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GEOMETRÍA MÉTRICA
Plano afín:
Es el plano vectorial al que se le ha dotado de un sistema de referencia compuesto
por un origen y una base de dicho espacio vectorial.
En el plano afín podemos asignar a cada punto del plano un vector que empieza en
el origen del sistema de referencia y que termina en dicho punto y viceversa.
Vector que une dos puntos:
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
A (ax, ay)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 - ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴
B (bx, by)
⃗⃗⃗⃗⃗ = (bx,by) - (ax,ay)
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = (bx - ax, by - ay)
𝐴𝐵
0
Coordenadas del punto medio de un segmento:
m = 𝑎 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
2
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗ - 𝑎
𝐴𝐵
𝑚
⃗⃗ = 𝑎 +
1
2
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 + 1 (𝑏⃗ − 𝑎) = 𝑎+ 1 𝑏⃗ - 1 𝑎 = 1 𝑎 + 1 𝑏⃗ = 1 (𝑎 + 𝑏⃗)
𝐴𝐵
2
2
2
2
2
1
(mx , my) = [ (ax,ay) + (bx,by)] =
2
𝑎
=[
(ax +bx )
mx =
2
,
(ax +bx )
Apuntes
2
(ay +by )
2
]
1
𝑚
⃗⃗ = (𝑎 + 𝑏⃗)
2
2
A (ax,ay)
m (mx,my)
𝑚
⃗⃗
B (bx,by)
𝑏⃗
my =
(ay +by )
2
0
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Ecuación de la recta:
Recta es un subespacio afín de una dimensión
Determinación lineal de una recta. Una recta queda determinada cuando se conoce
un punto por el que pasa y un vector de la misma dirección que la recta llamado
vector director.
r (A, 𝑢
⃗)
Ecuación vectorial de la recta:
Sea la recta r de determinación lineal
r (A, 𝑢
⃗)
A
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴+ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑃
P (x, y)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑃 || 𝑢
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑃 = λ𝑢
⃗
0
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + λ𝑢
⃗
𝑢
⃗ (𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 )
Ecuaciones paramétricas de la recta:
Partimos de la ecuación vectorial y sustituyendo cada vector en función de sus
componentes nos queda:
(x, y) = ( xo, yo) + λ ( ux, uy)
x = xo + λ u x
y = y o + λ uy
Apuntes
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Ecuación en forma continua de la recta:
Partimos de las ecuaciones par amétricas
igualamos:
x = xo + λ u x
λ=
y = y o+ λ uy
λ=
(x−xo )
𝑢𝑥
=
(x−xo )
𝑢𝑥
(y−yo )
𝑢𝑦
(y−yo )
𝑢𝑦
Ecuación general o implícita de la recta:
Partimos de la ecuación en forma continua y haciendo producto de medios
igual a producto de extremos queda:
(x−xo )
𝑢𝑥
=
(y−yo )
𝑢𝑦
⟶ (x − xo ) uy = (𝑦 − 𝑦𝑜 ) ux ⟶ uy x - uy xo = ux y - ux yo
uy x - ux y + ux yo - uy xo = 0
Se cambia uy por A, - ux por B y ux yo - uy xo por C y queda:
Ax + By + C = 0
Vector director de la recta en forma implícita ⟶
u (ux , uy)
- ux = B ⟶ ux = - B
uy = A
u (- B, A)
Apuntes
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Pendiente de una recta:
Llamamos inclinación de una recta al ángulo que forma dicha recta con la
horizontal.
α = inclinación
m = pendiente = tag α
m = tag α
Llamamos pendiente de una recta a la tag de la inclinación.
m = tag α =
m=
uy
ux
uy
ux
Si la recta viene en forma implícita o general:
m=
uy
ux
m=−
=
A
−B
=−
A
B
A
𝑢
⃗ = (ux uy)
B
α
0
uy
α
ux
Ecuación de la recta en forma punto-pendiente:
Partimos de la ecuación continua:
(x−xo )
𝑢𝑥
=
Apuntes
(y−yo )
𝑢𝑦
→
𝑢𝑦 (x−xo )
𝑢𝑥
=(y − yo ) →
𝑢𝑦
𝑢𝑥
(x − xo ) = (y − yo ) →
y - yo = m(x - xo)
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Ecuación explicita de la recta:
Partimos de la forma punto-pendiente:
y - yo = m(x - xo) → y - yo = mx - mxo → y = mx + yo - mxo
yo - mxo es igual a n que es la ordenada en el origen: y = mx + n
(0, n)
n
0
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Sea la recta r que pasa por el punto A (xo ,yo) y por el punto B (x1, y1):
u = AB = (x1-xo, y1-yo)
(x − x0 )
(x1 −x0 )
=
Apuntes
(y − y0 )
(y1 − y0 )
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Posiciones relativas entre dos rectas en el plano:
Dadas dos ecuaciones de rectas en el plano, pueden representar a dos rectas
paralelas, pueden ambas ecuaciones representan a la misma recta o que las dos
rectas se corten (secantes):
Paralelas ó coincidentes. Para que las dos ecuaciones representen a la misma
recta o a rectas paralelas, los vectores directores tienen que tener la misma
dirección, o sea que sus componentes sean proporcionales. Si cumpliéndose, esto
un punto de una, no verifica la ecuación de la otra son paralelas.
