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Liceo Luis Laborda
Hijuelas
Profesor: Francisco Soto
Física
I Semestre – 2013
Movimiento circular uniforme (MCU).
Las características del MCU son las de tener una rapidez angular constante y una
trayectoria circular. Algunas de las aplicaciones de este movimiento se usan en
los relojes de engranajes, donde las manecillas logran moverse a un ritmo
constante.
Cuando un objeto gira entorno a un eje a una
distancia (radio) constante (describiendo una
circunferencia), de modo que su rapidez lineal es
constante, recibiendo el nombre de uniforme,
estaremos entonces a un caso de MCU. En este tipo
de movimiento un cuerpo gira describiendo arcos de circunferencias iguales en
tiempos iguales.
Recuerda que la rapidez es una
magnitud escalar que no cambia
durante el MCU, mientras que la
velocidad es un vector que sí
cambia constantemente.
Rapidez Angular.
Si suponemos que un CD reproduce música
con MCU, podemos observar el ángulo que
describe el borde de este disco con respecto
al eje de giro. Para medir un ángulo, nos
fijamos en el vector radial R que va desde
el centro de giro hasta el borde. A este lo
llamaremos vector posición radial. La
variación del desplazamiento angular 
descrito por R en un determinado tiempo
t será la rapidez angular del CD y la
designaremos con la letra  .


t
1
d
R

R
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Esta rapidez angular nos indica cuan rápido gira un cuerpo. Este cuociente lo
expresaremos en grados por segundo (º/s). Nosotros ocuparemos otra unidad para
medir estos ángulos, su nombre es el radian (rad), finalmente expresaremos la
velocidad angular como (rad/s).
Debemos recordar que un Arco es un segmento de la circunferencia. Su longitud
d se puede calcular conociendo el ángulo que subtiende (expresado en radianes)
y el radio de giro R, a través de la siguiente expresión:
d   * R
Como dato, un radián es una unidad de ángulo plano del Sistema Internacional
equivalente a uno cuyo arco tiene igual longitud que el radio, o sea:
R
R
1 radian.
R
En un ángulo completo (360º) hay exactamente 2 radianes, por lo tanto, un
radian corresponde a aproximadamente 57,3º. A continuación, una forma de pasar
de ángulos a radianes y viceversa:
360º 2  rad

nº
x  rad
Rapidez lineal.
Como sabemos, la rapidez media esta dada por en cuociente entre la distancia
recorrida y el tiempo empleado:
d
v
t
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Como estamos trabajando con un movimiento que es uniforme, la rapidez media
coincide con la instantánea, que en el movimiento circular llamaremos rapidez
lineal o rapidez tangencial.
En el movimiento circular, la distancia recorrida d se puede calcular a través de
la expresión:
d  R * 
Si dividimos esta expresión por
t obtendremos
que:
d

 v  R*
t
t
Además, como sabemos que la rapidez angular esta expresada por  

,
t
encontramos una expresión que relaciona la rapidez lineal con la rapidez angular:
v  R *
ó

v
R
Debemos recordar que  se expresa en (rad/s), v se mide en (m/s) y R en (m).
A continuación veremos un ejemplo claro donde se analiza el movimiento de la
luna alrededor de la tierra.
“Calcularemos la rapidez angular y lineal de la luna, considerando que su
traslación alrededor de la tierra es una circunferencia de radio promedio
380.000 Km. (teniendo claro que es una elipse con una excentricidad muy
baja)”.
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 Lo primero es dibujar la situación del problema para poder analizar sin
cometer errores.
 Para calcular la rapidez angular usaremos la relación  

