Download cinemática circular - Liceo Rafael Sotomayor

Liceo Rafael Sotomayor
Dep. Física
P.S.N./2016
CONTENIDOS 3º MEDIO
“3º”
I.- MOVIMIENTO CIRCULAR
Aprendizajes esperados:

Usar el lenguaje vectorial en un movimiento.

Deducir y aplicar relaciones del movimiento circular uniforme.

Aplicar definición del momèntum angular a objetos simples en torno a
un eje y la conservación de esa magnitud.

Usar la Ley de Conservación del momèntum angular y Energía
mecánica en situaciones problemáticas.

Construir y analizar gráficos con Energía mecánica y su uso en
aplicaciones problemáticas.

Reconocer el roce cinético como disipación de Energía mecánica.
TOPICO A.- CINEMÁTICA CIRCULAR:
Contenidos:
1. Tipos de magnitudes
2. Vectores
3. Movimiento curvilíneo
4 .Movimiento circunferencial uniforme (MCU)
En la vida encontramos miles de situaciones en que se dan movimientos circulares, tales
como: el giro de las ruedas (Bicicleta, auto etc), movimiento de máquinas centrífugas
(lavadora, secadora), movimiento de las aspas de un ventilador, de un molino, y para
entender su funcionamiento y las leyes por las cuales se rigen es necesario conocer algunos
conceptos físicos y matemáticos ya vistos en años anteriores y otros que iremos
desarrollando y que nos ayudarán a comprender su funcionamiento
1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES:
1.1 Escalares: quedan definidas solamente por un número real (módulo) Ej: 30 m; 5 seg;
7 kg.
1.2 Vectorial: tienen módulo (Nº Real), dirección y sentido. Ej: me desplazo 400m hacia
el Sur.
Ante que nada definamos “magnitud” , que está relacionada con la medida que hacemos
de algo, y que se hace a través de un número y su unidad que la identifica del tipo de
fenómeno que se trata.
En una “magnitud escalar”, no necesitamos más que el módulo para entender de
lo que hablamos. Si decimos:” hubo un temblor de 4º en la escala de Mercalli” (intensidad
del temblor),
todos entendemos de que se trata, por lo tanto las magnitudes escalares se describe
con un módulo y una unidad de medida como:el tiempo (1 hr), la temperatura (25ºC), la
longitud ( 8 kmt).
En cambio, si estamos sentado en la galería de un estadio y alguien nos dice:” por favor
muévase 3 lugares”, es posible que no sepamos si movernos para la izquierda, la derecha,
hacia arriba o hacia abajo, por lo tanto, además del módulo existen otras magnitudes que
es necesario dar su dirección y su sentido, y son estas las “magnitudes vectoriales”.
Ejemplo de esta magnitud tenemos: el desplazamiento (3 mt en dirección Norte-Sur hacia
el Sur) , o la velocidad ( 36 km/hr en la carretera Panamericana hacia Arica) .
2.-VECTORES Y SUS CARACTERÍSTICAS:
Toda magnitud vectorial se representa mediante una flecha o “vector” y se dibuja con la
punta hacia el sentido a que esté dirigida. Un vector se identifica por un símbolo (2 letras) :
AB o una letra a que tiene módulo (tamaño de la flecha) y que representa la distancia
entre los dos puntos que lo definen (/v/), la dirección está dada por el ángulo que hay
respecto de la línea imaginaria horizontal ( ) y por el sentido ( punta de la flecha).
B

