Download tema 5 – semejanza y trigonometría

Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
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Área de Matemáticas
4º de ESO – opción B
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TEMA 5 – SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA
. Objetivos / Criterios de evaluación
O.5.1 Triángulos semejantes, criterios para la semejanza de triángulos
O.5.2 Teorema de Tales. Aplicaciones.
O.5.3 Teoremas de Pitágoras,
O.5.4 Teoremas del cateto, de la altura y fórmulas de Herón.
O.5.5 Resolución de problemas de triángulos
O.5.6 Resolución de problemas en la esfera.
O.6.1. Conocer el radián y su equivalencia con los grados sexagesimales.
O.6.2. Conocer las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, y sus relaciones.
O.6.3. Conocer cómo varían las razones trigonométricas con la variación de los ángulos.
1 Semejanza. Definición. Figuras homólogas (Página 98)
Def. Semejanza entre dos figuras es la relación que existe entre ellas si tienen la misma forma.
Def. homólogos son los puntos, ángulos o lados correspondientes entre dos figuras semejantes.
Def. Razón de semejanza es el cociente entre las longitudes de los lados homólogos de figuras
semejantes
Dos Polígonos con el mismo número de lados son semejantes si tienen iguales sus ángulos
homólogos y proporcionales sus lados homólogos.
En figuras semejantes, la relación entre sus áreas es el cuadrado de su razón de semejanza.
En figuras semejantes, la relación entre sus volúmenes es el cubo de su razón de semejanza.
Def. Escala es la razón de semejanza que se utiliza para la representación en planos, dibujos o
maquetas de imágenes de la vida real.
Para calcular la escala de un dibujo se divide la medida de un lado en el dibujo entre la de su
homólogo en la realidad. Se expresa mediante una fracción que suele tener o el numerador 1
(para escalas de reducción) o el denominador 1 (para escalas de ampliación). No tienen unidades
2. Teorema de Tales (Página 99)
Teorema de Tales: toda recta paralela a un lado de un triángulo y que corta a los otros dos,
determina dos triángulos semejantes con lados proporcionales ángulos iguales.
Dos triángulos semejantes están en posición de tales cuando tienen en común un vértice y los
lados opuestos a él son paralelos.
3 Criterios de semejanza de triángulos (Página 100)
Dos triángulos son semejantes si:
1. Tienen los tres lados proporcionales.
2. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
Tema 6 – Trigonometría
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3. Tienen dos ángulos iguales.
En nuestra clase vamos a llamar siempre a cada parte de un triángulo rectángulo de la misma
manera para evitar confusiones. Así:
a
b
c
h
m
→ hipotenusa del triángulo.
A → vértice opuesto a la hipotenusa a
→ cateto del triángulo.
B → vértice opuesto al cateto b
→ cateto del triángulo.
C → vértice opuesto al cateto c
→ altura del triángulo sobre la hipotenusa
→ proyección del cateto b sobre la hipotenusa del triángulo
Teorema de la altura: La altura en un triángulo rectángulo es media proporcional entre los dos
segmentos en que divide a la hipotenusa:
h2= m·n
Teorema del cateto: en un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la
hipotenusa y su proyección sobre ella:
b2= a ·m
c2= a ·n
4. Fórmulas de Heron de Alejandría
En un triángulo cualquiera de lados a, b y c, podemos calcular su Área (S) o la altura sobre un
lado (hc) a través de las fórmulas.
S=
√(a+ b+ c)(− a+ b+ c)(a− b+ c)(a+ b− c)
hc=
4
√(a+ b+ c)(− a+ b+ c)(a− b+ c)(a+ b− c)
2·c
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5. Medidas de ángulos
Def. Grado sexagesimal: es la 360ª parte de una circunferencia. Cada grado se divide
en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Un ángulo recto tiene 90º. En la
calculadora se llaman DEG (Degrees)
1 circunferencia = 360º; 1º = 60’; 1’ = 60 ‘’.
Def. Grado centesimal (Gradianes): es la 400ª parte de una circunferencia. Cada grado
se divide en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos. Un ángulo recto tiene 100º. En
la calculadora se llaman GRAD (Grades). La calculadora actúa como si cada grado
tuviera 60 minutos y cada minuto 60 segundos.
