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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN
Introducción a la
Física
Quinto Nivel
MENCIÓN CIENCIAS NATURALES
Introducción a la física
2da Edición
Publicaciones UTE
Quito- Ecuador
Física I
2da Edición, Quito, Marzo 2011
Todos los derechos reservados
No está permitida la reproducción total o parcial de este
libro, sin el permiso expreso del copyright
Publicaciones UTE
Quito-Ecuador
INTRODUCCIÓN
La Física ha sido uno de los pilares en el desarrollo de la humanidad. El conocer los
principios fundamentales que rigen la naturaleza ha permitido dicho desarrollo.
Desde el descubrimiento del fuego el hombre ha ido paulatinamente creando
diversas herramientas que lo han ayudado en su vida diaria, ha ido intuyendo los principios
de la naturaleza que le han permitido comprenderla y aceptarla, ha ido plasmando estas
ideas en cosas extraordinarias que nos han permitido alcanzar otros planetas, estar en
contacto con personas del otro lado del mundo, volar, explorar las profundidades del mar,
curar enfermedades, etc.
Ese conocimiento lo debemos administrar de la mejor manera, eso sería lo ideal. Es
nuestra misión el saber cuál es la mejor manera de hacerlo. Las nuevas generaciones
deberán aprenderlo de cada uno de nosotros. Hagámoslo bien!....
i
1. Índice de Contenido
UNIDAD 1 ................................................................................................................................................. 1
Generalidades ........................................................................................................................................... 1
1.1.
Concepto de Física .............................................................................................................................. 2
1.2.
Magnitudes Físicas ............................................................................................................................. 3
1.3.
Magnitudes Físicas fundamentales y sus derivadas ........................................................................... 4
1.4.
Análisis Dimensional ........................................................................................................................... 5
1.5.
Conversión de Unidades ..................................................................................................................... 7
AUTOEVALUACION ....................................................................................................................................... 11
Bibliografía ............................................................................................................................................... 13
UNIDAD 2............................................................................................................................................... 14
Vectores ................................................................................................................................................... 14
2.1.
SISTEMAS DE REFERENCIA ................................................................................................................ 15
2.2.
SISTEMAS DE COORDENADAS ........................................................................................................... 15
2.2.1.
Sistema de coordenadas Rectangular ...................................................................................... 16
2.2.2.
Sistema de coordenadas Polar.................................................................................................. 18
2.2.3.
Sistema de coordenadas Geográfico ........................................................................................ 19
2.2.4.
Equivalencias entre sistemas de coordenadas ......................................................................... 20
2.3.
VECTORES: Definición ....................................................................................................................... 22
2.4.
Tipos de Vectores .............................................................................................................................. 22
2.4.1.
Vectores libres .......................................................................................................................... 22
2.4.2.
Vectores deslizantes: ................................................................................................................ 23
2.4.3.
Vectores fijos: ........................................................................................................................... 23
2.4.4.
Vector unitario: ......................................................................................................................... 24
2.4.5.
Vectores paralelos: ................................................................................................................... 24
2.4.6.
Vectores antiparalelos: ............................................................................................................. 25
2.4.7.
Vector opuesto o negativo: ....................................................................................................... 25
2.5.
Operaciones entre vectores .............................................................................................................. 26
2.5.1.
Suma o Adición de Vectores...................................................................................................... 27
2.5.1.1.
Método Analítico .............................................................................................................. 27
2.5.1.2.
Método Gráfico ................................................................................................................. 28
2.5.1.2.1.
Método del Paralelogramo ........................................................................................... 28
2.5.1.2.2.
Método del Triángulo .................................................................................................... 29
ii
2.5.1.2.3.
2.5.2.
Producto de Vectores ................................................................................................................ 31
2.5.2.1.
Unitario de un vector ........................................................................................................ 31
2.5.2.2.
Producto de un vector por un escalar ............................................................................... 32
2.5.2.2.1.
2.5.2.3.
2.5.2.3.1.
2.5.2.4.
2.6.
Método del Polígono ..................................................................................................... 30
Propiedades:.................................................................................................................. 33
Producto Escalar entre dos vectores ................................................................................. 33
Propiedades ................................................................................................................... 34
Producto Vectorial ............................................................................................................ 35
Componentes de un vector ............................................................................................................... 38
AUTOEVALUACIÓN ....................................................................................................................................... 41
Bibliografía ............................................................................................................................................... 42
UNIDAD 3............................................................................................................................................... 43
Mecánica.................................................................................................................................................. 43
3.1.
CONCEPTOS PREVIOS ........................................................................................................................ 44
3.1.1.
Sistema De Referencia .............................................................................................................. 45
3.1.2.
Trayectoria ................................................................................................................................ 46
3.1.3.
Posiciones Negativas ................................................................................................................ 47
3.1.4.
Velocidad Negativa ................................................................................................................... 47
3.1.5.
La Letra Griega Delta (Δ) .......................................................................................................... 48
3.1.6.
Espacio Recorrido (Δx) .............................................................................................................. 48
3.1.7.
Tiempo Transcurrido o Intervalo de Tiempo (Δt) ...................................................................... 49
3.2.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) ................................................................................ 50
3.2.1.
Gráfica de la Posición en Función del Tiempo ........................................................................... 50
3.2.2.
Representación de la velocidad y la aceleración en función del tiempo. .................................. 52
3.2.3.
Cálculo de la Velocidad en el MRU ........................................................................................... 52
3.2.4.
Ecuaciones horarias en el MRU ................................................................................................ 53
3.2.5.
TANGENTE DE UN ÁNGULO ...................................................................................................... 54
3.2.6.
PENDIENTE DE UNA RECTA ....................................................................................................... 55
3.2.7.
Representación Gráfica de las Ecuaciones Horarias ................................................................. 56
3.2.8.
VELOCIDAD MEDIA ................................................................................................................... 58
3.3.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) ................................................... 65
3.3.1.
Aceleración ............................................................................................................................... 65
3.3.1.1.
Signo de la aceleración ..................................................................................................... 68
iii
3.3.2.
Ecuación de una parábola ........................................................................................................ 69
3.3.3.
Ecuaciones horarias y gráficos en el MRUV .............................................................................. 70
3.3.4.
La Ecuación Complementaria ................................................................................................... 76
3.4.
AUTOEVALUACIÓN ........................................................................................................................... 78
UNIDAD IV
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES – PARABÓLICO Y CIRCULAR
Movimiento en dos dimensiones, introducción
Movimiento parabólico y sus características
Ejemplos de Cálculos
Movimiento circular y sus características
Ejemplos de Cálculos
Autoevaluación
iv
UNIDAD 1
Generalidades
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
1.1.
Concepto de Física
La FÍSICA es la ciencia fundamental que estudia los principios básicos que rigen el Universo.
Es la base que rige muchas otras ciencias, por ejemplo la Astronomía, la Biología, la
Química, la Geología y otras más.
Existen diversas definiciones del concepto. Una de ellas planteada por wikipedia dice: “La
física (del latín physĭca, y este del griego τὰ φυσικά, neutro plural de φυσικός) es una
ciencia natural que estudia las propiedades del espacio, el tiempo, la materia, la energía y
sus interacciones.” (1) es una buena forma de definir a esta ciencia.
El estudio de la Física se lo puede realizar en diferentes partes que son:
1. Mecánica Clásica, que se refiere al movimiento de los cuerpos a velocidades
pequeñas, mucho menores a la velocidad de la luz.
2. Relatividad, que se ocupa del movimiento de los cuerpos a cualquier velocidad e
incluso a velocidades cercanas a la de la luz.
3. Termodinámica, que trata el calor, el trabajo, la temperatura y el comportamiento
estadístico de sistemas de partículas con gran número de ellas.
4. Electromagnetismo, que estudia las interacciones entre la electricidad y el
magnetismo, desde un punto de vista estático y dinámico
5. Óptica, que es el estudio de la luz y la forma en que esta se comporta en diferentes
medios.
6. Mecánica Cuántica, que corresponde a un conjunto de teorías que estudian la
materia y sus diferentes fenómenos pero a nivel microscópico.
La mecánica clásica, el electromagnetismo, la termodinámica y la óptica fueron creadas
hasta antes de 1900. Fue por ese año que aparecieron muchos físicos que dieron un giro
revolucionario a la física conocida hasta ese entonces. Bohr, Planck, Schrödinger, Born,
Einstein dieron esos primeros pasos. Fue así que se propuso la teoría de la Relatividad por
Fís. Lenin Jácome
2
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Einstein en 1905 junto con otros trabajos. Asimismo, la Mecánica Cuántica nació y
permitió explicar diversas situaciones hasta ese entonces sin explicación.
Como primer paso en la física se deben aprender ciertos conceptos básicos, los cuales
serán abordados en los siguientes apartados.
1.2.
Magnitudes Físicas
Se conoce como magnitudes físicas a todas aquellas propiedades de los cuerpos del
Universo que sean susceptibles a ser medidas (cuantitativamente), es decir, a aquellas a
las cuales se les puede otorgar un número o valor. Estas son representadas por un símbolo,
que usualmente suele ser una letra.
Estas magnitudes pueden cuantificarse o medirse mediante comparación con un patrón
(unidad) o con partes de un patrón, esto es lo que en términos comunes se conoce como
“medir”. Como ejemplos de magnitudes físicas se puede mencionar: la masa, la longitud, el
tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad y la aceleración.
Las magnitudes físicas se clasifican en tres tipos:

Magnitudes escalares: son las descritas por una cantidad (número) y su
correspondiente unidad. Carecen de dirección y sentido, como por ejemplo, la
masa. Ejemplo de magnitudes escalares son la temperatura, la energía, etc.

Magnitudes vectoriales: son las magnitudes que cuentan con tres características:
cantidad (o módulo), dirección y sentido. Por ejemplo, la velocidad, la fuerza, la
aceleración, etc. Asimismo, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a
un observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las
magnitudes vectoriales no presentan invariancia de cada uno de los componentes
del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes observadores se
necesitan relaciones de transformación vectorial.

