Download Tema 10.- Rectas y Ángulos

Tema 10
RECTAS Y ÁNGULOS
PARA EMPEZAR
(Si conoces alguna curiosidad que pueda interesar a tus compañeros envíamela)
APRÉNDETE LA POESÍA Y ADIVINA LO QUE ES
Soy y seré a todos definible
Mi nombre tengo que daros
Cociente diametral siempre inmedible
Soy de los redondos aros
1
APUNTES DE GEOMETRÍA
(1º DE e.s.o.)
2
GEOMETRÍA
APUNTES DE GEOMETRÍA
Recordando conceptos
1. Espacio.- Se puede dar un concepto intuitivo de espacio, invitándoles a imaginar...
Que miren al cielo y que piensen: ¿Qué hay ahí?... Se acaba, no se acaba, ...
También sacudiendo el cepillo (borrador)... esos puntos que caen...
Imaginar una lluvia de loes, de lodos, de puntos...
Una vez definido el plano, se puede indicar que es una superposición de planos.
Como representación simbólica se indica la clase (hacer notar que tiene largo, ancho y alto).
C o n c e p t o.- Conjunto infinito de puntos que no acaba nunca, ni hacia abajo, ni
hacia arriba, ni hacia la derecha, ni hacia la izquierda. Tiene largo, ancho y alto.
2. El plano.- Colocar folios uno al lado del otro. Indicar que siempre se podrían colocar
más folios, y más, y más...; pero uno a continuación del otro, nunca encima.
Sacudir el borrador encima de la mesa. Los puntos están ahora uno a continuación
del otro, nunca encima, ... no se acaban nunca.
La mancha de aceite que se extiende, se extiende, se extiende, ...
C o n c e p t o.- Conjunto infinito de puntos que no tiene grosor.
R e p r e s e n t a c i ó n.- Se representa con un paralelogramo y una letra mayúscula
en un extremo.
3. Recta.- Ahora colocamos los puntos en fila, como los soldados; uno detrás de otro. Pero
es una fila que no se acaba nunca, ...
Dar ideas de la recta: borde de una mesa, esquina del bloque, cable de la luz, etc.
C o n c e p t o.- Conjunto infinito de puntos que solo tiene longitud, no tiene
grosor ni anchura. Se representa por una letra minúscula. Dá idea de línea recta la
distancia más corta entre dos puntos.
4. Semiplano.- Dibujamos una recta en el plano de la pizarra. ¿Qué le hace esa recta al
plano? ¿Cómo son esas dos partes?
C o n c e p t o.- Semiplano es una de las dos partes en que una recta divide al
plano.
5. Punto.- Dibujar dos rectas en la pizarra, de modo que se corten. ¿Qué es lo que esas dos
rectas tienen en común? Dibujar una recta con tiza amarilla y otra con tiza azul. ¿Qué es
lo que tiene color verde?
C o n c e p t o.- Intersección de dos rectas que se cortan.
o
3
6. Semirrecta.- Vamos a marcar un punto en una recta. ¿Qué le hace el punto a esa recta?
¿Cómo son esas dos partes? Hacer notar que ese punto marca el origen. Hacer notar que
esa semirrecta contiene otros muchos puntos.
C o n c e p t o.- Si en una recta marcamos un punto, ese punto determina dos
semirrectas. Si se cortan dos rectas, a partir del corte se determinan cuatro semirrectas.
¿Cómo se nombran?
B
D
A
o
Semirrecta de origen “o”, que contiene al punto “A”
Semirrecta de origen “o”, que contiene al punto “B”
A
Semirrecta de origen “o”, que contiene al punto “A”
Semirrecta de origen “o”, que contiene al punto “B”
Semirrecta de origen “o”, que contiene al punto “C”
Semirrecta de origen “o”, que contiene al punto “D”
O
C
B
7. Segmento.- Supongamos la semirrecta de origen “o”, que contiene al punto “A” y la
semirrecta de origen “q”, que contiene al punto “B”. ¿Cuál es la intersección de ambas
semirrectas? ¿Qué tienen en común ambas semirrectas? A esa intersección, es a lo que
llamamos segmento.
B
A
o
q
C o n c e p t o.- Es la intersección de dos de las cuatro semirrectas que se originan
si imagináramos dos rectas superpuestas y colocando dos puntos, uno en cada una de
ellas.
También se puede definir como un trozo de recta que tiene principio y fin.
Igualmente podríamos decir que es la distancia más corta entre dos puntos.
