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Solucionario: “Las matemáticas
explicadas a mi hija”
Solucionario
“Las matemáticas explicadas a mi hija”
Este título también dispone de guía de lectura y ficha técnica
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Solucionario: “Las matemáticas
explicadas a mi hija”
Capítulo 1. ¿De qué hablan?
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Ray asegura que las matemáticas son un lenguaje porque por
medio de ellas se pueden «expresar muchas ideas […],
pensamientos, […] establecer proposiciones, plantear preguntas,
afirmar, refutar, describir.» (p. 17) Además, tienen su propio
código de escritura, que se rige por unas normas públicas que
cualquiera puede conocer.
Respuesta libre.
Las definiciones desempeñan un papel fundamental en el
universo matemático. Describir de manera exacta y precisa la
naturaleza y las propiedades de los nuevos objetos que aparecen
en ese mundo es indispensable, puesto que tan sólo se podrá
trabajar con ellos a partir de esa caracterización. El rasgo más
importante de la definición matemática es que «no es
únicamente descriptiva, sino, también, directamente operatoria,
es decir, sólo se puede trabajar en mates si se conocen las
definiciones exactas, palabra por palabra» (p. 21).
De acuerdo con el autor, el símbolo más importante de las
matemáticas es el de la igualdad (=). Debemos destacar
también la relevancia de otros símbolos que expresan conceptos
que derivan del anterior: ≠ (diferente), > (superior) y <
(inferior).
«Cociente» es el nombre que se le atribuye a uno de los
componentes de la operación matemática de la división.
Concretamente, se trata del «Resultado que se obtiene al dividir
una cantidad por otra, y que expresa cuántas veces está
contenido el divisor en el dividendo».
En Las matemáticas explicadas a mi hija se nos hace ver que los
símbolos matemáticos son una escritura mucho más apropiada
para expresar ciertos conceptos que la «escritura literal,
infinitamente más complicada, más larga y muy poco práctica.»
(p. 23)
Capítulo 2. Los números
1.
Los números se han ido creando de manera paulatina para cubrir
las necesidades que iban surgiendo a lo largo de la historia de
las matemáticas. Los primeros en aparecer fueron los enteros.
Cuando los estudiosos se dieron cuenta de que estos números no
eran suficientes para expresar todas las situaciones matemáticas
posibles, nacieron las fracciones.
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Más adelante, percibieron la necesidad de expresar la ausencia
de número y se creó el 0. Finalmente, los últimos en aparecer
fueron los números negativos.
Se podría decir que las «cifras» son los elementos más pequeños
a partir de los cuales se forman los «números». Es decir, toda
cifra del sistema decimal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) es un
número, pero no todo número (por ejemplo, 897, 2345 o 61) es
una cifra. Las cifras son «signos de escritura» (p. 29), los
números «representan una cantidad» (p. 29).
Se puede afirmar que «No existe el número entero más grande»
(p. 29). A cualquier número entero, por alto que sea, siempre se
le podrá sumar 1, por ejemplo; esa operación dará como
resultado indefectiblemente un número mayor que el anterior.
Una numeración es un sistema que permite establecer
procedimientos para nombrar los números de manera que se dé
toda la información necesaria sobre cada uno de ellos. Este tipo
de sistemas se establecen de la siguiente forma: «se escogen las
cifras, es decir, algunos números “elegidos” que tienen la suerte
de representar a los demás números. Después se elaboran
maneras de combinar estas cifras para escribir los números.» (p.
30) La más óptima es la llamada «numeración de posición con
un cero.» (p. 31), es decir, la que se utiliza hoy en día. Se trata
de la única numeración que permite «nombrar todos los
números, por grandes que sean» (p. 31).
En matemáticas el 0 puede tener dos significados: por un lado,
puede denotar la ausencia, el lugar vacío (como por ejemplo en
el número 209, donde el 0 señala la ausencia de decenas); por el
otro, puede identificarse con «la cantidad nula» (p. 33),
momento en el que representa un número. El 0 tiene diferentes
efectos sobre las operaciones matemáticas básicas; por ejemplo,
en el caso de la suma y la resta se trata de un elemento nulo,
puesto que no provoca ninguna diferencia en el resultado: 5 + 0
= 5; 3 – 0 = 3. Sin embargo, «En la multiplicación, el 0
prevalece sobre cualquier otro número: 0 x n = 0 x m = 0.» (p.