Magnitudes tensoriales: son las que caracterizan propiedades o comportamientos
físicos modelizables mediante un conjunto de “n” números que cambian
tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador
Fís. Lenin Jácome
3
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
con diferente estado de movimiento o de orientación. Las magnitudes tensoriales
tienen tantas componentes como 3n, donde n se denomina “orden” del tensor. Si n
= 0, tiene una única componente y el tensor representará un escalar. Si n = 1, tiene
3 componentes y el tensor es un vector. Si n = 2, el tensor se denomina de orden
dos y posee nueve componentes y así sucesivamente (2). Se puede representar
como una matriz.
Las dos primeras son las más importantes y en muchas referencias solo se las menciona a
estas.
1.3.
Magnitudes Físicas fundamentales y sus derivadas
El Sistema Internacional de Unidades (SI) define siete unidades básicas o unidades físicas
fundamentales, las cuales son descritas por una definición operacional.
Todas las demás unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas se pueden derivar
de estas unidades básicas y se conocen como unidades derivadas del SI. La derivación se
lleva a cabo por medio del análisis dimensional.
A continuación se muestra las siete magnitudes fundamentales:
Magnitud física que se toma como
fundamental
Unidad básica o
fundamental
Símbolo de
la unidad
Longitud ( l )
Metro
m
Masa ( m )
Tiempo ( t )
Kilogramo
Segundo
kg
s
Intensidad de corriente eléctrica ( I ) Amperio
Kelvin
Temperatura ( T )
Mol
Cantidad de sustancia ( n )
Candela
Intensidad luminosa ( I )
A
K
mol
cd
Tabla 1. Magnitudes fundamentales del SI
Fís. Lenin Jácome
4
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Las magnitudes derivadas y sus unidades son parte del Sistema Internacional de Unidades
y se derivan de las magnitudes básicas, mencionadas en la tabla 1. Algunas de ellas se
presentan a continuación en la tabla 2.
Magnitud física
Nombre de la
unidad
Símbolo
de la
unidad
Expresada
en
unidades
derivadas
Frecuencia
hercio
Hz
Expresada
en
unidades
básicas
-1
s
Fuerza
Presión
Energía, trabajo, calor
Potencia
newton
pascal
julio
vatio
N
Pa
J
W
m·kg·s-2
m-1·kg·s-2
m2·kg·s-2
m2·kg·s-3
Carga eléctrica
culombio
C
N·m-2
N·m
J·s-1
A·s
Tabla 2. Magnitudes derivadas
1.4.
Análisis Dimensional
El análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier
fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables
independientes. Se puede aplicar en el despeje de fórmulas y en la obtención correcta de
unidades.
Si mido una distancia en unidades de metros, pulgadas o codos, se trata de la magnitud
distancia y la dimensión es la longitud (3).
Los símbolos usados para especificar las dimensiones básicas: longitud, masa y tiempo son
L, M y T respectivamente.
Comúnmente se usan corchetes [ ] para indicar las dimensiones de una magnitud.
Ejemplos:
para la velocidad (v): [v] = L/T
para el área (A): [A] = L2.
El análisis dimensional aprovecha el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como
cantidades algebraicas.
Fís. Lenin Jácome
5
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Las cantidades sólo pueden sumarse o restarse si estas tienen las mismas dimensiones.
Asimismo, los dos miembros de una igualdad (o ecuación) deben tener las mismas
dimensiones.
Con el análisis dimensional se puede deducir o verificar una fórmula o expresión, también
determina las unidades (o dimensiones) de la constante de proporcionalidad, pero no su
valor numérico. Por tanto no puedo determinar las constantes adimensionadas.
Ejemplos:
1. Determinar si la expresión x 
1 2
at es dimensionalmente correcta.
2
a. Se determina las dimensiones de cada una de las variables:
b.
c.
d.
e.

[x] = L,

[a] = L/T2=LT-2,
 [t]2 = T2
Igualo las dimensiones de cada variable: [x] =[a][t]2
Sustituyo las dimensiones de cada variable: L = (LT-2)(T)2.
Opero algebraicamente con las dimensiones (agrupo las dimensiones iguales y
aplico propiedades de potencias):
L = L (T-2).(T)2 = L T (-2+2) = LT0 = L
Concluyo en función del resultado si es dimensionalmente correcto. En este caso
sí lo es.
2. A partir de la ley de Gravitación Universal de Newton: F 
GMm
determinar las
r2
dimensiones de la constante de gravitación G.
a. A partir de la ley puedo deducir que: G 
F .r 2
M .m
b. Las dimensiones son:

[M] =[m] = M;

[r2] = L2;
 [F] =MLT-2.(pues F = m.a)
c. [G] =[F].[r2]/([M].[m])
d. [G] = (MLT-2).( L2)/((M)(M))
e. [G] = M(1-(1+1)).L(1+2) T-2 =M-1L3T-2
Fís. Lenin Jácome
6
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
1.5.
Conversión de Unidades
Un sistema de unidades es un conjunto de unidades de medida. Definen un conjunto básico
de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de
unidades, los más importantes son los siguientes:
Sistema Internacional de Unidades o SI: Es el sistema más usado. Sus unidades básicas
son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol.
Sistema Cegesimal o CGS.: Denominado así porque sus unidades básicas son el
centímetro, el gramo y el segundo.
En ocasiones resulta conveniente convertir unidades de un sistema a otro, o convertir
dentro de un sistema, por ejemplo de kilogramos a gramos, para esto se deben considerar
las relaciones básicas entre unidades y luego plantear un simple regla de tres, por ejemplo:
1 milla = 1609 m = 1,609 km
Y se desea transformar 3,5 millas a km
3,5[milla ]
1609[m] 1[km]

 5,6315[km]
1[milla ] 1000[m]
Estas relaciones se conocen como factores de conversión. Un factor de conversión es una
operación matemática, para hacer cambios de unidades de la misma magnitud, o para
calcular la equivalencia entre los múltiplos y submúltiplos de una determinada unidad de
medida.
A continuación se presentan algunas relaciones entre unidades de diferentes sistemas,
para mayor referencia se puede consultar en cualquier libro de física general, y seguir el
proceso mencionado en el ejemplo anterior.
Fís. Lenin Jácome
7
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Longitud:
1 centímetro
1 pulgada
1 metro
0,3937 pulgadas
2,54 centímetros
1,0936 yardas
3,2808 pies
39,370 pulgadas
0,6214 millas
1,6093 kilómetros
1 kilómetro
1 milla
Tabla 3. Factores de conversión de longitud
Superficie:
1 hectárea
1 acre
1 kilómetro cuadrado
1 milla cuadrada
10.000 metros cuadrados
0,1 kilómetros cuadrados
2,471 acres
11,960 yardas
0,4047 hectáreas
4.047 metros cuadrados
4.840 yardas cuadradas
43.450 pies cuadrados
0,3861 millas cuadradas
100 hectáreas
247,1 acres
2,5898 kilómetros cuadrados
254,98 hectáreas
640 acres
Tabla 4. Factores de conversión de superficie
Volumen:
1 litro
1 galón imperial
1 galón U.S.
1 barril U.S.
1 metro cúbico
3
1 m sólido
1.000 mililitros
61,026 pulgadas
0,21998 galones imperiales
0,26418 galones U.S.
4,546 litros
1,20096 galones U.S.
0,83267 galones imperiales
3,78528 litros
42 galones U.S.
34,972 galones imperiales
0,15899 metros cúbicos
1.000 litros
35,3148 pies cúbicos
1,30795 yardas cúbicas
219,97 galones imperiales
264,18 galones U.S.
6,29 barriles U.S.
750 kg. leña con 40% humedad
Tabla 5. Factores de conversión de volumen
Fís. Lenin Jácome
8
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Masa
1 kilogramo
1 libra
1 tonelada, UK
1 tonelada
1 tonelada US
2,2046 libras
1.000 gramos
453,592 gramos
0,4536 kilogramos
2.240 libras
1.016,05 kilogramos
1,01605 toneladas (métricas)
1,12 toneladas US
20 owt
1.000 kilogramos
0,98421 toneladas UK
1.10231 toneladas US
2.204,62 libras
2.000 libras
17,8572 cwt
907,184 kilogramos
0.907184 toneladas
0,89286 toneladas UK
Tabla 6. Factores de conversión de masa
Existen otros tipos de factores de conversión que se usan cuando se necesita cambiar a
múltiplos y submúltiplos de las mismas unidades. En estos casos se usa los siguientes
factores de conversión:
Factor
Prefijo
Símbolo
10
24
yotta
Y
10
21
zeta
Z
10
18
exa
E
1015
peta
P
12
tera
T
10
9
giga
G
10
6
mega
M
10
3
kilo
k
10
102
hecto
h
1
deca
da
10
-1
deci
d
10
-2
centi
c
10
-3
mili
m
10
-6
micro
μ
10
-9
nano
n
10
-12
pico
p
10
-15
femto
f
10
-18
atto
a
10
-21
zepto
z
10-24
yocto
y
10
Tabla 7. Factores de conversión para múltiplos y submúltiplos de unidades
Fís. Lenin Jácome
9
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Aquí se usa notación científica que consiste en aumentar al uno tantos ceros a la derecha
como se indican en el exponente del factor, si este es positivo y tantos cifras de ceros a la
derecha del punto incluido el uno como se indican en el exponente, si este es negativo. Por
ejemplo:
106 = 1000000 y corresponde al prefijo mega: [M]
10-6 = 0,000001 y corresponde al prefijo micro: [μ]
De ahí, se plantea las relaciones (regla de tres) tal como en el ejemplo mostrado antes de
la tabla 3.
Por ejemplo:
Transformar 486 Gigabytes a bytes
486 [Gb]
1000000 [bytes ]
 486000000[bytes ]
1[Gb]
Fís. Lenin Jácome
10
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
1.6.
AUTOEVALUACION
1. ¿En sus palabras, cuál sería un concepto para la Física?
2. ¿Cuáles son las diferentes partes en las que se divide la física para su estudio?
Descríbalas brevemente.
3. ¿Qué es magnitud física?
4. ¿Qué es medir?
5. ¿En qué tipos se dividen las magnitudes físicas? Describa brevemente cada una
6. ¿Cuáles son las magnitudes físicas fundamentales y sus respectivas unidades?
7. Escriba cinco magnitudes derivadas con sus unidades (de esta guía) y consulte
cinco ejemplos más.
8. ¿Para qué sirve el análisis dimensional?
9. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas?
a. v f  vi  a x , en donde vf es velocidad final, vi es velocidad inicial, a la
aceleración y x la distancia recorrida
m
b. F  , en donde F es la fuerza, m es la masa y a es la aceleración
a
Si no está seguro de las unidades de cada una de las magnitudes, puede
consultar en cualquier libro de física o en el internet.
10. Realice las conversiones solicitadas:
a.
b.
c.
d.
Fís. Lenin Jácome
15 pulgadas a metros
23,4 millas a kilómetros
13 metros cuadrados a acres
78,9 kilómetros cuadrados a hectáreas
11
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
e. 4,99 litros a galón imperial
f. 378 kilogramos a libras
11. Realice las conversiones solicitadas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
24,78 metros a kilómetros
0,567 gramos a miligramos
9 voltios a microvoltios
123,1 faradios a picofaradios
23,5 kilonewtons a newtons
900 mililitros a litros
12. Escriba en su criterio la relación entre la Física y la Tecnología
Fís. Lenin Jácome
12
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Bibliografía
1. Wikipedia. Wikipedia. [Online] http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica.
2. Argentina, Universidad Tecnológica Nacional - Bahía Blanca -. Teoría de Mecánica del Sólido. [Online]
http://www.frbb.utn.edu.ar/carreras/materias/mecanicadelsolido/apuntes/aprendice_i.htm.
3. Serway, Raimond. Física para Ciencias e Ingenierías. México : Thomson, 2006. Vol. 1.
Fís. Lenin Jácome
13
UNIDAD 2
Vectores
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
2.1.
SISTEMAS DE REFERENCIA
Los sistemas de referencia (o marcos de referencia) se emplean para describir la posición y
el movimiento de los cuerpos. Un sistema de referencia está formado por:


