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Enunciados de los ejercicios de
Macroeconomía IV
Profesor: Fernando Sánchez Losada
Septiembre 2005
1. Optimización dinámica
1.1. Un país tiene unas reservas forestales (número de árboles) iniciales iguales a
W0 . La tasa de reproducción de los bosques es constante e igual a r > 0. El país
obtiene utilidad del consumo de madera, c(t), y la función de utilidad en cada
momento es
u(c(t)) = ln c(t).
Por cada unidad de consumo de madera se talan α árboles. El tiempo es
continuo, el horizonte es infinito y la tasa de descuento intertemporal es δ > 0.
Por lo tanto, el objetivo del país es maximizar
Z ∞
e−δt u (c (t)) dt
0
sujeto a
1). Ẇ (t) = rW (t) − αC (t) ,
2). W (0) = W0 ,
3).
W (t) ≥ 0.
Se pide,
a). Interpretad la restricción (1).
b). Encontrad la trayectoria óptima de las reservas forestales W (t) del país.
c). Encontrad la trayectoria óptima del consumo de madera, c(t).
d). ¿Cómo varía el consumo inicial cuando varían las reservas forestales iniciales?
1.2. Resolved el problema anterior en tiempo discreto.
2
2. El modelo de crecimiento de Solow-Swan
2.1. (Modelo de Solow-Swan sin tecnología y por tanto sin crecimiento sostenido
por trabajador). Encontrad el capital de estado estacionario en el modelo de
Solow-Swan cuando la función de producción es Cobb-Douglas
Y (t) = AK (t)α L (t)1−α , α ∈ (0, 1) ,
donde A es una constante (denominada Total Factor Productivity). Encontrad,
también, la trayectoria explícita de k (t) = K(t)
, suponiendo que k (0) = k0 .
L(t)
2.2. Analice un incremento en la tasa de crecimiento de la población sobre
k = K/AL e Y /L.
2.3. Analice un incremento en la tasa de depreciación sobre k = K/AL e Y /L.
2.4. ¿Cuál es la tasa de ahorro compatible con la regla de oro de acumulación
del capital?
2.5. (Modelo de Solow-Swan sin tecnología y por tanto sin crecimiento sostenido
por trabajador). Considerad una versión del modelo de crecimiento de SolowSwan, donde el comportamiento del ahorro depende de la fuente de ingresos. En
particular, suponed que la propensión a ahorrar sobre las rentas del trabajo es
constante e igual a sw y la propensión a ahorrar sobre las rentas del capital es
también constante e igual a sr . Por lo tanto, el consumo per cápita es
c(t) = (1 − sw )w(t) + (1 − sr )r(t)k(t),
donde w (t) y r(t) son el salario real y el tipo de interés real competitivos, respectivamente, y k(t) es el capital por trabajador. El número de trabajadores crece a
la tasa constante n.
a). Suponiendo que un equilibrio estacionario positivo exista, demostrad que
una condición suficiente para la estabilidad local del equilibrio estacionario positivo es que sr > sw .
b). Demostrad que si sr = 1 y sw = 0, la economía converge a la regla de oro
para todo k0 > 0.
3
3. El modelo de horizonte infinito
3.1. Resolved el modelo de horizonte infinito en tiempo discreto y sin tecnología
(y por tanto sin crecimiento sostenido por trabajador).
3.2. Plantead el problema del planificador para el modelo de horizonte infinito
en tiempo contínuo y sin tecnología (y por tanto sin crecimiento sostenido por
trabajador) y comprobad que se cumple el primer teorema del bienestar (o sea,
que coincide con la economía descentralizada).
3.3. (Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans sin tecnología y por tanto sin crecimiento sostenido por trabajador). Considerad el modelo de consumo e inversión
con horizonte infinito y tiempo continuo de horizonte infinito donde la función de
utilidad instantánea es u (c (t)) , con u0 > 0 y u00 < 0.
a). Demostrad que el valor de la pendiente de la línea de demarcación k̇ (t) = 0
evaluada en la regla de oro modificada es igual a la tasa de descuento δ > 0.
b). Demostrad que el valor de la pendiente de la trayectoria de silla evaluada
en la regla de oro modificada es igual al valor propio positivo del sistema dinámico
linearizado entorno a la regla de oro modificada. Demostrad, también, que este
valor propio positivo es mayor que δ.
