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ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE FÍSICA INDICE 1. Coordenadas de la velocidad y de la aceleración 2 2. Ley del péndulo simple 4 3. Estudio de un muelle 5 4. Composición de movimientos vibratorios armónicos 6 5. Interferencia de ondas 7 6. Ondas estacionarias 8 7. Energía transmitida por una onda 9 8. Deducción de la ley de gravitación universal a partir de las leyes de kepler 11 9. La densidad crítica del Universo. 12 10. Campo gravitatorio y electrico. 13 11. Teorema de gauss 16 12. Campo eléctrico creado por una esfera y una placa uniformemente cargadas 17 13. Variación de la intensidad del campo gravitatorio terrestre 18 14. Variación del potencial gravitatorio terrestre 19 15. Campo y potencial creado por un dipolo electrico 20 16. Campo y potencial creado por un hilo cargado rectilineo e indefinido 21 17. Fuentes de campo magnético 22 18. Aplicación del campo magnético: El Ciclotrón 23 19. Aplicación del campo magnético: El Espectrógrafo De Masas. 25 20. Inducción electromagnética. autoinducción. inducción mutua 27 21. El prisma óptico 29 22. El dioptrio esférico 30 23. Métodos de medida de la velocidad de la luz 31 24. Física nuclear 33 25. Física cuántica 34 26. Filosofía de la teoría cuántica 37 27. Movimiento relativo 38 28. El Principio de Acción Reacción y la Interacción Magnética 43 Jesús Millán Crespo 20 de diciembre de 2016 “No sabemos lo que queremos, pero somos responsables de lo que somos”. (FILÓSOFO FRANCÉS) 1 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 2/44 1. COORDENADAS DE LA VELOCIDAD Y DE LA ACELERACIÓN Componentes cartesianas de la velocidad: dr dt v vx u x v y u y Componentes intrínsecas de la velocidad: v v Velocidad d r d r ds v ut y la velocidad es siempre dt ds dt tangente a la trayectoria. Aceleración a dv d 2 r 2 dt dt dv y dvx ux uy dt dt du d v d (vut ) dv Componentes intrínsecas de la aceleración: a (1) ut v t dt dt dt dt ut es un vector unitario de módulo constante por lo que es perpendicular a su derivada temporal. 2 d ut d ut Como ut 1 . Si derivamos esta expresión… 2 u t 0 se comprueba que un dt dt d ut d ut ds du Por otro lado v t dt ds dt ds Componentes cartesianas de la aceleración: a a x u x a y u y Y d ut ds d 1 y esto porque ds d u t sen(d ) d ds sen(d ) d y la expresión (1) queda: dv v2 ut u n dt dv u t y representa las variaciones del El rimer término es la aceleración tangencial a t dt v2 módulo de la velocidad. El segundo término la aceleración normal a u n y representa las a variaciones de la dirección de la velocidad. 2 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 3/44 Tanto la velocidad como la aceleración son magnitudes vectoriales. Utilizando el cálculo vectorial vamos a demostrar que en cualquier movimiento se cumplen las siguientes relaciones: a at ut an un Siendo at a ·v v y an av 3 y que el radio de curvatura de flexión es: v v av En el primer caso, la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración sobre la dirección tangente. at a · u t a ·v v Por otro lado, si θ es el ángulo que forma u t y a . a ut a sen y como an a sen Y entonces se cumple que: an a ut av v Nos queda demostrar cuanto vale el radio de flexión: an v 2 3 av luego v 3 v av 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 4/44 2. LEY DEL PÉNDULO SIMPLE La única fuerza que actúa es el peso que se puede descomponer en su componente normal y tangencial. La componente normal se ve contrarrestada por la tensión del hilo y la componente tangencial es la que va a dar lugar a la aceleración del movimiento. FT m g sen sen arco radio Teniendo en cuenta esta aproximación para ángulos muy pequeños y la expresión de la fuerza recuperadora: FT m g x l mg FT k x x kx l k mg l De acuerdo con la ley de Newton: a FT x g m l Lo que demuestra que el movimiento pendular, para pequeñas oscilaciones tiene una aceleración proporcional y de sentido contrario al desplazamiento y por tanto es un mas. T PT Pn Teniendo en cuenta que k = m w2 P mg m 2 l de donde T 2 l g Péndulo si es mayor Existe una ecuación algo más compleja que nos da el valor del periodo en función del ángulo. T 2 l 1 (1 2 ) g 16 4 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 5/44 3. ESTUDIO DE UN MUELLE Cuando un muelle esté en equilibrio, sobre él actúa el peso del cuerpo (y el muelle), que actúan hacia abajo y la reacción del muelle. Si separamos hacia abajo una pequeña distancia x de la posición de equilibrio, el muelle ejerce una fuerza recuperadora en sentido contrario de modo que cuando soltemos solo actuará esta fuerza. F k x F m a Dado que la fuerza responsable del movimiento es la de la Ley de Hooke dara lugar a un movimiento armónico simple de aceleración: a 2 x De este modo: k x m a k x m x 2 Sustituyendo k m 2 2 se obtiene el periodo de oscilación de un resorte: T T 2 m k El periodo del resorte será mayor cuanto mayor sea la masa, oscilará más lentamente y será menor cuanto mayor sea la constante recuperadora. 5 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 6/44 4. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS Se pueden dar los siguientes casos: a) Composición de movimientos vibratorios armónicos de la misma dirección y del mismo periodo (o frecuencia). b) Composición de movimientos vibratorios armónicos de la misma dirección y periodos diferentes (o frecuencias). En este caso la amplitud estará modulada. c) Composición de movimientos vibratorios armónicos perpendiculares y del mismo periodo (o frecuencia). d) Composición de movimientos vibratorios armónicos perpendiculares y periodos diferentes (o frecuencias). En este caso como 1 2 la diferencia de fase no es constante y va variando. Se obtienen curvas muy variadas, según la relación de los periodos de los movimientos componentes y de la diferencia de fase inicial dando lugar a las curvas de Lissajous. Como ejemplo compongamos dos movimientos perpendiculares tales como: Donde 1 = /6 rad/s Dibuja la gráfica para 2 = 3/2·1 2 = 3·1 y y = /6 rad 6 = /4 rad 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 7/44 5. INTERFERENCIA DE ONDAS Dos ondas interfieren cuando coinciden en un mismo punto. La perturbación resultante es igual a la suma de las perturbaciones que produciría cada una por separado. El caso más interesante es cuando coinciden ondas armónicas coherentes (de igual amplitud y frecuencia). * recuerdese : cos A cos B 2 cos y1 A cos(wt kx1 ) y 2 A cos(wt kx 2 ) y y1 y 2 A cos(wt kx1 ) A cos(wt kx 2 ) * wt kx1 wt kx 2 wt kx1 wt kx 2 y 2 A cos cos 2 2 x x1 x x1 y 2 A cos k 2 cos wt k 2 2 2 x x1 y Ar cos wt k 2 2 x x1 Ar 2 A cos k 2 2 donde Interferencia constructiva, valores máximos. - Se producirá cuando Ar sea máxima e igual a 2A x x cos k 2 1 1 2 x x k 2 1 n 2 x 2 x1 n Interferencia destructiva, valores mínimos: - Se producirá cuando Ar sea mínima e igual a 0 x x cos k 2 1 0 2 x x k 2 1 (2n 1) 2 2 x 2 x1 (2n 1) 7 2 A B A B cos 2 2 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 8/44 6. ONDAS ESTACIONARIAS Al contrario que una onda viajera, una onda estacionaria se encuentra confinada en un espacio limitado. En este espacio coinciden la onda indicente y la reflejada, que viaja en dirección contraria formando uma onda estacionaria. ECUACIÓN DE ONDAS ESTACIONARIAS: y y1 y 2 A cos(wt kx) A cos(wt kx) * cos A cos B 2sen A B A B sen 2 2 wt kx wt kx wt kx wt kx y 2 Asen sen 2 2 y 2 Asen(kx) sen( wt ) 2 Asen(kx) sen( wt ) Ar sen( wt ) En cuerdas: Debe aparecer un nodo en los extremos (sen(kx) = 0 en x = 0 y x = L) Rojo frecuencia fundamental, azul primer armónico y verde segundo armónico. Ln o 2 2L n EN TUBOS ABIERTOS: Debe aparecer un vientre en cada extremo (sen (kx+/2) = 1 en x = 0 y x = L) Ln f v 2 o 2L n nv 2L EN TUBOS cerrados: Debe aparecer un vientre en el extremo abierto y un nodo en el cerrado. (sen (kx) = 0 en x = 0 y sen (kx) = 1 en x = L) L (2n 1) 4 (2n 1)v f 4L o 4L 2n 1 v 8 f v n n F v 2L 2L 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 9/44 7. ENERGÍA TRANSMITIDA POR UNA ONDA Transmisión de energía por una onda armónica En un movimiento ondulatorio lo que realmente se propaga, no es la materia sino un estado de movimiento. Por tanto una onda trasmite momento y energía. Cada partícula del medio que vibra tiene la energía del oscilador armónico: 1 E m 2 A2 2 La energía que transporta la onda en la unidad de tiempo,-la potencia- es igual a la energía de todas las partículas contenidas en la corona esférica de espesor dr. Esta potencia no se acumula y va cruzando el medio de un punto a una distancia r1 del foco a otro a distancia r2. La misma energía, a medida que se propaga la onda, se reparte en cada frente de ondas entre mayor número de partículas. Este fenómeno recibe el nombre de atenuación. La energía que llega al frente 1, a una distancia r 1 del foco en la unidad de tiempo debe ser la misma que llegue la frente 2, a una distancia r 2: 1 1 dm 2 A12 dm2 2 A22 dE 2 1 P 2 dt dt dt 1 1 4 r12 dr 2 A12 4 r22 dr 2 A22 2 2 dt dt La frecuencia de vibración es constante y si el medio es homogéneo e isótropo la velocidad de propagación también es constante. 