Un punto tomado como origen de referencia de coordenadas.
Unos ejes de coordenadas. Los ejes se cortan en el origen de referencia.
Para señalar la posición de un cuerpo indicamos la distancia hasta cada eje. Y para definir
su movimiento señalamos cómo cambia esta distancia con el tiempo.
“Un sistema de referencia espacial indica, de manera precisa, dónde se encuentra el
cuerpo en un instante determinado”.
La coordenada x toma el valor de la distancia que separa la posición del cuerpo de la
marca cero del eje X.
2.2.
SISTEMAS DE COORDENADAS
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de
cualquier punto de un espacio vectorial (puede ser en el plano o en el espacio). Existen
varios tipos de sistemas de coordenadas utilizados para aplicaciones específicas, dentro de
ellos se van a describir 3 sistemas que son usados frecuentemente en la física básica, estos
son:
1. Sistema de Coordenadas Cartesianas
2. Sistema de Coordenadas Polar
3. Sistema de Coordenadas Geográfico
Estos sistemas de coordenadas son de suma importancia ya que para resolver problemas
de diversos tópicos de física, se tiene que tener un conocimiento previo de cómo utilizarlos
y cómo hacer cambios entre ellos para que la resolución de los problemas sea menos
compleja.
Fís. Lenin Jácome
15
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Desde el punto de vista estrictamente matemático, un sistema de referencia en un espacio
vectorial de dimensión n está formado por n vectores linealmente independientes,
formando una base del espacio, y por un punto, definido por n coordenadas, que suele
llamarse origen del sistema de referencia.
Existen otros sistemas coordenadas más complejos, los cuales son usados en aplicaciones
a problemas más apegados a la realidad, esto si se aborda al movimiento, aunque también
se usa muy frecuentemente en la resolución de otros fenómenos físicos, tales como:
electricidad, magnetismo, relatividad, entre otras. Estos son:



Sistema de coordenadas Cartesiano
Sistema de coordenadas Cilíndrico
Sistema de coordenadas Geográfico
En el estudio de esta materia solamente se utilizará los sistemas rectangulares definido en
dos dimensiones (en el plano), tal como se observa a continuación:
Fig. 2.1 Sistema de coordenadas
2.2.1. Sistema de coordenadas Rectangular
En el sistema de coordenadas rectangular se usa dos ejes los cuales son perpendiculares
entre si, por tanto, tienen un punto en el cual se cortan que se denomina “origen”.
El eje que se ubica en forma horizontal, se le conoce como “eje x” o también como “eje de
las abscisas” y el otro eje ubicado en forma vertical se denomina “eje y” o “eje de las
ordenadas”.
Fís. Lenin Jácome
16
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Estos forman entre sí cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales permite ubicar en primera
instancia a un punto, que se determina por un par de números (conocido como par
ordenado) definidos como (x; y) que no son más que el punto de corte de las
perpendiculares levantadas desde los valores x e y de cada eje.
Fig. 2.2 Sistema de coordenadas rectangular
Ejemplo:
Se desea ubicar al punto (x; y) = (2, -3) [cm]
Fig. 2.3 Sistema de coordenadas rectangular: Ejemplo
Como se puede observar, lo que se hace es ubicar la coordenada x = 2 sobre el eje X y
desde ahí levantar una perpendicular. Luego se ubica la coordenada y = -3 sobre el eje Y,
desde donde se levanta otra perpendicular. Estas dos perpendiculares se cortan en punto,
Fís. Lenin Jácome
17
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
el cual es precisamente el punto que se deseaba ubicar. Este se halla en el tercer
cuadrante. No olvide que es importante trabajar con las respectivas unidades, en este caso
los cm.
2.2.2. Sistema de coordenadas Polar
Las coordenadas polares sirven para indicar la posición de un punto mediante un “radio
vector” ( r), que no es sino la distancia positiva entre el punto y el origen del sistema, y el
ángulo polar (𝜙), que no es más que el ángulo positivo (en sentido antihorario) barrido por
el radio vector a partir del eje polar.
Fig. 2.4 Sistema de coordenadas polar
Ejemplo:
Se desea ubicar al punto (r; 𝜙) = (4 [m], 105°)
Fig. 2.5 Sistema de coordenadas polar: Ejemplo
Fís. Lenin Jácome
18
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Para ubicar un punto en coordenadas polares, lo que se realiza es lo siguiente: primero, se
reconoce el eje polar y el origen del mismo (marcado con 0 en la figura). Con centro en
dicho punto y a partir de dicho eje, se mide el ángulo solicitado, en este caso 105°, siempre
en sentido contrario a las manecillas de reloj. Después se traza la línea, con la medida
requerida, es este caso 4 [m], considerando el ángulo medido anteriormente. El sitio
encontrado bajo estas indicaciones, es el punto que se buscaba.
2.2.3. Sistema de coordenadas Geográfico
Las coordenadas geográficas identifican la posición de un punto respecto al plano
terrestre, mediante el radio vector “r” y el “rumbo”, que es la dirección angular medida a
partir del norte o sur geográfico. Los ejes se definen de la siguiente manera:
Fig. 2.6 Sistema de coordenadas geográfico
Ejemplo:
Se desea ubicar al punto (r; rumbo) = (2,5 [km], N25°E)
Fís. Lenin Jácome
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Fig. 2.7 Sistema de coordenadas geográfico: Ejemplo
En este caso, para ubicar el punto solicitado, se debe encontrar la dirección “norte” así
como el origen del sistema de coordenadas. A partir de esta dirección y haciendo centro en
el origen, se mide los 25° hacia la dirección “Este”. Luego se mide la distancia desde el
origen, en este caso los 2,5 [Km], obviamente con la escala adecuada.
2.2.4. Equivalencias entre sistemas de coordenadas
Los parámetros de los tres sistemas coordenados, pueden intercambiarse entre sí, usando
simplemente las Funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, además el teorema
de Pitágoras, los cuales se especifican a continuación:

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la
suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo
rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene
catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:
a2 + b2 = c2
Fís. Lenin Jácome
20
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Fig. 2.8 Triángulo rectángulo con sus dos catetos y su hipotenusa

Las funciones trigonométricas permiten calcular los lados y los ángulos de un
triángulo rectángulo. Son las siguientes:
o 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
o 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
o 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
El ángulo y los catetos se los considera según la disposición de los mismos en el
triángulo rectángulo. Para mayor referencia se puede observar la siguiente figura:
Fig. 2.9 Triángulo rectángulo especificando sus dos catetos, su hipotenusa y un ángulo
Si usted observa, en los tres sistemas de referencia aparecen triángulos rectángulos, por
tanto, si se desea transformar de un sistema de coordenadas a otro, solo hay que calcular
o alguno de los catetos (componentes x e y) o la hipotenusa (módulo de un vector) o algún
ángulo.
Fís. Lenin Jácome
21
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
2.3.
VECTORES: Definición
En general un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o
módulo, siempre positivo por definición; su dirección, determinada por una recta
(directriz) a la cual el vector es paralelo; y su sentido, que podrá ser coincidente u opuesto
con un sentido predeterminado sobre la dirección antes mencionada.
Se representa como un segmento orientado, con dirección y sentido, dibujado como una
"flecha". Su longitud representa el modulo del vector y la "punta de flecha" indica su
sentido.
Sentido
Sentido
Módulo
Dirección
α
Punto de
aplicación
Fig. 2.10 Representación de un Vector
Como ejemplo de una magnitud vectorial o vector se puede mencionar a la aceleración de
la gravedad, cuyo módulo es 9,8 m/s2, la dirección es vertical y su sentido es hacia abajo
2.4.
Tipos de Vectores
2.4.1. Vectores libres
Son aquellos que pueden colocarse en cualquier punto del espacio manteniendo
constantes su módulo, dirección y sentido. El efecto que producen no se altera. Se los
denomina también vectores algebraicos o matemáticos.
Fís. Lenin Jácome
22
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Ejemplo: el vector desplazamiento, la velocidad de la luz
Fig. 2.11 Vector desplazamiento
2.4.2. Vectores deslizantes:
Estos vectores pueden trasladarse a cualquier posición de su línea de acción sin modificar
su efecto.
Ej: la fuerza que arrastra un objeto.
𝐹
𝐹
Fig. 2.12 Fuerza que arrastra a un objeto
2.4.3. Vectores fijos:
También denominados “anclados”, son los que se encuentran ligados a una sola posición
determinada, no pueden ser trasladados a ningún otro punto ya que producirían una
variación en su efecto.
Fís. Lenin Jácome
23
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Ej: el vector posición
Fig. 2.13 Vector Posición
2.4.4. Vector unitario:
Es aquel cuyo módulo o magnitud es la unidad y nos indica la dirección y el sentido de un
vector. No tiene dimensiones.
Fig. 2.14 Vector Unitario
2.4.5. Vectores paralelos:
Tienen la misma dirección y sentido. Su módulo no necesariamente es el mismo.
Fís. Lenin Jácome
24
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Fig. 2.15 Vectores Paralelos
2.4.6. Vectores antiparalelos:
Tienen la misma dirección pero sentido contrario. Su módulo es diferente
Fig. 2.16 Vectores Anti paralelos
2.4.7. Vector opuesto o negativo:
Son vectores los cuales, tienen la misma dirección pero el sentido contrario. Además, su
módulo es el mismo.
Fig. 2.17 Vectores Opuestos o Negativos
Fís. Lenin Jácome
25
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Operaciones entre vectores
2.5.
Así como en álgebra, en física se puede relacionar diversas cantidades vectoriales a través
de ciertas operaciones. Pero existe un problema: “las cantidades físicas que se van a
relacionar, tienen dirección y sentido”. En consecuencia resulta necesario establecer
algunas particularidades para las operaciones vectoriales.
Para introducir a las operaciones entre vectores, usaremos la representación, cuya
notación, significado y dirección, se muestra a continuación:
Se define un vector cualquiera llamado 𝐴, cuya notación es la siguiente:
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
en donde:

Ax ; Ay y Az son las proyecciones del vector 𝐴 sobre cada uno de los ejes. Es cualquier
número elemento de los números Reales.