3.4. (Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans sin tecnología y por tanto sin crecimiento sostenido por trabajador). Considerad el modelo de crecimiento con horizonte infinito y con la siguiente función de utilidad instantánea:
u (c (t)) =
c (t)1−γ
, γ>0
1−γ
y la siguinete función de producción intensiva:
f (k(t)) = A[k(t)]α , 0 < a < 1, A > 0.
La tasa de crecimiento de la población es n > 0, la tasa de descuento temporal es
δ > 0 y el capital no sufre depreciación.
a). Calculad el capital per cápita en la regla de oro y en la regla de oro
modificada.
b). Escribid la condición de Euler y la de transversalidad (suponed que k (t) >
0 para todo t).
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c). Calculad el consumo per cápita en el equilibrio estacionario.
d). Dibujad, aproximadamente, las trayectorias de silla correspondientes a
γ = γ 1 y γ = γ 2 con γ 1 > γ 2 > 0.
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4. El Modelo de generaciones solapadas
4.1. a). Calculad el equilibrio estacionario del modelo de Diamond sin progreso
técnico cuando la función de producción neta de depreciación es
F (K, N) = AK α L1−α − θK, 0 < α < 1, 0 ≤ θ ≤ 1,
y la función de utilidad es
¢
¡
U c1t , c2t+1 = ln c1t + γ ln c2t+1 , γ > 0.
b). Discutid la estabilidad y la optimalidad del equilibrio estacionario.
4.2. Calculad el equilibrio estacionario y discutid la estabilidad del mismo en
el contexto del modelo de Diamond sin progreso técnico. Suponed que la función
de utilidad es la del problema anterior, n = 0 y la función de producción es
¶L
µ
K
.
F (K, L) = ln 1 +
L
4.3. Considerad una economía de generaciones solapadas con producción
(modelo de Diamond) y sin progreso técnico. Las preferencias de los agentes
vienen dadas por la siguiente función de utilidad del tipo Leontief:
¡
ª
¢
©
U c1t , c2t+1 = Min ac1t , bc2t+1 , , a > 0, b > 0.
La función de producción es del tipo Cobb-Douglas,
F (K, N) = AK α L1−α , 0 < α < 1.
y la tasa de crecimiento de la población es n.
a). Calculad el capital per cápita y el salario en el equilibrio competitivo
estacionario.
b). Encontrad la combinación de valores de los parámetros (a, b, α, n) para los
que el equilibrio competitivo es ineficiente.
4.4. Suponed que n = 0 y no hay progreso técnico. Demostrad que en
el modelo de generaciones solapadas de Diamond la función φ (.) que relaciona el
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capital per cápita de hoy (kt ) con el de mañana (kt+1 ), de manera que kt+1 = φ (kt ),
satisface la siguiente propiedad:
µ
¶
φ (kt )
< 1.
lim
kt →∞
kt
Por lo tanto, cuando kt es suficientemente grande, la función φ (.) se encuentra
por debajo de la recta de 45o . Esto significa que no es posible el crecimiento
sostenido.
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5. La política fiscal
5.1. Discutid los efectos de la implementación de un impuesto proporcional sobre
las rentas del capital en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans (horizonte infinito).
Estudiad dos casos: (a) La recaudación se destina a financiar bienes públicos que
entran en la función de utilidad de forma aditiva y (b) La recaudación se devuelve
a los consumidores en forma de subvención de suma fija (“lump-sum”).
5.2. Considerad el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans de consumo y ahorro
en horizonte infinito y tiempo continuo con las siguientes dos modificaciones:
Primera, suponed que el flujo de gasto público, G(t), es un input productivo.
En concreto, suponed que la función de producción agregada es
F (K(t), G(t), N(t)) = AK(t)α G(t)β N(t)1−α−β , A > 0, α > 0, β > 0, α + β < 1.
Debido a los rendimientos decrecientes, los pagos competitivos al trabajo y al
capital no agotan el output. Es decir, las empresas obtienen beneficios que se
distribuyen equitativamente entre los agentes de forma “lump-sum”. Las empresas
toman como dado el flujo de gasto público, G(t).