33) La división por 0, por el contrario, representa una de las
prohibiciones de las matemáticas, ya que, como se demuestra en
la página 34, si fuera posible «todos los números serían nulos.»
Tanto el sistema binario como el decimal son numeraciones de
posición con un cero. Sin embargo, mientras que el primero de
ellos utiliza tan sólo dos cifras, el segundo emplea diez; en
consecuencia, la escritura del sistema binario es mucho menos
práctica que la del decimal.
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Aun así, es precisamente el hecho de contar con tan sólo dos
cifras lo que lo convierte en el más adecuado para «comunicarse
con las máquinas» (p. 35). Su principal aplicación tiene que ver,
entonces, con la informática.
Una fracción está formada por dos números separados por una
barra. El número que se encuentra por encima de ella recibe el
nombre de numerador. El que se halla por debajo de la barra es
el denominador. La igualdad entre dos fracciones implica la
igualdad entre dos números enteros «resumida por la famosa
fórmula: el producto de los extremos es igual al producto de los
medios […] el “producto en cruz”.» (p. 37)
Cuando se quieren realizar ciertas operaciones matemáticas con
fracciones (como por ejemplo la suma, la resta o averiguar cuál
de una serie de ellas es la mayor) debemos reducirlas a su
común denominador. Como ya hemos visto, el denominador es
el número que se halla por debajo de la barra y que «nombra» la
fracción. Eso implica que tan sólo podemos operar con fracciones
que «se llamen» de la misma forma o, dicho en otras palabras,
que tengan el mismo denominador. Para conseguir que dos
fracciones que tienen un denominador diferente pasen a tener el
mismo y, por lo tanto, podamos sumarlas, restarlas o saber cuál
es la mayor, debemos realizar la siguiente operación: a / b + c /
d = (a x d) / (b x d) + (c x b) / (d x c) y después sumar los
numeradores resultantes.
De la suma de dos números pares siempre se obtendrá un
número par. Lo mismo ocurre con la suma de dos números
impares. Como vemos en la página 41, la demostración de estas
dos afirmaciones es la siguiente: 2n + 2n’ = 2 (n + n’) = 2n’’,
por un lado y (2n + 1) + (2n’ + 1) = 2n + 2n’ + 2 = 2 (n + n’ +
1) = 2n’’. En cuanto a la multiplicación, la de dos números pares
siempre da como resultado un par, mientras que la de dos
impares, resulta en un impar. Las demostraciones, que se hallan
en la página 42, serían las siguientes: 4n x n’ = 2 (2n x n’) =
2n’’; (2n +1) x (2n’ + 1) = 4nn’ + 2n + 2n’ + 1 = 2 (2n x n’ + n
+ n’) +1 = 2n’’ + 1.
De acuerdo con Guedj, «En las operaciones con los números, hay
tres
peldaños:
suma,
multiplicación
y
potencia. Una
multiplicación es una sucesión de sumas, y una potencia es una
sucesión de multiplicaciones.» (pp. 42-43).
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Los matemáticos griegos relacionaron de manera muy estrecha
las figuras cuadradas y cúbicas de lados iguales con las
potencias. Para ellos, un cuadrado cuyos lados midieran cuatro
centímetros estaba relacionado con el número 42; del mismo
modo, un cubo de lados de seis centímetros tendría un volumen
de 63.
La peculiaridad más destacada de la definición de la división es
que no se trata de una definición directa, sino que para
comprender esta operación debemos tener en cuenta la
multiplicación.
Los números primos son aquellos que tan sólo son divisibles por
sí mismos y por 1. Por lo tanto, es la operación de la división la
que nos ayuda a hallarlos y definirlos. Se diferencian del resto de
los números enteros en que estos últimos surgen del producto
de los números primos («¡Si sólo dispongo de números primos,
puedo obtener todos los números enteros!», p. 46), mientras
que los primeros no se pueden obtener a través de una
multiplicación.
Son muy valorados debidos a su gran divisibilidad. Son mucho
más divisibles que el 10 y el 100.