𝑖, 𝑗 𝑦 𝑘 son las direcciones unitarias de cada eje (X, Y, Z), como se puede observar
en la gráfica siguiente:
Fig. 2.18 Direcciones 𝑖, 𝑗 𝑦 𝑘
Fís. Lenin Jácome
26
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
2.5.1. Suma o Adición de Vectores
Para poder definir a la suma de vectores, primero se debe mencionar sus propiedades:

CONMUTATIVA: El orden en que se sumen los vectores, no altera el resultado:
𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴

ASOCIATIVA: Los vectores pueden asociarse de cualquier manera: 𝐴 + (𝐵 + 𝐶 ) =
(𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶

DISTRIBUTIVA VECTORIAL: Al multiplicar la suma de dos vectores por un escalar el
resultado será igual a la suma de los productos de dicho escalar por cada vector:
𝑚 𝐵 + 𝐶 = 𝑚𝐵 + 𝑚𝐶

DISTRIBUTIVA ESCALAR: La suma de dos escalares por un vector es igual a la suma
de los productos de cada escalar por el vector: 𝑚 + 𝑛 𝐴 = 𝑚𝐴 + 𝑛𝐴

IDÉNTICO ADITIVA: Al añadir un vector a un vector nulo el resultado será el mismo
vector: 𝐴 + 0 = 𝐴

INVERSA ADITIVA: Al sumar un vector con su respectivo vector opuesto nos da un
vector nulo: 𝐴 + −𝐴 = 0
La suma entre dos o más vectores puede realizarse de dos maneras: Gráfica y Analítica
2.5.1.1.
Método Analítico
Sean dos vectores:
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘
Se define la suma:
𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗 + (𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 )𝑘
Fís. Lenin Jácome
27
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Como se observa, solamente se suman los coeficientes que tienen componentes similares
entre si. El resultado es un vector.
Ejemplo:
𝐴 = 2𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘
𝐵 = 4𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘
𝐴 + 𝐵 = 2 + 4 𝑖 + 3 + 2 𝑗 + (4 + (−6))𝑘
𝑨 + 𝑩 = 𝟔𝒊 + 𝟓𝒋 − 𝟐𝒌
2.5.1.2.
Método Gráfico
Existen diversos métodos que se pueden catalogar como “gráficos”. Se mencionará a tres:
Método del Paralelogramo, Método del Triángulo y Método del Polígono. A continuación
se describirá cada uno de ellos.
2.5.1.2.1. Método del Paralelogramo
Este método consiste en hacer coincidir los dos vectores en un origen común (sistema de
referencia común), manteniendo sus características originales, esto es: módulo, dirección y
sentido.
Se realiza lo siguiente:
a. Desde los extremos de cada vector, se trazan líneas rectas paralelas al otro vector.
Estas a medida que se prolongan, llegarán a un punto en el que se cruzarán. De
esta manera se forma un paralelogramo, como se puede observar a continuación:
Fís. Lenin Jácome
28
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Fig. 2.19 Método del Paralelogramo
b. El vector resultante va desde el origen de los dos vectores hasta el punto en el que
se cortan las dos rectas paralelas
2.5.1.2.2. Método del Triángulo
Consiste en colocar el segundo vector después de que ha terminado el primero, sin que
ninguno de los dos haya perdido sus características originales, es decir su módulo, su
dirección y su sentido. Asimismo, la escala y las unidades con las que se represente a los
dos serán las mismas.
Fís. Lenin Jácome
29
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Fig. 2.20 Método del triángulo
El vector resultante surgirá de unir el origen del primer vector con el final del segundo
vector.
2.5.1.2.3. Método del Polígono
Este método es muy útil cuando se tiene más de dos vectores, ya que es una generalización
del método del triángulo, descrito anteriormente. Es decir, los vectores, sea cualesquiera el
número de ellos, se ubican uno a continuación de otro, y el vector resultante se obtiene
uniendo el punto de inicio del primer vector con el final del último vector.
Fís. Lenin Jácome
30
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Fig. 2.21 Método del Polígono
2.5.2. Producto de Vectores
El producto o multiplicación para vectores, es una operación que no es única, es decir,
tiene algunos casos, por ejemplo, el denominado producto punto o escalar, o el producto
cruz o vectorial, y por último, el producto entre un escalar y un vector.
Previo al estudio de cada uno de ellos, resulta necesario definir más profundamente al
vector unitario, el cual servirá para posteriores cálculos.
2.5.2.1.
Unitario de un vector
Como ya se mencionó, un vector unitario, es uno que indica la dirección y sentido de un
vector, además de tener un módulo igual a uno, de ahí su nombre: “unitario”.
Su notación es: 𝝁𝑨 y se lee “unitario del vector A”
Este se calcula de la siguiente manera:
Fís. Lenin Jácome
31
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Sea:
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 , un vector cualquiera.
1. Se calcula primero su módulo:
𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2 = 𝐴
𝐴 =
(observe que el módulo de un vector se expresa con dos barras verticales o
simplemente no se ubica la flecha sobre la letra que nombra al vector)
2. Luego usa la definición del vector unitario, que no es nada más dividir el mismo
vector para su respectivo módulo, es decir:
𝜇𝐴 =
𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2
3. Finalmente, se puede separar cada una de las componentes para el módulo, así:
𝜇𝐴 =
𝐴𝑥 𝑖
𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2
𝐴𝑦 𝑗
+
𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2
+
𝐴𝑧 𝑘
𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2
Recuerde que el vector unitario es adimensional
2.5.2.2.
Producto de un vector por un escalar
Como el nombre lo indica, consiste en multiplicar una magnitud de tipo escalar con una de
tipo vectorial.
Fís. Lenin Jácome
32
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Sea un vector 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 y “n” un escalar cualquiera, la operación: 𝒏 · 𝑨 se la
realiza de la siguiente manera:
𝑛 · 𝐴 = 𝑛 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 = 𝑛 · 𝐴𝑥 𝑖 + 𝑛 · 𝐴𝑦 𝑗 + 𝑛 · 𝐴𝑧 𝑘
2.5.2.2.1. Propiedades:

ES CONMUTATIVO, esto es, el orden en el que se coloquen los factores, no altera el
resultado:

𝑛·𝐴 =𝐴·𝑛
ES DISTRIBUTIVO ESCALAR, el producto de un vector por la suma de otros dos
escalares es igual a la suma de los productos de dicho vector por los escalares:

𝐴 𝑛+𝑚 =𝐴·𝑛+𝐴·𝑚
ES ASOCIATIVO, se puede alterar el orden de agrupamiento para la realización de
las operaciones:
𝑛 𝑚𝐴 = 𝐴 · (𝑛𝑚)

ES DISTRIBUTIVA VECTORIAL:
𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑛𝐴 + 𝑛𝐵
Un ejemplo de esta relación entre un escalar y un vector lo constituye la fuerza expresada
en la segunda ley de Newton: 𝐹 = 𝑚𝑎 , donde “m” es la masa y es un escalar, mientras que
𝑎 es la aceleración y es un vector. Aquí la fuerza tiene la misma dirección que la
aceleración, al ser la masa siempre de valor positivo.
2.5.2.3.
Producto Escalar entre dos vectores
También denominado “Producto Punto”, relaciona dos vectores dando como resultado un
ESCALAR. El producto no es nada más que la multiplicación de los módulos de los dos
vectores y del coseno del ángulo que forman los mismos.
𝐴 · 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃
Fís. Lenin Jácome
33
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Fig. 2.22 Producto escalar
Sean dos vectores:
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘
Se define el producto escalar o punto así:
𝐴 · 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + (𝐴𝑧 𝐵𝑧 )
Ejemplo:
𝐴 = 2𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘
𝐵 = 4𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘
𝐴 · 𝐵 = 2 · 4 + 3 · 2 + (4 · (−6))
𝐴 · 𝐵 = 8 + 6 − 24
𝑨 · 𝑩 = −𝟏𝟎
2.5.2.3.1. Propiedades

ES CONMUTATIVO: esto, el orden en que se coloquen los factores no altera el
resultado:
𝐴·𝐵 =𝐵·𝐴
Fís. Lenin Jácome
34
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA


ES DISTRIBUTIVO: el producto de un vector por la suma de otros dos es igual a la
suma del producto de ese vector por cada uno de los otros dos:
𝐴 · 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
NO ES ASOCIATIVO: no puede alterarse el orden en el que se efectúen las
operaciones:
𝐴 · 𝐵 · 𝐶 ≠ (𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶
2.5.2.4.
Producto Vectorial
A esta relación entre dos vectores, se le conoce también como “Producto Cruz” y su
resultado como el nombre lo indica es un VECTOR.
Su módulo es igual al producto de los módulos de cada uno de los vectores por el seno del
ángulo formado entre ellos:
𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃
El vector que se obtiene es perpendicular al plano que forman los dos vectores que forman
parte de la operación, o también se pude afirmar que es perpendicular a cada uno de ellos.
El sentido de dicho vector se determina por la “regla de la mano derecha” que consiste en
orientar los dedos de la mano derecha en la dirección en la que rota el primer vector del
producto respecto al segundo. El dedo pulgar se orientará en la dirección del vector
resultante. Esto lo puede observar en la figura siguiente:
Fig. 2.22 Producto Vectorial y Regla de la mano derecha
Fís. Lenin Jácome
35
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
El desarrollo de este producto se puede realizar ubicando adecuadamente a las direcciones
y a los coeficientes en una matriz, de la siguiente manera:
Sean dos vectores:
𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘
Se define este procedimiento para hallar el producto vectorial o cruz así:
𝑖
𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑥
𝐵𝑥
𝑗
𝐴𝑦
𝐵𝑦
𝑘
𝐴𝑧 = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖 − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑗 + (𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 ) 𝑘
𝐵𝑧
Que consiste en lo siguiente:
1. Una matriz cuadrada tiene dos diagonales, un principal que va desde arriba
izquierda hacia abajo derecha y una secundaria que va desde abajo izquierda hacia
arriba derecha.
2. Si se desea calcular la componente 𝑖, se elimina la primera columna (vertical) y se
considera solamente los coeficientes. Después se procede a multiplicar los
coeficientes de la diagonal principal y se los resta con el producto de los
coeficientes de la diagonal secundaria, al final se añade la dirección 𝑖 , así:
⋮ 𝑗
⋮ 𝐴𝑦
⋮ 𝐵𝑦
𝑘
𝐴𝑦
𝐴𝑧 =
𝐵𝑦
𝐵𝑧
𝐴𝑧
= 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖
𝐵𝑧
3. Para calcular la componente 𝑗, se elimina la segunda columna (vertical) y se
considera solamente los coeficientes. Después se procede a multiplicar los números
de la diagonal principal y se los resta con el producto de los coeficientes de la
diagonal secundaria, al final se añade la dirección 𝑗. Al final y SOLO PARA ESTA
COMPONENTE, se añade el signo MENOS. Así:
Fís. Lenin Jácome
36
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
𝑖
𝐴𝑥
𝐵𝑥
⋮
⋮
⋮
𝑘
𝐴𝑥
𝐴𝑧 = 𝐵
𝑥
𝐵𝑧
𝐴𝑧
= − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑗
𝐵𝑧
4. Luego, para calcular la componente 𝑘, se elimina la tercera columna (vertical) y se
considera solamente los coeficientes. Después se procede a multiplicar los números
de la diagonal principal y se los resta con el producto de los coeficientes de la
diagonal secundaria, al final se añade la dirección 𝑘, así:
𝑖
𝐴𝑥
𝐵𝑥
𝑗
𝐴𝑦
𝐵𝑦
⋮
𝐴
⋮ = 𝑥
𝐵𝑥
⋮
𝐴𝑦
= (𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 ) 𝑘
𝐵𝑦
5. Por último, se unen los tres resultados y se obtiene la expresión mencionada
anteriormente:
𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖 − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝑗 + (𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 ) 𝑘
Ejemplo:
𝐴 = 4𝑖 + 7𝑗 + 5𝑘
𝐵 = 11𝑖 − 8𝑗 + 2𝑘
𝑖
𝐴×𝐵 = 4
11
𝑗 𝑘
7 5 = 14 + 40 𝑖 − 8 − 55 𝑗 + (−32 − 77) 𝑘
−8 2
𝑨 × 𝑩 = 𝟓𝟒𝒊 + 𝟒𝟕𝒋 − 𝟏𝟎𝟗𝒌
Fís. Lenin Jácome
37
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
2.6.
Componentes de un vector
Un vector puede representarse como la suma de dos vectores que se encuentran sobre los
ejes x e y respectivamente. Estos vectores reciben el nombre de “Componentes de un
vector”. Esto se puede apreciar en la siguiente figura:
Fig. 2.23 Componentes de un vector
Las componentes del vector A: Ax y Ay, se pueden calcular mediante las siguientes
relaciones:
𝐴𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝐴𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃
Las expresiones anteriores se obtienen de aplicar las funciones trigonométricas seno y
coseno al triangulo rectángulo que se observa en la figura y que está formado por los dos
catetos (componentes del vector) y la hipotenusa (módulo del vector A). Tal como se
mencionó anteriormente.
Fís. Lenin Jácome
38
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
En cambio, si se conocen las componentes del vector, entonces es posible saber cuál es la
magnitud y dirección del mismo. Para ello, basta aplicar el teorema de Pitágoras y la
función trigonométrica arcotangente. Así:
𝐴=
𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 (Módulo o magnitud)
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐴𝑦
𝐴𝑥
(dirección)
Ejemplo:
Sean las componentes de los vectores A y B, como se observan en la figura, obtener 𝐴 y 𝐵
Se observa que se tiene como dato Ax, Ay, Bx y By, respectivamente, por tanto se puede
expresar los vectores de la siguiente manera:
𝐴 = 5𝑖 + 6𝑗 y 𝐵 = −6𝑖 − 7𝑗
Nótese que hacia la derecha está el sentido X positivo (componente i) mientras que a la
izquierda está el sentido X negativo (componente –i). Asimismo, hacia arriba se encuentra
el sentido Y positivo (componente j), mientras que hacia abajo se halla el sentido Y
negativo (componente –j).
Fís. Lenin Jácome
39
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Con estos datos se puede obtener el módulo de los vectores y sus direcciones. Así:
52 + 62 = 61 = 7,81
6
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
→ 𝜃 = 50,2°
5
𝐴=
(−6)2 + (−7)2 = 85 = 9,21
7
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
→ 𝜃 = 49,39°
6
𝐵=
Fís. Lenin Jácome
40
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
2.7.
AUTOEVALUACIÓN
 