Segunda, el gobierno financia este gasto público mediante impuestos proporcionales sobre la renta de las familias, τ . Las familias toman como dado el tipo
impositivo τ y, también, las trayectorias futuras del tipo de interés, salarios y
beneficios per cápita, {r (t) , w (t) , θ (t)}. El gasto público no entra en la función
de utilidad de los consumidores.
a). Encontrad las condiciones que determinan la evolución en equilibrio del
C(t)
capital per cápita k (t) = K(t)
, del consumo per cápita c(t) = N(t)
, y del gasto
N(t)
G(t)
público per cápita g (t) = N(t)
en función de los parámetros del modelo y del tipo
impositivo τ . La condición inicial es k(0) = k0 .
b). Encontrad los valores estacionarios de k(t), c(t) y g(t) en función de los
parámetros del modelo y del tipo impositivo τ .
c). ¿Se obtiene en este modelo la relación negativa entre renta per cápita y τ
que se obtiene en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans típico? Explicad vuestra
respuesta.
d). ¿Se obtiene en este modelo la típica curva de Laffer que relaciona τ con el
gasto público per cápita estacionario g ∗ ?
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Nota. “Típica” significa que g∗ = 0 cuando τ = 0 o τ = 1, y g ∗ > 0 cuando
0 < τ < 1.
5.3. Considerad el modelo de horizonte infinito en tiempo continuo de RamseyCass-Koopmans. La tasa de crecimiento de la población es n > 0, la tasa de
descuento temporal es ρ > 0 y la función de producción intensiva (en términos
per cápita) es f (k), donde k es el capital per cápita. El gobierno recauda un
impuesto proporcional sobre la renta del capital al tipo impositivo τ > 0 y destina
la recaudación a financiar una subvención de suma fija que se devuelve a los
consumidores.
a). Suponed que la economía está inicialmente en un equilibrio estacionario.
Discutid los efectos a corto y a largo plazo sobre el consumo, los salarios y el tipo
de interés antes de impuestos de una disminución en el tipo impositivo τ .
b). Suponed que el capital per cápita inicial es k0 y que el gobierno fija el tipo
impositivo al nivell τ . Describid la evolución, a lo largo del tiempo, del consumo,
del salario y del tipo de interés antes de impuestos cuando τ > 1 − fn+ρ
0 (k ) y cuando
0
n+ρ
τ < 1 − f 0 (k0 ) .
5.4. En los países desarrollados el gasto público en bienes y servicios representa
aproximadamente un 20% del PIB. Dada la importancia del gasto público, la
manera de financiarlo puede tener grandes efectos sobre la evolución del PIB
per cápita. En este ejercicio se pide que reflexionéis sobre los efectos de diversas
maneras de financiar el gasto público, utilizando dos modelos distintos como marco
para estructurar la reflexión. En concreto, se pide:
a). Utilizando el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans (de horizonte infinito),
discutid cuál es el efecto sobre el PIB de un incremento en el gasto público, cuando
éste se financia con impuestos de suma fija. Utilizando el mismo modelo, discutid
cuáles son los efectos sobre el PIB per cápita de un incremento en el gasto público
cuando éste se financia con impuestos proporcionales sobre la renta. Razonad cuál
es el impuesto que tiene menores efectos negativos sobre el PIB.
b). En el modelo de horizonte infinito, es equivalente financiar el gasto público
con deuda pública o con impuestos de suma fija. Razonad por qué se obtiene este
resultado.
¿Se mantendrá la equivalencia entre deuda pública e impuestos de suma fija
en el modelo de generaciones solapadas con producción?. Razonad la respuesta y
si es negativa explicad por qué los dos modelos dan resultados diferentes.
c). Considerad el modelo de generaciones solapadas con producción. Discutid
los efectos sobre el PIB per cápita de un incremento en el gasto público cuando éste
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se financia con impuestos sobre la renta de los jóvenes. Discutid los efectos sobre
el PIB per cápita de un incremento en el gasto público financiado con impuestos
sobre la renta de los viejos.
