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Unidad Didáctica 7
Trazados Geométricos
1.- ¿Qué es la Geometría?
La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma
griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de
la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en
el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, (que
incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos,
poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico.
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos
relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada,
mecánica,
arquitectura,
cartografía,
astronomía,
náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños.
2.- Tipos de Geometría
a tierra, y el universo, está llena de objetos naturales y artificiales
con diferentes formas geométricas. Formas circulares, rectangulares,
prismáticas, etc.
se distinguen dos tipos de geometría, según las figuras que se estudien:
a) geometría plana, que estudia las propiedades y medidas de las figuras
planas, bidimensionales, ósea, las que se dibujan en un plano de dos
dimensiones, en una hoja.
b) geometría espacial, estudia las propiedades y medidas de las figuras
tridimensionales, las que tienen longitud, anchura y altura, y se encuentran
en el espacio en que vivimos.
2.- Tipos de Geometría
Ejemplos de Geometría plana o euclidiana.
2.- Tipos de Geometría
Ejemplos de geometría espacial
3.- Elementos Geométricos
la geometría se puede utilizar y desarrollar gracias a sus tres
elementos básicos (como si fueran los materiales de la obra): punto, línea y
plano.
a) el punto. En geometría es uno de los entes
fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos
primarios.
El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud,
área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe
una posición en el espacio.
El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua
concepción griega de la geometría, desarrollada en Alejandría por
Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto muy
curiosa: «lo que no tiene ninguna parte».
3.- Elementos Geométricos – El Punto
En geometría el punto se define como la intersección de
dos rectas o de una recta y un plano, y se representa con una
letra mayúscula: a, b, c...
3.- Elementos Geométricos – La Línea
b) La línea. es una sucesión de infinitos puntos unos detrás
de otros. Pueden formar líneas rectas o líneas curvas. Se dibujan con trazo
fino y se representan con letras minúsculas: r, s, t...
En geometría, la línea también puede considerarse como la
distancia más corta entre dos puntos puestos en un plano.
3.- Elementos Geométricos – El Plano
En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos
dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos
fundamentales de la geometría junto con el punto y la línea.
Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto
geométrico que no posee volumen, es decir, es bidimensional, y que posee un
número infinito de rectas y puntos. Los planos se representan con letras del
alfabeto griego.
Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural (planos) se está
hablando de aquel material que es elaborado como una representación
gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son
especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven
para representar en una superficie plana objetos que son regularmente
tridimensionales.
3.- Elementos Geométricos – El Plano
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
1. Tres puntos no alineados.
2. Una recta y un punto exterior a ella.
3. Dos rectas paralelas.
4. dos rectas que se cortan.
3.- Elementos Geométricos – El Plano
3.- Elementos Geométricos – El Plano
Planos de una casa.
4.- Instrumentos de Dibujo
Podemos realizar dos tipos de dibujos, los dibujos a mano alzada y
los dibujos técnicos o geométricos.
Los dibujos a mano alzada son los que se hacen sin instrumentos de
dibujo, de forma rápida y se utilizan para expresar ideas sin muchos
detalles. Se llaman croquis o bocetos a mano alzada.
Por el contrario los dibujos técnicos se realizan a escala y
proporcionado a las medidas de la realidad. Son mucho más detallados y
necesitan del uso de instrumentos de dibujo: compás, regla, escuadra,
cartabón, plantillas, estilógrafos, etc.
4.- Instrumentos de Dibujo
dibujo a mano alzada
dibujo técnico
4.- Instrumentos de Dibujo
El Compas
El compás es una herramienta de dibujo que se utiliza para realizar
circunferencias, arcos de circunferencias, tomar medidas y trasladarlas.
Tiene los brazos articulados y se pueden utilizar accesorios, tales como la
alargadera y el adaptador de portaminas o estilógrafos.
Hay
muchos
tipos
de
compases y de diferentes
calidades, pero todos sirven
para lo mismo, realizar
circunferencias y trasladar
medidas.