Cuando una fracción no puede escribirse con números enteros,
es decir, cuando el numerador no es un múltiplo del
denominador, se puede recurrir a la escritura de una coma que
separa las diferentes cifras del número resultante. A la izquierda
de la misma se encuentra la parte entera del número. A la
derecha, la parte decimal.
Los números decimales son «los que poseen un número finito de
decimales no nulos.» (p. 50)
Los números negativos surgieron para dar solución a la
necesidad de expresar de forma matemática una resta más
completa que la que existía antes de su nacimiento. Antes de
que contaran con los números negativos, los estudiosos tan sólo
podían restar de una cantidad otra que fuera menor que ésta;
ahora, por el contrario, podemos restarle a una cantidad otra
que sea mayor que ella.
La regla de los signos nos dice que, tomando como punto de
partida la nada, el 0, una cantidad positiva que se resta, da
como resultado una cantidad negativa; una cantidad negativa
que se resta resulta en una cantidad positiva; el producto y el
cociente de dos cantidades positivas o dos negativas es siempre
positivo, mientras que el producto o el cociente de una cantidad
positiva y otra negativa es siempre negativo.
Los cuadrados y los valores absolutos siempre son positivos.
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«La distributividad tiene una acción similar a la de las
identidades remarcables, transforma unas expresiones en otras
más prácticas para lo que se tiene que hacer.» (p. 55)
Capítulo 3. Geometría
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De acuerdo con el texto, en primer lugar debemos considerar el
punto, luego «las figuras planas, las curvas, los círculos, las
elipses, las rectilíneas, los triángulos, los cuadriláteros
(cuadrados, rectángulos, rombos, paralelogramos, trapecios) y
todos los polígonos. A continuación, las figuras en el espacio, los
sólidos, con, por el lado de la curva, el famoso trío: la esfera, el
cilindro y el cono, y, por el lado del plano, las pirámides.» (p.
58)
Una recta es una figura plana que no cambia nunca de dirección.
Está formada por infinidad de puntos, pero basta conocer dos de
ellos para definirla. Su propiedad más importante es que «es el
camino más corto entre dos puntos.» (p. 59) En lo que se refiere
a la curva, debemos decir que se trata de una figura plana
formada por puntos que cambia de dirección sin formar ángulos.
Dos rectas paralelas son aquellas que, estando situadas en el
mismo plano, no se encuentran en ningún punto. Por el
contrario, dos rectas son secantes cuando se cruzan y, por lo
tanto, tienen un punto en común. Cuando dos líneas se hallan en
planos diferentes pueden no ser paralelas pero tampoco ser
secantes.
Depende de si el tercer punto está alineado con los dos
primeros. En caso de estarlo, no aporta nada a la definición de la
recta. Sin embargo, si no está alineado, define un triángulo:
«pasamos de una recta a un plano.» (p. 61)
Cuando dos rectas son secantes crean cuatro espacios que hoy
en día se conocen como ángulos. Sin embargo, no se trata de
cuatro tipos de espacio diferentes, ya que aquellos que están
opuestos por el vértice son iguales. De hecho, hay un caso en el
que los cuatro ángulos pueden ser iguales: ésa es precisamente
la definición de un ángulo recto.
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En matemáticas se habla de tres tipos de ángulos diferentes.
Como ya hemos visto, el ángulo recto es aquel que se produce
cuando al cortarse dos líneas secantes todos los ángulos son
iguales. Cuando un ángulo es menor que el ángulo recto, se
denomina agudo; por el contrario, cuando es mayor se denomina
obtuso. También debemos señalar que a la suma de dos ángulos
rectos se le da el nombre de ángulo llano.
La distancia entre un punto y una recta se calcula trazando la
perpendicular de la recta que pasa por el punto. La distancia
entre dos rectas paralelas se calcula también trazando una
perpendicular a ambas.
Ambos símbolos pertenecen al campo de la geometría. El
primero de ellos, //, sirve para señalar que dos rectas son
paralelas. ⊥, por el contrario, quiere decir que dos rectas son
secantes.
Tanto el triángulo como el círculo son figuras cerradas y planas.