1 1 4 r12 v 2 A12 4 r22 v 2 A22 2 2 Entonces r1 A1 r2 A2 La atenuación es la disminución de la amplitud con la distancia al foco. Intensidad de una onda Para caracterizar la rapidez con que se propaga la energía, se define la intensidad de onda como la cantidad de energía que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación en la unidad de tiempo. I E P St S La intensidad irá disminuyendo, a medida que nos alejamos del foco y la superficie aumenta. P P S1 4 r12 Entonces P P I2 S 2 4 r22 I1 I1 r22 A12 I 2 r12 A22 La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. 9 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 10/44 Absorción de energía por el medio Experimentalmente se comprueba que la disminución real de la intensidad, y de la amplitud, de una onda es mayor que la teóricamente calculada porque parte de la energía es absorbida por el medio, al no ser éste perfectamente elástico. La absorción de las ondas es proporcional a la intensidad incidente y al espesor que atraviesa. dI I dx Donde α es un coeficiente de proporcionalidad que depende del medio y de la frecuencia de la onda, llamado coeficiente de absorción. Separando variables e integrando: dI dx … I ln I d Entonces I0 d dI dx … I0 I 0 I I I 0 e d Expresión conocida como ley de absorción, que indica que la intensidad disminuye exponencialmente con el espesor del medio absorbente. 10 2º BACHILLERATO-Física 8. DEDUCCIÓN Departamento de Física y Química - 11/44 DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL A PARTIR DE LAS LEYES DE KEPLER Supuestos: - El Sol y los planetas son masas puntuales. - El sistema de referencia tiene como origen de coordenadas el Sol. - Solo se considera la interacción gravitatoria con el Sol (no las de los demás planetas). - Los planetas describen órbitas circulares cuya ac = v2/R Si se cumple la 2ª ley de Kepler: la velocidad areolar es constante. A1 A2 s1 s2 v1 t1 v2 t 2 v1 v2 S2 A2 Esto implica un movimiento circular uniforme cuyo periodo de revolución será: 2 R T v Sol A1 S1 v 2 4 2 R y cuya aceleración centrípeta es: ac R T2 a1 Para dos planetas que giran en torno al Sol tenemos: 4 2 R1 T12 de donde a1 R1 T22 a2 R2 T12 4 2 R2 T22 Aplicando la tercera ley de Kepler: Los periodos al cuadrado son proporcionales a los semiejes mayores al cubo. T12 R13 T22 R23 Sustituyendo ahora encontramos que las aceleraciones a las que está sometido cada planeta a R2 son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias al Sol: 1 22 , para a 2 R1 1 cualquier planeta la aceleración es: a k1 2 y la fuerza que actúa sobre el planeta será: R a2 F m k1 R De acuerdo con el principio de acción y reacción, el Sol se verá sometido a una fuerza igual y de sentido contrario. k k k k F m 12 M 22 de donde el producto mk1 Mk 2 y si llamamos a 1 2 G tenemos la M m R R fuerza de interacción entre el planeta y el Sol será: F G Mm R2 11 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 12/44 9. LA DENSIDAD CRÍTICA DEL UNIVERSO. Consideremos una esfera de galaxias de radio R (R debe ser mayor que la distancia entre cúmulos de galaxias pero menor que el posible radio del Universo como un todo). Y supongamos una galaxia de masa m al borde de esta esfera. La masa de esta esfera será: 4 M R3 3 M m 4 R 2 m La energía potencial de la galaxia al borde de la esfera: E p G G R 3 La velocidad de esta galaxia viene dada por la ley de Hubble y es: v H R siendo H la constante de Hubble. 1 2 1 2 2 La energía cinética de la galaxia es: Ec mv m H R 2 2 4 21 2 La energía mecánica total de la galaxia es la suma de la Ec y la Ep: E Ec E p mR H G 3 2 Si la energía total es negativa la galaxia estará en órbita cerrada, si es positiva estará en órbita abierta y la galaxia llegaría hasta el infinito con alguna velocidad. La condición para que la galaxia alcance la velocidad de escape es que la energía se anule. 1 2 4 3H 2 H G c 2 3 8 G Esta es la expresión de la densidad crítica del universo en la que no se han tenido en cuenta aproximaciones relativistas, si bien es válida aunque el contenido del Universo sea relativista en alto grado, siempre que se interprete la como la densidad de energía total dividido por c2. Sustituyendo valores: H 15 1 millón añoluz km km 15 6 H 1,586 1018 s 1 12 s millón años luz s millón años luz 10 9, 46 10 km 18 3H 2 3 1,586 10 c c 4,5 1027 kg m 3 o g L1 11 8 G 8 6, 67 10 2 4,5 1027 g L 6, 022 1023 u u c 0, 00271 L 1 g Y la densidad crítica del universo es 0,00271 unidades de masa atómica por litro. Si la densidad fuera mayor el Universo sería limitado y si fuera menor el Universo sería infinito. El problema es que no hay una manera fiable de determinar la densidad del Universo. 12 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 13/44 10. CAMPO GRAVITATORIO Y ELECTRICO. CAMPO, gravitatorio o eléctrico, asociado a masas o cargas, es la región del espacio donde se manifiestan sus efectos a través de la interacción gravitatoria o eléctrica. Propiedades asociadas al campo: a) Desde un enfoque dinámico: Intensidad de campo gravitatorio ( g ) o eléctrico ( E ): Son vectores. b) Desde un enfoque energético: Potencial de gravitatorio ( Vg ) o eléctrico ( VE ): Son escalares. CAMPO GRAVITATORIO CAMPO ELÉCTRICO Interacción gravitatoria: Ley de Newton: F G m·m' ur r2 G 6,67·1011 Interacción gravitatoria: Ley de Coulomb: 2 Nm kg 2 F k q·q' ur r2 k 1 4 - Es universal, no depende del medio y no es - No es universal, depende del medio y si es apantallable. apantallable. Intensidad de campo en un punto: Es la fuerza ejercida Intensidad de campo en un punto: Es la fuerza ejercida sobre la unidad de carga colocada en ese punto. sobre la unidad de masa colocada en ese punto. g Fgrav m' g G m ur r2 - m: es la masa que crea el campo. - r: vector de posición del punto. E Feléc q' E G q ur r2 - q: es la carga que crea el campo. - Si q>0 entonces E tiene el sentido que u r , Sale de q. - El signo (-) indica que g es contrario a u r . - La expresión es válida para masa puntual, o punto - Si q<0 entonces E es opuesto a u . Entra en q. r externo a una corteza esférica o esfera sólida. - r: vector de posición del punto. - La intensidad de campo en un punto interior - El signo (-) indica que g es contrario a u r . de una corteza esférica es nulo M - La expresión es válida para masa puntual, o punto de una esfera sólida g G 3T r externo a una corteza esférica o esfera sólida cargadas. RT Fuerza sobre una masa m’ colocada en un punto del Fuerza sobre una masa q’ colocada en un punto del campo donde la intensidad es E : campo donde la intensidad es g : F m' g F q' E m’ se moverá siempre en el sentido de g . Hacia la q’ se moverá siempre en el sentido de masa que crea el campo. Es una fuerza atractiva. sentido contrario si q’<0. Campo en un punto debido a varias fuerzas: E si q’>0 y en Campo en un punto debido a varias fuerzas: gT g1 g 2 g 3 ET E1 E2 E3 Se suman vectorialmente. Se suman vectorialmente. El Campo gravitatorio terrestre: g G MT RT2 - Variación con la altitud (para h<<R): 2h g ' g 1 RT - Variación con la latitud φ: g neta g 2 RT cos2 ω: es la velocidad angular de rotación de la tierra. 13 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 14/44 Trabajo y energía potencial gravitatoria: W Ep Trabajo y energía potencial eléctrica: W Ep W Ep Epr W Ep Epr - Al acercar m’ desde hasta P, a una distancia r de m: - Al acercar q’ desde hasta P, a una distancia r de q: r r W Fd r G r m m' 1 dr Gm m' 2 r r m m' W G r - Energía potencial gravitatoria: Su hacemos Ep=0 Epr G r W k q q' r Es positivo, cuando las cargas son de distinto signo. Se acercan espontáneamente. Es negativo, cuando las cargas son de igual signo. No se acercan. Es positivo, las masas se acercan espontáneamente. Ep r W r q q' 1 W F d r k 2 dr kq q ' r r r m m' r - Energía potencial eléctrica: Su hacemos Ep=0 Ep r W - Energía potencial de varias masas: Ep r k q q' r Si las q son de igual signo Ep>0 y si son de distinto signo Ep<0. - Energía potencial de varias masas: Ep Ep12 Ep13 Ep14 Ep23 Ep24 Ep34 Ep Ep12 Ep13 Ep14 Ep23 Ep24 Ep34 Se calculan todas las Ep correspondientes a todos los pares de cargas (sin repetir). Se coloca cada carga con su signo. Se calculan todas las Ep correspondientes a todos los Potencial eléctrico en un punto a distancia r: pares de masas (sin repetir). Es la energía potencial por unidad de carga q’ colocada en ese punto. Potencial gravitatorio en un punto a distancia r: q Ep Es la energía potencial por unidad de masa m’ V V k colocada en ese punto. r q' Vg Ep m' Vg G m r La carga se coloca con su signo, q>0 V>0 y q<0 V<0. - Potencial en un punto debido a varias masas. - Potencial en un punto debido a varias masas. V V1 V2 V3 V V1 V2 V3 q q q V k 1 2 3 r1 r2 r3 m m m V G 1 2 3 r2 r3 r1 -Movimiento de cargas en un campo eléctrico: Si entre dos punto 1 (inicial) y 2 (final), existe una -Movimiento de masas en un campo gravitatorio: Si entre dos punto 1 (inicial) y 2 (final), existe una diferencia de potencial, la carga q’ se moverá, siendo: diferencia de potencial, la masa m’ se moverá, siendo: W Ep1 Ep 2 W q' V1 V2 Las q<0 se mueven de menor a mayor V W Ep1 Ep 2 W m' V1 V2 Las masas se mueven de mayor a menor potencial y espontáneamente, y las q>0 se mueven de mayor a menor V. como a su vez: W Ec A su vez: W Ec Ec 2 Ec1 m' V1 V2 y v22 v12 2 V1 V2 Ec 2 Ec1 q' V1 V2 y v22 v12 2 V1 V2 Que es la variación de velocidad cuando una masa m’ Que es la variación de velocidad cuando una carga q’ se mueve entre dos puntos de diferente potencial. se mueve entre dos puntos de diferente potencial. 