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Tema 4: Potencial eléctrico
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Tema 4: Potencial Eléctrico
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2007/08
Fátima Masot Conde
Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Tema 4: Potencial eléctrico
Tema 4: Potencial Eléctrico
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Índice:
1. Introducción
2. Energía potencial eléctrica
1. de dos cargas puntuales
2. de un sistema de cargas
3. Interpretación de la Ep
3. Potencial eléctrico
4. Cálculo del potencial eléctrico
5. Cálculo del campo a partir del potencial. Gradiente
6. Superficies equipotenciales
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Introducción
~e y del
Hemos hablado de la fuerza eléctrica F
~ (fuerza eléctrica por unidad de carga).
campo E
Ahora nos preguntamos:
¿Cuál
¿Cuál es
es el
el trabajo
trabajo que
que realiza
realiza esa
esa fuerza?
fuerza?
Análogamente al caso gravitatorio, la fuerza eléctrica es
CONSERVATIVA, y veremos que ese trabajo se puede
expresar en términos de Energía Potencial (eléctrica) o
simplemente Potencial (energía potencial por unidad de
carga)
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Introducción
Igual que en el caso gravitatorio, el potencial se
define respecto de un nivel de referencia
arbitrario, dándose entonces una asimilación de
potencial a lo que en realidad son diferencias de
potencial entre un punto y el de referencia.
A
A las
las diferencias
diferencias de
de potencial
potencial
también
también se
se les
les llama
llama voltaje
voltaje
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Energía Potencial Eléctrica
¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza
cualquiera para llevar a la partícula desde a
hasta b?
Recordamos:
a
fuerza
~
F
F
T
~F
Wa→b =
b
d~l
=
b
FT dl =
a
Z
velocidad
b
m
a
escalares
b
a
Componente tangente
de la fuerza
Z
Z
elemento de longitud
tangente al camino
~ · d~l =
F
producto escalar
Energía cinética
dv
dl = Ek,b − Ek,a
dt
El trabajo que
realiza una fuerza
cualquiera
es el incremento
de energía cinética
FT
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Energía potencial
¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza
conservativa para llevar a la partícula desde a hasta b?
Recordamos:
a
Si la fuerza es conservativa, la energía total
se conserva en cada punto del camino:
~
F
c
Etotal = (EK + EP )A = (EK + EP )B
~Fc
b
d~l
Wa→b =
Z
b
a
F~C · d~l = −
Z
Este signo es necesario
para obtener este orden
b
a
dEP = EP,A − EP,B
El trabajo que realiza una fuerza conservativa (además de ser el
incremento de Energía Cinética) es igual al menos incremento de
Energía Potencial
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Energía potencial eléctrica en un campo uniforme
Análogo gravitatorio
~g
m
+++++++++++
Ep,max
~
E
EK,max
ref. 0
Ep,max
EK,max
ref. 0
La masa, siguiendo la dirección
del campo, aumenta su EK y
disminuye su Ep
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q +
––––––––––––
La carga positiva, siguiendo la
dirección del campo, aumenta su
EK y disminuye su Ep
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Energía potencial eléctrica en un campo uniforme
Desplazamientos espontáneos
(Trabajo positivo realizado por el campo)
+++++++++++
+++++++++++
~
E
~
E
q +
q
-
––––––––––––
––––––––––––
Caso anterior
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La carga negativa espontáneamente sigue la dirección con~ (aumentando su EK )
traria a E
y disminuyendo su Ep
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Energía potencial eléctrica en un campo uniforme
Desplazamientos no espontáneos (inducidos o forzados)
El trabajo positivo es realizado por un agente exterior contra el
campo.
+++++++++++
~
E
~g
q +
m
~
E
ref. 0
––––––––––––
q
-
––––––––––––
La carga negativa se
mueve a favor del campo,
aumentando su Ep
La carga positiva (o masa)
se mueve contra el campo,
aumentando su Ep
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+++++++++++
Análogo gravitatorio
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Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales
Calculemos el trabajo para llevar una
carga prueba q0 desde a hasta b en el
campo de otra carga fija q.