4.- Instrumentos de Dibujo
El Compas
Cómo hay que coger el compás.
4.- Instrumentos de Dibujo
La Regla Graduada
Para trazar líneas rectas y medir distancias se utiliza la regla
graduada o milimetrada.
Hay muchos tipos de reglas milimetradas. pueden ser de madera,
plástico, metal. Pueden medir 20 cm, 30 cm, hasta 100 cm. Pueden llevar
hasta seis escalas en la misma regla.
Es muy importante la limpieza y tener en condiciones los cantos de
la regla para que al realizar las líneas salgan rectas y uniformes. Los cantos
no deben estar mellados.
4.- Instrumentos de Dibujo
Escuadra y Cartabón
Son dos reglas de forma triangular. La escuadra tiene dos ángulos de
45º y uno de 90º. El cartabón tiene un ángulo de 30º, otro de 60º y un
tercero de 90º.
Combinando la escuadra y el cartabón se pueden realizar líneas
paralelas, perpendiculares y oblicuas, además de trazar cualquier ángulo
múltiplo de 15º.
4.- Instrumentos de Dibujo
Escuadra y Cartabón
Trazado de líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas.
5.- Rectas en el Plano
Cuando varias rectas están relacionadas en el plano según la posición que
ocupan, se pueden definir como:
Rectas paralelas. Las que no
llegan nunca a cortarse, o se
cortan en el infinito.
Rectas oblicuas. Aquellas que
se cortan formando un ángulo
distinto de 90º.
Rectas perpendiculares.
Aquellas que se cortan formando
un ángulo de 90º.
5.- Rectas en el Plano
Trazados Rectas Paralelas
Con Escuadra y Cartabón:
5.- Rectas en el Plano
Trazados Rectas Paralelas
De otra Forma:
5.- Rectas en el Plano
Trazados Rectas Perpendiculares
Con Escuadra y Cartabón:
5.- Rectas en el Plano
Trazados Rectas Perpendiculares
Con Regla y Compas:
6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos
La recta se define como una línea infinita que no cambia de
dirección. No tiene principio ni fin. Por eso en los dibujos trabajamos con
semirrectas y segmentos, trocitos de rectas que no salgan del papel.
por
Semirrecta: es un trozo de recta limitada por uno de sus extremos
un
punto
e
ilimitada
por
el
otro
extremo.
Segmento: es un trozo de recta limitada en sus dos extremos por
dos puntos.
6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos
Transporte de medidas
Para transportar la medida – distancia – de un segmento AB a una recta r
únicamente tomaremos la medida con un compás y la trasladaremos a la
recta.
6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos
Operaciones con Segmentos
Suma de segmentos: Para sumar dos segmentos A y B, se miden sus
distancias y se transportan con un compás a una recta r. El final de un segmento
se une al principio del otro y el nuevo segmento suma sería el A+B.
6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos
Operaciones con Segmentos
Resta de segmentos: Dados dos segmentos A y B, la diferencia A-B
se realiza trasladando la medida de la distancia del segmento B al inicio del
segmento A. Lo que “resta” es la diferencia, el segmento A-B.
6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos
División de Segmentos
División de Segmentos en dos partes iguales: Dado un segmento
AB, para dividirlo en dos partes iguales hay que realizar su mediatriz. Se
realiza de la siguiente manera.
6.- Rectas, Semirrectas y Segmentos
División de Segmentos en Partes
Iguales
División de un segmento en varias partes iguales:
dado un segmento AB, si lo queremos dividir en varias partes iguales se
traza una recta r arbitraria desde el punto A del segmento y se divide en
tantas partes (ej.: 6 partes). Se van trazando rectas paralelas desde los
puntos de la recta r hacia el segmento AB hasta dividirlo del todo.
7.- Ángulos
Se llama ángulo a la zona del plano comprendida entre dos líneas que se
cortan en un punto.
Los lados del ángulo - las dos semirrectas que se cortan en el vértice O –
son las rectas que lo forman.
Los ángulos se miden en grados.