14 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 15/44 Relación entre intensidad y potencial: g dV dr Relación entre intensidad y potencial: dV g d r E dV dr dV E d r Si el campo g es constante (ej. movimientos en la Si el campo E es constante (ej. movimientos entre superficie de la tierra) placas planas y paralelas) V2 V1 g d r g r2 r1 g h V2 V1 E d r E r2 r1 E d Siendo h el desplazamiento en la dirección del campo. Siendo d el desplazamiento en la dirección del campo. 2 2 1 1 Movimiento de masas en campos gravitatorios Movimiento de cargas en campos eléctricos constantes: constantes: Como W q' V1 V2 W q' E d Como W m' V1 V2 W m' g h Como W Ec Ec 2 Ec1 q' E d Como W Ec Ec 2 Ec1 m' g h 1 1 2q ' E d m' v22 m' v12 q' Ed v22 v12 1 1 2 2 2 2 2 2 m m' v2 m' v1 m' gh v2 v1 2 g h 2 2 La velocidad durante el movimiento depende de la relación q’/m, así como de E y d - Velocidad orbital: A partir de Fgrav Fcentr Movimiento de cargas que entran perpendicularmente al campo (experimento de Thomson). M m' v2 G 2 m' r r GM r vo - Trabajo o energía para que m’ abandone un campo gravitatorio:(ej. El terrestre) W G M m' R - En dirección x, horizontal no hay fuerza alguna (mru): x v0 t Energía de amarre e la energía por unidad de masa, la - En dirección y, vertical hay una fuerza F=q·E que energía de ligadura al campo terrestre =W/m’ produce una aceleración a=q·E/m. Por tanto en el eje y: 1 1qE 2 y a t2 t que eliminando el tiempo 2 2 m - Velocidad de escape: Es la que corresponde a una Ec = W para que m’ escape abandone el campo gravitatorio: 1 M m' m' v 2 G 2 R ve 2G M R - Energía de una orbita: Eórbita=Ec+Ep 1qE y 2 m Flujo eléctrico y Teorema de Gauss - Flujo eléctrico: número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie. 1 1 G M 1 G M m' Ec m' vo2 m' 2 2 r 2 r 1 G M m' G M m ' 2 r r EÓrbita E S E S cos - Teorema de Gauss: que readiciona el flujo a través de una superficie cerrada con la carga neta encerrada en su interior. G M m' Ep por tanto: r EÓrbita 2 x q E x2 2 m v02 v0 G M m' 2r 15 Q 0 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 16/44 11. TEOREMA DE GAUSS Flujo de líneas de campo a través de una superficie Supongamos una lluvia serena. Las trayectorias de las gotas de agua al caer nos sirven de imagen de las líneas de fuerza del campo gravitatorio. La trayectoria de cada gota representa pues, una línea de fuerza. ¿De qué depende el número de gotas que llegan a una baldosa de la superficie? - De la superficie de la baldosa - de la intensidad de la lluvia o número de gotas que caen. - De la posición de la baldosa. Basándonos en este símil se puede definir una nueva magnitud llamada flujo de líneas de campo a través de una superficie como el número de líneas de campo que la atraviesan. E E S cos E E S E E d S G g S cos G g S G g d S Como vemos se puede expresar como el producto escalar de dos vectores y si el campo no es uniforme será preciso acudir al cálculo integral. Recuerda que el flujo será positivo si las líneas salen de una superficie cerrada, mientras que será negativo si entran. Superficie gaussiana: Es una superficie que encierra un sistema de cargas o masas de manera que en cualquier punto de ella el campo es constante y perpendicular a la superficie, además el cálculo de la superficie debe ser evaluable. Flujo de una carga o masa puntual: E ·d S E ·ds k s s Q Q Q ds k 2 · 4 r 2 4 k Q 2 r s r 0 g ·d S g ·ds G s s m m ds G 2 · 4 r 2 4 G m 2 r s r Esto se puede generalizar para un sistema de cargas o masas. El flujo total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la suma algebraica de las cargas contenidas en el volumen limitado por ella y la permitividad del vacío. El flujo total de un campo gravitatorio que atraviesa una superficie cerrada es igual al producto de la masa encerrada dentro del volumen limitado por la superficie multiplicada por 4 veces la constante de gravitación. Aplicaciones del teorema de Gauss: La ley de Coulomb solo permite calcular el campo para cargas puntuales. En el caso de una distribución continua de cargas y cuando los cuerpos presentan algún tipo de simetría, a partir del Teorema de Gauss podremos calcular el campo eléctrico. Igualmente para el campo magnético. 16 2º BACHILLERATO-Física 12. CAMPO Departamento de Física y Química - 17/44 ELÉCTRICO CREADO POR UNA ESFERA Y UNA PLACA UNIFORMEMENTE CARGADAS Campo creado por una esfera uniformemente cargada. Supongamos una esfera uniformemente cargada (no puede ser conductora), y queremos hallar la intensidad de campo en un punto A, a una distancia r del centro de la esfera. Trazamos por el punto A una superficie esférica gaussiana (el campo en cualquier punto de ella es constante y normal a la superficie). Aplicando el teorema de Gauss: Q E·d S s E E ds 0 s Q 0 E ·4 r2 Q 0 E r A R 1 Q O k 2 2 4 0 r r Resultado idéntico que para una carga puntual. Campo creado por un plano uniformemente cargado. La superficie gaussiana elegida en este caso es la de un paralelepípedo. Aplicando el teorema de Gauss: E·d S s E Q E ds 0 ds s ds E cara sup erior cara inf erior E Q Q 0 E 0 ds E caras laterales Q 0 Como por las caras laterales no hay flujo, la tercera integral es nula. E ·s E ·s E E Q 2 S 0 2 0 17 E E E 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 18/44 13. VARIACIÓN DE LA INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE Variación de la gravedad cuando r > RT (r>R) Para hallar el valor de la gravedad a una distancia r = R+h, aplicamos el teorema de Gauss tomando una superficie gaussiana de radio r. r g·d s 4 G M R g ds 4 G M s g A s GM R2 g g 0 r2 r2 Variación de la gravedad cuando r < RT (r<R) g · 4 r 2 4 G M g Para hallar g en un punto A situado a una distancia r = R-h del centro de la Tierra, se toma la superficie esférica de radio r y se aplica el teorema de Gauss. g·d s 4 G m s g ds 4 G m g · 4 r 2 4 G m s m v 4 / 3 r 3 m r3 M R3 M V 4 / 3 R3 rg A R g Gm GM r 3 g 2 3 2 g 0 r r Rr R Recordad g0 9,8 N kg 1 Representación gráfica de la variación de la aceleración de la gravedad con la distancia al centro de la Tierra g0 si r R linea recta de pendiente negativa. g R r Se trata de una función por partes: g g R 2 1 si r R parábola. 0 r2 18 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 19/44 14. VARIACIÓN DEL POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE Se parte de la relación existente entre el potencial y la intensidad de campo gravitatorio: g dV dr Variación del Potencial cuando r > RT (r>R) dV g dr dV g dr M dV G r 2 dr V GM C r Condiciones de contorno Cuando r entonces V 0 0 0C C 0 V GM r Variación del potencial cuando r < RT (r<R) dV g dr dV g dr dV G Mr dr R3 GM r 2 C R3 2 Condiciones de contorno V Cuando r R entonces V G G M R M GM R 2 3GM 3 C C R 2R R 2 Representación gráfica de la variación de la aceleración de la gravedad con la distancia al centro de la Tierra Se trata de una función por partes: GM 2 2 V 2 R3 r 3R si r< R parábola. V GM si r > R hipérbola. r 19 V GM 2 r 3R 2 3 2R 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 20/44 15. CAMPO Y POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO ELECTRICO Dipolo: Dos cargas +q y –q separadas una distancia 2a. En un punto P del eje y V = V1+ V2 P q V k a2 y2 a q k a2 y2 0 E = 2 E1cos E2k Si y >> a V 0 q a y2 E 2k y a 2 a y 2 2 2k qa a 2 y2 qa y3 En un punto P del eje x V = V1 + V2 E2 a E ( E1 E2 ) i E 4k R E1 P V k q q qa k 2k 2 xa xa x a2 E también dV dx qax ( x a 2 )2 2 Si x >> a V 2 k qa x2 y E4k 20 qa x3 3 2 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 21/44 16. CAMPO Y POTENCIAL CREADO POR UN HILO CARGADO RECTILINEO E INDEFINIDO A partir de la definición de campo eléctrico Ek q u r ; o de forma diferencial r2 dE k dq ur r2 El campo creado en un punto a una distancia R del conductor indefinido tiene la dirección de r, pero solo su componente en el eje y se anula y E E x . La densidad lineal de carga es r R sec ; E E 1 4 o l R tg ; dl r 2 dl R sec2 d; . 