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Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET – DFPD
Matemática II 2010 – Sucesiones
Sucesiones
Temas: Límites de sucesiones. Sucesiones monótonas y sus límites.
Pares de sucesiones monótonas convergentes. Número e.
Operaciones con sucesiones y cálculo de sus límites.
Sucesiones equivalentes. Ordenes de infinitos e infinitésimos.
Sucesiones: definición.
Una sucesión de números reales es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales
y cuyo recorrido está contenido en el conjunto de los números reales .
f:
→
f (n) = n 2 − 3 En forma abreviada f n = n 2 − 3 o también an = n 2 − 3
g:
→
g (n) = n − 4 , o g n = n − 4 En este caso la sucesión empieza en n=4 porque en 0, 1
, 2 y 3 no existe.
Debemos distinguir :
♠ la sucesión (an) es la función
♠
♠
a: →
el término general an que es simplemente un número real, el término n-simo.
el recorrido de la sucesión
{an }
Diferentes formas de definir las sucesiones.
a) Explicita: se da una fórmula para el término general, tal cual ya lo vimos más arriba.
b) Recurrencia: se da el primer término y un método general que permita calcular los demás a partir
del anterior o anteriores.
 a0 = 3

an +1 = 2.an + 1
Los primeros términos son, entonces, 3, 7, 15, 31, .....
c) Dando una lista o una propiedad.
A veces no es posible o no existe una fórmula y ni siquiera una relación de recurrencia.
Por ejemplo, la sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, .....
Otro ejemplo: la sucesión de resultados al tirar un dado por una persona en un momento determinado :
3, 2, 6, 1, 1, 6, 1, 6, 5, 1, 1, 1, 5, 4, ........
A veces a las sucesiones definidas por recurrencia se le puede encontrar la "fórmula" del término
general. ¡A veces ! Lo veremos en el práctico.
Sucesiones monótonas
Una sucesión (an) es creciente si a partir de un cierto n0, número natural, se cumple que cada término
es mayor o igual que el anterior.
En símbolos, (an) es creciente si ∀n ∈ , n > n0 , an ≤ an+1
Será estrictamente creciente si es mayor que el anterior.
(an) es estríctamente creciente si ∀n ∈ , n > n0 , an < an+1
Analogamente, (an) es decreciente si ∀n ∈ , n > n0 , an ≥ an+1
Profesores: Patricia Echenique, Saúl Tenenbaum
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(an) es estríctamente decreciente si ∀n ∈ , n > n0 , an > an+1 .
Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.
Sucesiones periódicas
Una sucesión es periódica de período p, p ∈
*
si ∀n ∈ ,
an+ p = an con p el menor posible.
(Si tiene período 3 no diremos que tiene período 6).
Cuando p = 1 diremos que la sucesión es constante.
Ejemplo: la sucesión (an) definida por
an = (−1)n es periódica de período 2.
Sucesiones acotadas.
/ ∀n ∈ , an ≤ K .
Una sucesión (an) está acotada inferiormente si existe H ∈ / ∀n ∈ , an ≥ H .
Una sucesión (an) está acotada superiormente si existe K ∈
Una sucesión (an) está acotada si está acotada superior e inferiormente.
O sea que (an) está acotada si existen H ∈ , K ∈ / ∀n ∈ , H ≤ an ≤ K .
Pares de sucesiones monótonas convergentes PSMC
Las sucesiones (a n ) n∈
y (b n ) n∈ se dice que forman un PSMC si cumplen:
 (a n ) es creciente y (b n ) es decreciente

se tiene que a n ≤ b n
PSMC  ∀n ∈
+
∀ε ∈
existe n0 ∈ tal que b n0 − a n0 < ε

Cuando 2 sucesiones forman un PSMC definen un único número real j, llamado elemento de
separación del PSMC, que es el supremo de
Se cumple entonces que a n ≤
{an } y el ínfimo de {bn } .
j ≤ bn .
Ejercicios:
1) Muestra que las sucesiones siguientes, definidas por su término general, son periódicas y determina
el período de cada una.
an = cos(
2nπ
5
)
nπ
bn = sen( )
3
cn = cos(
(4 n − 1)π
6
)
 d0 = 2