Sin embargo, mientras que el primero es una figura rectilínea, el
segundo no lo es. En cuanto a las figuras abiertas y cerradas, la
distinción principal entre unas y otras es que las primeras son
ilimitadas y las segundas ocupan un espacio concreto, calculable,
limitado.
Los tres ángulos de un triángulo suman siempre 180º; como
consecuencia de ello, se puede afirmar que si conozco dos
ángulos puedo conocer el tercero; también se puede asegurar
que un triángulo tan sólo puede tener un ángulo obtuso, de
manera que hay tres tipos de triángulos: «los que tienen tres
ángulos agudos y los que tienen dos ángulos agudos y uno
obtuso.» (p. 66) A estos debemos sumarle el triángulo
rectángulo: «dado que uno de los ángulos es recto, la suma de
los otros dos, los ángulos agudos, vale 90º.» (p. 66)
Vértice: ‘Punto en que concurren los dos lados de un ángulo’.
Adyacente: ‘Los ángulos adyacentes son Los formados a un
mismo lado de una línea recta por otra que la corta’.
Altura: ‘En una figura plana o en un sólido, distancia entre el
vértice o el punto más alejado y un lado o cara en la dirección
perpendicular’.
Mediana: ‘En un triángulo, recta trazada desde un vértice al
punto medio del lado opuesto’.
Mediatriz: ‘Recta perpendicular que corta un segmento en su
punto medio’.
Bisectriz: ‘Recta que divide un ángulo en dos partes iguales’.
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Las mediatrices, las bisectrices, las medianas y las alturas son
concurrentes, es decir, todas ellas se cortan entre sí en el mismo
punto.
Se refiere a que, mientras que para determinar que dos círculos
son iguales basta con una sola coincidencia entre ellos (la del
diámetro), para determinar la igualdad de dos triángulos
debemos encontrar al menos tres puntos comunes entre ellos.
«por ejemplo: si dos triángulos tienen un lado de la misma
longitud comprendido entre dos ángulos de la misma medida,
estos triángulos son iguales.» (p. 71)
Encontramos tres tipos de triángulos según la longitud de sus
lados: el equilátero, que es aquel que tiene todos los lados
iguales, el isósceles, que es el que tiene dos lados de la misma
longitud, y el escaleno, que es el que tiene todos los lados
diferentes.
Se trata del círculo más pequeño que pasa por todos los vértices
de un polígono y que, por lo tanto, contiene al polígono. Este
círculo tendrá como centro el punto de concurrencia de las
mediatrices. Los polígonos que admiten un círculo circunscrito
reciben el adjetivo de inscribibles.
Respuesta libre.
Una
figura
es
simétrica
cuando
puede
reconstruirse
completamente a partir de una de sus partes. Se distinguen dos
tipos de simetría: la simetría axial y la central. La primera de
ellas se establece con respecto a una recta y la segunda respecto
a un punto. Ambos tipos de simetría se relacionan entre sí: «si
una figura es simétrica respecto a dos rectas, es simétrica, en
una simetría central, con respecto al punto de encuentro de los
dos ejes.» (p. 75)
El número π es el que expresa la relación numérica existente
entre el diámetro y la circunferencia de cualquier círculo, sea del
tamaño que sea. Su valor exacto no se ha podido escribir y se
sabe que nunca se podrá, aunque se han determinado ya «los
primeros 1 241 millardos de decimales» (p. 78).
El círculo.
El teorema de Pitágoras es el que demuestra que en un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados
(c2 = a2 + b2).
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Capítulo 4. Álgebra
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En el mundo matemático una incógnita es el dato que se
desconoce y que se trata de descubrir mediante diferentes
cálculos.
Tanto en las igualdades como en las ecuaciones aparece el signo
=, lo cual quiere decir que ambas expresiones matemáticas
cuentan con dos miembros. También en ambas se utilizan
números conocidos; sin embargo, mientras que en las
ecuaciones también aparecen números desconocidos, ése no es
el caso de las igualdades.
La regla fundamental es que «si se modifican exactamente de la
misma manera los dos lados de una ecuación, se obtiene una
ecuación equivalente» (pp. 86-87). A partir de ahí, podemos
tratar de aislar la incógnita en el miembro de la izquierda
trabajando con ella como si fuera un número conocido.
