Download tema 4. electrostatica en conductores y dielectricos

Fundamentos Físicos de la Informática
Escuela Superior de Informática
Curso 09/10
Departamento de Física Aplicada
TEMA 4. ELECTROSTATICA EN CONDUCTORES Y
DIELECTRICOS
4.1.- Se tiene un conductor esférico de radio R = 0.25 m. Si el potencial a una distancia
de 0.5 m. desde el centro de la esfera es de 1300 V. Calcular:
a) La densidad de carga superficial en el caso de que sea una esfera maciza y en el caso
de una esfera hueca.
b) Para los dos casos mencionados, el campo eléctrico a las distancias del centro 0.1,
0.25 y 0.4 m.
SOLUCION: a) σ = 9.2 10 -8 C / m 2 ; b) E = 0 ; E = 104 ur N/C ; E = 4061.4 ur N/C
4.2.- Dado el sistema de la figura, calcular la carga total Q de la esfera.
1
SOLUCION: Q = − ( q 1 d + q 2 R 2 )
d
4.3.- Una partícula de masa m y carga q, está sometida a la acción de un campo eléctrico
generado por dos conductores esféricos
de radio R, cargados uniformemente. Si
los conductores se sitúan como indica la
figura y la carga de 1 es Q1 y el
potencial de 2 es nulo, se pide: a) Carga
Q 2 del conductor 2. b) Calcular la
fuerza F que habría que ejercer sobre la
partícula para que su trayectoria fuese el
eje OY. c) Calcular el trabajo necesario
para desplazar la partícula desde el punto
A(0, 3R) al punto B(2R, R).
Nota:
Despreciar
la
influencia
electrostática de la carga q sobre los conductores.
Q
Q1qR
Qq
SOLUCION: a) Q 2 = − 1 b) F = − K
i c) W = 0.052 1
3
2
4
R
(16R 2 + y2 )
4.4.- Una bola conductora de radio R posee una densidad superficial de carga σ .
Rodeando a esta se coloca una cáscara conductora de espesor muy pequeño dotada de
una carga -Q, siendo su radio 2R. Cuando el sistema formado por los dos conductores
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esté en equilibrio, ¿ cual será la densidad superficial de la cara externa de la cáscara ? ¿
Cuando será nula la densidad superficial de la cara externa de la cáscara ?
σ
Q
SOLUCION: σ′ = −
Q = 4 π R 2σ
4 16 π R 2
4.5.- Una carga puntual de valor -q, está situada en el centro de una corona conductora
esférica de radios interior R1 y exterior R2, tal como muestra la
figura. La carga neta de la esfera es cero. Se pide:
a) Dibujar las líneas de fuerza asociadas al campo eléctrico,
dentro y fuera de la esfera.
b) Calcular el valor del campo eléctrico en función de la
distancia r, al centro de la esfera, y representarlo gráficamente.
c) Determinar el valor del potencial para r<R1 y para r>R2.
SOLUCION: b) Para 0<r<R1 ⇒ E = − K
q
u r ; Para R1<r<R2 ⇒ E = 0 ;
r2
q
u
r2 r
q
q
q
c) Para r<R1 ⇒ V = − K + K
−K
r
R1
R2
Para r>R2 ⇒ E = − K
; Para r>R2 ⇒ V = − K
q
r
4.6.- Una carga puntual positiva de 2.5 µ C se encuentra en el centro del hueco de una
corteza conductora esférica sin carga, de radio interior 60 cm y radio exterior 90 cm. a)
Determinar las densidades de carga sobre las superficies interior y exterior de la corteza
y la carga total sobre cada superficie. b) Determinar el campo eléctrico en cualquier
punto del espacio. c) Responder a) y b) para el caso en el que se añade una carga de -3.5
µ C a la corteza.
SOLUCION: a) σ1 = -5.53 10 -7 C / m 2 σ 2 = 2.46 10 -7 C / m 2
q
q
b) Para r<R1 ⇒ E = K 2 ; Para R1<r<R2 ⇒ E = 0; Para r>R2 ⇒ E = K 2
r
r
c) σ1 = -5.53 10-7 C/m 2 σ 2 = −9.82 10-8 C/m 2
q
Para r<R1 ⇒ E = K 2 radial y saliente; Para R1<r<R2 ⇒ E = 0 ;
r
-Q + q
Para r>R2 ⇒ E = K
radial y entrante
r2
4.7.- Sea un sistema formado por dos esferas
conductoras y un cascarón esférico de espesor
despreciable de radios R1, R2 y R3 y cargas q1,
q2 y q3 como muestra la figura, siendo d>>R3
y R2 .
a) Hallar los potenciales de las tres esferas.
b) Si la esfera 2 se une a tierra ¿cual es su
carga? ¿y los potenciales de las otras dos
esferas?
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SOLUCION:
q
 q + q 2 q3 
 q + q 2 q3 
q
q 

