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¿CÓMO SE UTILIZA ESTE LIBRO?
DOBLE PÁGINA
PRESENTACIÓN
Comenzamos la unidad
de manera didáctica y
amena, con una actividad
cercana para el entorno
de los alumnos. A
continuación, aparece un
breve vocabulario en el
que se recoge los términos
matemáticos que se van a
emplear en dicha unidad;
su objetivo es el de recordar
conceptos de cursos
anteriores.
ELEMENTOS BÁSICOS
DE LA GEOMETRÍA
DEL PLANO
. '/-
$%%%%
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3+
*
%
0
%
%+%
3%%
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/%
*&
%%(%+
Es un instrumento matemático
para medir ángulos planos.
Es otro instrumento de dibujo
geométrico con forma de
triángulo cuyos ángulos miden
90º, 45º y 45º.
&
%&
(%%
/%
)%
%%%
&
Instrumento de dibujo parecido
al anterior, pero en este caso los
ángulos del triángulo miden 90º,
30º y 60º.
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&*(
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0*%
*%#
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'
'
#%*%*
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*%*&%
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(%
&
%(
Instrumento que permite trazar
circunferencias y arcos.
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, %
0
, "%%+2%%&
DESARROLLO
DE LA UNIDAD
9
2
CONSTRUCCIÓN DE RECTAS
PARALELAS Y PERPENDICULARES
Mira cómo se trazan rectas paralelas a una dada:
1.#'
0)
-0)
-'
0)
La unidad está estructurada
en epígrafes que
comienzan con una
actividad que sirve de
ejemplo para introducir el
concepto a tratar.
2.#
)
'
-
'*)
3.#))
3
ÁNGULOS
)**(0)
(
+, '
,*-
0
0)+()*
*.%
.%
Dentro del libro está
incluido un CD para el
alumno con material
multimedia para que
trabaje en el aula y en casa.
En cada unidad didáctica,
en aquellos apartados que
se complementen con el
CD, aparece el símbolo
que indica el empleo del
CD por parte del alumno
para complementar su
aprendizaje.
El ángulo de 90º se llama recto
y el de 180º llano.
!
)*-'
'
+1
0)
Tiempo
Aguja grande (minutero)
Aguja pequeña (horaria)
Una hora
Media hora
Un minuto
Aprende ahora a trazar rectas perpendiculares a otra dada:
1.-
0)
-'
1-)
2.#
)
)
-
'*)'
0) 3.#))
Ángulo)
+
)
vértice-
lados del ángulo.
$0)-32
&
' &' A
0)
42
Ángulos
Convexo: menos de 180°
CÓMO SE USA
EL CD
Recuerda
Los ángulos se miden en grados
desde 0 hasta 360.
"
'
(+)*
(0)/
Agudo: menos de 90°
Al finalizar cada apartado
se proponen ejercicios
para resolver para que
el alumno compruebe
la comprensión de los
conceptos estudiados.
9
Recto: 90°
Obtuso: más de 90°
Llano: 180°
Cóncavo: más de 180°
Ejercicios
5 Dibuja una recta r y tres paralelas a ella, en
cada uno de los tres casos siguientes:
a) r es horizontal,
a) s es horizontal,
b) s es vertical,
c) s es oblicua.
b) r es vertical,
c) r es oblicua.
(Recuerda que consideramos la posición de la recta
horizontal, vertical y oblicua referida a los bordes de
tu cuaderno.)
7 Dibuja una recta r y un punto A que no esté
en la recta. Dibuja una paralela a r que pase por A.
0
0)
Complementarios
Suplementarios
Suman 90°.
Suman 180°.
Opuestos por el vértice
Consecutivos
Uno se forma al prolon- Tienen un lado común.
gar los lados del otro a
partir del vértice.
Adyacentes
Son consecutivos y
suplementarios.
8 Dibuja una recta r y un punto A que no esté
en la recta. Dibuja una perpendicular a r que pase
por A.