1 cos 2· 4 o / 2 cos d 2 o R 0 E dq . Y considerando la geometría del problema: dl / 2 0 R sec 2 d cos R 2 sec 2 R r l Ex R E 2 o R Para hallar el potencial eléctrico utilizamos la relación E 1 dl V dR dV 0 2 o R V dV d R ln R 2 o A partir del teorema de Gauss La superficie S gaussiana es un cilindro que envuelve el conductor. - Es una superficie evaluable, (podremos resolver la integral) - El E es siempre perpendicular a la superficie. - El campo es constante en todos los puntos de la superficie, (el E sale de la integral). Aplicando el teorema de Gauss E ds s E Q 0 E ·2 R · L Q 0 l Q 2 R L 0 2 R 0 E R S 21 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 22/44 17. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO Así como los campos eléctricos son creados por cargas, los campos magnéticos son creados por cargas en movimiento o corrientes eléctricas. Campo creado por un elemento de corriente Ley de Biot Savart. d B k' I (d l u r ) r2 Dada una corriente eléctrica I, cada elemento de corriente d l , crea un elemento de campo en un punto d B , (vector inducción magnética) que es directamente proporcional a la intensidad de corriente que circula por el conductor, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del elemento de corriente al punto considerado y cuyo sentido viene dado por el producto vectorial (d l u r ) . A) Campo creado por un conductor rectilíneo e indefinido. B k' I I ·dl·sen (d l u r ) k ' 2 r r2 dl ur observando la figura se comprueba : sen sen cos d d r cos r cos l d tg l d ·tg dl d · 2 d cos sustituyendo /2 cos2 d B k' I d cos 2 2 d cos2 B 0 l r O dB P d k' I cos ·d d 2k ' I sen 0 / 2 2k ' I 0 I d d 2 d Y se comprueba que solo depende de la intensidad de la corriente y de la distancia a la que se encuentre el punto. B) Campo creado por una corriente circular en su centro. B k' C I (d l u r ) r2 2 r 0 k' 2 k ' I 0 I I dl 2 r 2r r dB C) Campo creado por una bobina circular en su centro. dur Una bobina son N espiras sin extensión. BN I dl 2 k ' I 0 N I r 2r 22 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 23/44 18. APLICACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO: EL CICLOTRÓN El ciclotrón es un acelerador de partículas circular que, mediante la aplicación combinada de un campo eléctrico oscilante y otro magnético consigue acelerar los iones haciéndolos girar en órbitas de radio y energía crecientes. Supongamos el siguiente problema: En un determinado CICLOTRÓN, los protones (mp=1,6726·10-27 kg), describen una circunferencia de 0,40 m de radio poco antes de emerger. La frecuencia del potencial alterno entre las “DES” es de 107 Hz. Despreciando los efectos relativistas, calcular: a) El campo magnético utilizado. b) La velocidad de los protones cuando salen del acelerador. c) La energía de los protones en J y en MeV. d) El número mínimo de vueltas completas de los protones si el máximo del potencial entre las “DES” es de 20.000 V. e) Lo mismo para un deuterón de masa 2,014 uma.y para una partícula 24 He 2 de masa 4,003 uma. (Dato: 1 uma=1,660·10-27 kg) Descripción del Ciclotrón El ciclotrón consta de dos conductores huecos en forma de D, que han sido montados simétricamente y separados una pequeña distancia en una cámara de vacío. Se encuentran a su vez dentro de un fuerte campo magnético perpendicular. En la figura se ha dibujado la planta y el alzado. Simultáneamente se aplica un campo eléctrico de alta frecuencia, que suministra energía a las “Des”. Cuado se introduce una partícula cargada en su centro, se verá acelerada hacia la D cargada de signo contrario, una vez dentro de la D, queda protegida de las fuerzas eléctricas ya que el campo eléctrico en el interior de un conductor es nulo (jaula de Faraday). En cambio el campo magnético obliga a la partícula a realizar una semicircunferencia de radio r=mv/qB. En el interior la velocidad no cambia, y cuando a realizado media circunferencia cambia el signo del potencial eléctrico de las “Des”. Justo en este momento, cuando sale de la D, se verá acelerada hacia la otra D, entrando a una velocidad mayor y describiendo una semicircunferencia mayor. Sin embargo el tiempo que tarda en realizar cada semiciclo es el mismo. La partícula cargada se mueve cada vez más deprisa realizando circunferencias cada vez más amplias hasta que llega al extremo donde se encontrará con una placa deflectora que dirige la partícula hacia un blanco determinado. 23 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 24/44 Ecuaciones del ciclotrón qvBm Radio de la partícula: r Frecuencia del oscilador eléctrico: v2 r m r m 2 f r qB qB r f mv qB qB m 2 A esta frecuencia se le denomina frecuencia de resonancia. La energía cinética que adquieren las partículas aceleradas depende de su velocidad y por tanto del radio del ciclotrón, R. 1 1 q2B2R2 Ec mv 2 2 2 m Resolvamos ahora el problema: a) Conocida la relación q/m de la partícula acelerada, para cada frecuencia característica del ciclotrón es preciso modificar B hasta cumplir la condición de resonancia. q B m B 2 f 0,657 T m 2 q b) La velocidad cuando los protones salen del acelerador corresponde con el radio máximo. f v RqB m v 2,514·107 m / s c) la energía cinética, será la que corresponde a esta velocidad 1 Ec mv 2 2 Ec 5,285·1013 J 3,303 MeV d) Cada media vuelta la partícula es acelerada, y el campo eléctrico realiza un trabajo eléctrico que se convierte en energía cinética. W q V Ec 2 n q V 5,285·1013 n 82 vueltas Para el caso del deuterón y de la partícula alfa. Partícula 1 Protón 1 H Deuterón 2 1 H 4 2 Partícula α, 2 He m q B 2 f 1,05·10-8 Kg 0,657 T 2,51·107 m/s 3,303 MeV 82 vueltas 2,09·10-8 Kg 1,31 T 2,51·107 m/s 6,602 MeV 165 vueltas 2,077·10-8 kg 1,305 T 2,51·107 m/s 13,12 MeV 164 vueltas m q Compara los resultados de las distintas partículas. 24 v RqB m Ec 1 2 mv 2 n Ec 2qV 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 25/44 19. APLICACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO: EL ESPECTRÓGRAFO DE MASAS. Una de las aplicaciones más importantes de las fuerzas eléctricas y magnéticas que actúan sobre partículas, es la determinación de masas isotópicas de los elementos. En los espectrógrafos se aceleran los isótopos cargados en un campo eléctrico, hasta adquirir una determinada energía. Después se introducen en un espacio en el que existe un campo magnético perpendicular a la velocidad de los iones y, éstos se separan según sus masas. Midiendo los radios de las trayectorias descritas, podemos determinar su masa (si conocemos su carga). Supongamos el siguiente problema: En un espectrómetro de masas se ioniza Mg, acelerando luego los iones con una d.d.p. de 1000 V. Si el campo magnético perpendicular, existente en el semicírculo es de 0,2 T, se 24 26 pide: a) Los radios de las trayectorias descritas por los iones 12 Mg , 1225 Mg , y 12 Mg con una carga +e , así como las distancias entre las líneas formadas por los isótopos sobre la placa fotográfica. Supón que las masas atómicas de los isótopos son, en uma, iguales a sus números másicos. b) En otra situación, con una d.d.p. de 3000 V un ion desconocido con carga +e, describe una órbita semicircular de 13,67 cm de radio ¿cuál será su masa? ¿De qué iones puede tratarse? Datos qe = 1,6·10-19C, NA = 6,023·1023 mol-1 a) El esquema de un espectrógrafo de masas como el descrito, puede ser el siguiente: El campo magnético B en el semicírculo del espectrógrafo, es Cámara de ionización perpendicular al plano dibujado y hacia arriba. El campo eléctrico E entre las placas del condensador plano dibujado, acelera los iones que, E entrarán en el semicírculo con una determinada velocidad que dependerá de la diferencia de potencial entre las placas y de las característica de carga y de masa de cada partícula. Si B llamamos V a la diferencia de potencial entre la placa positiva y la negativa, el trabajo realizado por las fuerzas del campo eléctrico se habrá convertido en energía cinética de los iones, así, podemos escribir: 2qV 1 qV mv 2 … de donde, la velocidad adquirida por cada ion será: v que, como m 2 vemos, depende de la relación q/m de cada partícula. Aunque la velocidad es distinta para cada ión, siempre que su carga sea la misma, llegarán al campo magnético con la misma energía. Una vez entran en el campo magnético, sobre dichos iones aparece una fuerza magnética, perpendicular a v y a B por lo que actuará como centrípeta, cambiando la dirección de v pero no su módulo. La trayectoria descrita debe ser pues una semicircunferencia hasta incidir en la placa fotográfica del espectroscopio. 