5.5. Considerad el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans con gobierno. Suponed
que el gobierno anuncia en t0 que en t1 (t1 > t0 ) introducirá un impuesto sobre
las rentas del capital. La recaudación que se obtiene se destina a financiar una
subvención de suma fija que se devuelve enteramente a las familias.
a). Utilizando el diagrama de fase en el plano (k, c), discutid los efectos sobre
el consumo y el stock de capital del anuncio hecho por el gobierno.
b). Suponed ahora que el impuesto se introduce en el mismo momento del
anuncio (t1 = t0 ) . Analizad los efectos sobre el consumo y el capital de la introducción del impuesto.
c). Suponed que el gobierno miente. En concreto, en t1 no se produce el
incremento de los impuestos que había anunciado en t0 . Estudiad los efectos
sobre el consumo y el capital del anuncio.
d). Comparad los efectos sobre el consumo y el capital en los apartados a) y
b). ¿En qué apartado el efecto inicial sobre el consumo es mayor?.
e). ¿Cómo queda modificado el efecto inicial sobre el consumo cuando aumenta
el tiempo que transcurre entre el anuncio y la implementación del impuesto?
Argumentad intuitivamente la respuesta.
5.6. Discutid los efectos de la introducción marginal de un sistema de Seguridad Social en el modelo de Diamond. Considerad dos sistemas de seguridad
social.
Primero, considerad un sistema de Seguridad Social capitalizado, donde el
gobierno utiliza los impuestos recaudados a los jóvenes para comprar capital. Los
intereses y el principal de esta cartera se reparten en el siguiente periodo entre
los viejos en forma de pensiones. Es decir, es un sistema como el de los fondos de
pensiones, pero con carácter obligatorio.
Segundo, considerad un sistema de reparto sin capitalización, donde los jóvenes
pagan un impuesto y la recaudación se distribuye entre los viejos que no trabajan.
Por lo tanto, el sistema no produce ningún ahorro. Es decir, es un sistema como
el de nuestra Seguridad Social.
5.7. Discutid los efectos de un aumento marginal en la deuda pública per
cápita estacionaria acompañado de un cambio en los impuestos pagados por los
viejos. Utilizad el modelo de Diamond como marco para reflexionar y suponed
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que en la situación inicial la deuda pública per cápita estacionaria es cero y que
el equilibrio estacionario es dinámicamente estable y sin ciclos.
5.8. Considerad el modelo de generaciones solapadas con producción (Diamond, 1965) y con crecimiento de la población a la tasa n. Discutid los efectos
sobre el consumo privado per cápita de un aumento marginal en el gasto público
financiado exclusivamente con una modificación de la deuda pública. Suponed
que en la situación de partida la deuda pública per cápita estacionaria es cero.
Centrad vuestro análisis en el estado estacionario.
Nota. Suponed que el equilibrio estacionario es dinámicamente estable y sin
ciclos y, por simplicidad, suponed que los viejos no pagan impuestos y que el
ahorro no depende del tipo de interés.
5.9. Considerad el modelo de generaciones solapas con producción de Peter
Diamond. Suponed que el ahorro es una función no decreciente del tipo de interés
y que el equilibrio estacionario es estable y sin ciclos. Discutid rigurosamente la
veracidad o falsedad de la siguiente afirmación:
“La introducción de un impuesto proporcional sobre las rentas del capital
puede no tener ningún efecto sobre la renta nacional per cápita si va acompañada
de un aumento de las subvenciones “lump-sum” que reciben los jóvenes o de un
aumento de los impuestos “lump-sum” pagados por los viejos”.
5.10. En el modelo de generaciones solapadas con producción de P. Diamond
se suponía que los agentes tenían previsión perfecta. De esta manera, un consumidor nacido en el periodo t soluciona su problema de decisión entre consumo y
e
ahorro teniendo presente el factor de interés esperado en t + 1, Rt+1
. Gracias a la
e
previsión perfecta se satisface que Rt+1 = Rt+1 .
Considerad en este ejercicio una variante del modelo de Diamond en el que los
e
consumidores tienen expectativas extrapolativas, es decir, Rt+1
= Rt . Los otros
supuestos del modelo no se modifican.
a). Discutid la estabilidad local del equilibrio estacionario de esta economía.
b). Demostrad que, si el equilibrio estacionario es localmente estable, la introducción marginal de deuda pública acompañada exclusivamente por una modificación de los impuestos pagados por los jóvenes provoca una reducción en la renta
per cápita de esta economía.