6 Dibuja una recta vertical s y otra perpendicular a ella, en cada uno de los tres casos siguientes:
158
159
9
EJERCICIOS
RESUELTOS
NOMBRE SECCIÓN
EJERCICIOS
RESUELTOS
1 Los segmentos negros representan dos vallas.
El punto M es el lugar donde se encuentra María. Colorea la zona desde donde no puede verse a María:
b) Igualmente, 150° = 90° + 60°, por lo que en este caso
se colocan consecutivos el ángulo mayor del cartabón
y el recto de la escuadra:
^
^
^
6 Halla el valor de los ángulos A, B y C.
4 Elisa atraviesa la plaza en forma circular de la figura de forma que siempre está a la misma distancia
de los puntos A y B. Traza el camino que recorre.
A
70°
^
B
M
B
^
C
^
A
25°
La vista funciona en línea recta, por tanto, hay que trazar
las semirrectas que pasan por los bordes de las vallas y
por el punto M; en total, 4 semirrectas: r, s, t y u.
3 Dibuja la bisectriz de un ángulo de 230°.
u
IV
Se dibuja en primer lugar el ángulo de 230° = 180° + 50°.
Para ello se dibuja un ángulo llano y consecutivo a él
de 50°:
t
M
III
Los puntos por los que pasa Elisa están en la mediatriz
del segmento AB, pues así se define la mediatriz (puntos a la misma distancia de los extremos del segmento),
luego el camino que recorre está en la mediatriz.
^
Observa que el ángulo de 25° y el ángulo B son opuestos
por el vértice, luego:
A
^
B = 25°
^
I
Por otro lado, el ángulo de 25° y A son suplementarios,
luego:
s
II
^
B
A = 180° – 25° = 155°
^
r
^
Por último, los ángulos B, C y el de 70° suman 180°,
luego:
^
De esta forma, se ha dividido el plano en cuatro zonas:
I, II, III y IV.
C = 180° – (25° + 70°) = 85°
^
Desde las zonas I y III no puede verse a María, pues le
tapa la valla.
2 Utilizando los ángulos de la escuadra y el cartabón y el ángulo llano, dibuja un ángulo de:
a) 120°
Observa que 230° = 360° – 130°. Como la bisectriz de 130°
y la de 230° es la misma recta, es más sencillo hacer la
bisectriz de 130° y prolongarla.
a) Se puede descomponer 120° = 90° + 30°. Se colocan
consecutivos el ángulo menor del cartabón y el recto
de la escuadra:
^
120°
^
A
Se deben trazar las mediatrices de los segmentos que se
forman entre cada dos vendedores. Cada mediatriz es una
frontera entre dos zonas de venta, pues todos los puntos
de la mediatriz están a la misma distancia de losdos vendedores de los extremos.
b) 150°
^
7 Halla el valor de los ángulos A, B y C.
5 El parque de La Paz tiene forma de rectángulo y
en las cuatro esquinas hay un puesto de pipas. Cada
persona que desea comprar pipas se dirige al puesto
más cercano. Divide el parque en cuatro zonas que
correspondan a los lugares de los clientes de cada
vendedor.
^
C
^
B
^
Ya que ^el ángulo, A y el ángulo de 120° son suplementarios: A = 180° – 120° = 60°.
^
^
Por otro lado A y B son alternos internos (recuerda: ángu^
los F), y por lo tanto son iguales, así que B = 60°.
^
^
Observa en el dibujo que B y C son opuestos por el vér^
tice, así que C = 60°.
164
9
EJERCICIOS
PROPUESTOS
NOMBRE SECCIÓN
EJERCICIOS
PROPUESTOS
Rectas, semirrectas y segmentos
1
Alicia (A) está jugando al escondite junto a su
casa, y tiene que encontrar a sus amigos que están en
los puntos B, C, D y E. Desde la posición en la que está, ¿a
cuáles de ellos puede ver Alicia? ¿Podrías marcar la zona
donde se pueden esconder sus amigos para no ser vistos
por Alicia?