25 2º BACHILLERATO-Física Fm q v B Departamento de Física y Química - 26/44 como v y B son perpendiculares, Fm será centrípeta: Fm q v B m siendo R el radio de la semicircunferencia descrita. Este radio será: R valor de velocidad obtenido anteriormente: R v2 , R mv y, utilizando el qB 2mV qB 2 Como vemos, el radio del semicírculo que describen los iones depende de: la relación m/q de las partículas, del potencial acelerador y, del campo magnético. Si la carga de las partículas es la misma, el radio sólo dependerá de la masa de las partículas, dado que las características del espectrógrafo en cuanto a valores de V y B, son constantes. En nuestro caso concreto, para determinar la distancia entre las líneas formadas por los tres isótopos del Mg sobre la placa fotográfica, calcularemos los radios de las trayectorias descritas por cada ión (los tres tipos Caso A m 2mV de iones tienen carga +e). R NA qB 2 Conocidos los radios de las 24 Mg 3,9847·10-26 kg 0,1115 m = 11,15 cm 12 trayectorias descritas, las distancias 25 -26 4,1058·10 kg 0,1139 m = 11,39 cm entre las líneas obtenidas en la placa 12 Mg 26 4,3168·10-26 kg 0,1161 m = 11,61 cm fotográfica serán: 12 Mg Distancia entre las dos primeras líneas: 2 (11,39 - 11,15) = 0,48 centímetros Distancia entre las dos últimas líneas: 2 (11,61 – 11,39 ) = 0,44 centímetros b) En este caso, se plantea utilizar el espectrógrafo de masas para determinar la masa de un ión desconocido, sabiendo el radio de la trayectoria descrita en unas determinadas condiciones. Se supone que, la carga de dicho ión es +e. Como la d.d.p. se ha elevado a 3000 V, y el campo magnético lo suponemos constante e igual a 0,2 T, de las expresiones utilizadas anteriormente deducimos: R 2 qB 2 2mV entonces =1,99327·10-26 kg. Pasando la masa a unidades de m 2V qB 2 masa atómicas: m = 1,99327·10-26 · 6,023·1026 = 12,0054 u, podría ser pues un átomo de 12 con una carga positiva. 6C De R En todos las casos anteriores, si los iones tienen dos cargas positivas, los radios de las trayectorias descritas serán los mismos valores obtenidos anteriormente divididos por 2 . 26 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 27/44 20. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. AUTOINDUCCIÓN. INDUCCIÓN MUTUA Inducción electromagnética es el fenómeno por el que aparecen corrientes eléctricas en un circuito cuando varía el flujo magnético que lo atraviesa. Este fenómeno viene determinado por la ley de Faraday, que hace referencia al valor de la corriente inducida, y la ley de Lenz, que hace referencia al sentido de esta corriente que se opone a la variación de flujo. N d dt Autoinducción: Son corrientes inducidas en el propio circuito al variar la intensidad de la corriente que circula por él. La variación de flujo en este caso es debida a la variación de la intensidad de corriente lo que va a generar una fuerza electromotriz y una intensidad en sentido contrario en el circuito. d dI k dt dt ξ N d dI dI kN L dt dt dt de donde L N I Don de L es una característica del circuito que se llama coeficiente de autoinducción y se mide en henrios. Para un solenoide el flujo magnético es B·S , y el campo magnético de un solenoide es NI N2 S B , de donde se obtiene que el coeficiente de autoinducción es L . L L Un caso interesante son las extracorrientes de cierre y apertura en un circuito: Todo circuito tiene una parte resistiva, que representamos por una resistencia, y una parte inductiva, que representamos por una bobina. Supongamos un circuito abierto, que cerramos, y durante el estado transitorio, la intensidad que circula por él irá en aumento. Paralelamente aparecerá una fem inducida que se opone a este aumento. Si aplicamos la Ley de Ohm generalizada, tenemos: I R I ´ I R Y sustituyendo el valor de la fem inducida… dI L IR que separando variables tenemos dt I t R 0 L 0 dt I R I R t R ln I t de donde se obtiene I 1 e L R L R 0 El término exponencial corresponde a la extracorriente de cierre. 27 dI cuya solución es : 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 28/44 Supongamos ahora un circuito cerrado, que abrimos, y durante el estado transitorio, la intensidad que circulaba por él irá disminuyendo. Paralelamente aparecerá una fem inducida que se opone a esta disminución. Si aplicamos la Ley de Ohm generalizada, tenemos: I R I ´ I R Y sustituyendo el valor de la fem inducida… dI L IR que separando variables tenemos dt I t dI R I I L 0 dt 0 cuya solución es : R L t t de donde se obtiene I e I0 L R Que corresponde a la extracorriente de apertura. lnI R I Aquí se representan la corriente de apertura en color verde y la extracorriente de cierre en color rojo. La inducción mutua se produce cuando la variación de intensidad de corriente en un circuito que lleva asociada una variación de flujo induce en un circuito próximo a él una fuerza electromotriz. Al primer circuito lo llamamos primario y al segundo secundario y el flujo magnético se transmite a través de un bloque de material ferromagnético La principal aplicación son los transformadores. Un transformador solo funciona con corriente alterna. La variación de intensidad produce una variación de flujo que será el mismo en ambas bobinas, porque están unidas por el mismo núcleo. d dt d 2 N2 dt 1 N1 1 N1 2 N2 Si partimos del supuesto que el transformador no tiene pérdidas de energía. La potencia de entrada en el primario será igual a la potencia de salida en el secundario. 1 I1 2 I 2 28 1 I 2 N1 2 I1 N 2 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 29/44 21. EL PRISMA ÓPTICO Ecuaciones del prisma: sen i n sen r sen i´ n sen r´ r r´ i i´ (1) (2) (3) ( 4) Hay un rayo particular en el que la desviación es mínima y se cumple por tanto que Derivando (4): d d i´ 1 di di si d 0 di d i´ 1 di d 0. di d i´ d i (5) Diferenciando las ecuaciones (1), (2) y (3): cos i d i n cos r d r cos i´ d i´ n cos r´ d r´ 0 d r d r´ (6) (7 ) (8) Dividiendo la ecuación (7) entre la (6) y sustituyendo el valor dado en la ecuación (5): 1 cos r´ cos i cos r cos i´ Ecuación que para ángulos inferiores a /2 solo tiene como solución: i = i´ y r = r´. Se cumple igualmente que el rayo dentro del prisma es paralelo a la base. De este modo la desviación mínima es: min 2 i y se cumple para un ángulo de incidencia i min 2 Esta ecuación, una vez determinado experimentalmente el ángulo de desviación mínima, nos permite determinar el índice de refracción del prisma, sustituyendo en la expresión (1). n sen min sen 29 2 2 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 30/44 22. EL DIOPTRIO ESFÉRICO Es una superficie, plana o curva, que separa dos medios de diferente índice de refracción. Convenio de signos. Las distancias, puntos y ángulos, relativas al objeto se denominan con letras minúsculas, mayúsculas y letras griegas. Las relativas a las imágenes con apóstrofe. La luz incide de izquierda a derecha Las magnitudes lineales: se toma un eje de coordenadas con origen en el centro del sistema óptico O, siendo el eje de abscisas el eje óptico AA´. Para los ángulos que van del rayo al eje óptico, se utiliza el giro contrario a las agujas del reloj como positivo, pero los ángulos de incidencia y refracción con la normal se consideran positivos si tienen el giro de las agujas del reloj. Aplicando las leyes de la reflexión en la superficie del dioptrío, y teniendo en cuenta los criterios de la óptica paraxial (si el ángulo es muy pequeño senα ≈ tgα ≈ α). n sen iˆ n' sen iˆ' n tg iˆ n' tg iˆ' n iˆ n' iˆ' iˆ ˆ ˆ ˆ ˆ iˆ' y teniendo en cuenta el criterio de signos: n (ˆ ˆ ) n' (ˆ ˆ ) iˆ ˆ ˆ . ˆ ˆ iˆ h h h h n n' R s R s' Y simplificando y ordenando tenemos: n' n n'n la ecuación del dioptrío esférico. s' s R Para el dioptrío plano solamente hay que considerar r= ∞ y tenemos: Y para un espejo esférico habría que considerar que n=-n’ y entonces: Finalmente para un espejo plano R = ∞ y se tiene: s s' 30 n' s ' n s 1 1 2 s' s R 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 31/44 23. MÉTODOS DE MEDIDA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ a) Método de Römer (1675) El satélite Io de Júpiter está en una órbita coplanaria con la tierra y queda eclipsado en cada revolución alrededor de Júpiter, lo que supone enviar señales periódicas a la Tierra. J2 r2 r1 T1 Sol J1 T2 Órbita de la Tierra Satélite Los eclipses de Io duran algo más en la posición T2 que en la Io posición T1. Este retraso permite medir la velocidad de la luz: c = (r2-r1)/t Órbita de la Júpiter b) Método de Fizeau (1849) M = manantial luminoso L1, L2, L3 y L4 = Lentes convergentes E1 = Espejo semiplateado L4 E2 = Espejo plano R = rueda dentada O = Observador E1 L3 L2 E2 R O d L1 M La luz en su recorrido se puede encontrar con un diente de la rueda R o un hueco. Si se hace girar la rueda lentamente, la luz encuentra hueco tanto a la ida como a la vuelta; se va aumentado la velocidad de rotación hasta que el observador no recibe luz, lo que indica que en el tiempo empleado por la luz en ir de R a E2 y regreso un diente ha sido sustituido por el diente que le sigue. Conociendo la distancia