Download Razones y Proporciones

1.
7.
Dado un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza la
altura AH. Calcular la medida de la base AC si (BC)
(CH) = 32 m2.
8.
En el romboide ABCD, por “A” se traza una secante
Según la figura, calcular x.
2x
que corta a BD en “F” a BC en “G” y a la
prolongación de DC en “H”.Siendo: GH = 5, FG = 4,
hallar AF.
γ
θ
β
γ β
ω
ω
θ
9.
x
2.
Calcular la medida del radio de la semicircunferencia.
2k
3k
Si los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m, 8 m
y 10 m respectivamente, calcular la distancia del
incentro al circuncentro.
10. En un trapecio rectangular la base mayor mide 12 y la
base menor mide 9. Si la diagonal menor hace ángulo
recto con el mayor de los lados no paralelos, hallar
éste último.
|––4––|
3.
Calcular “x” si “C” es circuncentro. Además: AB // CD.
x
11. En la figura, T es punto de tangencia entre AT , la
circunferencia y el arco TB de centro O.
mOT = mTCO. Si OC = 9 y BC = 6. Hallar AB.
T
8
A
B
A
C
6
2
B
D
4.
C
O
En el ΔABC:
FR // BC
AM = 3 m
QC = 10 m
MN // AB
MQ = 2 m
Hallar QR
12. En
la
figura,
O
y
Ok
son
centros
de
las
semicircunferencias y AC es tangente. Si AB=BC=6,
hallar el radio r.
B
A
F
N
B
r
P
O
3
A
5.
Q
R
C
Los lados de un triángulo ABC miden AB = 6 cm, BC =
9 cm, y AC = 12 cm. Se trazan las bisectrices
interiores de los ángulos A y C que se intersecan en
O; por O se traza MN paralela a AC . Calcular MN.
6.
C
x
2
M
O´
Los lados de un triángulo rectángulo ABC miden AB =
21, AC = 28 y BC = 35. Se toma un punto Q sobre la
hipotenusa, tal que AQ sea diagonal del cuadrado
inscrito. Hallar el lado del cuadrado.
13. Los radios de dos circunferencias tangentes
exteriormente son 4 m y 6 m. Calcular la longitud de la
parte de la tangente interior común, comprendida
entre la recta que une los centros y una de las
tangentes
exteriores
comunes
a
las
dos
circunferencias.
14. Calcular la medida del ángulo B de un triángulo
acutángulo ABC, si el cuadrilátero HOAC es
inscriptible, siendo H ortocentro y O circuncentro.
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15. Calcular “x”.
4
7.
9
x
Dado el triángulo isósceles ABC, (AB = BC), la m∠B
es 24°. Hallar la medida del mayor ángulo que
determinan la altura relativa al lado AC con la
bisectriz interna del ángulo A.
A) 126°
B) 120° C) 124°
D) 130° E) 129°
8.
En un triángulo ABC, de ángulos m∠A = 70° y m∠C =
102°, hallar la medida del ángulo formado por la
bisectriz exterior del ∠B y la prolongación de AC .
A) 11°
1.
2.
En un triángulo PQR, PQ = 7 y QR = 10. Si una altura
mide 8, dicha altura parte del vértice:
A) P
C) R
E) N.A.
B) Q
D) No existe tal altura
En el gráfico, calcular b + c.
9.
B) 22°
C) 18°
D) 36°
E) 16°
En un triángulo ABC se traza la altura CM y la
bisectriz exterior del ángulo C que corta a la
prolongación de BA en P. Si m∠A – m∠B = 26°,
calcular la m∠PCM.
A) 13°
B) 26°
C) 64°
D) 77°
E) 54°
b°
A)
B)
C)
D)
E)
c°
β°
β° 150°
3.
250°
120°
240°
200°
260°
10. Siendo : L1 // L2 // L3, hallar BC .
L1
A
E
5K–5
L2
B
F
4
2K+1
α°
α°
L3
Según el gráfico, calcular el valor de x.
C
G
θ θ
β
β
A
4.
x
α
α
A)
B)
C)
D)
E)
L1
140°
150°
160°
135°
100°
x
6
L2
y+9
x+4
L3
y
3
L4
En un triángulo acutángulo ABC, de incentro I, se
2
4
6
8
N.A.