7.- Ángulos Según sus Medidas
Según la medida del ángulo, se pueden clasificar en cuatro tipos:
A) Ángulo recto, el que mide 90 grados.
B) Ángulo agudo, mide menos de 90 grados.
C) Ángulo obtuso, mide más de 90 grados.
D) Ángulo llano, mide 180 grados, un lado es la
prolongación del otro.
7.- Ángulos – Relaciones con Ángulos
Cuando comparamos dos ángulos entre sí en relación a lo que mide cada
uno, pueden ser:
A) Si los dos ángulos miden lo mismo se denominan iguales.
B) Si entre los dos suman un ángulo de 90º se llama complementarios, uno
complementa al otro.
C) Si entre los dos suman 180º se les llama suplementarios.
7.- Ángulos – Relaciones con Ángulos
Si comparamos los ángulos según sus lados, pueden ser:
A) Adyacentes. Cuando tienen un lado en común y los otros dos en línea
recta.
B) Consecutivos. Tienen el vértice y un lado común.
C) Opuestos por el vértice. Tienen el vértice común, siendo los lados de
cada ángulo prolongación del otro ángulo.
7.- Ángulos – Bisectriz
Se denomina bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a ese
ángulo en dos ángulos iguales.
7.- Ángulos – Bisectriz
Como se hace la bisectriz de un ángulo
8.- Circunferencias
Se denomina circunferencia a una línea curva y cerrada, formada
por una sucesión de infinitos puntos que equidistan de otro punto fijo,
llamado centro.
Los elementos principales de una circunferencia son:
1.
2.
3.
4.
5.
Arco: Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
Radio: segmento o distancia comprendida entre el centro de la circunferencia
y cualquiera de sus puntos.
Diámetro: segmento o distancia de la línea que pasa entre dos puntos de la
circunferencia y por el centro de la misma. Divide la circunferencia en dos
partes iguales y su distancia es el doble que el radio.
Centro: punto del que distan a la misma distancia todos los puntos de la
circunferencia. Es el punto donde se pincha con el compás para dibujar la
circunferencia.
Cuerda:
segmento
que
une
dos
puntos
cualesquiera
de
la
circunferencia.
La
cuerda
divide
la
circunferencia
en
dos
arcos.
La
cuerda
mas
grande
es el diámetro.
8.- Circunferencias
8.- Circunferencia - Circulo
El círculo es una superficie limitada por la circunferencia. Su superficie
se mide en unidades de superficie (ej,: 55 cm2).
Circunferencia
(1 dimensión)
Círculo
(2 dimensiones)
Esfera
(3 dimensiones)
8.- Trazado Circunferencia
Trazado de una circunferencia a partir de tres puntos no alineados.
8.- Posiciones Relativas de Rectas y
Circunferencias
Una recta puede tener diferentes posiciones en relación a la
circunferencia.
1. Recta tangente. Cuando la recta sólo tiene un punto en común, de
contacto, con la circunferencia, y es perpendicular al radio que pasa por el
punto de contacto.
2. Recta secante. La recta corta a la circunferencia en dos puntos
cualesquiera.
3. Recta exterior. No corta a la circunferencia en ninguna parte. Pasa de
largo.
8.- Posiciones Relativas de Rectas y
Circunferencias
8.- Posiciones Relativas de Dos
Circunferencias
También dos circunferencias pueden tener posiciones
relativas la una respecto de la otra.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Circunferencias exteriores. No tienen ningún punto en común, de
contacto o corte.
Circunferencias tangentes exteriores. Tienen un punto en común y las
dos circunferencias están una fuera de la otra.
Circunferencias tangentes interiores. Tienen un punto en común pero
una circunferencia está dentro de la otra.
Circunferencias secantes. Se cortan en dos puntos.
Circunferencias concéntricas. Tienen el mismo
centro.
Circunferencias interiores. Están situadas una dentro de la otra, pero
no tienen el mismo centro. No son concéntricas
8.- Posiciones Relativas de Dos
Circunferencias