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Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Matemáticas
Académicas - 4º de ESO
Apuntes de Área
TEMA 9 –FUNCIONES ELEMENTALES
. Objetivos / Criterios de evaluación
O.11.1 Representación y análisis de funciones lineales y cuadráticas.
O.11.2 Representación y análisis de funciones de proporción inversa.
O.11.3 Representación y análisis de funciones fracciones polinómicas. Asíntotas.
O.11.4 Representación y análisis de funciones exponenciales y logarítmicas
O.11.5 Representación y análisis de funciones trigonométricas
1 Estudio de funciones lineales (página 184)
Tienen la x elevada a uno. Son de la forma f(x)= ax + b
b se llama término independiente u ordenada en el origen
a se llama coeficiente de la x o pendiente de la recta. Es la tangente trigonométrica del
ángulo que forma la función con la horizontal.
Se representan con una recta que mira para arriba si a es positivo y que mira para abajo
si a es negativo. Si a es cero son horizontales.
La recta corta al eje vertical a la altura que indique b. si b=0 pasan por el origen, si b es
positivo pasan por arriba y si b es negativa pasan por debajo del origen.
El punto en el que la recta corta al eje horizontal es la solución de la ecuación de primer
grado correspondiente. Se calcula, como es lógico igualando la función a cero ( y=0), que
es calcular la solución de la ecuación.
2. Estudio de funciones cuadráticas
2
Tienen la x elevada al cuadrado. Son de la forma f(x)= ax + bx + c
c se llama término independiente
b se llama coeficiente de la x
a se llama coeficiente de la x2
Se representan con una parábola que está abierta hacia arriba si a es positiva y que está
abierta hacia abajo si a es negativa.
Cuanto más alto sea el valor de a, más cerrada estará la parábola.
La letra b indica si está desviada con respecto al eje de las y.
Tema 9 – Funciones elementales
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Para trazar la parábola se realiza una tabla de valores en la que se den varios valores a la
x, obteniendo varios valores para la y, con ello formamos pares de puntos (x,y) que
llevamos a la gráfica.
Vértice, ordenada en el origen, puntos de corte
Los dos puntos en los que la parábola corta al eje horizontal son las soluciones de la
ecuación de segundo grado correspondiente. Si la parábola solo corta en un punto al eje
horizontal, es que la ecuación solo tiene una solución. Si no corta en ninguno, es que la
ecuación no tiene solución real.
2
Las soluciones de la ecuación de segundo grado ax +bx+c=0
C es la ordenada en el origen. La recta corta al eje vertical a la altura que indique c. si
c=0 pasan por el origen, si c es positivo pasan por arriba y si c es negativa pasan por
debajo del origen.
Para calcular el vértice de la parábola se calculan las coordenadas x e y de la siguiente
forma:
La xv del vértice es la solución de la ecuación 2ax + b = 0
La yv del vértice es el resultado de sustituir la x del vértice en la función.
También podemos calcular el vértice de la parábola como el punto en que la derivada es
cero.
Para encontrar los puntos de corte de la parábola con los ejes actuamos como sigue:
El punto de corte con el eje de las y se encuentra dando a la x el valor 0, con lo que
encontramos el punto (0,c)
Los puntos de corte con el eje de las x son, como hemos dicho, las soluciones de la
2
ecuación de segundo grado ax +bx+c=0
3. Estudio de funciones racionales (página 186)
Def.: Funciones racionales son aquellas que tienen la forma
f ( x) 
P ( x)
Q( x)
siendo P(x) y Q(x) dos polinomios en x. Y Q(x) distinto de cero.
Su dominio es toda la recta real excepto aquellos puntos en los que el polinomio del
denominador se anula.
Pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
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Asíntotas verticales: si el límite (o alguno de los límites laterales) de la función cuando x
tiende a a es más o menos infinito, la función tiene una asíntota vertical en a. Debemos
buscar asíntotas verticales en los puntos en los que la función no está definida. (que
anulan el polinomio denominador)
Asíntotas horizontales: Una función tiene asíntotas horizontales si alguno de los límites
cuando x tiende a infinito o a menos infinito es un número real.
Asíntotas oblicuas: Una función tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del polinomio
numerador es una unidad más grande que el grado del polinomio denominador. Para
calcular la recta a la que la función es asintótica basta con dividir el numerador entre el
denominador. El cociente es la asíntota.
4 Estudio de funciones de proporcionalidad inversa
Tienen la x en el denominador. Son de la forma
f ( x) 
Su dominio es Dom f(x)=R-{h}
a
+k
x+h
Se representan con una curva llamada hipérbola, que es una curva con dos ramas.
La letra k indica si la curva está elevada con respecto del eje de abscisas.
La letra h indica si la curva está desviada con respecto del eje de ordenadas.
El punto (-h , k) es el centro de la hipérbola
La curva tiene dos asíntotas, que son dos rectas a las que se van acercando las curvas
pero nunca llegan a tocar.
5. Estudio de funciones exponenciales (página 190)
x
Def.: Función exponencial es aquella que tiene la forma y=a , donde a es un positivo
distinto de 1.
Su dominio es toda la recta real. Su recorrido es (0, +∞)
Todas las funciones exponenciales pasan por (0,1) y por (1,a). y son asintóticas al eje
de las x. Son continuas. Si a>1 son crecientes. Si a<1 son decrecientes.
x
x
Casos particulares de funciones exponenciales son y=e y y= 10 .
6. Estudio de funciones logarítmicas
Def.: Función logarítmica es aquella que tiene la forma y=logax.
Su dominio es (0, +∞). Su recorrido es toda la recta real
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Todas las funciones exponenciales pasan por (1,0) y por (a,1). y son asintóticas al eje
de las y. Son continuas. Si a>1 son crecientes. Si a<1 son decrecientes.
Casos particulares de funciones exponenciales son y=log x y y= ln x.
La función exponencial es recíproca de la logarítmica y viceversa. Ambas son, por tanto
simétricas respecto de la recta y=x (bisectriz del primer cuadrante)
7. Estudio de funciones trigonométricas (página 192)
Def.: Son funciones trigonométricas las que incorporan en sus expresiones algebraicas
funciones trigonométricas. Entre ellas encontramos las funciones y= sen x, y= cos x,
y= tan x
Son funciones periódicas de periodo 2π el seno y coseno y de periodo π la tangente.
8. Obtención de gráficas de funciones a partir de otras más sencillas (página 194)
Traslación vertical: f(x) +k
Traslación horizontal: f(x+k)
Dilatación o contracción vertical: k·f(x)
Dilatación o contracción horizontal: f(k·x)
Simetría respecto del eje x: (-1)·f(x)
Simetría respecto del eje y: f(-x)
.
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