8. Región angular.- En un plano dibujamos dos rectas que se corten. Cada una de ellas
determina dos semiplanos. Diremos que la intersección de dos de esos cuatro
semiplanos, es una región angular.
4
C o n c e p t o.- Es la intersección de dos de los cuatro semiplanos que se
determinan al cortarse dos rectas en el plano.
9. Banda matemática.- En un plano situamos dos rectas paralelas. Cada una de ellas
determina dos semiplanos. La intersección de dos de estos cuatro semiplanos es una
banda matemática.
C o n c e p t o.- Es la intersección de dos de los cuatro semiplanos que determinan
dos rectas paralelas en el plano.
10. Paralelogramo.- Es la intersección de dos bandas matemáticas.
11. Poligonal.- Son una serie de segmentos de tal manera que el extremo de uno va
coincidiendo con el origen del otro.
Hay poligonales abiertas y cerradas. Abierta es cuando el extremo del último
segmento no coincide con el origen del primero
Poligonal cerrada es cuando el extremo del último segmento coincide con el origen
del primero.
12. Polígono.- Es la parte de plano que queda en el interior de una poligonal cerrada.
13. Qué significa medir un segmento.Medida del segmento AB
, con el segmento unidad, u
las veces que u cabe en AB.
Si AB mide 8, quiere decir que u cabe 8 veces en AB.
5
, es contar
14. Medida de polígonos.- Igual que con los segmento, se elige un polígono unidad.
Medir ABCD con “u” significa ver las veces que el cuadrado unidad “u” cabe en el
polígono ABCE.
A
B
u
D
C
15. Polígonos semejantes.- Un polígono, ABCD es semejante a otro, A´B´C´D´ si
A´B´C´D´ contiene un número exacto de veces al ABCD.
16. Triángulo.- Es la intersección de una banda matemática y una región angular, el vértice
de la región angular coincide con un lado de la banda matemática.
O bien, la intersección de tres regiones angulares.
Datos de un triángulo. Lados.- Si sumamos sus medidas nos da el perímetro
 Ángulos.- Los tres ángulos de un triángulo suman 180º
 Vértices.- Tienen tres, es el punto de intersección de cada dos lados.
 Altura.- Es la línea perpendicular que une el vértice con el lado opuesto. Un
triángulo tiene tres altura, una por cada vértice.
17. Semejanza de triángulos.- Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos
iguales y los lados homólogos proporcionales.
A
A = A, por común.
B’= B, por correspondientes.
B’
C’
C’= C, por Correspondientes.
B
C
AB  AC  BC 


AB
AC
BC
6
Casos de semejanza de triángulos:
 Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.
A
A’
AB  AC  B C 


AB
AC
BC
B
C
B’
C’
 Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
A A’
B
A =A’, por común.
B = B’, por correspondientes.
Como A+B+C = 180º; si dos ángulos son
iguales, el tercero también lo será. Por lo tanto,
los dos triángulos son semejantes.
C
B’
C’
 Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los dos lados que
forman dicho ángulo son proporcionales.
A A’
A = A’, por común.
B
C
AB
AC

AB  AC 
B’
C’
18. Circunferencia.- Conjunto de puntos que está a la misma distancia del centro.
Es una línea curva y cerrada que tiene todos sus puntos a la misma distancia del centro.
 Arco.- Es un trozo de circunferencia.
 Cuerda.- Segmento que une dos puntos de una circunferencia.
Segmento que une los dos extremos de un arco.
 Radio.- Segmento que une el centro con cualquiera de los puntos de la
circunferencia.
7
19. Posición de un punto con respecto a una circunferencia.- Puede ser:
 Interior: d (OA) < r; distancia del punto A al centro O, es menor que el radio.
 Frontera: d (OA) = r; distancia del punto A al centro O, es igual que el radio.
 Exterior: d (OA) > r; distancia del punto A al centro O, es mayor que el radio.
20. Posición de una recta con respecto a una circunferencia.- Puede ser:
 Exterior: no tiene intersección con la circunferencia.
 Tangente: La línea toca a la circunferencia en un punto. La intersección es un
punto.
 Secante: La intersección son dos puntos. Corta a la circunferencia en dos puntos.
21. Posición de un ángulo con respecto a una circunferencia.- Puede ser:
 Interior.- Si el vértice está en el interior de la circunferencia. Mide la mitad de la
suma del arco que abarca y del que abarcan las prolongaciones de los lados.