5.11. Considerad una economía de generaciones solapadas con producción,
donde los agentes también derivan utilidad directamente de la herencia que dejan
11
a sus descendientes. Los agentes viven dos periodos. En el primero trabajan a
cambio de un salario y en el segundo viven retirados. Los agentes nacidos en el
periodo t tienen la siguiente función de utilidad altruista:
¡
¢
u c1t , c2t+1 , bt+1 = ln c1t + γ ln c2t+1 + β ln bt+1 , γ > 0, β > 0,
donde c1t es el consumo de joven, c2t+1 es el consumo de viejo y bt+1 es la herencia
que el agente nacido en t deja a su hijo nacido en t+1. La población no crece y, por
lo tanto, cada padre sólo tiene un hijo. Los agentes nacidos en t reciben un salario
wt y una herencia bt cuando son jóvenes. Esta dotación se divide entre consumo
de joven y ahorro st . Cuando los agentes son viejos, dividen el rendimiento de su
ahorro entre consumo de viejo c2t+1 y la herencia para su hijo bt+1 .
La función de producción bruta de la economía es
F (K, L) = rKt + wNt .
El capital se deprecia completamente en cada periodo y el salario, w, y el tipo de
interés real, r, son constantes en todos los periodos.
Se pide:
a). Encontrad c1t , c2t+1 y bt+1 como funciones de la herencia recibida, bt , y de
los parámetros de las funciones de producción y de utilidad.
b). Escribid el sistema de ecuaciones en diferencias que determina la trayect
toria de equilibrio del capital per cápita kt = K
y de las herencias bt .
Nt
c). ¿Qué condición han de satisfacer los parámetros del modelo para que
exista un equilibrio estacionario del capital per cápita k∗ > 0? ¿Es estable este
equilibrio?
d). Encontrad los valores estacionarios del capital per cápita k ∗ y de las
herencias b∗ .
e). Discutid el efecto sobre la renta per cápita estacionaria de la introducción
marginal de un impuesto proporcional sobre los salarios.
f). ¿Cuál será el efecto sobre la renta per cápita estacionaria y sobre las
herencias estacionarias de la introducción marginal de un impuesto proporcional
sobre las rentas del capital (o intereses)?
g). Responded a la pregunta (f) pero suponiendo que los agentes ya no son
altruistas, es decir, suponiendo que β = 0. Explicad intuitivamente por qué las
respuestas a (f) y (g) son diferentes.
Nota. Suponed que el gobierno destina los ingresos derivados de los impuestos
a financiar un gasto público que no es productivo y que no entra en la función de
utilidad de los agentes.
12
5.12. Considerad el modelo de generaciones solapadas con producción de Peter
Diamond, donde el equilibrio estacionario es estable y sin ciclos. Considerad la
siguiente afirmación:
“La introducción de un impuesto proporcional sobre les rentas del trabajo
puede no tener ningún efecto sobre la renta nacional per cápita si va acompañada
de un aumento de las subvenciones “lump-sum” destinadas a los jóvenes o de un
aumento de los impuestos “lump-sum” pagados por los viejos”.
a). Discutid intuitivamente (sin matemáticas) la veracidad o falsedad de la
anterior afirmación.
b). Utilizando la ecuación que caracteriza el equilibrio en el mercado de capitales, discutid rigurosamente la veracidad o falsedad de la anterior afirmación.
5.13. Considerad el ejemplo de clase del modelo de Diamond donde la función
de producción es Coob-Douglas y la función de utilidad es logarítmica. Suponed
que en cada periodo una fracción constante u ∈ (0, 1) de los jóvenes están desempleados. Estos desempleados reciben un subsidio dt que se financia con los
impuestos sobre la rentabilidad del capital. De manera que
dt Lt u = τ k rt Kt
donde τ k ∈ (0, 1) es el impuesto sobre la rentabilidad del capital.
a). Encontrad el efecto de un aumento en el subsidio sobre el stock de capital
de estado estacionario.
b). Suponed ahora que el subsidio se financia con impuestos sobre el salario.