RE2, el número de dientes de la rueda y el número de revoluciones de la misma se calcula la velocidad de la luz. 31 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 32/44 Ejemplo: La distancia entre los espejos en el dispositivo de Fizeau para medir la velocidad de la luz es de 20 km. La rueda dentada es de 25 mm de radio y 250 dientes. ¿Cuál ha de ser la velocidad con que debe girar la rueda para que la luz que pasa por un hueco regrese por el siguiente? Dato c = 3·105 km/s Solución: 30 rps c) Método de Michelson (1926) O E2 E E1 M El método de Fizeau fue perfeccionado por Foucault, sustituyendo la rueda dentada por un espejo plano giratorio. Michelson perfecciono aún más este dispositivo, sustituyendo el espejo plano por otro octogonal. Por este método se llego a obtener un valor de la velocidad de la luz c = 2,997969·108 m/s. 32 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 33/44 24. FÍSICA NUCLEAR Fuerzas nucleares: atractivas, muy intensas, de muy corto alcance, p-p, p-n, n-n. Estabilidad nuclear: Diagrama nº de neutrones frente a nº de protones. Energía de enlace: es el defecto de masa nuclear convertido en energía de estabilización. E m·c 2 en J E m(u)·931 en MeV H Bequerel (1895) observó que el sulfato de uranilo producía fluorescencia al incidir sobre él una radiación, pero no había relación entre la intensidad y la fluorescencia obtenida; pero el fenómeno era proporcional a la cantidad de uranio. Posteriormente los esposos Curie observaron el mismo fenómeno al separar el radio de la pechblenda. E. Rutherford estudió la radiación emitida descubriendo tres tipos distintos de radiación: Radiación (positiva): 24 ó He 2 E=7,7 MeV y v=1,9·107 m/s ó e E=3,1 MeV y v=2,97·108 m/s Radiación (negativa): 1 Radiación (neutra): ó h , radiación de alta energía. 0 La radiactividad es la transformación de unos átomos en otros por emisión de radiación o de los átomos iniciales dN dN N dt dt Ley de desintegración radiactiva: N N t dN N N N 0 dt ln N 0 t 0 N N 0 e t Periodo de semidesintegración: es el tiempo para que una muestra radiactiva disminuya su 0,693 masa o su número de átomos a la mitad (t cuando N=N0/2). T1 2 Vida media: es la suma de todos los tiempos de existencia de todos los átomos dividida por el 1 1 1 t dN t N dt t e t dt número de átomos. 0 0 0 N0 N0 Unidad radiactiva (SI): el bequerel; 1Bq = 1 desintegración/s. Transformaciones radiactivas: - Transformación : ZA X ZA42Y 24 Q - Trasformación : ZA X Z A1Y 10 Q h Series radiactivas: 208 - A = 4n: 232 90Th 82 Pb ; T1/2 =1,41·1010 años - 209 6 A = 4n+1: 237 93 Np 82 Pb ; T1/2 =2,14·10 años (es la serie artificial) - A = 4n+2: - A= 4n+3: - También hay otros elementos que no pertenecen a ninguna serie: 12 H ; 13H ; 104Be; 146C... U 206 82 Pb ; T1/2 =4,51·109 años U 207 82 Pb ; T1/2 =7,18·108 años 238 92 235 92 33 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 34/44 25. FÍSICA CUÁNTICA Planteamientos iniciales: La radiación electromagnética: Toda carga acelerada emite radiación electromagnética, esto implica que el modelo de Rutherford no es estable. La radiación del cuerpo negro. Hipótesis de Planck: Cada oscilador puede absorber o emitir energía de radiación en una cantidad proporcional a su frecuencia: E h . Ley de Wien: La longitud de onda, para la cual la intensidad de radiación emitida es máxima, disminuye al aumentar la temperatura: máx T 2,9 103 m·K Ley de Stefan-Boltzman: La energía total emitida por un cuerpo negro, por unidad de superficie y de tiempo, o intensidad de radiación, a una temperatura determinada, es directamente proporcional a la cuarta potencia de su temperatura: I total T 4 5,67 108 w·m 2 ·K 4 El efecto fotoeléctrico. Teoría de Einstein. Emisión de electrones por las superficies metálicas cuando se iluminan con luz de frecuencia adecuada. - Para cada metal existe una frecuencia mínima umbral. - Solo cuando ν > νumbral, la Icorriente es proporcional a la Iluminosa. - La Ec de los electrones aumenta al hacerlo la frecuencia de la luz incidente, pero es independiente de la intensidad luminosa. Energía del fotón =Trabajo de extracción + Energía cinética del electrón 1 h Wextracción mv 2 2 Espectros atómicos. Ecuación de Rydberg. k 1 1 R 2 2 n1 n2 1 n2 n1 R 1,09677·107 m 1 Modelo atómico de Bohr. Postulados. - El electrón gira en torno al núcleo en órbitas estables y sin emitir energía. - El electrón no puede girar en cualquier órbita, solo en aquella en que el momento angular sea un múltiplo entero de h/2π. - Cuando un electrón cambia de orbita emite o absorbe un cuanto de luz: E2-E1 =hν 34 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 35/44 Principios de la Mecánica Cuántica La mecánica cuántica, en su formulación ondulatoria, tiene como base física de partida el principio de dualidad onda-corpúsculo de De Broglie y el principio de incertidumbre de Heisemberg, a parte, de la hipótesis de Planck. Principio de dualidad onda corpúsculo de De Broglie De Broglie fue capaz de unir la teoría corpuscular de la luz (defendida por Newton) y la teoría ondulatoria de al luz (defendida por Huygens). Si la luz está formada por corpúsculos, estos estarán caracterizados por un momento lineal y una energía que según la teoría de la relatividad de Eistein valdrá: E pc , pero si la luz es c una onda estará caracterizada por una longitud de onda y su energía valdrá: E h . h Igualando ambas expresiones: , ecuación que nos da la relación entra las magnitudes p características y p . La luz presenta de este modo una doble naturaleza, ciertos fenómenos tienen una explicación ondulatoria y otros tienen una explicación corpuscular. De Broglie generalizó este resultado a todo tipo de partículas: Todas las partículas lleva asociada una onda electromagnética, cuya longitud de onda viene dada por la expresión: h mv Principio de incertidumbre de Heisemberg Es imposible realizar ninguna medida sin interaccionar con el sistema con lo que no medimos el sistema sino el sistema perturbado. Es imposible observar un objeto más pequeño que la longitud de onda de la luz utilizada y para objetos atómicos la energía de esta radiación es muy elevada. Esto llevó a Heisemberg a enunciar su famoso postulado: Es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la posición y la cantidad de movimiento de una partícula, de modo que el producto de sus imprecisiones es siempre mayor que una cantidad. h x p 2 Esta limitación no es instrumental, sino físicamente real e intrínseca al hecho de medir. Postulados de la Mecánica Cuántica. Postulado I Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas puede ser descrito por una función de onda que depende de las 3N coordenadas espaciales y del tiempo: (1) x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , t Pero esta función de onda debe ser una función aceptable: a) Uniforme ( no podrá presentar más de un valor para un mismo conjunto de coordenadas), b) Continua, así como sus derivadas y c) De cuadrado integrable. La función de onda que describe un sistema de N partículas corresponde a una amplitud y, por consiguiente, por analogía con la teoría de la luz, el cuadrado de la función de onda que 35 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 36/44 describe un sistema microscópico en un punto arbitrario en el espacio será proporcional a la probabilidad de encontrar estas N partículas en aquel punto del espacio. Matemáticamente, esto se puede expresar por: 2 * (3) dv dv 1 Postulado II A cada observable (magnitud física de un sistema) le corresponde un operador que se construye mediante unas determinadas reglas y que aplicado sobre la función de onda , nos permite calcular el observable. Así se definen los siguientes operadores: - El tiempo y las coordenadas permanecen invariables. - El momento lineal en coordenadas cartesianas se obtiene a partir del operador diferencial: h (4) i i 2 q q - El operador hamiltoniano relacionado con la energía. 1 E ( p, q ) ( p x2 p y2 p z2 ) V ( x, y, z ) 2m 2 2 2 2 2 2 2 V ( x, y, z ) H 2m x y z 2 2 H V 2m El resultado de aplicar un operador sobre la función de onda produce los valores propios del operador o autovalores asociados a las funciones propias o autofunciones del operador. A a Postulado III La medida de un observable cualquiera asociado a un operador A solo puede dar como resultado uno de los valores propio de A. Por ejemplo, en el caso del hamiltoniano asociado a la energía del sistema: La solución de la ecuación: H E nos permite hallar los valores propios de la energía asociado a las funciones propias del sistema. 