. Sabemos que 
t
es igual a 2 radianes
 Que corresponde al ángulo barrido por la luna en una vuelta completa,
obtendremos que el tiempo de será igual al del periodo (tiempo de una
revolución completa):
t  T  29, 53 dias
 De esto deducimos que:  
2
 0, 21 rad/dia
T
 Por lo tanto,   2, 43*106 rad/s en el sistema internacional.
 Por ultimo, para calcular la rapidez lineal usaremos la ecuación: v  R * ,
donde R es la distancia entre la tierra y la luna, por lo tanto la rapidez lineal de
la luna es:
v   380.000 km  *  2, 43*10 6 rad/s   0.92 km/s
Aceleración angular.
Si la rapidez angular de un objeto cambia de i a  f en el intervalo t , el objeto
obtiene una aceleración angular. Entonces la aceleración angular promedio de un
objeto que gira, se define
como la relación entre los
 f  i  respecto de un intervalo de
cambios de rapidez angular



tiempo:
t f  ti
t
Trabajaremos entonces la aceleración angular simplemente como:


t
ó =
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v
Rt
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Aceleración centrípeta.
Como vimos en la explicación del movimiento
curvilíneo, la velocidad varia ya que su dirección y
sentido cambia a través del tiempo; de esto resulta
que la aceleración esta siempre dirigida hacia el
centro de giro, porque como vimos antes v tiene
esa dirección, de este modo la aceleración resulta
ser perpendicular a la velocidad instantánea. Ya
que esta aceleración esta dirigida al centro de giro
se le denominara Aceleración Centrípeta y se
expresa de la misma forma que la aceleración media:
ac  ar 
V1
R

ac
V2
v
t
El valor del modulo de la aceleración centrípeta o radial, geométricamente es
directamente proporcional a la rapidez lineal al cuadrado, e inversamente
proporcional al radio:
v2
ac  ac 
R
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Periodo de rotación.
Es el tiempo que toma un cuerpo en recorrer una circunferencia completa.
Entonces, el cuerpo estaría recorriendo la distancia de 2 R o un ángulo de 2 rad .
Como demostramos, la rapidez lineal es proporcional a la rapidez angular, de esto
podemos expresar el periodo con dos distintas ecuaciones:
2 R
2 R
 T
T
v
2
2

 T
T

v
Correas de transmisión.
Cuando una correa una a dos o mas ruedas permite que se transmitan el
movimiento circular de la otra. Debemos tener en cuenta que la correa se moverá
siempre en cada punto con la misma rapidez lineal. Esto implica que dos ruedas
unidas por una correa tendrán la misma rapidez lineal de la correa, pero la rapidez
angular de cada rueda será distinta dependiendo de su radio gracias a la relación
v  * R .
v
De la figura podemos determinar lo siguiente:
1 
v
R1
Como la rapidez lineal es igual en las dos ruedas:
2 
v
R2
Despejando las ecuaciones resulta:
v  1 * R1  2 * R2
R2
R1
v
Finalmente obtenemos una relación importante entre la rapidez angular de las dos
ruedas cuando están conectadas por una
1 correa:
R
 2
2 6 R1
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Cabe destacar que para las ruedas dentadas corre la misma propiedad, pues estas
corren a la misma rapidez tangencial.
Problema de transmisión de movimiento circular.
Un motor hace girar una rueda dentada 1 con una rapidez angular de 10 rad/s. Si
R3  2R2  4R1  4R4  60 cm. , ¿Qué aceleración centrípeta tendrá el disco 4, unido por
una correa de transmisión a la rueda 2?
La velocidad lineal de la rueda 1 s e puede obtener
de la relación v  R * .
Como R1 = 15 cm. Nos resulta: v1 = 150 cm. /s, que es
la misma rapidez lineal de la rueda 3, ya que están
unidas tangencialmente.
R4
R2
R1
La rueda 2 y tres giran unidas por el eje, esto nos
indica que tienen la misma rapidez angular.
Entonces 1  2  150 cm / s.  2,5 rad / s.
60 cm.
Como ya tenemos la rapidez angular de la rueda 2
necesitamos saber su rapidez lineal, ya que esta será
R3
igual a la de la rueda 4 porque están unidas por una correa transmisora.
v4  R2 *2  30 cm.*2,5 rad / s.  75 cm / s.
Y final mente usamos la ecuación que relaciona la
rapidez lineal y el radio con la aceleración
centrípeta:
ac  375 cm / s 2 .
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