Álgebra: ‘Parte de las matemáticas en la cual las operaciones
aritméticas son generalizadas empleando números, letras y
signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número
u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos
representa un valor desconocido se llama incógnita’.
Aritmética: ‘Parte de las matemáticas que estudia los números y
las operaciones hechas con ellos’.
Algoritmo: ‘Conjunto ordenado y finito de operaciones que
permite hallar la solución de un problema’.
En aritmética las letras representan a los números El filósofo y
matemático francés René Descartes fue el que generalizó el uso
de las letras en las ecuaciones y utilizó las primeras del alfabeto
para referirse a los parámetros —es decir, aquellos símbolos que
«permiten escribir la ecuación» (p. 89)— y las últimas para
representar las incógnitas.
«El grado es el exponente más elevado que figura en la
ecuación.» (p. 90)
Monomio: ‘Expresión algebraica que consta de un solo término’.
Polinomio: ‘Expresión compuesta de dos o más términos
algebraicos unidos por los signos más o menos. Los de dos o
tres términos reciben los nombres especiales de binomio y
trinomio, respectivamente’.
En álgebra los paréntesis funcionan como signos de puntuación
que sirven para aglutinar un determinado número de términos
consecutivos. Así se evita la ambigüedad que de otro modo se
produciría en ciertas expresiones matemáticas.
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Porque cualquier igualdad puede transformarse en otra cuyo
segundo miembro sea 0, lo cual en ocasiones nos lleva a
encontrar «una forma general simplificada» (p. 93) que nos
permite trabajar de forma más sencilla con la ecuación.
Cuando se factoriza una expresión matemática se está
convirtiendo una suma en una multiplicación. El desarrollo es la
actividad inversa: se convierte un producto en una suma.
Capítulo 5. Puntos y relaciones
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Respuesta libre.
La «geometría analítica» (p. 97).
Se trata de «un dispositivo que permita localizar y nombrar sin
ambigüedades todos los elementos de un conjunto dado.» (p.
98)
Mientras que para situar un punto en una recta tan sólo
necesitábamos un nombre, para situarlo en un plano
necesitamos dos. Esto se debe a que, mientras que la primera es
unidimensional, el plano es bidimensional. Así, se construye un
sistema de referencia a partir de dos ejes orientados que se
cortan en un punto O (origen). En cada uno de esos ejes se
define una unidad de distancia; «Proyectando el punto M
respectivamente sobre los dos ejes, se obtienen dos segmentos
[…] cuyas dimensiones algebraicas proporcionan los números x,
y, que son las coordenadas de M.» (p. 101)
Un plano está formado por el eje de abscisa (el eje X – X’) y el
eje de ordenada (el Y – Y’), que se cruzan en un punto O
(origen).
Respuesta libre.
En matemáticas las funciones expresan la relación que existe
entre dos fenómenos diferentes, es decir, nos informan de cómo
los cambios en uno de esos fenómenos (como por ejemplo la
velocidad o el peso) afectan al otro (la distancia o la altura, por
citar un par de casos).
Sí, el punto B (2, 9) cumple esa ecuación porque cumple la
igualdad; en consecuencia, sí está incluido en la curva
representativa de la misma. El punto C (5, 11), por el contrario,
no cumple la ecuación y por lo tanto no está incluido en su
representación gráfica.
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Nos permite distinguir los puntos en los que está más arriba y
«deja de crecer para decrecer» (p. 105) y en los que ocurre
justo lo contrario; en otras palabras, nos permite apreciar dónde
se encuentran los puntos de inflexión. Además, también
podemos identificar en ella cosas como las tangentes o los
puntos de intersección. Las funciones de primer grado siempre
están representadas por rectas, mientras que las de segundo
grado se reflejan por medio de una parábola siempre y cuando el
parámetro a sea distinto a 0 (caso en el que se convertirían en
una función de primer grado y, por lo tanto, se representarían
por medio de una recta).
El conjunto de partida es el grupo de números que, apareciendo
en la definición de la función, dan lugar cada uno de ellos a un
punto del grafo de la función.
Capítulo 6. Los problemas
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Los problemas matemáticos cumplen con la función de, por un
lado, comprobar que el alumno ha comprendido los conceptos y,
por el otro, verificar que es capaz de llevarlos a la práctica.
