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Facultad de Ingeniería - Universidad Rafael Landívar
Revista Electrónica No. 12
FORMACIÓN DEL CONJUNTO
DE NÚMEROS RACIONALES
Por Lic. Julio César Salazar, [email protected]
RESUMEN
A veces no se tiene a mano el desarrollo formal del conjunto de Números Racionales, por
lo que en unas pocas hojas se presenta dicha demostración, para tenerla a mano en
cualquier necesidad que se pueda presentar a la hora de impartir dicho tema, o para consulta
general. En este artículo y continuando con la serie matemática de publicaciones, el autor
nos presenta los principios básicos de los números racionales.
DESCRIPTORES
Matemáticas. Números racionales. Propiedades de los números. Demostración matemática.
Reflexividad. Transitividad. Simetría.
ABSTRACT
Sometimes the formal development of the set of Rational Numbers is not available.
Because of that reason it is showed here its demonstration to have it at hand in any
necessity that can be presented at the time of teaching mathematics or for general
consultation. In this article and continuing with the mathematical series of articles, the
author presents the basic principles to us of the rational numbers.
KEYWORDS
Mathematics. Rational numbers. Properties of numbers. Mathematical demonstrations.
Reflexivity. Transitivity. Symmetry.
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Abril, 2009. Páginas 38 a 43
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Revista Electrónica No. 12
PRESENTACIÓN
En sentido amplio, nos indica Wikipedia, se llama número racional a todo número que
puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una
fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al
pensamiento o actitud racional. En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas
las fracciones equivalentes a una fracción dada; de todas ellas, se toma como representante
canónico de dicho número racional a la fracción irreductible, es decir la de términos más
sencillos.
Se incluyen algunas características de los números racionales:
•
existen infinitos números racionales
•
podemos asociar un número natural a cada número racional
•
son números racionales 1/2, 3/4, 11/5, 2535/3. También lo son los números enteros
2 = 2/1, 5 = 10/2.
•
un mismo número racional se puede expresar con varias fracciones. Por ejemplo:
1/2, se puede expresar como 1/2, 2/4, 3/6. De ellas, la primera es la fracción
irreducible y las demás son fracciones equivalentes.
•
los números racionales también se pueden expresar como números decimales. Por
ejemplo: 1/2 = 0.5, 3/4 = 0.75.
•
se clasifican en dos grupos: limitados y periódicos.
•
los racionales limitados son los que en su representación decimal tienen un número
fijo de números. Por ejemplo: 1/4 = 0.25.
•
los racionales periódicos son los que en su representación decimal tienen un
número ilimitado de números. se pueden clasificar a su vez, en periódicos puros y
periódicos mixtos.
•
los periódicos puros: Un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente,
desde el primer decimal. (por ejemplo: 3.838383...)
•
los periódicos mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a
partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3.27838383...).
NOTA DEL EDITOR
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Abril, 2009. Páginas 39 a 43
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Revista Electrónica No. 12
CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES
Si Z es un anillo conmutativo sin divisores de cero, el conjunto ZxZx. Donde Zx = Z–{0},
definimos la relación:
Rel (Z x Zx) = {[(a, b), (c, d)] / ad = bc}
donde la anterior la podemos abreviar:
(a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc
a
, que se lee a sobre b; donde a
b
es el numerador y b el denominador. Al producto cartesiano Z x Zx se le llama conjunto de
fracciones.
En los racionales es común representar al par (a, b) como
 a c
Rel (Z x Zx) =   , 
 b d
a ⋅ d = b ⋅ c}
Esta relación se conoce como igualdad de fracciones y se escribe:
a c
 a c
=
 ,  ∈ Re l ( ZxZ x ) ⇔
 b d
b d
a c
=
⇔ a ⋅ d = b⋅ c
b d
Esta es una relación de equivalencia, ya que cumple con las tres propiedades
fundamentales.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RACIONALES
1. PROPIEDAD REFLEXIVA
( a , b) R( a , b) ya que a ⋅ b = b ⋅ a .