 Exterior.- Si el vértice está fuera de la circunferencia y los lados la cortan. Mide la
mitad de la diferencia de los dos arcos que abarca.
 Central.- Si el vértice coincide con el centro de la circunferencia. Mide lo mismo
que el arco que abarca.
8
 Inscrito.- Si tiene el vértice en un punto de la circunferencia y sus lados la cortan.
Mide la mitad del arco que abarca.
Concretando conceptos.
Relaciones angulares.1. Ángulo agudo.- El que es menor que un recto.2. Ángulo central.- Sus lados coinciden con dos radios de una circunferencia. Mide lo
mismo que el arco que abarca.
3. Ángulos complementarios.- Dos ángulos son complementarios si suman un recto.
4. Ángulo llano.- Es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, están sobre la misma
recta y mide 180º.
5. Ángulo oblicuo.- El que no es recto.
6. Ángulo obtuso.- El que es mayor que un recto y menor que un llano.
7. ángulo recto.- Sus lados son dos semirrectas perpendiculares de origen común.
Mide la mitad que un llano: 90º.
8. Ángulos suplementarios.- Dos ángulos son suplementarios si suman un llano: 180º.
Ángulo suplementario es lo que le falta a otro para sumar un llano.
9. Ángulos consecutivos.- Tienen el vértice y un lado común.
10. Ángulos adyacentes.- Son consecutivos y suplementarios.
11. Ángulos de lados paralelos.- O son iguales o son suplementarios.
12. Ángulos que se forman al ser cortados dos rectas paralelas por una secante.a. Correspondientes.- Al mismo lado de la secante, uno interno y otro externo.
b. Alternos externos.- A distinto lado de la secante, ambos externos.
c. Alternos internos.- A distinto lado de la secante, ambos internos.
d. Opuestos por el vértice.- Sus lado son semirrectas opuestas.
e. Ángulos conjugados internos.- Están al mismo lado de la secante y en el
interior de las paralelas.
f. Ángulos conjugados externos.- Están al mismo lado de la secante y en el
exterior de las paralelas
9
4
3
8
7






1
2
5
6
Opuestos por el vértice: 1 y 3, 2 y 4, 5 y 7, 6 y 8
Correspondientes: 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8
Alternos externos: 1 y 7, 4 y 6
Alternos internos: 2 y 8, 3 y 5
Conjugados externos: 1 y 6, 4 y 7
Conjugados internos: 2 y 5, 3 y 8
13. Ángulo cóncavo.- Vale más de dos rectos.
14. Ángulo convexo.- Vale menos de dos rectos.
15. Ángulo nulo.- Sus lados son semirrectas superpuestas. Mide 0º (Abanico chino
cerrado).
16. Ángulo máximo.- Sus lados son semirrectas superpuestas pero mide 360º (Abanico
chino abierto).
17. Ángulos en los polígonos. Consiste en dividir el polígono en tantos triángulos como se pueda (número
de lados menos dos: n–2).
 Los ángulos de cada triángulo miden 180º.
 Un polígono tiene el mismo número de ángulos que de lados.
 Luego:
(n  2)180
Cada ángulo mide:
n
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Tema 10
RECTAS Y ÁNGULOS
OBJETIVOS
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Conocer, comprender y utilizar con rigor, precisión y claridad los conceptos básicos
de la Geometría.
Realizar construcciones geométricas sencillas con los instrumentos de dibujo.
Identificar relaciones de simetría.
Medir, trazar y clasificar ángulos.
Operar con medidas de ángulos en el sistema sexagesimal.
Conocer y utilizar algunas relaciones entre los ángulos en los polígonos y en la
circunferencia.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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Conoce y utiliza procedimientos para el trazado de paralelas y perpendiculares.
Construye la mediatriz de un segmento y conoce la característica común a todos sus
puntos.
Construye la bisectriz de un ángulo y conoce la característica común a todos sus
puntos.
Reconoce los ejes de simetría de figuras planas.
Dada una figura, representa su simétrica respecto a un eje determinado.
Clasifica y nombra ángulos según su medida y sus posiciones relativas.
Nombra los distintos tipos de ángulos determinados por una recta que corta a otras
dos paralelas e identifica relaciones de igualdad entre ellos.
Utiliza correctamente el transportador para medir y dibujar ángulos.
Utiliza las unidades del sistema sexagesimal y sus equivalencias.
Suma y resta medidas de ángulos expresadas en forma compleja.