Es decir,
dt Lt u = τ w (1 − u) Lt wt ,
donde τ w ∈ (0, 1) es el impuesto sobre el salario. Encontrad el efecto de un
aumento en el subsidio sobre el stock de capital de estado estacionario.
c). ¿Es mayor el stock de capital de estado estacionario cuando el gobierno
financia el subsidio con impuestos sobre el salario o cuando lo financia con impuestos sobre el capital?. Razonad intuitivamente la respuesta.
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6. El dinero y la política monetaria
6.1. Considerad el modelo de generaciones solapadas de intercambio puro. Las
preferencias vienen definidas por la siguiente función de utilidad lineal:
¡
¢
u c1t , c2t+1 = c1t + γc2t+1 , γ > 0,
y las dotaciones iniciales son (e1 , e2 ) = (1, 1) para todos los agentes. La tasa de
crecimiento de la población es n.
a). Calculad el tipo de interés en el equilibrio competitivo no monetario (o
walrasiano).
b). ¿Para qué valores del parámetro γ el equilibrio walrasiano es ineficiente
(caso de Samuelson)?
c). Suponed que la condición del apartado anterior se satisface. Calculad el
tipo de interés, el consumo de jóvenes y de viejos y los saldos reales de dinero en
el equilibrio monetario estacionario sin crecimiento de la oferta monetaria.
d). ¿Por qué la condición del apartado (b) es necesaria para que exista un
equilibrio monetario?
e). ¿Cuál es la tasa máxima de crecimiento de la oferta monetaria compatible
con la existencia de un equilibrio monetario?
6.2. Considerad una economía de generaciones solapadas con una tasa de
crecimiento de la población n > 0. Las dotaciones iniciales estacionarias son
(e1 , e2 ). Las preferencias vienen representadas por la siguiente función de utilidad:
¡
¢
u c1t , c2t+1 = c1t c2t+1 .
1). ¿Para qué valores del vector de dotaciones iniciales (e1 , e2 ) habrá un equilibrio monetario estacionario?
Suponed que e1 = e2 = 1.
2). El gobierno aumenta el stock de dinero a la tasa σ para así financiar subvenciones “lump-sum” destinadas a los viejos. Encontrad los valores estacionarios
de (a) saldos reales de dinero per cápita; (b) tasa de inflación; (c) valor real de las
subvenciones; (d) consumo de joven y de viejo; y (e) valor máximo de σ compatible
con un equilibrio monetario.
3). (a) ¿Cuál sería el flujo constante de gasto público per cápita g que se
podría financiar con un aumento del stock de dinero a la tasa σ?; (b) Dibujad
las curvas “à la Laffer” que relacionan g con la tasa de crecimiento del stock de
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dinero, la tasa de inflación y los saldos reales de dinero per cápita; y (c) ¿Cuál es
el valor máximo de g que se puede financiar con la emisión de dinero?
6.3. Suponed que en el modelo de generaciones solapadas el gobierno aumenta
la oferta monetaria para financiar un interés nominal sobre los saldos nominales
de dinero que los agentes poseen al principio del segundo periodo de su vida. Este
interés nominal es µ. Se pregunta:
a). ¿Cuál es la tasa de inflación en el equilibrio monetario estacionario?
b). ¿Cuál es el rendimiento del dinero en el equilibrio monetario estacionario?
c). ¿Cuáles son los efectos reales de cambios en µ?
6.4. Considerad el modelo de generaciones solapadas de intercambio puro sin
crecimiento de la población (n = 0). Los agentes viven dos periodos y maximizan
la siguiente función de utilidad:
¡
¢
u c1t , c2t+1 = ln c1t + δ ln c2t+1 , δ > 0.
Las dotaciones iniciales son e1 = 2, e2 = 1 para todos los agentes. Suponed que el
gobierno aumenta la oferta monetaria nominal agregada a la tasa σ > 0 y destina
la emisión de dinero a financiar subvenciones “lump-sum” para los jóvenes.