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
4
N.A.
A)
B)
C)
D)
E)
7
14
21
28
N.A.
12. Calcular “x”. Si: BD // AE y BE // AF
C
4
D
B
2
E
x
En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y
luego la bisectriz del ángulo BDC que se corta con la
bisectriz exterior del ángulo C, en E. Calcular la
medida del ángulo que forman las bisectrices
exteriores de los ángulos BAC y BCA si m∠DEC = 24°
A) 40°
B) 42°
C) 48°
D) 36°
E) 46°
F
A
13. Calcular “x”
B
Determina el perímetro de un triángulo rectángulo
cuya distancia entre el ortocentro y baricentro es
182/3, si uno de sus catetos mide 70.
A) 420
B) 105
C) 210
D) 182
E) 273
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α α
7k
A
6.
A)
B)
C)
D)
E)
C
traza la bisectriz interior BD tal que: m∠AID = 73° y
m∠DIC = 49°. Calcular la diferencia de las medidas de
los ángulos BAC y BCA.
A) 32°
B) 36°
C) 42°
D) 46°
E) 48°
5.
5m
10
15
7,5
N.A.
11. Calcular “x” si: L1 // L 2 // L 3 // L 4
B
γ
80° γ
A)
B)
C)
D)
E)
7
5k
C
P
10
D
x
E
14. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la mediana
AM . Por M se traza una paralela a AC que corta a
AB en N. La mediana BF corta a MN en P y a AM
en Q. Si BF = 18, hallar PQ.
A) 4,5
B) 5
C) 6
D) 4
E) 3
en AC y “P” en BC . Calcular la medida del lado del
rombo.
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4,5
22. En un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos
AB y BC miden 4 y 3. Calcular la distancia del vértice
15. En la figura mostrada, la suma de todos los valores
de “x” para los cuales FG // AB es:
C a la mediana trazada desde el vértice B.
A) 2,2
B) 2,4
C) 2,6
D) 2,8
E) N.A.
C
x–3
4
G
F
x–4
3x – 19
B
A
A)
B)
C)
D)
E)
23. La altura de un triángulo rectángulo con respecto a la
16
18
20
17
19
hipotenusa mide 3 34 m y los catetos están en la
relación 3/5. Hallar la medida del cateto mayor.
A) 12m
B) 17m
C) 23m
D) 34m E) N.A.
16. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AM .
Luego se traza el segmento MN paralelo a AB (N en
AC ). Si MN = 3, MB = 2 y MC = 4, hallar AC.
A) 12
B) 15
C) 9
D) 14
E) 6
17. En el Δ escaleno ABC: AB = 6 m, BC = 8 m, AC = 7 m,
la bisectriz interior BD mide 6 m. Hallar la distancia
del incentro a “B”.
A) 2 m
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
24. En una circunferencia de 15 m de radio, dos cuerdas
se cortan y dan por producto de sus segmentos
respectivos 200 m2. Hallar la distancia del centro de la
circunferencia al punto de intersección de las cuerdas.
A) 2 m
B) 5 m
C) 6 m
D) 8 m
E) 10 m
25. Por un punto P exterior a una circunferencia se traza
las secantes PCA y PDB . Si PCA pasa por el centro
de la circunferencia y además: PB=24, PD=8
PC=6, hallar la longitud del diámetro de
circunferencia.
A) 12
B) 15
C) 16
D) 24
E) 26
y
la
18. Los catetos AB y BC de un triángulo ABC miden 5 y
12 respectivamente. Sobre AC se toma un punto “P”
desde el cual se levanta la perpendicular PQ , “Q” en
la prolongación de AB . Calcular PQ si: PC = 3
A) 6
B) 12
C) 18
D) 24
E) 30
26. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si se
sabe que la altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm
y determina en ella segmentos que son entre sí como
9 es a 16.