A
Algunas de las características de los vectores son:
a) Dos vectores sobre una misma recta o rectas paralelas tienen la misma dirección,
cualquiera sea su sentido o módulo.
a
a y b tienen lamisca dirección
b
b) Dos vectores son iguales cuando tienen igual dirección, sentido y módulo.
a
a y b son iguales
b
c) El módulo de un vector siempre es mayor (>) o igual (=) que 0 y se representa
como:
/a/
a
d) El signo – (menos) frente a un vector, indica que tiene sentido contrario u opuesto
respecto al vector original.
a
-a
Un vector también se puede representar como un par ordenado (x,y) y gráficamente
colocarlo en un eje cartesiano. Por ejemplo:
y
v
(vx, , yy )
----------vy
x
vx
Usando vectores:
Con los vectores, matemáticamente se puede trabajar en distintas operaciones,
como:
I. Ponderación de vectores: multiplicación por 1 número real. Si el número es negativo
(-), el vector queda con sentido opuesto al original.
Si
a
entonces :
3 a
-2a
II.Suma de vectores: se copia uno a continuación del otro, y el vector suma, resulta de unir
el origen del primer vector con el extremo del último.
a
b
a
R=a+b+c
b
c
c
R
III. Resta de vectores: Consiste en sumar el primer vector con el inverso aditivo del
segundo vector y así sucesivamente. Para dibujarlo y restarlos se coloca de modo que
tengan un origen en común. El vector resta es la diagonal que une el extremo de los
vectores.
Si
a
-a
a
-b
b
b
R= a - b
R= b - a
IV. Módulo de un vector: Un vector también se puede representar en un sistema
cartesiano como un par ordenado, por lo tanto cualquier vector se puede descomponer en
2 partes correspondientes al eje de las absisas (eje x) y al eje de las ordenadas (eje y) que
son perpendiculares entre sí . Mediante el Teorema de Pitágoras podemos calcular el
módulo
de un vector, así:
y
Por Pitágoras:
/ a / 2=
a
-
ay
ax
o sea:
2
2
ax + ay
2
2
a = √ ax + ay
x
Al ser un par ordenado ( x,y) se le puede aplicar todas las nociones de gráficos y
operatoria matemática ya vista en años anteriores, o sea sumarlos como pares ordenado,
calcular la distancia a un punto dado, rotarlo etc.
Por Ejemplo:
Sumar los vectores dados y calcular su módulo, dirección y sentido.
y
Para: v1 = ( 0 , 2)
v2
v2 = ( 5,-2)
3
v3 = ( -1,-1)
v1
(0,2)
2
v1
v3
1
x
0
1
2
3
4
5
v3 (-1,-1) -1
vR
-2
entonces: v1 + v2 + v3 = vR
Esto quiere decir que el vector resultante es el vector
v2 (5,2)
representado por v R = ( 4,-1 )
para calcular su módulo, tendremos:
/ vR / = 42 + -12 = 16 + 1 = 17 , su dirección y sentido están dadas en
el eje cartesiano)y se puede calcular por la arc tang .= -1/ 4 = -0,25, por lo tanto = 346º
EJERCICIOS:
1.- Si 2 personas que circulan por la calle llevan velocidades de v1 = 6 m/s
hacia el Norte y v2 = 4 m/s hacia el Oeste, calcular:
a) v1 / 3
b) -4 v2
c) v1 + v 2
d) -3 v 1 + 2 v2
e) / v1 / + / v 2 /
2.- Un bote viaja en la dirección 30º al Oeste del Norte con una rapidez de 12 km/hr
respecto del agua y la velocidad de la corriente del agua es de 6 km/hr hacia el Este. Vista
desde el muelle ¿cuál es la dirección que sigue el bote y cuál es el valor de su rapidez?.
vagua
Por Pitágoras: V bote 2 = Vreal2 + V agua2
VReal =
V bote
vbote  vagua
2
2
N
E
O
S
2
2
6
V real=
12
V R=
144  36 =
108
= 36 * 3
3 = 10,4 km/hr en dirección y sentido hacia el Norte.
Por lo tanto: V Res = 6
3.- MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS: Su trayectoria son líneas curvas. Hay varios
conceptos que se detallan:
RECORDEMOS:
Vector velocidad media: que se calcula como el cuociente entre el desplazamiento
y el tiempo empleado ( t ), o sea:
VM =
x
t
(x)
donde x es un vector que va desde el punto de
partida del movimiento hasta el punto de llegada.
La dirección y el sentido es la del
desplazamiento. Si cambia el módulo, la
dirección o el sentido, cambia la velocidad.
Rapidez Media: es una magnitud escalar que se calcula como el cociente entre la distancia
recorrida (d ) y el tiempo empleado en recorrerla ( t ).
d
V media = -------t