2m 2 2 E V 0 Postulado IV Si se conoce la función de onda en cualquier instante, su valor en otro tiempo cualquiera es solución de la ecuación diferencial: 2 H i t que representa la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Postulado V Se trata del principio de Exclusión de Pauli 36 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 37/44 26. FILOSOFÍA DE LA TEORÍA CUÁNTICA A pesar de que existe un acuerdo entre todos los físicos, de que la teoría cuántica funciona en el sentido de que predice resultados que concuerdan en forma excelente con el experimento, existe una controversia cada vez mayor en cuanto a sus fundamentos filosóficos. Neils Bohr ha sido el principal arquitecto de la interpretación actual de la mecánica cuántica, conocida como la interpretación de Copenhague. Su enfoque ha sido apoyado por la gran mayoría de los físicos teóricos de hoy. Sin embargo, un grupo numeroso de físicos, no todos de acuerdo entre sí, han cuestionado la interpretación de Copenhague. El principal crítico de esta interpretación fue Albert Einstein. Los debates Einstein-Bohr constituyen una parte fascinante de la historia de la física. Bohr consideraba que había podido enfrentar todos los retos que inventó Einstein a manera de experimentos de pizarrón que tenían por objeto refutar el principio de incertidumbre. Finalmente, Einstein aceptó que la teoría poseía consistencia lógica y su concordancia con los hechos experimentales, pero permaneció firme hasta el final, sin convencerse de que ello representara la realidad física última y dijo: “Dios no juega a los dados con el universo”, refiriéndose a que la mecánica cuántica abandonaba los eventos individuales y la causalidad estricta, en favor de una interpretación fundamentalmente estadística. Heisenberg ha afirmado el punto de vista comúnmente aceptado en forma concreta: “No hemos supuesto que la teoría cuántica, en forma opuesta a la teoría clásica, sea esencialmente una teoría estadística, en el sentido de que de los datos exactos sólo se puedan obtener conclusiones estadísticas… En la formulación de la ley causal, a saber, si sabemos el presente exactamente podemos predecir el futuro, no es la conclusión sino la premisa la que es falsa. No podemos saber, como cuestión de principio, el presente en todos sus detalles”. Entre los críticos del punto de vista de Bohr-Heisenberg de una indeterminación fundamental en la física, está Louis de Broglie. En un prólogo a un libro de David Bohm, joven colega de Einstein cuyos intentos de una teoría nueva revivieron el interés por reexaminar las bases filosóficas de la teoría cuántica, de Broglie escribe: “Razonablemente podemos aceptar que la actitud adoptada, por más de 30 años, por físicos teóricos cuánticos es, al menos en apariencia, la contraparte exacta de la información del mundo atómico que nos ha dado la experimentación. Al nivel de investigación que se tiene actualmente en microfísica, es cierto que los métodos de medición, no nos permiten determinar simultáneamente todas las cantidades que seriar necesarias para obtener una visión de los corpúsculos de tipo clásico (esto se puede deducir del principio de incertidumbre de Heisenberg) y que las perturbaciones introducidas por la medición, que son imposibles de eliminar, en general nos impiden predecir el resultado que producirán y permiten sólo predicciones estadísticas. Por lo tanto, la construcción de fórmulas puramente probabilísticas, que todos los teóricos usan actualmente, fue completamente justificada. Sin embargo, la mayoría de ellos, muchas veces bajo la influencia de ideas preconcebidas derivadas de la doctrina positivista, han pensado que podrían ir más allá y afirmar que el carácter incierto e incompleto del conocimiento que la experimentación, en su estado actual, nos provee de lo que realmente ocurre en microfísica, es el resultado de una indeterminación real de los estados físicos y su evolución. Tal extrapolación de ninguna manera parece ser justificada. Es posible que en el futuro, examinando a un nivel más profundo la realidad física, seamos capaces de interpretar las leyes de probabilidad y física cuántica como los resultados estadísticos del desarrollo de variables completamente determinadas que actualmente se encuentran ocultas a nosotros. Puede ser que los poderosos medios que empezamos a usar para romper la estructura nuclear y para que aparezcan nuevas partículas, nos den algún día un conocimiento directo que actualmente no tenemos a este nivel más profundo. Tratar de impedir todo intento de ir más allá del punto de vista actual sobre la física cuántica, podría ser muy peligroso para el progreso de la ciencia y además sería contrario a las lecciones que podemos aprender de la historia de la ciencia. En efecto, esto nos enseña que el estado actual de nuestro conocimiento es siempre provisional y que deben existir, más allá de lo que actualmente se conoce, inmensas regiones nuevas que descubrir”. (Tomado de Causality and Chance in Modern Physics por David Bohm, © 1957 D. Bohm; reimpreso con permiso de D. Van Nostrand Co.). El estudiante deberá notar aquí la aceptación de que la mecánica cuántica es correcta al nivel atómico y nuclear. La búsqueda de un nivel más profundo, donde la mecánica cuántica podría ser superada, es motivada mucho más por la objeción a su indeterminismo filosófico, que por otras consideraciones. De acuerdo con Einstein, “La creencia en un mundo externo independiente del sujeto que lo percibe es la base de toda la ciencia natural”. Sin embargo, la mecánica cuántica considera las interacciones entre objeto y observador como la realidad última. Utiliza el lenguaje de las relaciones físicas y procesos en lugar del de las cualidades y propiedades físicas. Rechaza, por insignificante e inútil, el concepto de que detrás del universo de nuestra percepción se encuentre oculto un mundo objetivo gobernado por la causalidad; en cambio, se confina a la descripción de las relaciones entre percepciones. De todas maneras, existen muchos que rehúsan dejar de atribuir propiedades objetivas a las partículas elementales, por ejemplo, y trabajar con el conocimiento subjetivo acerca de ellas, lo cual motiva su investigación por una teoría nueva. De acuerdo con de Broglie, tal investigación es en el interés de la ciencia. Que lo anterior lleve a una nueva teoría que en algún campo actualmente inexplorado contradiga a la mecánica cuántica y altere también sus fundamentos filosóficos, nadie lo sabe. 37 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 38/44 27. MOVIMIENTO RELATIVO 1. Relatividad en la Mecánica Clásica. Principio de relatividad de Galileo Para la mecánica clásica de Newton: - La trayectoria y la velocidad de un móvil son relativas, puesto que dependen del observador. - El tiempo es absoluto, es un invariante para todos los observadores. Ante la imposibilidad de encontrar un sistema de referencia absoluto Galileo enuncia su principio de relatividad: “Es imposible poner de manifiesto, por procedimientos mecánicos, si un sistema mecánico está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme”. A los sistemas de referencia en reposo o en moviendo rectilíneo y uniforme los llamaremos sistemas inerciales. 1.1. Movimiento relativo de traslación uniforme Supongamos dos sistemas S(O, x, y, z, t) y S’(O’, x’, y’, z’, t’), que se mueven uno con respecto al otro con velocidad constante v y que para simplificar S’ se desplaza en la dirección del eje x como se ve en la figura. Supongamos que para t = 0, t’ = 0 y los orígenes O y O’ coinciden. Al cabo de un cierto tiempo t = t’ un cierto punto A vendrá determinado por el vector de posición r ( x, y , z ) respecto de S y r ' ( x' , y ' , z ' ) respecto de S’. Estando ambos vectores relacionados: r r ' OO ' r ' v t Derivando para obtener la velocidad: u dr d r ' v t u' v dt dt Derivando por segunda vez para obtener la aceleración: a du d u ' v a' dt dt ya que O’ se desplaza con velocidad constante. Respecto a un sistema de referencia inercial, la distancia entre dos puntos y la aceleración son invariantes, pero la velocidad depende del observador. El principio de relatividad de Galileo toma ahora un enunciado más completo: Las leyes físicas (de la mecánica) tienen la misma expresión matemática para dos observadores inerciales. 38 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 39/44 1.2. Transformada de Galileo Supongamos que el observador O’ se mueve en la dirección del eje X y sentido positivo con velocidad constante. Un suceso ocurrido en A tendrá las coordenadas ( x, y, z, t ) para O y ( x' , y' , z' , t ' ) para O’ que están relacionadas mediante las ecuaciones: x' x vt y' y z' z t' t Estas ecuaciones reciben el nombre de transformaciones de Galileo. 