A) 30 cm
E) 60 cm
C) 72 cm
B) 48 cm
D) 54 cm
19. Los lados de un triángulo son AB , BC y AC , cuyas
longitudes son 18, 27 y 45 respectivamente. ¿A qué
distancia de C, sobre el lado BC , debe tomarse un
27. En la figura: ∠B es obtuso. MF = 12, BF = 2, FC = 9 y
AM = MC. Hallar AB.
B
punto N desde el cual los segmentos MN y NP (con
A)
B)
C)
D)
E)
F
P en AC , M en AB ) estén en la relación de 1 a 2,
siendo NP // AB y MN // AC ?
A) 20,5
B) 22,5
C) 23,5
D) 21,5
E) 24,5
20. En un trapecio ABCD las bases AB y CD miden 6 m
y 12 m, respectivamente, y la altura del trapecio
mide 8 m. Calcular la distancia del punto de
intersección de las diagonales a la base menor.
A) 4/3 m B) 2/3 m C) 7/3 m
D) 8/3 m E) 1/3 m
A
C
M
24
25
26
22
18
28. Hallar el perímetro del triángulo equilátero ABC, si las
circunferencias tienen igual radio r.
B
21. Se tiene un triángulo ABC en el cual AB = 6 m,
BC = 3 m, se inscribe el rombo BMNP, “M” en AB , “N”
A
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C
A) 6r ( 3 + 3)
D) 3r ( 3 + 1)
B) 6r ( 3 + 2)
E) 6r (3 + 2)
35. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en A. Se
traza la altura AH (H en BC ) y la bisectriz del ángulo
B que corta a la altura AH en el punto E, al lado AC
C) 6r ( 3 + 1)
29. En la semicircunferencia de centro O, hallar el valor de
AC, si AD = 6.
en F y a la paralela trazada por A a BC en G. Halla
FG, si BE = 1 cm.
A) 0,5 cm
C) 1,5 cm
E) 4 cm
B) 1 cm
D) 2 cm
36. En la figura, PT = TR, ST = 15 y QR = 9. Halla PQ.
S
T
A)
B)
C)
D)
E)
R
C) 2 2
D) 4
A) 2
B) 2
E) 3 2
C
B
E
P
Q
30. En la figura CD es tres veces mayor que BE; AE = 7,
AD = 4, m∠B = m∠C. Calcule el valor de BE.
D
A
A)
B)
C)
D)
E)
4,5
2,5
5,5
6,0
6,6
6
7
9
21
15
37. En un triángulo ABC, AB = 8 m y BC = 12 m, se trazan
la bisectriz interior BD y la mediana BM . Si DM =
1,5m, calcular AC.
A) 15 m
C) 16 m
E) 10 m
B) 12 m
D) 18 m
38. En la figura, calcular AB si BM = 6 y 3AM = 2MC.
B
31. En un triángulo ABC se trazan las alturas AM y CN .
A)
B)
C)
D)
α+θ
Calcular la longitud del segmento BM , si AB = 12,
NB = 3 y BC = 8.
A) 3,8
B) 4,2
C) 3,5
D) 4,5
E) 4,0
α
A
θ
C
M
8
10
12
14
E) 6 3
32. En un triángulo ABC, AB = BC, la mediatriz de BC
39. En un triángulo ABC se traza la mediatriz de AC la
corta en F a AC . Por F se traza FH // BC (H en AB ).
cual interseca en “P” a BC y en “Q” a la prolongación
Calcular AB, si FH = 2 y FC =
de AB . Si PC = 4BP; AB = 12. Calcular BQ.
A) 2
B) 3,2
C) 3
D) 5
E) 4
A) 2 6
B) 5
C) 6
D) 4
15 .
E) N.A.
33. Los lados de un triángulo forman una progresión
aritmética de razón 6. Hallar la longitud del segmento
que une el incentro con el baricentro del triángulo.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
40. En el gráfico AO = 5 y M es punto medio de ED. Hallar
DB si AB = BC.
34. En el triángulo ABC, AN es bisectriz, BM = 2 cm, CN
= 6 cm y MN = 4 cm. Calcula AN.
C
E
M
A
B
N
M
A
C
A)
B)
C)
D)
E)
9 cm
8 cm
7 cm
6 cm
5 cm
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O
D B
A)
B)
C)
D)
E)
0,5
1
1,5
2
2,5