Tenemos libertad para elegir la
trayectoria, porque la fuerza
eléctrica es conservativa y el
trabajo a lo largo de cualquiera de
ellas es el mismo:
Wa○→a =
∫F
C
⋅ d l = E P , A − EP , A = 0
Wa →b C = Wa →b C = … = Wa →b Cualquier camino = EP , A − EP , B
1
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2
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Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…
Así que elegimos la trayectoria más conveniente:
la acb, compuesta por dos tramos:
~
E
arco de circunferencia ac
+
rayo (segmento) cb
acb
a
c
+
q
Wa →b
acb
b
c
a
a
= ∫ FC ⋅ d l = ∫ FC ⋅ d l
= Wa →c
porque F es
a dl
Wc →b
+
arco (r=cte)
∫
b
c
b
q0 +
FC ⋅ d l =
+ Wc →b
rayo (θ =cte)
0
rayo (θ =cte)
porque F es
rb
rb
ra
ra
= ∫ Fr dr = ∫
a dr
qq0 ⎛ 1 1 ⎞
1 qq0
dr =
⎜ − ⎟
2
4πε 0 r
4πε 0 ⎝ ra rb ⎠
Fr
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Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…
El trabajo total en todo el recorrido:
Wa →b = Wa →c + Wc →b =
Identificando con
qq0 ⎛ 1 1 ⎞
⎜ − ⎟
4πε 0 ⎝ ra rb ⎠
Wa →b = EP , A − EP , B
Podemos definir la energía potencial como una
función de punto:
1 qq0
Ep(r) =
4πε0 r
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Propiedad
compartida por
ambas cargas
Energía potencial
eléctrica para dos
cargas puntuales
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Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…
La energía potencial
eléctrica es positiva para
dos cargas del mismo signo
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Y es negativa para cargas de
signo opuesto
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Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales…
La Ep es cero en el infinito (para distancia infinita entre
cargas). Pero ese nivel de referencia es arbitrario, siempre
se puede añadir una constante, tal que Ep = 0 en un punto
elegido por conveniencia.
En general:
•Para distribuciones de cargas finitas, la
referencia se tomará en el infinito.
•Para distribuciones de carga infinitas, la
referencia se elegirá en algún punto a
convenir.
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Interpretación de la Energía potencial eléctrica
¿Qué representa la Ep ?
Ep (r) =
1 qq0
4πε0 r
=0
Puesto que:
Ep (r) = Ep (r) − Ep (∞)
~
E
q0
r
≡
Según la definición
de W en función de Ep
campo
Wr→∞
q
La Ep (r) representa el trabajo que tiene
que hacer el campo de q para llevar a q0
desde una distancia r hasta el infinito.
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Interpretación de la Energía potencial eléctrica…
Análogo gravitatorio
Análogo gravitatorio
~g
m
~g
Ep,max
Fext
m
EK,max
ref. 0
Trabajo realizado por el campo
desde A hasta B:
b
a
a
b
Wacampo
= ∫ E ⋅ d l = −∫ E ⋅ d l
→b
∫
a
b
a
ref. 0
=
=
externa
(− E ) ⋅ d l = ∫ Fext ⋅ d l = WbFza
→a
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b
Trabajo realizado por el agente
externo contra el campo
La fuerza externa es igual y opuesta al
campo (condiciones estacionarias para
que no se acelere la partícula), y el
recorrido es opuesto. Desde B hasta A.
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Interpretación de la Energía potencial eléctrica…
¿Qué representa la Ep ?
Ep (r) =
1 qq0
4πε0 r
~
E
q0
r
q
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Ep (r) representa el trabajo que tiene
que hacer el campo para llevar la
carga q0 desde r hasta el ∞, pero
también el que tendrı́a que hacer el
agente externo contra el campo para
traer a q0 desde el ∞ hasta r.