 
1. Obtener el vector suma A  B y el vector A  B de: (previamente transformar a
coordenadas rectangulares)


A  (7[ N ];180º ) ; B  (20[ N ];37º )

 

  
 
2. Sean: A  4i  3 j ; B  i  2 j ; C  3i  j . Halle de forma analítica y gráfica
(uno de los 3 métodos), las siguientes sumas vectoriales:


a. A  2 B


C

2
B
b.
  
A
 BC
c.
  
d. A  B  C
e. El módulo y la dirección del vector B
f. El módulo y la dirección del vector C
3. Sean:




X  6i  4 j  2k

 
Y  3 j  k




Z  i  3 j  7k
Efectuar las siguientes operaciones:

 
a.  2 X  5Z  Y
 
b. Z  Y
 
c. 2Z  X
 
d. Z  Y
 
e. Z  X
4. Dada la dirección 𝜃 = 72° y la magnitud C = 24.5, hallar las componentes del
vector 𝐶
Fís. Lenin Jácome
41
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Bibliografía
1. Wikipedia. Wikipedia. [Online] http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica.
2. Argentina, Universidad Tecnológica Nacional - Bahía Blanca -. Teoría de Mecánica del Sólido. [Online]
http://www.frbb.utn.edu.ar/carreras/materias/mecanicadelsolido/apuntes/aprendice_i.htm.
3. Serway, Raimond. Física para Ciencias e Ingenierías. México : Thomson, 2006. Vol. 1.
4. Sistemas de referencia. [Online] http://ec.kalipedia.com/fisica-quimica/tema/movimientos/sistemasreferencia.html?x=20070924klpcnafyq_158.Kes&ap=0
Fís. Lenin Jácome
42
UNIDAD 3
Mecánica
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
CONCEPTOS PREVIOS
3.1.
En cinemática hay tres conceptos que se tiene que conocer porque se usan todo el tiempo.
Fijémonos bien en ellos:

El lugar en donde está la cosa que se está
moviendo se llama POSICIÓN.

La cantidad de espacio recorrido en un cierto
intervalo de tiempo se llama VELOCIDAD.

Si la velocidad del objeto aumenta o disminuye en
un determinado tiempo, se dice que tiene
ACELERACIÓN.
Ejemplo:
X
POSICION Y
VELOCIDAD
Xauto= 10 m
Se usa la letra x para indicar la posición porque casi siempre las posiciones se marcan
sobre un eje x. Si el objeto está a una determinada altura del piso se usa un eje vertical y
(la altura se indica con la letra y).
Ejemplo:
Supongamos que tengo algo a 5 metros de altura. Para dar su posición tomo un eje
vertical Y. Con respecto a este eje digo:
Fís. Lenin Jácome
44
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
LA POSICION DEL
PATO ES
Y = 5 metros
X e Y se llaman coordenadas del cuerpo. Dar las coordenadas de una cosa (por ejemplo de
un avión) es una manera de decir dónde está el objeto en ese momento.
3.1.1. Sistema De Referencia
Cuando digo que la posición de algo es x = 10 [m], tengo que decir 10 [m] medidos desde
dónde.
Se puede estar a 10 m de tu casa pero a 100 m de la casa de tu primo, de manera que la
frase: “estoy a 10 m” no indica nada. Hay que aclarar desde dónde.
Entonces en física, lo que se hace es decir:
En el lugar que elijo como cero pongo el par de ejes x-y. Estos dos ejes forman el sistema
de referencia. Todas las distancias que se miden están referidas a él.
Fís. Lenin Jácome
45
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Para resolver los problemas conviene siempre tomar el par de ejes x-y. Además poner el
par de ejes x-y nunca está de más.
Las ecuaciones que uno plantea después para resolver el problema, van a estar referidas al
par de ejes x-y que uno eligió.
3.1.2. Trayectoria
La trayectoria es el camino que recorre el cuerpo mientras se mueve. Pueden existir
muchos tipos de trayectorias. Veamos a continuación:
Una trayectoria no tiene por qué ser algún tipo de curva especial. Puede tener cualquier
forma. Puede ser cualquier cosa.
Ejemplo:
Fís. Lenin Jácome
46
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
3.1.3. Posiciones Negativas
Una cosa puede tener una posición negativa (como x = -3 m, ó x = -200 Km). Eso pasa
cuando la cosa está del lado negativo del eje de las X.
Esto es importante, porque a veces al resolver un problema el resultado da negativo. Y ahí
uno suele decir: Huy !!!! Me dió X = - 20 m. No puede ser………………….
……………………….Pero SI puede ser. La posición puede dar negativa. Incluso la velocidad y la
aceleración también pueden dar negativas.
Fíjate ahora en este dibujo como se representa una posición negativa:
3.1.4. Velocidad Negativa
Si la cosa que se mueve va en el mismo sentido que el eje de las x, su velocidad es (+). Si va
al revés, es (-). Atento con esto que no es del todo fácil de entender.
A ver:
Fís. Lenin Jácome
47
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Es decir, en la vida diaria uno no usa posiciones ni velocidades negativas. Nadie dice:
“estoy a –3 *m+ de la puerta”. Más bien dice: “estoy 3 *m+ DETRÁS de la puerta”. Tampoco
se dice: “ese coche va a – 20 Km/h ”. Uno dice: “ese auto va a 20 Km por hora EN SENTIDO
CONTRARIO del que voy yo”.
Sin embargo, en cinemática, la cuestión de posiciones negativas y velocidades negativas se
usa todo el tiempo y hay que entenderlo bien.
3.1.5. La Letra Griega Delta (Δ)
Todo el tiempo se usa la letra Delta. Es un triangulito así:
Δ
En física se usa la delta para indicar que a lo final hay que restarle lo inicial.
Por ejemplo:

Δx querrá decir “X final menos X inicial ”.

Δt querrá decir “t final menos t inicial “, y así sucesivamente.
En matemática esto se conoce hallar la variación o hallar la diferencia.
3.1.6. Espacio Recorrido (Δx)
El lugar donde una persona está se llama “posición”. La distancia que esta recorre al ir de
una posición a otra se llama espacio recorrido.
Fíjate que posición y espacio recorrido NO son la misma cosa.
Pongámonos de acuerdo. Vamos a llamar:
x0 = posición inicial (lugar de donde la persona salió).
xf = posición final (lugar a donde la persona llegó).
Δx = espacio recorrido (quiere decir = xf – xo).
Fís. Lenin Jácome
48
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Si el móvil salió de una posición inicial (por ejemplo x0 = 4 m) y llegó a una posición final
(por ejemplo xf = 10 m ) , el espacio recorrido se calcula haciendo esta cuenta:
ESPACIO
Δx = xf - x0
RECORRIDO
Es decir, en este caso me queda: Δx = 10 m – 4 m => Δx = 6 m.
3.1.7. Tiempo Transcurrido o Intervalo de Tiempo (Δt)
El intervalo de tiempo Δt es el tiempo que la persona estuvo moviéndose. “Delta t” puede
ser 1 segundo, 10 segundos, 1 hora, lo que sea...
Si el objeto salió en un determinado instante inicial t0 (por ej. a las 16 hs), y llegó en un
determinado instante final (por ej. a las 18 hs), el intervalo de tiempo “delta t” se calcula
haciendo Δt = tf – t0, (Es decir 18 hs – 16 hs = 2 hs).
Fís. Lenin Jácome
49
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
3.2.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
Un cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si se mueve en LÍNEA RECTA y
recorre ESPACIOS IGUALES EN TIEMPOS IGUALES. Esto lo dijo Galileo Galilei.
Dicho de otra manera:
En el MRU LA VELOCIDAD NO CAMBIA, SE MANTIENE CONSTANTE. Al ser la velocidad
todo el tiempo la misma, lo que se viene moviendo no acelera. Es decir, en el movimiento
rectilíneo y uniforme la aceleración es cero (a = 0).
3.2.1. Gráfica de la Posición en Función del Tiempo
Muchas ocasiones te pueden pedir hacer gráficos que describan el movimiento. ¿Cómo es
eso?
Pues fíjate a continuación:
Supón que un cuerpo se viene moviendo a 100 km por hora. Una hormiga, por ejemplo.
Después de una hora habrá recorrido 100 Km. Después de 2 hs habrá recorrido 200 Km y
así sucesivamente... Esto se puede escribir en una tabla, como la siguiente:
Fís. Lenin Jácome
50
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
POSICIÓN
0 Km
100 Km
200 Km
TIEMPO
0 hs
1h
2 hs
Ahora se puede hacer un gráfico poniendo para cada tiempo la posición correspondiente
(0 le corresponde 0; a 1 le corresponde 100; etc.). Esto lo puedes ver a continuación:
Uniendo todos los puntos tengo el gráfico de la posición en función del tiempo:
A este gráfico se lo suele llamar abreviadamente “posición versus tiempo”, “posición en
función del tiempo”, ó “x = f (t)”.
Todas estas denominaciones quieren decir lo mismo.
Fís. Lenin Jácome
51
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
3.2.2. Representación de la velocidad y la aceleración en función del tiempo.
Se puede dibujar también los gráficos de velocidad y aceleración en función del tiempo. Si
lo piensas un poco vas a ver que quedan así:
En estos 3 gráficos se ven perfectamente las características del MRU. O sea:

El gráfico de V en función de t muestra que la velocidad se mantiene constante.

El gráfico de a en función de t muestra que la aceleración es todo el tiempo cero.