1.3. Movimiento relativo de rotación uniforme (que ya no es un sistema inercial). Supongamos dos sistemas S(O, x, y, z, t) y S’(O’, x’, y’, z’, t’), que rotan uno con respecto al otro con velocidad angular constante ω y que para simplificar los orígenes de ambos sistemas coinciden O = O’, como se ve en la figura. Supongamos que para t = 0, t’ = 0. Al cabo de un cierto tiempo t = t’ un cierto punto A vendrá determinado por el vector de posición r ( x, y , z ) respecto de O que será igual a r ' ( x' , y ' , z ' ) respecto de O’. Estando ambos vectores relacionados: r r' x i y j z k x' i ' y ' j ' z ' k ' Derivando para obtener la velocidad: u u dr dt dx dy dz i j k dt dt dt u' u' d r' dt dx' dy' dz' i' j' k' dt dt dt Teniendo en cuenta que los vectores unitarios respecto a O’ varían con el tiempo respecto a O, y que: r r ' d r dx' dy' dz' d i' d j' d k' i' j' k' x' y' z' dt dt dt dt dt dt dt u u' r Considerando ahora las velocidades y derivando para obtener la aceleración: u ux i u y j uz k u ' u ' x i' u ' y j ' u ' z k ' a du y du d u du x i j z k dt dt dt dt a d u d u' dr dt dt dt a' du' y du' z d u ' du' x i' j' k' dt dt dt dt Teniendo en cuenta que los vectores unitarios respecto a O’ varían con el tiempo respecto a O. du' y du' z d u ' du' x d i' d j' d k' i' j' k' u' x u' y u ' z a' u ' dt dt dt dt dt dt dt 39 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 40/44 dr u' r u' r dt de donde se deduce a a' 2 u ' r El primer término es la aceleración respecto a O’, el segundo es la aceleración de Coriolis y el tercero la aceleración centrípeta. 1.4. Movimientos relativos con relación a la tierra Nos encontramos en un sistema que rota con la tierra a una ω=7,293·10-5 rad·s-1. Considerando un punto A sobre la superficie de la tierra llamaremos g o la aceleración de la gravedad medida por un observador que no gira situado en A. Despejando la aceleración del sistema en movimiento tenemos: g g o 2 u' r Consideraremos primero el caso de un cuerpo en reposo, entonces el término de Coriolis es cero 2 u ' 0 y g g o r que será la aceleración efectiva de la gravedad. El término correspondiente a la aceleración centrífuga, por el signo negativo, se puede descomponer en un término radial, 2 r cos2 que disminuye ligeramente a g o , y un término tangente, en la dirección norte-sur, 2 r cos sen . Esto implica que la plomada cae ligeramente hacia el sur de la dirección radial en el hemisferio norte y ligeramente hacia el norte en el hemisferio sur. Considerando ahora el término de Coriolis 2 u ' . En el caso de un cuerpo que cae, la velocidad u ' , es esencialmente hacia abajo a lo largo de la vertical BA y 2 u ' señala hacia el este, y el cuerpo al caer se desviará en esa dirección. Combinando el efecto centrífugo y el de Coriolis el cuerpo caerá al sureste de A en el hemisferio norte y al noreste de A en el hemisferio sur. 40 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 41/44 En el caso de un cuerpo que se mueve en un plano horizontal, el término de Coriolis formará un ángulo de 2 . Tendrá una componente vertical (despreciable frente a la aceleración de la gravedad) y otra componente horizontal, que se anula en el ecuador y que tiende a hacer que la trayectoria se desvíe de la línea recta, hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. 2. Transformada de Lorentz Surge de la determinación de la velocidad de la luz. A partir de la transformada de Galileo la velocidad de la luz depende del movimiento relativo del observador y del foco. El experimento de Michelson-Morley determinó que la velocidad de la luz era independiente del observador. Este dilema fue resulto por Einstein en 1905. Dio origen a la teoría de la relatividad especial, que desarrolló a partir de los siguientes postulados: - La velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas inerciales. Independiente del movimiento del foco y del observador. La velocidad de la luz es una invariante, que tiene el mismo valor para todos los observadores. - Las leyes de la física son las mismas y tienen la misma expresión matemática en todos los sistemas de referencia inercial. Bajo estas suposiciones las transformaciones de Galileo no son correctas, en particular t ' t no puede se correcta e igualmente tendremos que ajustar la distancia. No obstante resultarán correctas cuando hablemos de velocidades dentro de nuestras experiencias cotidianas y solo a velocidades próximas a la luz no serán válidas. Es preciso encontrar otras. La deducción de estas nuevas ecuaciones se ha de hacer teniendo en cuenta dos premisas: A velocidades bajas deben coincidir con la transformada de Galileo y la velocidad de la luz debe ser constante en los diferentes sistemas de referencia. Sean el sistema S (O, x, y, z, t) y S’ (O’, x’, y’, z’, t’). El sistema S’ se aleja de S en la dirección del eje X con velocidad uniforme v. Supongamos que en el inicio t=t’ y ambos orígenes coinciden, O=O’. En este instante sale un rayo de luz en la dirección del eje X que tendrá las siguientes coordenadas en ambos sistemas: xct (1) x' c t ' (2) Porque la velocidad de la luz es la misma para ambos observadores. Por otro lado la coordenada x’ en función de x, será de la forma: x' x v t (3) donde si γ=1 se convierte en la transformada de Galileo. Pero igualmente podemos considerar que S’ está fijo y es S el sistema que se aleja con velocidad negativa, de este modo podemos escribir: x x'v t ' (4) Sustituyendo en (4) la x’ de (3) y despejando t’: 2 1 x t ' t (5) 2 v Y para determinar el valor de γ, debemos incorporar la premisa de la constancia de la velocidad de la luz para ambos sistemas. 41 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 42/44 Sustituimos la expresión (1) y (2) en (3) y en (5): c t ' t c v c 2 1 t ' t 1 2 v (6) (7) Finalmente dividiendo las expresiones (6) entre la (7) se obtiene el valor de γ: 1 1 v2 c2 Coeficiente que es igual a 1 cuando la velocidad v es pequeña e infinito cuando v=c. Reemplazando el valor de γ en las expresiones (3) y (5) se obtienen las trasformadas de Lorentz. x' x v t y' y z' z v x t' t 2 c 2.1. Contracción de la Longitud La longitud de un objeto es la distancia entre sus extremos a y b. Consideremos una barra en reposo relativo a O’ y paralela al eje O’X’. La longitud medida por O’ será L' xb ' xa ' . Sin embargo el observador O, ve la barra en movimiento y medirá una longitud L xb xa . xb ' xa ' xb vt xa vt xb xa L' L Puesto que γ es siempre mayor que la unidad, L será siempre menor que L’. Esto es el observador O, que ve la barra en movimiento mide una longitud menor que el observador O’ quien ve el objeto en reposo. Los objetos en movimiento son más cortos: Lmov L'reposo . 2.2. Dilatación del tiempo Un intervalo de tiempo es el tiempo transcurrido entre dos eventos. Consideremos dos eventos que ocurren en el mismo lugar x’ respecto a O’. El intervalo entre estos dos eventos medido por O’ es T ' tb 'ta ' . Sin embargo para el observador O con respecto al que O’ se está desplazando a una velocidad constante v en la dirección positiva de las X, el intervalo es T tb t a . v x' Recordando que t t ' 2 y que el suceso ocurre en x’. c T tb t a tb 'v x' / c 2 t a 'v x' / c 2 tb 't a ' T T' Ahora T’ es el tiempo medido por un observador O’ en reposo con respecto al evento, es el tiempo propio, y T es el tiempo medido por un observador O relativo al cual el punto está en movimiento cuando ocurren los eventos. El observador O ve que los eventos ocurren en dos posiciones diferentes en el espacio. Puesto que γ es mayor que 1, T es mayor que T’. Los procesos toman más tiempo cuando ocurren en un cuerpo en movimiento relativo a un observador que cuando está en reposo relativo al observador; esto es T 'mov Treposo . 42 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 43/44 28. EL PRINCIPIO DE ACCIÓN REACCIÓN Y LA INTERACCIÓN MAGNÉTICA Consideremos dos cargas positivas en movimiento. La carga 1 crea un campo magnético en la posición donde está la carga 2 y esta se ve sometida a una fuerza de Lorentz y lo mismo ocurre sobre la carga 1. La cuestión es que ambas fuerzas son iguales pero no de sentidos contrarios ni siquiera de la misma dirección. Esto significa que “a cada acción le corresponde una reacción igual y de sentidos contrarios” ya no es cierta y el principio de acción y reacción tiene algún problema con las fuerzas magnéticas. Campo creado por una carga en movimiento viene dado por la expresión: F 0 q v ur 4 r2 Fuerza que ejerce un campo sobre una carga en movimiento (Lorentz): F q v B La inducción magnética que crea la carga 1 en la posición 2, y la que crea la carga 2 en 1 son: B1 0 q1 v1 ur 4 r2 12 B2 0 q2 v2 ur 4 r2 21 La fuerza de Lorentz que ejerce B1 sobre q2 y la que ejerce B2 sobre q1 son: F12 q2 v2 B1 F12 F21 q1 v1 B2 0 q1 q2 v2 v1 ur 4 r 2 12 F21 0 q1 q2 v1 v2 ur 4 r 2 21 Se puede ver que ambas fuerzas son iguales en módulo pero no lo son en dirección ni sentido, para ello vamos a comprobar gráficamente esto. 43 2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 44/44 Pendiente: - Composición de movimientos armónicos - Variación de la intensidad de campo y el potencial dentro y fuera de una esfera uniformemente cargada - Relatividad General. - Cosmología 44