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Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales
Si el campo, en lugar de por una
sola carga q, estuviera generado
por un sistema de cargas
{q1 , q2 , q3 , . . .}
a distancias
{r1 , r2 , r3 , . . .}
de nuestra carga test q0
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Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales
• La fuerza total sobre q0 es la suma vectorial
de las fuerzas debidas a cada carga
individual (teorema de superposición)
Eltrabajo
trabajototal
totalque
queseserealiza
realizasobre
sobreq es la
• El
W =∫
0
0
es
la
suma
de
las
contribuciones
q
suma de las contribuciones individuales
individuales
F = ∑ Fi
i
F ⋅dl = ∫
a
b
∑F ⋅dl
i
Wi =
donde
• La energía potencial del sistema es igual al
trabajo:
EP = W =
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∑W
=
i
i
i
q0 qi
4πε 0 ri
⎞
q0 ⎛ q1 q2 q3
q0 qi
⎜ + + + …⎟ = ∑
4πε 0 ⎝ r1 r2 r3
⎠ i 4πε 0 ri
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Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales
Otra expresión para la Ep del sistema:
Para traer la primera carga
desde el infinito, no hay que
hacer ningún trabajo (aún no
hay campo ni fuerza que
vencer)
Considerándola como
trabajo de ensamblaje
entre cargas
Para traer la segunda, hay
que vencer la fuerza que
aparece entre ellas:
r12
q1
q1
W1 = 0
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q2
W2 =
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q1 q2
4πε0 r12
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Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales
Para traer la tercera
r12
q1
q2
r13
r23
Y así sucesivamente para ir
trayendo una a una cargas
desde el infinito hasta un
punto Pi del espacio…
q3
W3 = W13 +W23 =
q1q3
qq
+ 2 3
4πε 0 r13 4πε 0 r23
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Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales
Para ensamblar el sistema
completo:
q1
q3
trabajo 2ª carga
q1q3
qq
+ 2 3
4πε 0 r13 4πε 0 r23
trabajo 3ª carga
+
q2
r3n
trabajo 1ª carga
q1q2
W2 =
4πε 0 r12
W3 =
r12
r13
W1 = 0
qq
qq
q q
Wn = 1 n + 2 n + … + n −1 n
4πε 0 r1n 4πε 0 r2n
4πε 0 rn-1,n
qn
W=
trabajo n-sima carga
∑W
i
i
1 X qi q j
Ep (r) = W =
4πε0 i<j rij
El trabajo de ensamblaje total es la
suma de los trabajos de ensamblaje
para ir añadiendo al sistema cargas
sucesivas.
La suma se extiende a todos los pares de cargas i<j para no incluir la
interacción de una carga consigo misma y para asegurar que cada par sólo
se cuente una vez.
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Potencial Eléctrico
Es la energía potencial por unidad de
carga:
Ep
Ep,A Ep,B
V =
VA − VB = VAB =
−
(
q0
q0 )
q0
Definición:
Potencial de una carga puntual:
~
E
q0
qq0 1
Ep (r) =
4πε0 r
r
q
Potencial
Potencialcreado
creadopor
poruna
unacarga
carga
r.
qqaauna
distancia
una distancia r.
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V (r) =
q 1
4πε0 r
No
No depende
depende de
de qq00
(carga
(carga test):
test): sólo
sólo de
de lala
carga
carga que
que origina
origina elel
campo.
campo.
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Potencial Eléctrico
Propiedades:
Función escalar de punto, continua y univaluada
Ep
Unidades:
UNIDADES: V =
=
q
[Julios]
≡ Voltio = V
[Coulombio]
(S.I.)
Resultados para Ep, extendidos ahora al potencial:
Va − Vb =
Z
b
es
es elel trabajo
trabajo realizado
realizado por
por elel campo
campo para
para
desplazar
una
unidad
de
carga
desde
desplazar una unidad de carga desde aa
hasta
hasta bb..
~ d~l
E
a
o bien
Va − Vb = −
agente
externo
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Z
b
a
~ d~l
E
es
es elel trabajo
trabajo realizado
realizado contra
contra elel campo
campo
(por
un
agente
exterior)
para
desplazar
(por un agente exterior) para desplazar
una
hastaaa..
una unidad
unidad de
de carga
carga desde
desde bb hasta
camino inverso
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Potencial Eléctrico
Potencial
Potencial debido
debido aa una
una carga
carga puntual:
puntual:
Ep
1 q
V (r) =
=
q0
4πε0 r
~
E
r
q
Potencial
Potencial debido
debido aa un
un sistema
sistema de
de cargas
cargas puntuales:
puntuales:
Ep
1 X qi
V (r) =
=
q0
4πε0 i ri
q1
r13
q3
r12
q2
r3n
qn
Potencial
Potencial debido
debido aa una
una distribución
distribución continua
continua de
de cargas:
cargas:
1
V (r) =
4πε0
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Z
dq
r
r
dq
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P
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Cálculo del Potencial Eléctrico
Hay dos vías para calcular el potencial eléctrico:
Integración directa
Conocida la
distribución
de carga
q(r)
1
V =
4πε0
Z
V
dq
r
Como trabajo del campo
~
E(r)
Conocido
el campo
V − Vref = +
Z
ref
~ d~l
E
Es necesario haber elegido
un potencial de referencia
en algún lugar conveniente.
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Cálculo del campo a partir del potencial
Igual que el potencial se puede determinar a partir del campo eléctrico, a
la inversa, también se puede determinar el campo, conocido el potencial
¿Cómo?
¿Cómo?