El gráfico de x en función del tiempo muestra que la posición aumenta linealmente
con el tiempo.
3.2.3. Cálculo de la Velocidad en el MRU
Para calcular la velocidad se toma en cuenta el espacio (o distancia) recorrido sobre el
tiempo empleado. Esto es lo mismo que se usa en la vida diaria. Dicho de otra forma, la
velocidad representa la distancia que se ha recorrido en un determinado tiempo.
En el sistema internacional (SI), la velocidad se mide en [m/s]
Observemos ahora la siguiente figura:
Supongamos que la tortuga salió de la posición x0 y llegó a la posición xf . Es decir recorrió
Fís. Lenin Jácome
52
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
la distancia Δx. Además, en el momento que partió de la posición x0 el tiempo corresponde
a t0 y en la posición final t1.
La velocidad será:
Espacio recorrido.
v 
x
t
v 
xf  x0
tf  t0
Tiempo empleado.
 Velocidad
en el MRU.
3.2.4. Ecuaciones horarias en el MRU
La definición de velocidad era: 𝑣 =
𝑥 𝑓 −𝑥 0
𝑡 𝑓 −𝑡 0
. Si ahora despejo 𝑥𝑓 − 𝑥0 me queda:
→
𝑣 ∙ t f − t 0 = xf − x0
→
xf = x0 + 𝑣 ∙ t f − t 0
← 1ra ECUACION HORARIA
Esta ecuación PERMITE OBTENER LA POSICIÓN DEL TIPO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO. Se la
llama horaria porque en ella interviene el tiempo (= la hora ).
Permite predecir en un momento futuro cual será la posición del móvil en MRU.
Como (tf - t0) es t, a veces se la suele escribir como xf = x0 + 𝑣 ∙ ∆𝑡
También si “t0” vale cero, se la pone como xf = x0 + 𝑣 ∙ 𝑡.
Supón que un cuerpo que se está moviendo salió en t0 = 0 de la posición X0 = 200 Km. Si
el objeto salió con una velocidad de 100 Km/h, su ecuación horaria será:
x = 200 Km + 100
Fís. Lenin Jácome
Km
.(t–0)
h
53
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
→ x = 200 Km + 100
Km
t
h
Si en la ecuación le voy dando valores a t (1 h, 2 hs, 3 hs, etc.) voy a tener la posición
donde se encontraba el cuerpo en ese momento.
Las otras dos ecuaciones horarias para el caso del MRU son:
v  cte
y
a 0
En definitiva, las tres ecuaciones horarias para el MRU son:
x = xo + v . (tf – to)
v = Cte.
a=0
ECUACIONES HORARIAS PARA EL
MOVIMIENTO RECTILINEO Y
UNIFORME
De las tres ecuaciones sólo se usa la primera para resolver los problemas. Las otras dos,
digamos que no se usan. Son sólo conceptuales, pero es importante saberlas.
3.2.5. TANGENTE DE UN ÁNGULO
Calcular la tangente (tan) de un ángulo significa hacer la división entre lo que mide el
cateto opuesto y lo que mide el cateto adyacente. Por ejemplo, dibujo un ángulo
cualquiera.
α
Adyacente
O
p
u
e
s
t
o
Un triángulo
de ángulo alfa
En este triángulo la tangente de alfa va a ser:
Tan α =
opuesto
adyacente
← Tangente de un ángulo.
Por ejemplo, si doy valores a los dos catetos del triángulo:
opuesto: 2,1 cm
adyacente: 4,8 cm
Fís. Lenin Jácome
54
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Entonces:
tan  
2,1 cm
 0,437
4,8 cm
Fíjate que el resultado no dio en cm. La tangente de un ángulo es siempre un número. (NO
TIENE UNIDADES).
3.2.6. PENDIENTE DE UNA RECTA
La pendiente de una recta es una cosa parecida a la tangente de un ángulo, sólo que SI
TIENE UNIDADES.
Hallar el valor de la pendiente de una recta significa hacer la división entre la cantidad que
está representando el cateto opuesto y la cantidad que está representando el cateto
adyacente.
Veamos: supongamos que tengo la siguiente recta que proviene de la representación de la
posición en función del tiempo para una cosa que se viene moviendo con MRU:
Para el ángulo alfa que se encuentra representado en la figura anterior, el cateto opuesto
mide unos 1,8 cm si lo mido con una regla en la hoja. Pero REPRESENTA 160 m. De la
misma manera, el cateto adyacente mide unos 3,8 cm en la hoja; pero REPRESENTA 8 seg.
De manera que el valor de la pendiente de la recta va a ser:
Pendiente 
Fís. Lenin Jácome
Valor que representa el Cateto Opuesto
Valor que representa el CatetoAdya cente
Pendiente de
una recta
55
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
En este caso:
pendiente 
160 m
m
 pendiente  20
8s
s
Nótese que la pendiente no es sólo un número, sino que tiene unidades. En este caso esas
unidades me dieron en metros por segundo. La pendiente puede darte en otras unidades
también. Eso depende de qué estés graficando en función de qué.
La pendiente de la recta en el gráfico x=f(t) es la velocidad
No es casualidad que la pendiente del gráfico anterior haya dado justo en unidades de
velocidad. La pendiente de la recta en el gráfico posición en función del tiempo SIEMPRE
te va a dar la velocidad del movimiento.
¿Por qué?
Respuesta: Porque al hacer la cuenta “opuesto sobre adyacente” siempre estás haciendo
Δx/Δt, y esto es justamente la velocidad.
3.2.7. Representación Gráfica de las Ecuaciones Horarias
En cinemática se usan todo el tiempo 3 gráficos muy importantes que son los de posición,
velocidad y aceleración en función del tiempo.
Cada gráfico es la representación de una de las ecuaciones horarias.
Recordemos cómo se representaba una recta en matemáticas. La ecuación de la recta
tenía la forma 𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑏.
“b” era el lugar donde la recta cortaba al eje y (ordenada al origen) y “m” era la
pendiente.
Por ejemplo la ecuación de una recta podría ser y = 3 x + 4.
Fís. Lenin Jácome
56
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Ahora, si tomo la 1ra ecuación horaria con t0 = 0 (que es lo que en general suele hacerse),
me queda x = x0 + v.t . Ahora fíjate esta comparación:
y  m x b

  
x  v t  x 0
Veo que la ecuación de x en función del tiempo en el MRU también es una recta en donde
la velocidad es la pendiente y x0 es el lugar donde la recta corta el eje vertical.
Para cada ecuación horaria puedo hacer lo mismo y entonces voy a tener 3 gráficos, uno
para cada ecuación.
Entonces los tres gráficos característicos del MRU quedan así:
(1) Posición en función del
tiempo (Muestra que x
aumenta linealmente con t)
(2) Velocidad en función del
tiempo (Muestra que v se
mantiene constante).
Los 3 gráficos
representativos del
movimiento rectilíneo
y uniforme
(3) Aceleración en función del
tiempo (Muestra que la a es
todo el tiempo cero).
Un triángulo
de ángulo alfa
Fís. Lenin Jácome
57
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
3.2.8. VELOCIDAD MEDIA
Si una persona va de un lugar a otro y sin ir todo el tiempo a la misma velocidad, su
velocidad media se calcula así:
𝑣𝑚 =
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
Por ejemplo:
Supongamos que un auto va de la ciudad “A” a la ciudad “B” por una cierta ruta que
comprende unos 400 Km. Si tarda 6 hs en llegar.
Su velocidad media va a ser:
x
t
(en línea recta)
 vm 
375Km
km
 62,5
6hs
h
vm 
No importa si durante el trayecto tuvo algunos cambios en la velocidad.
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
PRIMER EJEMPLO
Un tipo sale de la posición x0 = 400 Km a las 8 hs y llega a la posición xf = 700 Km a las 11
hs. (fue en línea recta y con v = constante). Se pide:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Tomar un sistema de referencia y representar lo descripto en el problema.
Calcular con qué velocidad se movió (en Km/h y en m/s)
Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas.
Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs.
Dibujar los gráficos de x = f(t), v = v(t) y a = a(t).
DESARROLLO:
Fís. Lenin Jácome
58
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
a. El sistema de referencia que elijo es el siguiente
b. Calculo con qué velocidad se movió. V era Δx /Δt , entonces:
v 
xf  x 0
tf  t0
v 
700 Km  400 Km
11 hs  8 hs
v 
300 Km
3 hs
v  100 Km / h
Velocidad
del tipo
Para pasar 100 Km/h a m/s uso el siguiente truco: A la palabra “Km” la reemplazo
por 1000 m y a la palabra “hora” la reemplazo por 3600 seg. Que no son más que
las equivalencias entre unidades.
Entonces:
100

Km
1000 m
 100.
h
3600 seg
100
Km 100 m

h
3,6 seg
Fíjate en este “tres coma seis”. De aquí saco una regla muy útil para usar:
Para pasar de Km/h a m / s hay que
dividir para 3,6. Para pasar de m/s a
Km/h hay que multiplicar por 3,6.
Fís. Lenin Jácome
Regla para pasar de
Km/h a m/s y
viceversa.
59
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Si no te acuerdas de esta regla, no es terrible. Lo puedes deducir usando el mismo
truco usado aquí y listo (es decir 1 Km son mil metros, 1 h son 3600 segundos,
etc).
c.
Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas.
Bueno, en el movimiento rectilíneo y uniforme las ecuaciones horarias eran:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣(𝑡𝑓 − 𝑡𝑜 )
𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑎=0
En este caso reemplazo por los datos y me queda:
𝑥 = 400𝑘𝑚 + 100
𝑣 = 100
𝑘𝑚
(𝑡 − 8𝑕)
𝑕
𝑘𝑚
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑕
𝑎=0
Verificar las ecuaciones horarias significa comprobar que están bien planteadas.
Bueno, con la 2da y la 3ra (v = 100 Km/h, y a = 0) no se tiene problema. Sé que el
movimiento es rectilíneo y uniforme de manera que la velocidad me tiene que dar
constante, y la aceleración cero. (==> están bien ).
Vamos a la verificación de la 1ra ecuación.
Si esta ecuación estuviera bien planteada, reemplazando t por 8 hs (= t0), la
posición me tendría que dar 400 Km ( = x0 ). Veamos si da:
x  400Km  100 Km (t  8hs )
h
x  400Km  100 Km (
8hs
hs
 8

)
h 
0
x ==400
bien
> xKm
= 400
KmDio
(Dio
bien).
Fís. Lenin Jácome
60
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Vamos ahora a la posición final. Para t = 11 hs la posición me tiene que dar x=700
Km. Otra vez reemplazo “t0” por 11 hs. Hago la cuenta a ver que da.
x  400 Km  100 Km ( t  8 hs )
h
x  400 Km  100 Km ( 11
hs
8
hs )
  
h 
3hs
== > x = 700 Km (Dio bien).
x  700 Km  Dio bien.
d. Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs.
Hago lo mismo que lo que hice recién, pero reemplazando t por 9 hs y por 10 hs:
x  400 Km  100
Para t = 10 hs :
Km
( 9 hs  
8 hs )
h 
1h
 x ( 9hs )  500 Km
 Posición a las 9 hs.
x (10hs )  400 Km  100
Km
( 10 hs