Multiplica y divide la medida de un ángulo por un número natural.
Conoce el valor de la suma de los ángulos de un polígono y lo utiliza para realizar
mediciones indirectas de ángulos.
Conoce las relaciones entre ángulos inscritos y centrales en una circunferencia y las
utiliza para resolver sencillos problemas geométricos.
CONCEPTOS
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El lenguaje geométrico.
— Conceptos básicos de Geometría: espacio, semiespacio, plano, semiplano,
recta, semirecta, el punto, el segmento, región angular, poligonal,
polígonos, …
— Posiciones relativas de rectas en el plano
Los instrumentos de dibujo: compás, escuadra, cartabón, regla y transportador.
Simetrías en las figuras planas.
— Respecto a un eje.
— Figuras con ejes de simetría.
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Ángulos.
— Elementos.
— Nomenclatura
Ángulos determinados cuando una recta corta a un sistema de paralelas.
Medida de ángulos.
El sistema sexagesimal de medida.
— Unidades y equivalencias.
Operaciones con medidas de ángulos.
— Suma y resta.
— Multiplicación y división por un número natural.
Ángulos en los polígonos.
— Suma de los ángulos de un triángulo.
— Suma de los ángulos de un polígono de n lados.
Ángulos en la circunferencia.
— Ángulo central. Ángulo inscrito.
— Relaciones.
Problemas geométricos.
PROCEDIMIENTOS
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Uso con destreza de los instrumentos de dibujo.
— Trazado de paralelas y perpendiculares.
— Trazado de la mediatriz de un segmento.
— Trazado de la bisectriz de un ángulo.
— Comparación de segmentos y ángulos.
Identificación de figuras simétricas.
Identificación de los ejes de simetría de una figura.
Construcción de figuras geométricas y de figuras con ejes de simetría.
Clasificación de ángulos.
Identificación y clasificación de los distintos ángulos, iguales, determinados por una
recta que corta a un sistema de paralelas.
Construcción de ángulos complementarios, suplementarios, consecutivos,
adyacentes, etc.
Medida de ángulos con el semicírculo graduado.
Construcción de ángulos con una amplitud dada.
Expresión compleja e incompleja de medidas de ángulos.
Aplicación de los algoritmos para operar ángulos en forma compleja (suma y resta,
multiplicación y división por un número).
Justificación del valor de la suma de los ángulos de un triángulo.
Cálculo del valor de la suma de los ángulos de cualquier polígono a partir de la del
triángulo.
Aplicación de las relaciones angulares en los polígonos y en la circunferencia para
obtener medidas indirectas de ángulos en distintas figuras.
Resolución de sencillos problemas geométricos manejando las relaciones y
propiedades estudiadas.
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ACTITUDES
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Valoración de los métodos manipulativos(construcción, dibujo, plegado, …) como
recurso para la investigación y el descubrimiento de propiedades y relaciones
geométricas.
Precisión y exactitud en el uso de los instrumentos de dibujo.
Hábito de presentación clara de procesos y resultados en las construcciones y
problemas geométricos.
Valoración de la terminología geométrica como medio para precisar y transmitir
información relativa al entorno.
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DESARROLLO
Iniciar el tema recordando y aclarando conceptos y sobre todo, que el vocabulario sea
adecuado, correcto y preciso.
Remitirles a los apuntes incluidos al principio del tema para que se los lean y estudien.
1. Mediatriz de un segmento
a) Concepto.- Perpendicular al segmento en su punto medio.
b) Trazado de mediatrices.- Con compás o con escuadra y cartabón.
Ejercicios pág. 200 núm. 1 y 2
2. Bisectriz de un ángulo.a) Concepto.- Semirrecta que divide al ángulo en dos mitades o ángulos iguales.
b) Trazado de bisectrices.- con el compás y la regla.
Ejercicios pág. 201 núm. 1 y 2
3. Medida de ángulos.a) Ángulo recto.- Sus lados son semirrectas perpendiculares de origen común (el
vértice). Un ángulo recto mide 90º.
b) Ángulo llano.- Sus lados son semirrectas en prolongación. Un ángulo llano mide
dos rectos (180º).
c) Ángulo completo.- Sus lados son semirrectas superpuestas. Mide cuatro rectos o
dos llanos (360º)
d) Ángulos agudos.- Son los que miden menos que un recto
e) Ángulos obtusos.- Son los que miden más que un recto.