Desplazamiento y trayectoria: llamamos trayectoria a la unión de todos los puntos por
donde pasa un cuerpo en movimiento. Decimos que desplazamiento (d) es la trayectoria
mínima entre el punto de partida y el punto de llegada de un cuerpo en movimiento.
Ejemplo: Un ciclista (1) y un peatón (2) se trasladan desde A a B según el diagrama:
100 m
100 m
_______
A ----------
Trayectoria 1 :
d = 700 m
___________
Trayectoria 2 :
_________________
t = 1,5 min
d = 300 m ----------------t = 3 min
desplaz. = AB = 223,6 m = / x /
700
300
entonces: v 1 = ___ 466,6 m/min ; v2 = ---- = 100
1,5
3
por lo tanto:
_______________B
223,6
223,6
/ v1 / = ______ = 148,6 m/min; / v2 / =---------= 74,5 m/min
1,5
3
Movimiento Uniforme Rectilíneo: ( M.U.R.) Las trayectorias con el desplazamiento coinciden y se
puede establecer la velocidad instantánea dividiendo el desplazamiento por un tiempo pequeño.
x
Vins =lím --------; t es muy pequeño
t
Velocidad instantánea en un Movimiento Curvilíneo: cuando un cuerpo se desplaza en
una línea curva se siente como si una fuerza lo tira hacia fuera, esto quiere decir que el “
vector velocidad” en un instante tiene la dirección de esa fuerza”. También si a través
de una cuerda giramos un objeto y de repente lo soltamos, el objeto sale disparado en “
dirección tangente” al radio de circunferencia del movimiento, es decir representándolo
en un dibujo tendremos:
R
Dirección v1 (instantánea),
y corresponde al módulo de
la rapidez instantánea
o
lineal.
Fijate que los vectores tienen
mayor módulo si están más
alejados del eje de giro.
Aceleración en un Mov. curvilíneo:
En una rueda de un parque de diversiones, una persona sobre ella, siempre está cambiando
su velocidad,. Al cambiar en cada punto su trayectoria hay un “cambio de la velocidad” (
v ) entonces según conceptos ya vistos en años anteriores hay una “ aceleración” y esta
será un vector que expresa el cambio de velocidad en el tiempo. Es decir, en un
movimiento curvilíneo hay siempre una aceleración debido a que la velocidad no es
constante (ya que varía su dirección y sentido), a pesar que su rapidez si lo es.
Por lo tanto:
v
donde: v es la variación de la velocidad y t es
el
a media = _____
intervalo de tiempo.
t
EJERCICIO:
1) Una satélite gira en círculos alrededor de la tierra, de modo que su rapidez lineal se mantiene
constante. Se consideran dos instantes del movimiento (A y B).
a) Dibuje lo vectores velocidad A y velocidad B
b) Determine gráficamente la resta vectorial vB – v A ; el vector resultante será  v
c) ¿Qué representa físicamente el vector  v? Explique.
d) Si la aceleración media es:
v
a media = ---------- ¿Qué dirección y sentido tiene?
t
e) Si se considera el intervalo de tiempo muy pequeño ¿qué dirección y sentido tendría la
aceleración?
2) En un molino de viento usado en agricultura las aspas se mueven describiendo una
circunferencia. Realiza los dibujos esquemáticos de:
a) la distancia recorrida por un punto de las aspas después de media vuelta.
b) El desplazamiento correspondiente a media vuelta. Compáralo con la distancia, ¿cómo son
ambas magnitudes?
c) El desplazamiento después e una vuelta completa. Compáralo con el desplazamiento
después de dos vueltas.
d) ¿Qué pasaría con el desplazamiento si el aspa tuviera el doble de radio?.
4.- MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME ( M.C.U.)
movimiento se caracteriza por tener
“trayectoria circular”.
una “ RAPIDEZ ANGULAR”
: este
constante y una
En la antigüedad se creía que el Sol, la Luna, los planetas y estrellas giraban alrededor de la
Tierra en órbitas circulares, pero en 1473, Copérnico modificó esta idea colocando al Sol
como el centro del Universo, pero siguió pensando que las órbitas eran circulares. Hoy en
día sabemos que el Sol está en uno de los dos focos o centros de las órbitas elípticas que
todo planeta tiene alrededor de él.
Diariamente vemos miles de ejemplos de objetos que tienen este tipo de movimiento
circunferencial, es así que tenemos por ejemplo el movimiento de las ruedas (Bicicleta,
auto etc), el movimiento de las centrífugas (lavadoras y secadoras de ropa) , los C.D. etc,.
En todos ellos el movimiento tiene una “rapidez lineal constante” y el cuerpo “gira”
describiendo “arcos de circunferencia” iguales en tiempos iguales y estos arcos se pueden
medir mediante ángulos cuya unidad puede ser grados o también una unidad que se
denomina “radian” y corresponde a un ángulo cuyo arco es igual al radio de la
circunferencia, por lo tanto podemos decir que :
 1 radián = 1 rd = 57,3º
Averigua la equivalencia para 360º, 180º,90º,60º,45º y 30º
x
R
α