A
C
B
E
D
2
El segmento de la figura representa una valla. El
punto M es el lugar donde se encuentra Miguel. Dibuja la
zona del otro lado de la valla, desde la que no se puede
ver a Miguel.
¿Puede una persona en P ver las tres torres? Marca con
tres colores diferentes la parte de la calle desde donde
se ve:
a) Sólo A
b) Sólo A y B
c) A, B y C
5
Observa en la
siguiente cuadrícula los
puntos P y Q y dibuja un
punto:
a) T de forma que PQ y QT
formen un ángulo de
180°.
Ángulos
3
La línea negra representa una valla. El punto A
es el lugar donde se encuentra Paula y el punto B donde
está Verónica. Dibuja la zona desde la que no se puede
ver a ninguna de las dos.
11
Observa la figura siguiente e indica el valor de
todos los ángulos, sin usar el transportador:
^
^
B
A
^
^
C
D
^
^
E
F
^
42°
G
7
Dibuja ahora dos rectas perpendiculares r y s.
Traza una recta t paralela a r y otra recta u paralela a s.
¿Cómo son entre sí las rectas t y u?
^
b)
13
^
B
C
^
^
A B
^
D
^
F
G
^
H
s
9
Observa la situación de los puntos A y B
en la siguiente cuadrícula:
encuentra dos puntos P y
Q de forma que:
14
^
b)
^
A
A
b) AB y AQ formen un ángulo de 90°.
PARA REPASAR
EN GRUPO
22
Forma parejas de ángulos complementarios entre los siguientes:
^
^
^
A = 48°
B = 35°
C = 42°
^
^
^
D = 20°
E = 55°
F = 80°
^
Averigua el valor de los ángulos A y B:
a)
Dibuja dos ángulos consecutivos de 180°
21
Dibuja un rectángulo de lados 3 y 4 cm y traza
en él una diagonal. De los ángulos que se han formado
mide sólo uno con el transportador y escribe cuánto miden todos los demás. Explica las razones en las que te
has apoyado.
Parejas de ángulos
Suplementarios
Opuestos por el vértice
Adyacentes
A
A
Dibuja dos ángulos consecutivos de 40° y 25°.
20
Escribe tres horas diferentes en las que las agujas del reloj formen un ángulo de:
a) 120º
b) 60º
^
C
^
E
r
17
18
y 35°.
19
Escribe tres horas diferentes en las que las agujas del reloj formen un ángulo de:
a) 45°
b) 180°
Observa la figura y completa la tabla:
c)
s
^
12
Si el ángulo complementario de A es B, ¿el com^
^
plementario de B es A? ¿Por qué?
8
Indica en qué casos la recta s es perpendicular
a la recta r por el punto A.
40°
a) PA y AB formen un ángulo de 180°.
A
Situados al final de cada
unidad, están adaptados
al nivel de conocimientos
de los alumnos. Se han
estructurado manteniendo
el orden de los diferentes
epígrafes del tema objeto
de estudio, marcando
los mismos por nivel
de dificultad para que
resulte sencillo abordar su
resolución.
80°
16
En un reloj:
a) Compara los ángulos que forman las agujas a las 3:15
y a las 3:05.
b) Piensa en el ángulo que forman las agujas a las 3:20.
Indica otra hora en la que se forme un ángulo el doble
de grande.
c) Escribe tres horas diferentes en las que las agujas formen 90°.
d) ¿Cuál es el ángulo más grande que puede formar?
e) ¿Y el más pequeño?
C
P
r
166
^
B
^
B
^
B
P
^
20°
^
A
r
4
A, B y C son tres torres, en una misma calle, situadas una detrás de otra:
^
^
A
^
C
37°
Q
Rectas paralelas y perpendiculares
A
^
^
^
c) S de forma que PQ y PS formen un ángulo de 90°.
s
^
D
b) R de forma que PQ y PR
formen un ángulo de
45°.
a)
A
^
Averigua el valor de los ángulos A, B, C y D.