4. Relaciones angulares.a) Ángulos complementarios.- Son aquellos cuya suma mide un recto.
b) Ángulos suplementarios.- Son aquellos cuya suma mide un llano (dos rectos)
c) Ángulos consecutivos.- Son aquellos que tienen el vértice y un lado común.
d) Ángulos adyacentes.- Son aquellos que son consecutivos y suplementarios.
e) Ángulos opuestos por el vértice.- Sus lados son semirrectas opuestas.
Ejercicios pág. 202 núm. 1 y 2
5. Ángulos que se forman al ser cortadas dos rectas paralelas por una secante.
a) Correspondientes.- Están al mismo lado de la secante, uno interno y otro externo.
b) Alternos externos.- Están a distinto lado de la secante, ambos externos a las rectas
paralelas.
c) Alternos internos.- Están a distinto lado de la secante, ambos internos a las rectas
paralelas.
d) Opuestos por el vértice.- Sus lados son semirrectas opuestas. Uno a cada lado de la
secante, siendo uno interno y otro externo.
e) Conjugados.- Al mismo lado de la secante, ambos externos o ambos internos.
Ejercicios pág. 203 núm. 3 y 4
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6. Medida de ángulos.- Recordar la medida, en grados, de un recto, un llano y un completo.
a) Con el semicírculo.
b) Sistema sexagesimal de medidas
c) Operaciones con ángulos:
a. Suma.- Reducción a unidades del orden inmediato superior.
b. Resta.- Cuando el minuendo es mayor que el sustraendo.
c. Producto de un ángulo por un escalar.- Reducción a unidades del orden
inmediato superior.
d. Cociente de un ángulo por un escalar.- Reducción a unidades al orden
inmediato inferior.
Ejercicios pág. 204 núm. 1, 2, 3, 4, 5 y 6
d) Cómo pasar de forma compleja a incompleja.
e) Cómo pasar de forma incompleja a compleja.
Ejercicios pág. 205 núm. 7 y 8
f) Operaciones con medidas angulares.- (recordar apartado c).
Ejercicios pág. 206 núm. 1, 2.
Ejercicios pág. 207 núm. 3, 4, 5, 6 y 7
7. Ángulos en los polígonos.a) Todo polígono puede descomponerse en n-2 triángulos.
b) Suma de los ángulos de un triángulo. Los tres ángulos de un triángulo miden
180º (dos rectos).
c) Suma de los ángulos de un cuadrilátero. Los cuatro ángulos de un cuadrilátero
miden 360º (4 rectos).
d) Suma de los ángulos de un pentágono. Los cinco ángulos interiores de un
pentágono miden 540º. Cada uno de ellos medirá 540 / 5 = 108º
e) Suma de los ángulos interiore de polígono cualquiera. Los ángulos interiores de
un polígono cualquiera mide:
(n  2)  180º
n
n = número de lados del polígono.
Ejercicios pág. 208 núm. 1, 2, 3 y 4.
Ejercicios pág. 209 núm. 5, 6, 7 y 8
8. Ángulos en la circunferencia.a) Ángulo central.- El vértice coincide con el centro de la circunferencia. Mide lo
mismo que el arco que abarca.
b) Ángulo inscrito.- El vértice coincide con un punto de la circunferencia y corta a
esta. Mide la mitad del arco que abarca.
Dos o más ángulos inscritos en una circunferencia y que abarquen el mismo
ángulo, son iguales.
Medida de un ángulo inscrito.- Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que
abarca.
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c) Ángulo que abarca una semicircunferencia.- Todo ángulo inscrito en una
circunferencia y cuyos lados pasen por los extremos de su diámetro, es recto.
Ejercicios pág. 211 núm. 1, 2, y 3.
9. Simetría en las figuras planas.a) Concepto intuitivo de simetría.Qué entendemos por figuras simétricas.
Tu figura frente al espejo.
Tu mano derecha frente a tu mano izquierda.
La mitad derecha de tu cuerpo respecto de tu mitad izquierda.
Etc. (piensa en otros objetos tales que una mitad respecto de la otra sea igual que
ella solo que como si la vieses reflejada en un espejo).
Dibuja en la cuadrícula de tu cuaderno representaciones que cumplan esta
propiedad.
Dobla una cuartilla por la mitad y recorta por los bordes; observarás que se forman
dos mitades que son simétricas, una respecto de la otra. El eje de simetría es el
doblez.
b) Eje de simetría.Ejercicios pág. 212 núm. 1.
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