a) V1 = K  1 + 2 + 3  ; V2 = K  1
+  ; V3 = K 1
+
d
d
R
 R1 R 2 d 
 R2
3


 1
 1
R2
R2 
1 
b) q ′2 = −q 1 −
q ; V1′ = Kq 1 
−
− 2
 ; V3′ = Kq 3 
d 3
 R1 R 2 
 R3 d 
4.8.- Se tienen dos esferas conductoras, una 27 veces mayor que la otra, muy alejadas
entre si. Inicialmente la esfera menor tiene una carga de 4 C, y la mayor está descargada.
Si las unimos (sin acercarlas) mediante un hilo conductor muy fino, ¿ cuales serán las
cargas finales de cada esfera, una vez se haya alcanzado el equilibrio electrostático ?.
SOLUCION: q 1 = 1C la mas pequeña y q ′2 = 3C la más grande.
4.9.- Una esfera conductora de radio R1 y carga Q se une mediante un hilo conductor
muy delgado a otra esfera de radio R1/2, inicialmente descargada. Suponiendo que las
esferas están lo suficientemente alejadas entre si para que los fenómenos de influencia
sean despreciables, calcular: a) Cargas de cada esfera. b) Potencial. c) Densidad
superficial de carga de cada esfera.
2KQ
Q
Q
2Q
Q
b) V =
c) σ1 =
SOLUCION: a) Q 1 =
Q2 =
σ2 =
2
3R
3
3
6π R 1
3π R 12
1
4.10.- Sea un sistema formado por tres placas conductoras idénticas y paralelas. Las
placas exteriores están conectadas mediante un hilo, mientras que la placa interior
permanece aislada y cargada con una densidad superficial de carga σ . Determinar las
densidades de carga σ1 y σ 2 , a cada lado de la placa interior, sabiendo que d1 = 1.5 cm,
d2 = 1 cm y σ1 +σ 2 = σ = 7 µ C / m 2 .
SOLUCION: σ1 = 2.8 µ C / m 2
σ 2 = 4.2 µ C / m 2
4.11.- Un dieléctrico está formado por n
moléculas por unidad de volumen con una
disposición de las cargas en cada molécula
como muestra la figura. Al aplicar un
campo eléctrico uniforme E sobre el
dieléctrico, la carga de 4q se desplaza
hacia arriba en el eje Z una distancia d.
Calcular la polarización del dieléctrico.
SOLUCION: P = 4nqd k
4.12.- Entre dos placas conductoras muy próximas en las que existe una diferencia de
potencial V0 se introduce un dieléctrico de ε ′ = 2 como se aprecia en la figura. Calcular
los vectores D, E y P en el espacio comprendido entre las placas conductoras y las
densidades de carga polarizada en las superficies del dieléctrico. Aplicar para l=8 cm;
e=3 cm y V0=10 V.
SOLUCION: E 0 = 15384
. i V / m ; D = 1.36 10 -9 i C / m 2 ; P = 6.8 10 -10 i C / m 2
σ p( cara izq .) = -6.8 10 -10 C / m 2 ; σ p(cara der.) = 6.8 10 -10 C / m 2
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4.13.- Una esfera metálica de radio a tiene una carga
Q y está rodeada de una capa esférica dieléctrica
como muestra la figura. La permitividad del
dieléctrico es ε = 4ε0 . Calcular: a) Los vectores D, E
y P en el dieléctrico. b) Las densidades de carga de
polarización sobre las superficies interior y exterior de
la capa esférica de dieléctrico.
SOLUCION:
a)
Q
Q
3Q
D=
u ; E=
u ; P=
ur
2 r
2 r
4π r
16π ε 0 r
16π r 2
3Q
3Q
Para r = a ⇒ σ p = −
2 ; Para r = b ⇒ σ P =
16π a
16π b 2
4.14.- Una esfera conductora de radio R está aislada y con una carga Q. Sobre la esfera
se coloca un dieléctrico formando una capa esférica de radio interior y exterior R y 3R
respectivamente. Calcular la permitividad dieléctrica ε para que el módulo del campo
eléctrico en el dieléctrico sea constante y no exista carga de polarización sobre la
superficie de radio 3R.
9ε 0 R 2
SOLUCION: ε =
r2
R R
c) q′2 = 2 3 + q1
R3
R 2q 3
d) P =
ur
5π R 3 r 2
4.15.- Una esfera metálica 1 tiene una carga +Q1 y radio R 1 . Otra esfera metálica hueca
2 tiene radios interior y exterior R 2 y R 3 respectivamente y una carga inicial −Q 2 .
Calcular:
a) Potenciales electrostáticos de las dos esferas.
A continuación se introduce la esfera 1 en el hueco de la esfera 2, se pide:
b) Distribución de carga en las superficies de los dos conductores y densidades
superficiales de carga.
c) Campo eléctrico en los intervalos 0 ≤ r ≤ R1 ; R 1 < r <R 2 ; R 2 ≤ r ≤ R 3 ; r >R 3
d) Potencial en un punto en el espacio comprendido entre las esferas.
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Se introduce un dieléctrico de ε ′ en el espacio entre las esferas
e) Determinar la polarización que se produce en el dieléctrico.
SOLUCION:a) V1 = k
Q1
R1
; V2 = −k
Q1
−Q1
; σ 2int =
; σ 2ext
2
4π R 1
4π R 22
Para 0<r ≤ R 1 ⇒ E = 0
b) σ 1int
=
Para R1 < r <R 2 ⇒
c)
E=k
Q1
r2
Para R 2 ≤ r ≤ R 3 ⇒ E = 0
Q1 − Q 2
r2
Q
Q
Q − Q2
d) V = k 1 − k 1 + k 1
r
R2
R3
ε ′ − 1 Q1
e) P =
ur
4πε ′ r 2
Para r>R 3 ⇒ E = k
Q2
;
R3
Q −Q
= 1 22
4π R 3