4.1.- Rapidez angular:
En éste movimiento circular uniforme podemos distinguir al “ VECTOR POSICION
RADIAL” ( R) y la variación angular que efectúa ese vector equivaldrá al “
DESPLAZAMIENTO ANGULAR” (  ) y si se dicho desplazamiento es en un tiempo
determinado ( t ) podremos hablar de la “ RAPIDEZ ANGULAR“ ( w) :
que se expresa en (º/seg) o en ( rd/seg). Recordemos que la

frecuencia

se mide en Hert ( Hz) que equivale a los ciclos por segundo que
t
realiza
un movimiento periódico.
4.2 Rapidez lineal o tangencial:
Además de la rapidez angular, tenemos como en todo movimiento la “ rapidez media” que
equivale a la distancia recorrida (  x ) y el tiempo empleado en recorrerla (  t) , o sea:
x
v = ------t
que se expresa en mt/ seg en el S.I.
y como el movimiento es uniforme la rapidez media e instantánea es la misma , en el
Movimiento Circular Uniforme a ésta rapidez la llamaremos “ RAPIDEZ LINEAL o
TANGENCIAL” ( v ), y como  x = R * 

tenemos:
R *  pero como :

v = ________
w =_______
t
t
entonces finalmente podemos inferir que la relación entre ambas rapideces “ angular” y “
tangencial o lineal” estará dada por:
v= R*w
o
v
w = ----R
donde. usaremos las unidades:
w (rd/seg)
v ( mt/seg)
R (mt)
EJERCICIOS:
1) Si sabemos que el período de rotación de la tierra es de 29,53 días (cada vez que se repite
anafase lunar) y que el día equivale a 86.400 segundos y considerando que la Luna se traslada
alrededor de la Tierra en una órbita circular de 380000 Km, calcular la rapidez angular (rd/seg)
y la lineal (Km/seg) de la Luna.
Rapidez angular: w = t y como:
 radianes y  t = T (período)
Entonces: w = 2π/ T = 6.28 / 29.53 = 0.2 rd / dia o más bien : 2,4 * 10 -6 rd / seg
Rapidez lineal:
v= R*w
5
luego: v = 3,8 * 10 * 2,4 * 10
-6
=
0,93 Km/seg
2) Si al despegar un cohete, la rambla para soltarlo en posición vertical cae al suelo quedando
verticalmente y sabemos que la rambla tiene 15 mt de altura y desciende con una rapidez
angular constante y se demora en total 10 seg en car, calcular:
a) v en el punto medio de la rambla
resp: 1.18 m/s
b) w en rd/seg
20 rd/seg
c) desplazamiento angular en 4 seg
/ 5 rd
d) distancia lineal que recorre el extremo en 4 seg.
3  mt
4.3 Aceleración centrípeta:
En ejercicios anteriores hemos inferido que la “aceleración está
siempre dirigida hacia el centro de giro “, es decir que el vector aceleración es
perpendicular a la velocidad instantánea. Llamaremos a esta aceleración, ACELERACION
CENTRIPETA.
vf
v
aC =---------t
vi
aa
ac
 