Misma recta. Si ocurriendo lo anterior, ( es decir siendo los vectores directores de
la misma dirección ) un punto de una recta verifica la ecuación de la otra, las
rectas coinciden.
Secantes. Si los vectores directores no son proporcionales, la recta se corta y son
secantes. El punto de corte es la solución del sistema formado por ambas
soluciones.
r (A, 𝑢
⃗ ) u = λv Son incidentes si Ar verifica s y paralelas si Ar no verifica
s (B, 𝑣) u ≠ λv Se cortan (secantes); el punto corte es la solución del sistema
Ángulo entre rectas que se cortan:
El ángulo que forman dos rectas al cortarse es el menor de los ángulos que se
forman en dicho corte. Para calcular dicho ángulo utilizaremos el producto escalar
pero con la precaución de tomar el valor absoluto para así dar el menor de los
ángulos.
NO
r → u (ux, uy)
s → v (vx, vy )
Apuntes
1er cuadrante
cos 𝑟𝑠
̂ =
|𝑢𝑥 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 𝑣𝑦 |
√𝑢𝑥2 + 𝑢𝑦2 . √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2
𝑟𝑠
̂ = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑁
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Perpendicularidad entre rectas:
Para que dos rectas sean perpendiculares deben serlo sus vectores directores, y
para que esto ocurra, su producto escalar tiene que ser 0.
r → u (ux, uy)
s → v (vx, vy)
r  s → u  v → ux vx + uy vy = 0
Relación entre pendientes de rectas perpendiculares:
m →r
m=
m´→ s
m´ =
𝑣𝑦
𝑣𝑥
=
𝑢𝑥
−𝑢𝑦
m´ = -
𝑣𝑦
→
𝑣𝑥
𝑢𝑦
ux vx + uy vy = 0
𝑢𝑥
ux vx = - uy vy
𝑣𝑦
𝑣𝑥
=−
𝑢𝑥
𝑣𝑦
1
m
Vector normal o perpendicular a una recta expresada en forma general:
Dada la ecuación de la recta en forma general Ax + By + C = 0, vamos a demostrar
que el vector n (A,B) es un vector perpendicular a r llamado vector normal.
n (A,B)
nr
r → Ax + By +C = 0
u es vector director de r → u = ( -B, A) → u  n = - B. A + A. B=0 →
→ u  n luego n  r
Apuntes
C.Q.D.
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Puntos importantes en un triángulo:
La altura en un triángulo sobre uno de sus lados es la perpendicular trazada desde
el vértice opuesto a dicho lado o a su prolongación.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
La mediana de un lado de un triángulo es el segmento que une la mitad de dicho
lado con el vértice opuesto.
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro. Al
baricentro se le llama G porque es el centro de gravedad del triángulo y goza de la
propiedad:
AG=2GM
Apuntes
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La bisectriz de un ángulo de un triángulo es la recta que divide a ese ángulo en
dos partes iguales. Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del
ángulo.
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro por ser el
centro de la circunferencia inscrita:
La mediatriz de un lado de un triángulo es la perpendicular trazada por el punto
medio de dicho lado. En la mediatriz de un segmento, cualquier punto, equidista
de los extremos del segmento.
El punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro
por ser el centro de la circunferencia circunscrita:
Apuntes
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Determinación normal de una recta:
Una recta queda determinada cuando se conocen un punto por el que pasa y un
vector perpendicular a dicha recta n llamado vector normal. r (A, n)
Distancia de un punto a una recta:
Sea r una recta y p un punto exterior a ella, se llama distancia del punto P a la
recta r, d (P,r), al módulo del vector |QP| siendo Q el punto de intersección de la
recta r con la recta perpendicular a r que pasa por P.