Se pide,
a). ¿Qué restricción han de satisfacer los parámetros δ y σ para que exista un
equilibrio monetario?
b). Encontrad el nivel de inflación en el equilibrio monetario estacionario en
función de σ.
c). Encontrad el consumo de jóvenes y de viejos en el equilibrio monetario
estacionario como unas funciones de δ y σ.
d). Encontrad los saldos reales de dinero en el equilibrio monetario estacionario
como una función de δ y σ.
e). Encontrad el valor real de la subvención per cápita que se da a los jóvenes
en el equilibrio monetario estacionario como una función de δ y σ. ¿Podemos
afirmar que un mismo valor real de la subvención puede ser financiado mediante
dos tasas de crecimiento de la oferta monetaria?
Suponed ahora que el gobierno destina la emisión de dinero a financiar gasto
público.
f). Encontrad el consumo de jóvenes y de viejos en el equilibrio monetario
estacionario como una función de δ y σ.
g). Encontrad los saldos reales de dinero per cápita en el equilibrio monetario
estacionario como una función de δ y σ.
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h). ¿Cuál sería el flujo constante de gasto público per cápita joven g que se
podría financiar con un aumento del stock de dinero a la tasa σ?
i). ¿Cuál es el valor máximo de g, g max , que se puede financiar con la emisión
de dinero? Nota: gmax debe ser función de δ exclusivamente.
j). ¿Se puede afirmar que un mismo flujo de gasto público per cápita joven
g ∈ [0, gmax ) puede ser financiado con dos tasas distintas de crecimiento de la
oferta monetaria?
6.5. Considerad una economía de generaciones solapadas con una tasa de
crecimiento de la población igual a cero, es decir, con población constante. Las
dotaciones estacionarias de los agentes son (e1 , e2 ) = (1, 1). Las preferencias
vienen representadas por la siguiente función de utilidad:
¢
¡
u c1t , c2t+1 = ln c1t + 2 ln c2t+1 .
Se pide,
a). ¿Cuál es el nivel máximo de la tasa de crecimiento del stock de dinero σ
compatible con la existencia de equilibrio monetario?
b). ¿Cuál es el valor máximo del gasto público real per cápita joven, gmax , que
se puede financiar con la emisión de dinero? ¿Cuál es la tasa de inflación asociada
al nivel máximo de gasto público g max ?
Suponed, a partir de ahora, que el gasto del gobierno per cápita joven es
g ∈ [0, g max ) y se financia con la emisión de dinero.
c). Encontrad los dos saldos reales de dinero estacionarios que son compatibles
con el gasto público g.
d). Encontrad las dos tasas de crecimiento del stock de dinero que permiten financiar el gasto público g y las dos tasas de inflación asociadas a los dos equilibrios
estacionarios.
6.6 Considerad una economía de generaciones solapadas de intercambio puro,
donde la tasa de crecimiento de la población es n ∈ (−1, ∞). Las preferencias de
un agente nacido en el periodo t se representan mediante una función de utilidad
del tipo “Leontief”
¡
¢
©
ª
u c1t , c2t+1 = Min ac1t , bc2t+1 ,
donde c1t y c2t+1 son el consumo de joven y de viejo de un agente nacido en el periodo
t. El vector de dotaciones iniciales de todos los agentes es (e1 , e2 ) = (2, 1) para
todo t.
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a). ¿Para qué valores de los parámetros a, b existirá un equilibrio monetario
estacionario?
b). Suponed que la condición del apartado (a) se satisface y que el gobierno
aumenta la oferta monetaria para así financiar un gasto público cápita joven igual
a g. Se pregunta:
b.1). Caracterizad exactamente la curva de Laffer, es decir, encontrad la
relación exacta entre g y σ, donde σ es la tasa de crecimiento de la oferta monetaria
nominal agregada. ¿ Cuál es el valor máximo de g?
b.2). Encontrad la tasa de inflación y los saldos reales de dinero per cápita
joven estacionarios asociados al nivel de gasto público factible g.
c). Suponed que la condición del apartado (a) se satisface y que el gobierno
aumenta la oferta monetaria para así financiar una transferencia a los viejos que,
en términos reales per cápita, es igual a X. Se pregunta:
c.1). Caracterizad exactamente la curva de Laffer, es decir, encontrad la
relación exacta entre X y σ, donde σ es la tasa de crecimiento de la oferta monetaria nominal agregada. ¿ Cuál es el valor máximo de X?
c.2). Encontrad la tasa de inflación y los saldos reales de dinero per cápita
joven estacionarios asociados a un valor de la transferencia X.