Primero, derivemos la expresión del potencial en forma diferencial:
Va − Vb =
Va − Vb =
Z
Z
b
~ d~l = −
E
a
a
Z
a
~ d~l
E
b
Igualando
Z
b
dV
a
dV = −
Z
b
a
~ · d~l
E
b
Para
Para que
que sean
sean iguales,
iguales,
sus
sus integrandos
integrandos tienen
tienen
que
ser
iguales
que ser iguales
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Dpto. Física Aplicada III
~ · d~l
dV = −E
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Cálculo del campo a partir del potencial
Ahora, teniendo en cuenta las componentes:
Campo eléctrico:
~ = Ex ~i + Ey ~j + Ez ~k
E
d~l = dx~i + dy ~j + dz ~k
Vectores unitarios en las
tres dimensiones x,y,z del
espacio
~
Componentes de E
en la base {~i,~j, ~k}
Vector desplazamiento en
una dirección cualquiera
Obtenemos:
~ · d~l = Ex dx + Ey dy + Ez dz
−dV = E
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Cálculo del campo a partir del potencial
Esto nos permite definir:
¯
dV ¯¯
Ex = −
dx ¯
Caminos a lo
largo de las
líneas
coordenadas
dy=dz=0
¯
dV ¯¯
Ey = −
dy ¯
eje x
dx=dz=0
eje y
z
¯
dV ¯¯
Ez = −
dz ¯dx=dy=0
y
x
eje z
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Cálculo del campo a partir del potencial
O sea:
Ex = −
∂V
∂x
Ey = −
∂V
∂y
Ez = −
∂V
∂z
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Derivada parcial
respecto a x
Derivada total respecto a
x manteniendo las otras
variables constantes
≡
’GRADIENTE de V’
µ
¶
∂V
∂V
∂V
~ = − ~i
E
+ ~j
+ ~k
∂x
∂y
∂z
~
Operador nabla: ∇
¶
µ
∂
∂
∂
~ ≡ ~i
+ ~j
+ ~k
∇
∂x
∂y
∂z
E = −∇ V
El
El campo
campo eléctrico
eléctrico es
es
elel menos
gradiente
del
menos gradiente del
potencial.
potencial.
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Cálculo del campo a partir del potencial
Nota sobre el gradiente de una función escalar
¶
µ
∂
∂
∂
~ = ~i
+ ~j
+ ~k
f
∇f
∂x
∂y
∂z
gradiente de f
E = −∇ V
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∀
Su
Su dirección
dirección es
es la
la
dirección
dirección en
en la
la que
que ff
aumenta
aumenta con
con mayor
mayor
rapidez
rapidez al
al cambio
cambio de
de
posición
posición
~ apunta en la dirección en que
E
V disminuye más rápidamente.
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Cálculo del campo a partir del potencial
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Cálculo del campo
Resumen: Formas de calcular el campo
1)A partir de la distribución de carga, por
Tema
integración directa.
2)Por la ley de Gauss, en altas condiciones anterior
de simetría
Este
3)Calculando primero el potencial, y
tema
tomando su gradiente.
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Superficies equipotenciales
Superficies ‘de igual potencial’: lugar geométrico de los
puntos que tienen el mismo potencial.
V ( x, y, z ) = cte
Equivalente gravitatorio:
Circuitos de igual elevación
Montaña
Montaña
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(curvas de Epotenc
gravitatoria
constante)
Vistos
Vistosdesde
desdearriba:
arriba:
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Superficies equipotenciales
Propiedades:
Como en el caso gravitatorio:
•Si una carga q0 se traslada a lo largo de una superficie
equipotencial, su energía potencial eléctrica q0V no
cambia. El trabajo para trasladarla de un punto a otro
sobre la superficie equipotencial es NULO.
trabajo p.u.c.
V
sobre
la equip.
= cte → d V
sobre
la equip.
=0
•Ningún punto puede tener dos potenciales diferentes.
Las superficies equipotenciales nunca se cruzan ni se
tocan. El potencial es una función univaluada y
continua.
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Superficies equipotenciales
Las superficies equipotenciales son perpendiculares a
las líneas de campo:
Como el potencial es constante sobre una
superficie equipotencial:
dV
sobre
la equip.
= E ⋅d
~ y d~l =
Como E
6 0
sobre
la equip.
=0
E⊥d
sobre
la equip.
El campo es perpendicular a la
superficie equipotencial.
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Superficies equipotenciales
Líneas de campo y superficies
equipotenciales para diversas
configuraciones
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Tema 4: Potencial eléctrico
38/38
Bibliografía
•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté
(vol. II)
•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)
•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.
•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.
Pearson Education (vol. II)
Fotografías y Figuras, cortesía de
Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté
Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.
Pearson Education
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