15
^
10
Indica el valor de los ángulos A, B y C, sin usar
el transportador:
6
Dibuja dos rectas paralelas r y s. Traza una recta
t perpendicular a r y otra recta diferente u perpendicular
a s. ¿Cómo son entre sí las rectas t y u?
M
9
165
^
^
B
B
23
Forma parejas de ángulos suplementarios entre
los siguientes:
^
^
^
A = 132°
B = 42°
C = 48°
^
^
^
D = 131°
E = 138°
F = 49°
110°
A
^
B
167
PARA REPASAR
EN GRUPO,
CURIOSIDADES,
JUEGOS Y
DESAFÍOS
CURIOSIDADES,
JUEGOS Y DESAFÍOS
Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos
de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Problema
CONCEPTO
CD
En la pestaña Actividades/
Ejercicios modo examen/
Unidad 9, encontrarás varios
ejercicios interactivos, para
repasar la unidad.
CD
En la pestaña Documentación/
Unidad 9/Animaciones,
encontrarás una animación para
ayudarte la geometría.
DEFINICIÓN
Dos rectas pueden cortarse en un punto o en ninguno.
Rectas secantes
Rectas que se cortan.
Rectas perpendiculares
Rectas que se cortan y forman un ángulo de 90°.
Rectas paralelas
Rectas que no se cortan.
Ángulo convexo
Menor de 180°.
Ángulo cóncavo
Mayor de 180°.
Ángulo agudo
Menor de 90°.
Ángulo recto
De 90°.
Ángulo obtuso
Mayor de 90° y menor de 180°.
Ángulo llano
De 180°.
Grados, minutos y segundos
Unidades de medida para los ángulos:
1° = 60’, 1’ = 60’’.
Con tres rectas es tres, como se ve en la figura: las dos primeras rectas se cortan en un punto y la
segunda puede dibujarse de forma que corte a las otras dos.
Ángulos complementarios
Los que suman 90°.
Con cuatro rectas es seis: las tres primeras se cortan en tres y la cuarta puede dibujarse de forma
que corte a las otras tres.
Ángulos suplementarios
Los que suman 180°.
Ángulos consecutivos
Los que tienen un lado común.
Con cinco rectas, las cuatro primeras se cortan en seis y la quinta puede cortar a las otras cuatro,
luego diez cortes.
Ángulos adyacentes
Los que son consecutivos y suplementarios.
Ángulos opuestos por el
vértice
Los que tienen el mismo vértice y sus lados son la
prolongación de los del otro.
Mediatriz de un segmento
Recta perpendicular al segmento que pasa por su
punto medio.
Bisectriz de un ángulo
Recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide
en dos ángulos iguales.
Con tres rectas, el máximo número de puntos de corte es tres:
¿Cuál es el máximo número de cortes con cuatro rectas? Investiga qué es lo que ocurre cuando el
número de rectas aumenta.
Solución
Con dos rectas, el máximo número de cortes es uno.
Estudiamos la relación entre las dos series de números, para tratar de encontrar una pauta:
N.º de rectas
2
3
4
5
N.º de cortes
1
3
6
10
En cada caso, el número de cortes se calcula sumando al paso anterior el número de rectas menos
uno.
Estrategias utilizadas: hacer un dibujo y estudiar regularidades.
B
Problema propuesto
¿Cuántas rutas hay desde A hasta B si
la única forma de moverse es por las
líneas marcadas y hacia la derecha y
hacia arriba?
170
Batería de actividades
en las que se recoge
una recopilación de
estrategias de resolución
de problemas, teniendo
en cuenta la relación entre
diferentes conceptos,
desarrollada para cada
una de las unidades del
libro, cuya finalidad es la
de transmitir y aclarar al
alumno los procedimientos
para su resolución.
B
A
A
171
Estas secciones tienen
como finalidad ayudar
al alumno a ordenar los
conceptos fundamentales
de la unidad motivándole
para emplear
correctamente el lenguaje
matemático dentro de su
contexto.