8
hs

)
h 
2hs
 x (10hs )  600 Km
 Posición a las 10 hs
e. Dibujar los gráficos x = x (t), v = v (t) y a = a (t).
El más complicado de hacer es el de posición en función del tiempo. Con lo que
calculé antes puedo armar una tabla y represento estos puntos en el gráfico x-t:
x
400 Km
500 Km
600 Km
700 Km
t
8 hs
9 hs
10 hs
11 hs
En realidad no hacía falta tomar tantos puntos. Con 2 hubiera sido suficiente
(porque es una recta y una recta pasa por solo dos puntos).
Fís. Lenin Jácome
61
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Finalmente el gráfico posición en función del tiempo x(t) queda así:
Los otros dos gráficos quedarían de esta forma:
Por último me gustaría verificar que la pendiente del gráfico de posición en
función del tiempo es la velocidad del movimiento. Veamos si verifica:
Fíjate bien cómo consideré los catetos opuesto y adyacente. Siempre el cateto
opuesto tiene que ser el espacio recorrido (Δx) y el adyacente, el tiempo empleado
(Δt).
Por ejemplo, si la recta estuviera yendo para abajo en vez de para arriba:
Fís. Lenin Jácome
62
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Este sería el caso de una cosa que tiene velocidad negativa. Para la verificación de
la pendiente hago esto:
pendiente 
pendiente 
opuesto
adyacente
700Km - 400Km
11hs - 8hs
pendiente  100 Km h
 Dio bien.
SEGUNDO EJEMPLO
Una persona tiene que recorrer un camino que tiene 100 Km. Los primeros 10 Km los
recorre a 10 Km/h. Después recorre 30 Km a 30 Km por hora. Y, por último, recorre los 60
Km finales a 60 Km/h.
a. ¿Qué tiempo tardó en recorrer los 100 Km?
b. ¿A qué velocidad constante tendría que haber ido para recorrer los 100 Km en el
mismo tiempo?
c. Dibujar los gráficos: x(t), v(t) y a(t).
Primero hay que hacer un esquema de lo que plantea el problema:
Luego, me fijo qué tiempo tardó en recorrer cada tramo. Como 𝑣 =
simplemente de despejarlo de esta ecuación y será: ∆𝑡 =
obtiene:
∆𝑡1 =
Fís. Lenin Jácome
∆𝑥
𝑣
∆𝑥
∆𝑡
, el Δt saldrá
. Haciendo cuentas se
10𝑘𝑚
=1𝑕
𝑘𝑚
10
𝑕
63
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
30𝑘𝑚
=1𝑕
𝑘𝑚
30
𝑕
60𝑘𝑚
∆𝑡3 =
=1𝑕
𝑘𝑚
60
𝑕
∆𝑡2 =
El tiempo total que va a tardar va a ser la suma de estos 3 tiempos. Es decir:
Δt total = Δt1 + Δt2 + Δt3
Δt total = 3 hs.
Por lo tanto tarda 3 hs en recorrer los 100 Km.
Para la parte b, se considera lo siguiente:
La velocidad constante a la que tuvo que haber ido para recorrer la misma distancia en el
mismo tiempo es justamente la velocidad media.
Entonces:
vm 
x
t

 vm 
100Km
3hs

vm  33,3 Km h
 Velocidad media
Por último, veamos cómo quedan los gráficos:
Es importante observar cómo en el primer gráfico las rectas se van inclinando más y más
hacia arriba a medida que aumenta la velocidad. Más aumenta la velocidad, más
aumenta la pendiente. Y es que la pendiente de la recta en el gráfico x (t) es justamente
la velocidad.
Por eso, al aumentar la velocidad, aumenta la inclinación. Eso es todo lo que tienes que
saber.
Fís. Lenin Jácome
64
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
3.3.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Imagínate un coche que en principio está quieto y luego arranca y este cada vez se mueve
más rápido.
Primero lo hace a 10 km por hora, después a 20 km por hora, después a 30 km por hora y
así sucesivamente.
Se nota que su velocidad va cambiando (es decir varía). Esto vendría a ser un movimiento
variado. Entonces, ¿cuándo uno tiene un movimiento variado?
Pues cuando la velocidad cambia (varía).
Ahora, un movimiento es uniformemente variado si la velocidad cambia lo mismo en cada
segundo que pasa. Observa el dibujo:
En el ejemplo anterior, cuando la persona ve al monstruo se pone a correr. Después de 1
segundo su velocidad es de 10 Km/h y después de 2 segundos es de 20 Km/h.
Es decir, su velocidad está aumentando, de manera uniforme, a razón de 10 Km/h por
cada segundo que pasa.
ATENCIÓN: En física, la palabra uniforme significa “SIEMPRE IGUAL, SIEMPRE LO MISMO,
SIEMPRE DE LA MISMA MANERA”.
Se puede concluir que el movimiento de la persona es uniformemente variado aumentando
Δv = 10 Km/h en cada Δt = 1 seg.
3.3.1. Aceleración
El concepto de aceleración es muy importante. Es la base para poder entender bien MRUV
y también otras cosas como caída libre y tiro vertical.
Fís. Lenin Jácome
65
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Pero no es difícil. Ya tienes una idea del asunto porque la palabra aceleración también se
usa en la vida diaria.
De todas maneras lee con atención lo que sigue y lo vas a entender mejor.
En el ejemplo mencionado anteriormente, la persona pasa de 0 á 10 Km/h en 1 seg. Pero
podría haber pasado de 0 á 10 Km/h en un año. En ese caso estaría acelerando más
despacio. Entonces podemos decir que la aceleración es la rapidez con la que está
cambiando la velocidad.
Mientras más rápido aumenta (o disminuye) la velocidad, mayor es la aceleración.
Digamos que la aceleración vendría a ser una medida de la brusquedad del cambio de la
velocidad.
Para tener entonces algo que me indique qué tan rápido está cambiando la velocidad,
divido ese cambio de velocidad Δv para el tiempo Δt que tardó en producirse. Es decir:
a
v
t
 Definición de aceleració n
Supón un auto que tiene una velocidad v0 en t0 y otra velocidad v al tiempo t:
En ese caso la aceleración del auto va a ser:
a
v  v0
t  t0
Así se calcula
la aceleración
UNA COSA!!!! Fíjate por favor que cuando en física se habla de aceleración, hablamos de
aumentar o disminuir la velocidad. Lo que importa es que la velocidad CAMBIE (Varíe). En
física, un auto que está frenando también tiene aceleración.
Atención porque en la vida diaria no se usa así la palabra aceleración. Por eso esto resulta
un poco confuso. De ahí surge la pregunta:
¿Cómo puede estar acelerando un auto que va cada vez más despacio?
Fís. Lenin Jácome
66
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Veamos un ejemplo.
EJEMPLO DE MRUV
Un coche que se mueve con MRUV tiene en un determinado momento una velocidad de 30
m/s y, 10 segundos después, una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleración.
Para calcular lo que se pide aplico la definición anterior:
𝑎=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡0
𝑚
𝑚
40 𝑠 − 30 𝑠
𝑎=
10 𝑠
𝑎 = 1 𝑚/𝑠 2
Fíjate que el resultado dio en m/s2. Éstas son las unidades en las que se mide la
aceleración. Es decir, metro dividido segundo cuadrado o cualquier otra unidad de
longitud dividida para una unidad de tiempo al cuadrado
(como Km/h2 ).
¿Qué significa esto de “1 m/s 2”?
Pues bueno, 1 m/s2 lo puedo escribir como:
1
𝑚
𝑠
1𝑠
Variación de velocidad
Intervalo de tiempo
Esto último se lee así: La aceleración de este auto es tal que su velocidad aumenta 1 metro
por segundo, en cada segundo que transcurre.
Un esquema de la situación sería éste:
Fís. Lenin Jácome
67
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Aquí hay algo importante para considerar:
Al tener ya una idea de lo que es la aceleración se puede decir que la característica del
movimiento uniformemente variado es justamente que tiene aceleración constante.
Otra manera de decir lo mismo (y esto se ve en el dibujo) es decir que en el MRUV la
velocidad aumenta todo el tiempo (o disminuye todo el tiempo) y ese aumento (o
disminución) es LINEAL CON EL TIEMPO.
3.3.1.1.
Signo de la aceleración
La aceleración que tiene un objeto que se mueve puede ser (+) o (-). Esto depende de 2
cosas:
1. De si el cuerpo se está moviendo cada vez más rápido o cada vez más despacio.
2. De si se está moviendo en el mismo sentido del eje x o al revés.
La regla es esta:
La aceleración será positiva si el vector aceleración apunta en el mismo sentido del eje X. Si
el vector apunta al revés del eje equis, la aceleración es negativa.
La cosa es que la gente suele decir: Bueno, no es tan difícil. Si el cuerpo va cada vez más
rápido, su aceleración va a ser positiva y si va cada vez más despacio, su aceleración va a
ser negativa.
Hummmmm.... ¡ Cuidado !
Esto vale solamente si el cuerpo se mueve en el sentido positivo del eje x.
Si el tipo va para el otro lado, los signos son exactamente al revés.
Fís. Lenin Jácome
68
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Esto simplemente sale de reemplazar los valores de las velocidades en la ecuación de la
aceleración que comentamos más arriba.
3.3.2. Ecuación de una parábola
En matemática, una parábola se representaba por la siguiente ecuación:
y  a.x 2  b.x  c
 ECUACION DE UNA PARABOLA.
Por ejemplo, una parábola podría ser: 𝑦 = 3𝑥 2 − 5𝑥 + 2
Dándole valores a x voy obteniendo los valores de y. Así puedo construir una tabla.
Representando estos valores en un par de ejes x-y voy obteniendo los puntos de la
parábola. Eso puede dar una cosa así:
La parábola puede dar más arriba:
más abajo:
más a la derecha:
más a la izquierda:
más abierta:
más cerrada:
puede incluso dar para abajo:
Puede estar de cualquier forma, dependiendo de los valores de a, b y c, pero siempre
Fís. Lenin Jácome
69
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
tendrá forma de parábola.
ATENTO CON ESTO!!!!! Las parábolas siempre aparecen en los problemas de MRUV.
3.3.3. Ecuaciones horarias y gráficos en el MRUV
Las ecuaciones horarias son siempre las de posición, velocidad y aceleración en función del
tiempo. Vamos a ver cómo se representa cada una en el MRUV.
Vamos a empezar por la 3ra ecuación porque así es más fácil de entender.
3ª Ecuación horaria (a = f(t))
La característica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que la
aceleración es constante. En el MRUV la aceleración no cambia. Siempre es igual. Siempre
vale lo mismo. Esto puesto en forma matemática sería:
3ra Ecuación Horaria
𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
El gráfico correspondiente es una recta paralela al eje horizontal. O sea, algo así:
2ª Ecuación horaria (V = f(t))
Otra manera de decir que la aceleración es constante es decir que la velocidad aumenta (o
disminuye) linealmente con el tiempo. Esto sale de la definición de aceleración, que era:
𝑎=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡0
Entonces, si despejo obtengo:
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
𝑣𝑓 − 𝑣𝑜 = 𝑎 𝑡 − 𝑡0
𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎 𝑡 − 𝑡0
Casi siempre “t0” vale cero. Entonces la ecuación de la velocidad queda así:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎 ∙ 𝑡
2da Ecuación Horaria
Esto es la ecuación de una recta. Tiene la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. La representación es así:
Por ejemplo, una 2da ecuación horaria típica podría ser:
𝑣𝑓 = 10
𝑚
𝑠
+ 2 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡
El cuerpo que se mueva siguiendo esta expresión habrá salido con una velocidad inicial de
10 m/s y tendría una aceleración de 2 m/s2.
Esto se entenderá mejor cuando veas algún ejemplo hecho con números o cuando
empieces a resolver problemas.
1ra Ecuación horaria (x = f(t))
Esta es la ecuación importante y es la que hay que saber bien. La ecuación de la posición
en función del tiempo para el movimiento uniformemente variado es ésta:
1
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜 𝑡 + 2 𝑎 ∙ 𝑡 2
1ra Ecuación Horaria
La deducción de esta ecuación se las dejó para su consulta en los libros de física. Deberás
memorizarla.
Fís. Lenin Jácome
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Lo que sí es importante mencionar es que esta expresión no es nada más que la ecuación
de una parábola. Fíjate:
x  x 0  v 0 .t 