3

d n+1 = d
n

2) Estudia la monotonía de las sucesiones siguientes, definidas por su término general.
 h0 = 2
 i0 = −2
 j0 = −1
7
7

f n = 2n −
gn = 2 − n 
1


2
2
n
5
in+1 = 2in + 3in − 4  jn+1 = 2 jn + 3 jn − 4
hn+1 = h2
n

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3) Una sucesión aritmética tiene como sexto término 7 y como decimosegundo término 37. Calcula el
término número 100 y la suma de los primeros 1000 términos.
Una sucesión aritmética es aquella que verifica an+1 = d + an con d ∈ .
4) Calcula 91+94+97+100+..........+547
5) Determina el segundo término de una progresión geométrica si se sabe que el sexto término es 4 y el
an+1
4
= r con r ∈ .
tercer término es − . Una sucesión geomética es la que verifica
an
27
1 1 1
1
6) Calcula − + − ........ +
9 27 81
59049
 a0 = 2

an
7) Sea la sucesión (an) definida por 
a
=
n
+
1

2 + an2

i) Muestra que ∀n, n ∈ , an y an+1 son del mismo signo. Deduce que ∀n, n ∈ , an >0
ii) Estudia la monotonía de la sucesión (an).
8) Estudia la acotación de las siguientes sucesiones definidas por sus términos generales:
7
6n − 7
an = 2 −
cn =
dn = n − n2
bn = 2 − cos(n)
n
3n + 1
sen(n) + (−1)n .cos(n)
2
9) Si an =
, muestra que ∀n, n ∈ , an ≤
3n + 2
3n
 q 0 = 0
10) Sea la sucesión (qn) definida por 
qn+1 = 6 + qn
a) Prueba que la sucesión es estrictamente creciente y acotada superiomente por 3.
3 − qn
b) Prueba que ∀n, n ∈ , 3 − qn+1 ≤
3
11) Prueba que an =
n −1
3n
bn =
n
son un PSMC y halla a ∈ an y b ∈ bn
3n − 2
/
b − a < 0, 001 .
12) Dadas las siguientes sucesiones por sus términos generales, demuestra que a2n y
un PSMC. Calcula el número real que definen.
n
(−1)i
i =1
i
(−1)n
i) an = 1 +
n
ii) an = ∑
iii) an+1 = 2 − an con a0 = 2
iv) an+1 = 1 +
1
an
con a0 = 1
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a2n+1 forman
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Conjugada: Demostrar que
a− b=
a −b
a+ b
a − 5 b = ...........
5
Investigar:
Límite de una sucesión
Definición: Una sucesión (an) tiene límite b si, cualquiera sea el número real positivo ε , existe un
número natural n0 tal que para cualquier número natural mayor que ese, la diferencia entre el término
n-simo de la sucesión y el valor del límite es tan chica como se quiera.
+
existe n0 ∈ tal que si n > n0 , entonces
En resumen, lim a n = b ⇔ ∀ε ∈
n→+∞
an − b
Cuando una sucesión tiene límite, se dice que converge a dicho límite.
Teorema 1: Si una sucesión tiene límite, éste es único.
Teorema 2: Una sucesión convergente está acotada. (Cuidado que el recíproco no se cumple)
Teorema 3: El límite de una suma de sucesiones es la suma de los límites
b
< bn
Teorema 4: Si una sucesión tiene límite b ≠ 0 , entonces ∃ n0 ∈ / si n > n0 ⇒ 0<
2
1 1
=
Teorema 5: Si lím a n = b, b ≠ 0, ⇒ lím
an b
Definición: La sucesión (an) diverge a + ∞ si ∀H , H ∈
Teorema 6: Si lím a n = +∞, ⇒ lím
1
an
+
∃ n0 ∈
/
n > n0 ⇒
a n >H
=0
Teorema 7: Límite de la sucesión comprendida.
Si a n ≤ b n ≤ cn ∀n, n ∈ , n>n 0 y lím a n =lím cn ⇒ lím a n =lím b n =lím cn
Teorema 9: lím a n = m ⇒ lím
an
=m
(Cuidado que el recíproco no se cumple)
Teorema 10: Si una sucesión es monótona entonces tiene límite.
Teorema 11: Toda subsucesión de una sucesión convergente, converge al mismo límite.
Sucesiones equivalentes
Definición: Se dice que dos sucesiones (an) y (bn) son equivalentes si lím
an
=1
bn
Notación: lo anotaremos (an) ~ (bn) .
INFINITÉSIMOS Definición: (an) es un infinitésimo si y sólo si lím an = 0
Límites equivalentes
L(1+an )
= 1 Entonces L(1+an ) ∼ an sólo cuando an → 0
an
L(z n )
= 1 ⇒ lím
= 1 Entonces L(z n ) ∼ ( zn − 1) sólo cuando z n → 1
zn − 1
1) Si lím an = 0 ⇒ lím
2) Si lím z n
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<ε
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3) Si lím an = 0 ⇒ lím
e an − 1
=1
an
zn p − 1
=1
p ( zn − 1)
sen(an )
5) Si lím an = 0 ⇒ lím
=1
an
4) Si lím z n = 1 ⇒ lím
Infinitos
Entonces ean − 1 ∼ an sólo cuando an → 0
Entonces zn p − 1 ∼ p ( zn − 1)
sólo sí an → 1
Entonces sen(an ) ∼ an sólo cuando an → 0
Definición: (an) es un infinito si y sólo si lím an = ∞
orden Lan < orden an p < orden b an < orden d n k .an
Ordenes de infinitos:
p>0
logarítmico potencial
b >1
k>0
exponencial potencial-exponencial
Si (an) y (bn) son dos infinitos, se los puede comparar haciendo el cociente entre ellos:
 0 el orden de bn es mayor que el de an
 ∞ el orden de a es mayor que el de b
a

