índice común es hallar otros radicales equivalentes a los
primeros de forma que todos ellos tengan el mismo índice. El índice común será el mcm de
todos los índices.
Una vez reducidos podemos compararlos y ordenarlos
¾ Simplificación
Para simplificar un radical dividimos el índice y el exponente del radicando por el mcd de
ambos
¾ Extracción/ introducción de factores en un radical
Extracción: Descomponemos en factores el radicando, dividimos el exponente de cada
factor por el índice y escribimos el cociente como exponente del factor fuera
del radical y el resto queda de exponente del factor dentro del radical
Todos los exponentes que quedan dentro del radical han de ser menores que
el índice
Introducción: Para introducir un factor en un radicando lo elevamos al número que
indique el índice lo multiplicamos por el radicando
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¾ Operaciones:
Suma: Para sumar/restar radicales es necesario que todos ellos sean ‘semejantes’, es
decir tengan el mismo índice y radicando. Entonces se suman o restan los coeficientes
Producto: n a ⋅ n b = n a ⋅ b .
En el caso de que no tengan el mismo índice se reducirán a índice común.
n
a n a
=
b
b
En el caso de que no tengan el mismo índice se reducirán a índice común.
Cociente:
Potencia:
n
( a)
n
k
= n a k (Esta propiedad se utiliza para reducir a índice común)
Radicación: m n a =
m ⋅n
a
Ej: Intentar demostrar estas propiedades mediante expresiones de potencia racional
¾ Racionalización
Consiste en eliminar las raíces del denominador y transformar la expresión en otra
equivalente
Procedimiento para racionalizar
• Si en el denominador solamente hay una raíz cuadrada multiplicamos y dividimos por ella
• Si en el denominador hay sólo una raíz y es de índice superior a 2, multiplicamos y
dividimos por la raíz del mismo índice, y como exponente la diferencia entre el índice y el
exponente
• Si en el denominador hay una suma o diferencia multiplicamos y dividimos por la
expresión conjugada.
*Atención: Dado un radical, es necesario simplificarlo siempre, extraer los factores que se
pueda del radicando y racionalizarlo
6.- LOGARITMOS
6.1.- DEFINICIÓN. LOGARITMOS DECIMALES Y NEPERIANOS
El logaritmo en base a (con a>0, a=1) de un número p>0 es el exponente x al cual es
necesario elevar la base ‘a’ para obtener dicho número p. Se representa por log a p = x
Llamamos logaritmos decimales aquellos cuya base es 10, se denotan simplemente log x
Llamamos logaritmos neperianos aquellos cuya base es e=2’71828182... Se representan
por ln x
6.2.- PROPIEDADES. CAMBIOS DE BASE
- Logaritmo de un producto: Es la suma de los logaritmos log a ( p ⋅ q ) = log a p + log a q
- Logaritmo de un cociente: Es la diferencia de los logaritmos log a ( p / q ) = log a p − log a q
- Logaritmo de una potencia: Es el exponente por el logaritmo de la base log a p n = n ⋅ log a p
- Cambio de base : log a p =
logb p
logb p
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