1
2
a .t 2
 
y  c  b x  a .x
2
Observa la
correspondencia de cada
término
1
Cada término de la ecuación 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜 𝑡 + 2 𝑎 ∙ 𝑡 2 tiene su equivalente en la expresión
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
La representación de la posición en función del tiempo es esta:
Esta figura quiere decir muchas cosas. En física se dice así:
Este gráfico representa la variación de la posición en función del tiempo para un
movimiento uniformemente variado.
1
Es la representación gráfica de la función 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜 𝑡 + 2 𝑎 ∙ 𝑡 2 . La ecuación nos da
nada más ni nada menos que la posición del móvil para cualquier instante t .Esta función
es una ecuación cuadrática (ya que t está al cuadrado).
Esto es importante porque de aquí sale una característica fundamental del movimiento
uniformemente variado.
“En el MRUV la posición varía con el cuadrado del tiempo.
𝑥 = 𝑓(𝑡 2 ) . Equis depende de t cuadrado.”
1
Decíamos entonces que la representación gráfica de 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜 𝑡 + 2 𝑎 ∙ 𝑡 2 da una
parábola. Esta parábola puede dar para derecha, para la izquierda, muy cerrada, muy
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
abierta (como comentamos antes). Eso va a depender de los valores de xo, de v0 y de a.
Ahora, el hecho de que la parábola vaya para arriba o para abajo depende ÚNICAMENTE
del signo de la aceleración. Si a es (+), irá para arriba (). Si a es (-), irá para abajo ().
Esto se lo puede recordar de la siguiente manera:
a=+
a=-
La parábola
La parábola
positiva
negativa
está contenta.
está triste.
Conclusión………. Hay que ser positivo en la vida!!!!!!
NO!!!!!!!! CONCLUSIÓN: Observemos el siguiente ejemplo a ver si lo comprendemos
mejor:
Ejemplo
Supongamos que tengo esta ecuación horaria para algo que se mueve con MRUV:
𝑥 = 4𝑚+1
𝑚
𝑚
∙ 𝑡 + 2 2 ∙ 𝑡2
𝑠
𝑠
Este sería el caso de algo que salió de la posición inicial 4 m con una velocidad de 1 m/s y
una aceleración de 4 m/s2.
Para saber cómo es el gráfico, voy dando valores a “t” y voy sacando los valores de “x”. Es
decir, voy haciendo las cuentas y voy armando una tablita.
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x [m]
t [seg]
4
7
14
0
1
2
Tabla con los valores de
las posiciones y los
tiempos.
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Ahora represento esto y me da una cosa así:
Este gráfico es la representación de la 1ra ecuación horaria.
Aquí hay que notar dos cosas:
1. La parábola va para arriba (  ) porque “a” es positiva
2. Aunque uno vea sólo un arco así
esto es una parábola.
La parte que falta estaría a la izquierda y no se ha dibujado. Usualmente no se lo hace. La
podría representar si le diera valores negativos a “t” (como –1 seg., -2 seg., etc.). En ese
caso el asunto daría así:
UN EJEMPLO DE MRUV
Una hormiga picadorus sale de la posición X0 = 0 y comienza a moverse con aceleración
a=2 m/s2 .(v0 = 0).
a. Escribir las ecuaciones horarias
b. Hacer los gráficos x(t), v(t) y a(t).
Vamos a hacer un esquema de lo que pasa y tomo un sistema de referencia:
Fís. Lenin Jácome
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Las ecuaciones horarias para un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo
uniformemente variado son:
1
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 + 2 𝑎 ∙ 𝑡 2
𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡
𝑎 = 𝑐𝑡𝑒
ECUACIONES HORARIAS
ESCRITAS EN FORMA
GENERAL
x0 y v0 valen cero. Reemplazando por los otros datos el asunto queda así:
1
𝑥 = 0 + 0 ∙ 𝑡 + 2 ∙ 2 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡 2
ECUACIONES HORARIAS
PARA LA HORMIGA
𝑣𝑓 = 0 + 2 𝑚/𝑠 2 ∙ 𝑡
𝑎 = 2 𝑚/𝑠 2 = 𝑐𝑡𝑒
Ahora, dando valores a “t” voy sacando los valores de “x” y de “v”.
Con estos valores hago esta tabla:
X
t
V
t
a
t
0
1m
4m
0
1s
2s
0
2 m/s
4 m/s
0
1s
2s
2m/s2
2m/s2
2m/s2
0
1s
2s
Teniendo la tabla puedo representar las ecuaciones horarias.
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
3.3.4. La Ecuación Complementaria
Hay una fórmula más que se usa a veces para resolver los problemas. Se suele llamar
“ECUACIÓN COMPLEMENTARIA”. La fórmula es la siguiente:
ECUACIÓN
COMPLEMENTARIA
𝑣𝑓2 − 𝑣02 = 2 ∙ 𝑎 ∙ (𝑥𝑓 − 𝑥0 )
Esta ecuación vendría a ser una mezcla entre la 1ra y la 2da ecuación horaria.
La deducción de esta ecuación es un poco larga. Pero aquí se explica de dónde sale. Fíjate:
Se escribe las 2 primeras ecuaciones horarias. Despejo “t” de la 2da y lo reemplazo en la
1ra.
x  x 0  v 0 t  21 a t 2
vf  v 0  a  t
REEMPLAZO
v v0
 t f
a
Te dejo el trabajo de reemplazar lo mencionado anteriormente para obtener la “ecuación
complementaria”.
Sobre esta ecuación es importante mencionar ciertas cuestiones. Observa:



Primero: La ecuación complementaria NO es una ecuación horaria. No es una
ecuación horaria porque en ella no aparece el tiempo.
Segundo: Esta fórmula no es una ecuación nueva. Es mezcla de la 1ra y la 2da.
Tercero: Nunca es imprescindible usar la ecuación complementaria para resolver un
problema. Todo problema de MRUV puede resolverse usando solamente la 1ª y la
2ª ecuación horaria.
Lo que tiene de bueno la expresión 𝑣𝑓2 − 𝑣02 = 2 ∙ 𝑎 ∙ (𝑥𝑓 − 𝑥0 ) es que facilita las cuentas
cuando uno tiene que resolver un problema en donde el tiempo no es dato. Eso es todo.
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
Ejemplo
En el problema anterior, calcular la velocidad que tiene la hormiga picadorus después de
recorrer 1 m.
v 2f  v02  2 a . x f  x0 
Usando la ecuación
complementaria:
 v 2f  0  2 . 2

m
. 1 m  0 
s2
Vf  2m s
VELOCIDAD FINAL
Ahora hagámoslo sin usar la ecuación complementaria:
Primeramente, escribo las ecuaciones horarias, luego, de la 2da ecuación horaria se
obtiene:
v f  v0  a  t
 t
vf


2m s
t
0

v f  v0
a
Tiempo que tardó la
picadorus en recorrer 1 m
La 1ª ec . horaria era :
x  x0  v0  t  12 a  t 2
Reemplazan do t por
vf
2m s2
m s4 v f
 1m  2  2 
4
s m
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
1m 
:
1m  0  0  t  12  2
1 2 m
2
s2
 vf 

 
2 
 2m s 
m 2
t
s2
2
2

v f  2 m s (verifica)
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
3.4.
AUTOEVALUACIÓN
1. En tus palabras, ¿qué es la posición?
2. En tus palabras, ¿qué es la velocidad?
3. ¿Para medir una posición que debo hacer primero?
4. En tus palabras, ¿qué es la trayectoria?
5. ¿Puedo tener posiciones negativas? Describe el hecho con un ejemplo
6. ¿Puedo tener velocidades negativas? Describe el hecho con un ejemplo
7. En tus palabras, ¿qué es el espacio recorrido y cómo se calcula?
8. ¿Cómo se calcula un intervalo de tiempo?
9. Describe las condiciones del movimiento rectilíneo uniforme
10. Escribe las ecuaciones horarias del MRU y menciona con tus palabras, ¿por qué se
las llama así y para qué sirven?
11. Escribe un ejemplo y en base a él, traza las curvas posición vs. Tiempo, velocidad
vs. Tiempo y aceleración vs. Tiempo para el MRU
12. Describe cómo se puede calcular la velocidad y menciona sus unidades
13. Describe en tus palabras, ¿qué es la pendiente, y cómo se calcula?
14. ¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72 km/h?
15. En el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüa gráfica y
analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 seg. Solución: x = 16 m
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
16. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1200 cm/s durante 9 s, y
luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del
mismo sentido:
a. ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s? Rpta: 14160[cm] ó 141,6[m]
b. ¿cuál es la velocidad media del viaje completo? Rpta: 8,85 [m/s]
17. ¿Es cierto que si en un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es el doble que
en otro, la gráfica x = f(t), trazada en un mismo par de ejes, tiene el doble de
pendiente que en el primer caso?, ¿por qué?
18. La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce
un relámpago a 50 km de un observador.
a. ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido?
b. ¿Con qué diferencia de tiempo los registra? Rpta: 151,514985 s
19. ¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 km/h, después de un
día y medio de viaje? Rpta: 3240 km
20. Describe con tus palabras, ¿qué sucede en el movimiento rectilíneo uniformemente
variado?
21. Si un cuerpo tiene aceleración, ¿este podrá detenerse en algún momento?
Explícalo.
22. En tus palabras, ¿qué es la aceleración?
23. Describe el significado de los signos en la aceleración, puedes valerte de un
ejemplo.
24. ¿Qué es una parábola? ¿En qué se aplica?
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INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
25. Escribe un ejemplo y en base a él, traza las curvas posición vs. Tiempo, velocidad
vs. Tiempo y aceleración vs. Tiempo para el MRUV
26. Escribe las ecuaciones horarias del MRUV y comenta a que se parecen la 2da y la
3ra.
27. Escribe la ecuación complementaria y explica ¿cómo se la puede obtener?
28. Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una
velocidad de 588 m/s. Calcular:
a. Aceleración. Rpta: a = 19,6 m/s ²
b. ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s? Rpta: x = 8820 m
29. ¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si parte
del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h²?
Rpta: t = 3 h
30. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s ²,
determinar:
a. ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento? Rptas: vf =
24 m/s
b. ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso? Rpta: x = 96 m
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