Deducción de la distancia de un punto a una recta:
D (P,r) =|QP|
QP. n =|QP|. |n|cos (𝑄𝑝, 𝑛)
d (P,r) =|QP|=
QP.n
|n|
QP = (xo - x1, yo - y1)
→ d (P,r) =
|QP.n|
|n|
P (x0, y0)
n = (A, B)
𝑛⃗(𝐴, 𝐵)
QP. n = A (xo - x1) + B (yo - y1)
r ≡ Ax + By + C = 0
Q (x1, y1)
Apuntes
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d (P,r) =
|A (x0 − x1 ) + B (y0 − y1 )|
√A2 +B2
|A (xo - x1) + B (yo - y1)|=|Axo + Byo - Ax1 - By1|
Qr Q verifica la ecuación de r
d (P,r) =
Ax1 + By1 + C = 0
|Ax0 +By0 +C|
√A2 +B2
Ecuaciones de las bisectrices de dos rectas que se cortan:
Sean dos rectas de ecuaciones r → Ax + By + C = 0 y s → A´x + B´y + C´ = 0,
queremos calcular las ecuaciones de las bisectrices de estas dos rectas que se
cortan. Sea P (x,y) un punto genérico de la bisectriz:
d (P,r) = d (P,s)
|D| = |D´|
D = D´
ó D = - D´
|Ax+By+C|
√A2 +B2
=
|A′ x+B′ y+C′ |
√A′2 +B′2
→
Ax+By+C
√A2 +B2
=
A′ x+B′ y+C′
√A′2 +B′2
+/
𝐴
𝐴′
𝐵
𝐵′
𝐶
𝐶′
[(
−
)𝑥 + (
−
)𝑦 + (
−
)] = 0
√A2 + B2 √A′2 + B′2
√A2 + B2 √A′2 + B ′2
√A2 + B2 √A′2 + B′2
-/
𝐴
𝐴′
𝐵
𝐵′
𝐶
𝐶′
[(
+
)𝑥 + (
+
)𝑦 + (
+
)] = 0
√A2 + B2 √A′2 + B′2
√A2 + B2 √A′2 + B ′2
√A2 + B2 √A′2 + B′2
Apuntes
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Esquema de la figura anterior
Condición de cuatro puntos para que forme un paralelogramo:
Por ser M el punto medio de AC:
mx =
my =
𝑎𝑥 +𝑐𝑥
2
𝑎𝑦 +𝑐𝑦
2
Por ser M el punto medio de BD:
mx =
my =
𝑏𝑥 +𝑑𝑥
2
𝑏𝑦 +𝑑𝑦
2
Se igualan las dos mx:
𝑎𝑥 +𝑐𝑥
2
=
𝑏𝑥 +𝑑𝑥
2
⇒ ax + cx = b x + d x
Se igualan las dos my:
𝑎𝑦 +𝑐𝑦
2
=
Apuntes
𝑏𝑦 +𝑑𝑦
2
⇒ ay + cy = b y + d y
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𝐴 (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 )
𝐵 (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 )
𝑀 (𝑀𝑥 , 𝑀𝑦 )
𝐷 (𝐷𝑥 , 𝐷𝑦 )
𝐶 (𝐶𝑥 , 𝐶𝑦 )
Cosenos directores de un vector:
Llamamos cosenos directores de un vector al coseno de los ángulos que forma
dicho vector con los ejes.
𝑣
𝑉
cos 𝛼 = |𝑉|𝑥 =
𝑉𝑦
𝑉𝑥
cos 𝛽 = |𝑉| =
√𝑉𝑥2 +𝑉𝑦2
𝑉𝑦
vy
β
√𝑉𝑥2 +𝑉𝑦2
Ecuación normal de la recta:
α
vx
Partimos de la ecuación en forma general y dividimos por el modulo del vector
n (A, B) , normal o perpendicular a r , nr
r → Ax + By + C = 0
n (A,B)
nr
Dividimos por el módulo de n
|n| = √(A2 + B2 )
𝐴
√(A2 +B2 )
d (0,r) =
Apuntes
𝑥+
|A
𝐵
√(A2 +B2 )
.0+B .0+C|
√(A2 +B2 )
𝑦+
=
𝐶
√(A2 +B2 )
=0
|𝐶|
√(A2 +B2 )
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Por lo tanto expresada la ecuación de la recta en forma normal, el término
independiente en valor absoluto es la distancia desde el origen hasta la recta.
Interpretación geométrica de la ecuación general de la recta:
cos 𝛼 =
𝐴
√(A2 +B2 )
cos 𝛽 =
𝐵
√(A2 +B2 )
Las coeficientes de la x y de la y en la ecuación normal de la recta son los cosenos
directores de un vector n perpendicular a las recta.
Apuntes
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Apuntes
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