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Tema 14 Crecimiento óptimo: el modelo de Ramsey-CassKoopmans 14.1 La teoría del control óptimo y los diferentes escenarios de análisis. 14.2 Resolución del modelo con una función genérica de producción. 14.3 El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans. Bibliografía: Sala i Martin 3 y apéndice matem. Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 14.1 La teoría del control óptimo y los diferentes escenarios de análisis Teoría del control óptimo Supuestos Consumo y ahorro: resultado de un comportamiento óptimo. Problema estándar El agente económico quiere controlar una serie de variables: variables de control. El agente económico quiere maximizar una función objetivo (de utilidad, beneficio, etc.) sujeto a determinadas restricciones. Las restricciones son dinámicas, y explican la evolución de las variables de estado, las cuales describen el estado de la economía. Ejemplo: T max V (0) = ∫ u (ct , k t , t )dt 0 [1] sujeto a: k&t = f ( k t , c t , t ) [2] k0 [3] dada kT e V(0) −rT ≥0 [4] función objetivo Es la suma (o integral) de las funciones objetivo instantáneas u(.), las cuales dependen a su vez de las variables de control, de estado, y del tiempo. 0 momento inicial T momento final (finito o infinito) kt variable de estado ct variable de control [2] ecuación de transición o de movimiento Representa como la variable de control afecta la evolución de la variable de estado. [3] condición inicial Expresa que la variable de estado tiene un valor inicial dado, consecuencia de decisiones pasadas. [4] condición terminal: T finito: T infinito: Tema 14, pág-1 kT no negativo. Evita esquemas de Ponzi Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Escenarios de análisis Escenario de mercado Familias: Determinan óptimamente consumo y ahorro. Propietarias factores productivos y de activos financieros Empresas: Alquilan trabajo y capital Venden su producto. 3 mercados: Capital, trabajo y producto Escenario de familias productoras Familias: Determinan óptimamente consumo y ahorro. Se dedican a la producción de bienes. Escenario del Planificador Es un “mecanismo” que para una economía adopta siempre las decisiones correctas. Es un escenario que sirve para definir lo óptimo y bueno, y poder comparar así si los mercados adoptan la decisión óptima, o no. Tendrá el mismo objetivo que los individuos (maximiza la misma función de utilidad). Tendrá como única restricción la restricción física que dice que todo el producto utilizado (para consumo, inversión, etc.) debe ser producido por la propia economía. Tendrá en cuenta todos los mecanismos, todas las externalidades y toda la información que existe en la economía a la hora de tomar sus decisiones. Tema 14, pág-2 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 14.2 Resolución del modelo con una función genérica de producción Escenario de familias productoras Supuestos Familias: Determinan óptimamente consumo y ahorro. Se dedican a la producción de bienes. Economía Cerrada (ahorro e inversión coinciden) Ahorro es igual a producción menos consumo La inversión bruta es igual a la inversión neta más la depreciación Comportamiento Preferencias ∞ U (0) = ∫ e −( ρ − n ) t 0 ct1−θ − 1 dt 1−θ [5] Restricción presupuestaria k&t = f (k t ) − ct − (δ + n)k t [6] Hamiltoniano H =e −( ρ − n ) t ct1−θ − 1 + λt ( f (kt ) − ct − (δ + n)kt ) 1−θ Condiciones de primer orden Hc = 0 ⎯ ⎯→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt [8] ⎯→ λt ( f ' (kt ) − δ − n) = −λ&t H b = −λ&t ⎯ [9] Condición de transversalidad lim λt k t = 0 t →∞ [7] [10] Tasa crecimiento del consumo γc ≡ c&t 1 = ( f ' (kt ) − δ − ρ ) ct θ [11] Esta condición, junto con [27] y la condición de transversalidad [31], determinan la dinámica del capital y del consumo del modelo. Estas tres condiciones son idénticas a las del escenario de mercado. Tema 14, pág-3 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz 14.3 El modelo de Ramsey, Cass y Koopmans Preferencias ∞ U (0) = ∫ e −( ρ − n ) t 0 ct1−θ − 1 dt 1−θ [12] Restricción presupuestaria k&t = Ak tα − c t − (n + δ )k t [13] Hamiltoniano H =e −( ρ − n) t ct1−θ − 1 + λt ( Ak tα − ct − (δ + n)k t ) 1−θ Condiciones de primer orden Hc = 0 ⎯ ⎯→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt [15] H b = −λ&t ⎯ ⎯→ λt (αAk tα −1 − δ − n) = −λ&t [16] Condición de transversalidad lim λt k t = 0 [17] c&t 1 = (αAk tα −1 − δ − ρ ) ct θ [18] t →∞ [14] Tasa crecimiento del consumo γc ≡ Dinámica de transición La dinámica de transición puede analizarse mediante un diagrama de fases. (Ver gráfico) Pasos para la construcción de un diagrama de fases Construcción de la curva de valores de c y k para los cuales el aumento de capital es cero, en un gráfico que relaciona capital y consumo. Análisis dinámica del capital asociado a: k&t = Ak tα − ct − (n + δ )k t Construcción de la curva de valores de c y k para los cuales el aumento del consumo es cero, en un gráfico que relaciona capital y consumo. Análisis dinámica del consumo asociado a: c&t = ct 1 θ (αAk tα −1 − (δ + ρ )) Tema 14, pág-4 Macroeconomía Avanzada Asignatura de 5º curso de Economía Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz Análisis de los tres estados estacionarios, con tres estabilidades: - Inestable. - Estable. - Punto de silla. Análisis de la dinámica de transición Existen cuatro regiones diferentes, cada una con su dinámica propia. Influencia de θ. Convergencia entre países Al igual que el modelo de Solow y Swan, el modelo de Cass y Koopmans predice convergencia absoluta –o condicional- entre los países. Tema 14, pág-5