n
n
(¡Cuidado que es diferente si fueran infinitésimos!)
Si lím n = 
bn k , k ≠ 0 el orden de bn es igual al de an
 ∃
los infinitos no son comparables.
EJERCICIOS
13) Calcula los límites de las siguientes sucesiones (se sobreentiende que n → +∞ ):
6n 2 + 7 n − 4
6n3 + 7 n − 4
6 n 2 + 7 n3 − 4
b)
lím
c)
lím
a) lím
3n 2 − 2n + π
3n 4 − 2n + π
2n − 3n 2 + π
cos(n 4π )
e) lím cos(nπ )
f) lím
d) lím n 2 − 3n − n 2 + 4n
n + sen(n3 − 2n + π )
n
n
n
+ 2
+ ..... + 2
14) Sea (an) la sucesión definida por: an = 2
n +1 n + 2
n +n
¿Cuál es el menor término de dicha suma?
n2
n2
Deduce que para todo n > 0 se tiene:
a
≤
≤
¿Cuál es el limite de la sucesión (an) ?
n
n2 + n
n2 + 1
 a0 = 0
15) Sea (an) la sucesión definida por : 
i) Probar que (an) es creciente.
an +1 = 2 + 3.an
ii) Probar por recurrencia que (an) está acotada superiormente por 4. iii) Calcular el límite de (an).
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x 3 − 3x + 2
n
c) lim n4
xn →1 xn − 4 xn + 3
x 2 − 5x + 6
a) lim (1 + xn )(1 + 2.xn )(1 + 3.xn ) − 1
16) Calcular los siguientes límites:
xn →0
xn
n2 −1
n 2 − 3  n+ 2

2
 n + 2n + 1 

n
n
b) lim
xn →3 xn 2 − 8 xn + 15
d) lím 
e) lim
xn →−∞
3
xn3 + xn − 2 − xn
 a0 ≥ 0
17) Sea (an) la sucesión definida por : 
an +1 = 12 + an
i) Probar que (an) es creciente si an ≤ 4 y decreciente si an ≥ 4 .
ii) Deducir que (an ) es convergente.
iii) Calcular el límite de (an).
18) (Primer parcial 2009, ejercicio 5)
 a1 = 1

−1
Sea la sucesión definida por a =
n

2 + an−1

i) Calcular los primeros términos y deducir de ello
Probarlo por Inducción Completa.
an
en función de n .
ii) Probar que ∀n, n ∈ , n > 1 se cumple que −1 < an < 0
iii) Investigar la monotonía de la sucesión y deducir si tiene o no límite.
En caso afirmativo, calcularlo.
19) (Examen 18/12/2009, ejercicio 4)
En este triángulo se han dispuesto números naturales:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
....................................
a) ¿Cuánto es la suma de todos los números que ocupan la fila 25 de este triángulo?
b) Implementar una función en Haskel que nos devuelva, al ingresarle el número de fila, una lista con
los elementos de la fila. Por ejemplo, fila 5 = [11,12,13,14,15]
b') Indicar las sucesiones Pn y Un que devuelven el primer y el último término de la fila n-sima.
Por ejemplo P5 =11 U5 =15
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