1 circunferencia = 400º; 1º = 100’ ; 1’ = 100‘’.
Def. Radian: es la medida de un ángulo de circunferencia cuyo arco mide lo mismo que el
radio. Una circunferencia tiene 2π. Un ángulo recto tiene π/2 radianes. En la calculadora
se llaman RAD.
1 circunferencia = 2π rad.
6. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos (Página 104)
Def. Seno de un ángulo (sen α): agudo en un triángulo rectángulo es el cociente entre el
cateto opuesto y la hipotenusa.
Def. Coseno de un ángulo (cos α): agudo en un triángulo rectángulo es el cociente entre
el cateto contiguo y la hipotenusa.
Def. Tangente de un ángulo (tg α): agudo en un triángulo rectángulo es el cociente entre
el cateto opuesto y el cateto contiguo
̂
sen B=
b
a
;
c
̂
cos B=
;
a
b
̂
tg B=
;
c
̂
sen C=
c
a
b
̂
cos C=
a
c
̂
tg C=
b
cosec B= 1/sen B
sec B= 1/cosB
cotg B= 1/tg B
Las razones trigonométricas en la calculadora
En la calculadora se utilizan las teclas sin para el seno; cos para el coseno y tan para la
tangente.
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7. Relaciones entre razones trigonométricas (Página 105)
sen2 α+ cos2 α= 1
1
2
tg α+ 1=
2
cos α
Área de un triángulo:
A=
1
a⋅ b
̂
⋅ a⋅ b⋅ sec C=
̂
2
2⋅ cos C
Def. Circunferencia goniométrica es una
circunferencia de radio unidad.
Razones de ángulos complementarios:
sen α = cos β
cos α = sen β
1
tg α=
β
tg
Razones de ángulos que se
diferencian en 90º.
sen α = − cos β
cos α = − sen β
1
tg α=
β
tg
Razones de ángulos suplementarios.
sen α= sen β
cos α = − cos β
tg α = − tg β
Razones
de
Razones de ángulos que se
diferencian en 180º
ángulos
opuestos.
sen α = − sen β
cos α= cos β
tg α = − tg β
Tema 5 – Semejanza
sen α= − senβ
cos α= − cosβ
tgα = tgβ
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Académicas - 4º de ESO
Apuntes de Área
8 Teoremas trigonométricos
Teorema del seno: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos.
̂
̂
̂
A
B
C
=
=
̂
̂
̂
sen A
sen B
sen C
Teorema del coseno: (Teorema generalizado de Pitágoras) El cuadrado de un lado de
un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del
producto de los otros lados por el coseno del ángulo que forman.
̂
a2= b 2+ c 2− 2⋅ b⋅ c⋅ cos A
Funciones arco
Def. arcoseno de un valor (entre -1 y 1) : es el ángulo entre -π/2 y π/2 cuyo seno es
ese valor. En la calculadora se utiliza la tecla sin-1 .
Def. arcocoseno de un valor (entre -1 y 1) : es el ángulo entre -π/2 y π/2 cuyo coseno
es ese valor. En la calculadora se utiliza la tecla cos-1 .
Def. arcotangente de un valor : es el ángulo entre -π/2 y π/2 cuya tangente es ese valor.
En la calculadora se utiliza la tecla tan-1 .
9. Funciones trigonométricas. Representación
La función f(x)=sen x Es la función que asigna a cada valor de x el de sen x. Tiene forma
sinusoidal y es periódica de periodo 2π. Está acotada entre -1 y +1.
La función f(x)=cos x Es la función que asigna a cada valor de x el de cos x. Tiene forma
sinusoidal y es periódica de periodo 2π. Está acotada entre -1 y +1.
La función f(x)=tg x Es la función que asigna a cada valor de x el de la tg x, no es
continua, no está acotada y es periódica de periodo 2π.
10. Ecuaciones trigonométricas
Def.: Ecuación trigonométrica Es aquella en que la incógnica forma parte de una
función trigonométrica. Se resuelven utilizando las funciones arco.
Tema 5 – Semejanza y trigonometría