Demostración:
(
)
(
)
(
a
 a a
 ,  ∈ Re l ZxZ x ∀ ∈ ZxZ x
b
 b b
)
a a
 a a
= ⇒ a⋅ b = b⋅ a
 ,  ∈ Re l ZxZ x ⇒
b b
 b b
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Abril, 2009. Páginas 40 a 43
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2. PROPIEDAD SIMÉTRICA
Si
Demostración:
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( a , b) R( c, d )
⇔
( c, d ) R( a , b) .
 a c
 c a
 ,  ∈ Re l ( ZxZ x ) ⇒  ,  ∈ Re l ( ZxZ x )
 b d
 d b
a c
 a c
= ⇒ a⋅ d = b⋅ c
 ,  ∈ Re l ( ZxZ x ) ⇒
 b d
b d
Como a ⋅ d = b ⋅ c es igual a d ⋅ a = c ⋅ b , entonces
d ⋅ a = c⋅ b ⇒ c⋅ b = d ⋅ a ⇒
3. PROPIEDAD TRANSITIVA
( a , b) R( c, d ) ∧ ( c, d ) R( e, f ) ⇒
Si
c a
=
d b
( a , b) R( e, f )
Demostración:
 c f
a f
 a c
 ,  ∈ Re l( ZxZ x ) ∧  ,  ∈ Re l( ZxZ x ) ⇒  ,  ∈ Re l( ZxZ x )
 b d
 d g
 b g
a c
 a c
=
⇒ a ⋅ d = b ⋅ c [I]
 ,  ∈ Re l( ZxZ x ) ⇒
 b d
b d
 c f
c f
=
⇒ c ⋅ g = d ⋅ f [II]
 ,  ∈ Re l( ZxZ x ) ⇒
 d g
d g
Multiplicando [I] por g y [II] por b:
[ I ] xg :
a⋅ d ⋅ g = b⋅ c⋅ g
[ II ]xb : b ⋅ c ⋅ g = b ⋅ d ⋅ f
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a ⋅ d ⋅ g = b ⋅ c⋅ g

y
 ⇒ a⋅ d ⋅ g = b⋅ d ⋅ f
b ⋅ c ⋅ g = b ⋅ d ⋅ f 
a⋅ d ⋅ g = b⋅ d ⋅ f ⇒ a⋅ g = b⋅ f
a f
a⋅ g = b⋅ f ⇒
=
b g
Consideremos el conjunto cociente Z x Zx. Cada elemento de este conjunto cociente es
una clase de equivalencia que esta formada por todas las parejas relacionadas entre sí por la
relación R, que se definió.
En un diagrama cartesiano, cada clase de equivalencia está representada de la siguiente
forma:
−
2
= {( − 2 ,3),(− 4 ,6),...,}
3
3
2
= {( 2 ,3),( 4 ,6),(8,12 ),...,}
3
1
= {(1,1),( 2 ,2 ),...,}
1
2
= {( 2 ,1),( 4 ,2 ),...,}
1
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
−
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= {(− 1,1),( − 2 ,2 ),...,}
1
Abril, 2009. Páginas 42 a 43
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BIBLIOGRAFIA
•
BERNARD KOLMAN; ROBERT C. BUSBY. Estructuras de Matemáticas Discretas para la
Computación. Prentice Hall. ISBN 968-880-080-5
•
ENCICLOPEDIA CIENTIFICA LAROUSSE EN COLOR 1. Ediciones Larousse. ISBN
970-607-064-8
•
JOHNSONBAUGH, RICHARD. Matemáticas
Discretas. Grupo Editorial Iberoamérica. ISBN 9687270-46-2
•
SUGER COFIÑO, EDUARDO; MORALES
FIGUEROA, BERNARDO; PINOT LEIVA,
LEONEL. (1974). Introducción a la Matemática
Moderna. Editorial Limusa.
•
WIKIPEDIA. Número Racional. Consultado
en: http://es.wikipedia.org
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SALAZAR, JULIO CESAR
Ingeniero en Electrónica con Maestría en
Análisis y Administración de la Confiabilidad.
Profesor
de
matemática,
cálculo,
estadística, electrónica
y electromagnetismo,
en
las
universidades
Francisco
Marroquín, Galileo y Rafael Landívar.
Autor de tres libros de matemática para
el nivel básico. Fue director del
Programa
de
Nivelación
Preuniversitario
de
las
Universidades
Francisco Marroquín y Galileo.
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