P
El valor del módulo de la aceleración centrípeta está relacionada con la rapidez lineal (v) que
es constante y con el radio de giro R por lo que diremos que:
v2
/ ac / = ----R
De acuerdo a esto podemos concluir que la aceleración centrípeta es inversamente proporcional al
radio e giro y directamente proporcional al cuadrado de la rapidez lineal. Por lo que si un cuerpo
gira y el radio de giro es pequeño entonces su velocidad cambia bruscamente de dirección y su
aceleración es mayor. En cambio, si el radio de giro es grande entonces la velocidad cambia
mucho más suavemente su dirección y por lo tanto la aceleración centrípeta es menor.
Además de todo lo ya indicado, en un movimiento circular uniforme, el período de rotación
(T) es el tiempo que el cuerpo gira una vuelta completa, o sea recorre una distancia
equivalente al perímetro de ella ( 2  R o un ángulo de 2rd ) . Finalmente podemos
determinar que:
2 R
v = ---------T
2
w = ----------T
2 R
T = ---------v
2 
T = --------w
4.4 APLICACIONES EN EL DIARIO VIVIR:
Cuando se tienen dos o más ruedas, estas las podemos unir mediante “correas de transmisión”,
como por ejemplo: en una bicicleta mediante un engranaje dentado que se encuentra en los en los
pedales podemos hacer girar la rueda trasera .
Si analizamos este caso con más detención podemos acotar que la rueda trasera gira con una rapidez
angular mayor que los pedales y esto se sabe a qué el radio de ambas ruedas (engranaje-pedal y
rueda trasera) son diferentes. Si llamamos R1 y R2 los radios tendremos rapideces angulares
distintas, pero rapidez lineal constante, por lo que podemos inferir que:
Engranaje pedales
v
w1 =------------R1
rueda trasera
v
w2 =---------R2
relación rapideces angulares
o sea:
w1
R2
-----=-------w2
R1
Esto quiere decir que si el R1 es el doble que R2, entonces la rueda trasera girará el doble de rápido
que el engranaje e lps pedales. Es por esta razón que actualmente las bicicletas de competencia
tienen un sistema de “cambios” de velocidad, o sea tienen tres o más ruedas dentadas con radios
diferentes y así logran realizar menos esfuerzos al pedalear cuando requieren que la rueda trasera
gire más rápidamente.
También se usan estas correas de transmisión en otros usos industriales con el fín de regular la
velocidad de rotación de distintas piezas deuna máquina.
EJERCICIO:
1) Si en la figura R3 es el doble de R2 la que a su vez es el doble
de R1 y si la rapidez
lineal de la correa es de 10 m/s y R3 = 10
cm, calcula:
a) la velocidad angular de las tres ruedas
b) la aceleración centrípeta de las tres ruedas
c) Ordena de menor a mayor, los valores obtenidos y compara
con los tamaños de los radios
Respuestas:
a) w1 = 400 rd/s; w2= 200 rd/s; w3= 100rd/s
b) ac1= 4000 ; ac2= 2000 ; ac3= 1000 m/s2
RESUMEN
Si en un Movimiento circular la “rapidez es constante” éste movimiento
se llama MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. En este mov. el
PERIODO de GIRO (T) es constante y por eso el cuerpo describe arcos
iguales en tiempos iguales.
La “velocidad” es siempre tangente al RADIO de GIRO de la
trayectoria circular y su módulo es igual a la RAPIDEZ LINEAL.
El “cuociente” entre el DESPLAZAMIENTO ANGULAR () y el
tiempo se llama RAPIDEZ ANGULAR (w) y su unidad de medición es el
(rd/seg) y mide la rapidez de giro de un cuerpo.
La velocidad cambia constantemente su dirección a pesar que la
rapidez es constante, luego al existir una “variación de la velocidad”
,por lo tanto hay una aceleración que se llama ACELERACION
CENTRIPETA pues siempre apunta hacia el centro de giro.
El RADIO de GIRO es “inversamente proporcional” a la aceleración
centrípeta y a la rapidez angular, y es “directamente proporcional” a
la rapidez lineal.