6.7. Considerad el modelo de M. Sidrauski (1967) en el que los saldos reales
de dinero per cápita entran en la función de utilidad de los agentes junto con el
consumo c(t). La función de utilidad instantánea es
u(c(t), m(t)) = ln c(t) + γ ln m(t), γ > 0.
La función de producción intensiva (per cápita) es
f (k (t)) = Ak (t)α , A > 0, 0 < α < 1,
donde k(t) es el capital per cápita.
El tiempo es continuo y el horizonte infinito. La tasa de descuento intertemporal es δ > 0 y la tasa de crecimiento de la población N(t) es n > 0. El gobierno
emite dinero a la tasa constante σ > 0, es decir,
σ=
Ḣ (t)
,
H (t)
donde H(t) es la masa monetaria nominal agregada y, por tanto, los saldos reales
de dinero per cápita son
H (t)
.
m (t) =
P (t) N (t)
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Se pide,
a). Encontrad el tipo de interés real, el salario, la producción per cápita y la
tasa de inflación en el equilibrio estacionario.
b). Considerad dos casos: (1) el gobierno destina integramente la recaudación
procedente de la emisión de dinero a dar subvenciones de suma fija (“lump-sum”)
a los consumidores; (2) el gobierno destina integramente la recaudación procedente
de la emisión de dinero a financiar un gasto público que es absolutamente inútil
(o que entra en la función de utilidad de los consumidores de forma aditiva).
Encontrad el consumo per cápita y los saldos reales de dinero per cápita en el
equilibrio estacionario en los dos casos. ¿ En qué caso los saldos reales de dinero
per cápita son mayores?
6.8. Considerad el modelo de Sidrauski de dinero en la función de utilidad.
El horizonte es infinito, el tiempo es continuo, la tasa de descuento temporal es
δ > 0 y la de crecimiento de la población es n > 0. El gobierno aumenta la masa
monetaria nominal agregada a la tasa σ > 0 y destina la emisión de dinero a
financiar un gasto público improductivo que no entra en la función de utilidad de
los agentes. La función de utilidad instantánea es
U (c (t) , m (t)) = ln c (t) + β ln m (t) ,
donde c(t) y m(t) son el consumo y los saldos reales de dinero per cápita, respectivamente. La función de producción intensiva es f (k (t)), donde k(t) es el capital
per cápita. Esta función satisface
f (0) = 0, f 0 (k) > 0, f 00 (k) < 0, lim f 0 (k) = ∞, lim f 0 (k) = 0.
k→0
k→∞
a) Encontrad la relación que, implícitamente, define el capital per cápita en
un equilibrio estacionario.
b). Encontrad el gasto público per cápita estacionario en función exclusivamente de β, δ, σ, n y k∗ .
c). ¿Cúal es la relación entre σ y g?. ¿Se obtiene la típica curva de Laffer?
Si no es así, ¿puede el gobierno aumentar el gasto público per cápita sin límite
mediante el control de la tasa de crecimiento monetario, σ?
6.9 Considerad el modelo de Sidrauski de dinero a la función de utilidad. La
función de utilidad es
u (c (t) , m (t)) = ln c (t) + β ln m (t) , β > 0.
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El horizonte es infinito, el tiempo es continuo, la tasa de descuento temporal es
ρ > 0, la tasa de crecimiento de la población N(t) es n > 0 y la función de
producción neta es
f (k (t)) = Ak (t)α , A > 0, 0 < α < 1.
El gobierno emite dinero a la tasa constante σ > 0 (es decir, σ =
Ḣ(t)
,
H(t)
donde
H(t)
y P (t) es el nivel de precios). Esta emisión de dinero se destina a
m (t) = P (t)N(t)
financiar gasto público no productivo.
Se pide,
a). Encontrad el capital per cápita estacionario, k, el tipo de interés real
estacionario, r, y el salario real estacionario, w.
b). Encontrad el consumo per cápita c estacionario.
c). Encontrad el gasto público per cápita g estacionario.
d). Encontrad los saldos reales de dinero per cápita m estacionarios.
e). Dibujad g y m como funciones de σ.
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