El enunciado de un problema matemático debe decirnos
forzosamente: «1) dónde se sitúa, en qué zona de las
matemáticas se desarrolla “la historia”; 2) cuáles son los
diferentes actores matemáticos […] y las relaciones que
mantienen en la historia.» (p. 108) A continuación, aparecerán
una serie de preguntas que siguen un orden concreto. Todos y
cada uno de los términos de tal formulación han de ser precisos,
exactos e informativos.
En ocasiones, se requerirá la traducción de los datos ofrecidos en
el enunciado al lenguaje matemático. Una vez hecho eso, hay
que decidir qué teorema de los aprendidos en clase se adecúa a
la cuestión que se nos plantea. Una vez que sepamos cuál es,
debemos aplicarlo y buscar la conclusión. En cualquier caso,
siempre hay que leer el enunciado hasta el final y con
detenimiento antes de comenzar a trabajar.
Las diferentes preguntas que suelen hacerse en el enunciado de
los problemas matemáticos responden al hecho de que «el
problema está construido como una escalera que facilita el
ascenso; en lugar de ir de una sola vez a la solución, llegas a
ella peldaño a peldaño.» (p. 111)
Hipótesis: ‘Suposición de algo posible o imposible para sacar de
ello una consecuencia’.
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Ray se refiere al hecho de que las propiedades de un objeto
matemático nos ofrecen datos respecto a él y, lógicamente,
cuanta más información referente al objeto tengamos, más
sencillo nos resultará trabajar con él.
Capítulo 7. El razonamiento
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En el universo de las matemáticas una demostración «Es un
camino que va de la situación de partida, la hipótesis, a la
situación de llegada, el resultado, la conclusión.» (p. 115) Ese
camino está formado por una serie de argumentos, «cada uno de
ellos consecuencia del anterior y causa del siguiente.» (p. 115)
Según el texto, un contraejemplo matemático es «el único caso
en el que se pasa de lo particular a lo general.» (p. 117) Se da
cuando una propiedad no se puede verificar en un caso
particular; en consecuencia, no se verifica en el caso general.
De la demostración y de los teoremas.
Un teorema está compuesto por la hipótesis y la conclusión. Los
teoremas siempre deben ir seguidos de una demostración, de
una prueba de que lo que se afirma en él es cierto, así que no
pueden ser falsos excepto que la demostración sea falsa.
La lógica es la ciencia que estudia las normas por las que se rige
el pensamiento racional. Su ley más relevante es el principio de
no contradicción: «una aserción y la contraria no pueden ser
verdaderas a la vez.» (p. 125) La segunda norma por la que se
rige esta ciencia es el principio del tercero excluido: «una
proposición es o bien verdadera, o bien falsa. No hay una tercera
posibilidad.» (p. 125)
La implicación lógica es una relación normalmente causal que
afecta a dos o más proposiciones y que está relacionada con su
valor de verdad. El símbolo que la representa es el siguiente: ⇒;
con la expresión «P ⇒ Q» decimos que la verdad de P implica,
comprende o comporta la verdad de Q.
Respuesta libre.
«Una proposición es una frase bien formada, por lo tanto, con un
sentido, pero que no se pronuncia sobre la certeza de lo que
expresa, mientras que una aserción es una proposición dada
como verdadera.» (p. 130)
El símbolo que se utiliza para expresar que se dan a la vez las
condiciones necesarias y suficientes es el siguiente: ⇔.
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Una fórmula matemática es no sólo la expresión matemática,
sino también «la presentación de la situación, es decir, las
condiciones en las que es válida.» (p. 133)
No, aún en la actualidad se descubren cada día miles de objetos
matemáticos nuevos. La investigación en este campo es, por lo
tanto, muy necesaria para el avance de la ciencia.
«Cuando se pasa a las proposiciones negativas, se cambia el
sentido de la implicación.» (p. 138)
El rigor matemático está relacionado con el hecho de que en esta
ciencia tan sólo se cree en la verdad de una afirmación cuando
se demuestra según las normas que ya hemos visto
anteriormente. También tiene que ver con la necesidad de la
exactitud de las definiciones, la precisión a la hora de establecer
los resultados, etcétera.
Una propuesta más
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Respuesta libre.
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