Download matemáticas 3º eso - Mauricio Contreras

1.
Contar
Matemáticas 3º ESO
4
1.
Estrategias para contar
2.
Grafos
3.
Diagramas de árbol
Contar
1. Estrategias para contar

CERILLAS
Considera la sucesión siguiente de cuadrados construidos con cerillas:
a) Calcula las cerillas necesarias para construir cada uno de los seis primeros cuadrados.
b) ¿Cuántas cerillas serían necesarias para construir el cuadrado 100 ?.
c) ¿Cuántas cerillas necesitarás para construir el cuadrado que ocupa el lugar n ?.

AÑADIR Y QUITAR
Una estrategia útil para contar consiste en destruir la estructura inicial para obtener otra
estructura más accesible y regresar después a la estructura inicial. Para ello se puede:
1)
quitar – contar – añadir, o bien
2)
añadir – contar – quitar.
Ejemplo.- Calcula la suma 1+2+3+4+...+n usando un geoplano de n  n clavos.
Podemos usar dos estrategias:
1) Quitar los puntos de la diagonal...
n2  n
2
y añadirlos después:
2)
n2  n
 n = 1+ 2 + 3+...+n
2
Añadir una nueva diagonal...
n2  n
2
Por lo tanto, se cumple:
n2  n
 1  2  3... n
2
5
Matemáticas 3º ESO
Utilizando los resultados anteriores, calcula las siguientes sumas:
a) 1+2+3+...+100
b) 1+2+3+...+500
c) 2+3+4+...+250
d) 11+12+13+...+500
e) 22+23+24+...+450
f) 1+3+5+...+99

LOS TRIÁNGULOS Y LOS CUADRADOS
En un triángulo equilátero de lado 1 hay, naturalmente, un solo triángulo equilátero.
En un triángulo equilátero de lado 2 hay 1+3 = 4 triángulos equiláteros de lado 1.
En un triángulo equilátero de lado 3 hay 1+3+5 = 9 triángulos equiláteros de lado 1.
¿Cuántos triángulos equiláteros de lado 1 hay en un triángulo equilátero de lado 8?.
¿Y en un triángulo equilátero de lado 1000?. ¿Y en un triángulo equilátero de lado n?.

LOS IMPARES Y LOS CUADRADOS
Si se van sumando los números impares uno tras otro se obtienen unos resultados que para mucha
gente son inesperados:
1
2
1+3 = 4 = 2
2
1+3+5 = 9 = 3
2
1+3+5+7 = 16 = 4
2
1+3+5+7+9 = 25 = 5
etcétera.
Continua tres líneas más.
Si representas cada número impar por piezas de papel o de cartulina, como las que siguen, podrás
encontrar una justificación de los resultados anteriores.
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
CAPAS ELECTRÓNICAS
Tal vez ya sepas que hay un modelo de los átomos que lo imagina constituido por una parte central –
el núcleo y una “atmósfera” formada por capas en las que pueden haber electrones. Numerando las
capas, de más interiores a menos, se descubrió que el número máximo de tales electrones en cada
capa es el que se indica en la siguiente tabla:
capa
nº máximo de electrones
1
2
2
8
3
18
4
32
...
...
¿Cuántos electrones podrán haber en la capa 5?. ¿Y en la capa 10?. ¿Y en la capa 100?. ¿Y en la
capa que ocupa el lugar n ?.

¿CUÁNTOS CUADRADOS?
Observa esta figura formada por cuadrados blancos y grises. Tiene
7 cuadrados de anchura.
Si queremos hacer una figura similar con 99 cuadrados de anchura,
¿cuántos cuadrados tendrá en total?.
Ayuda: Empieza dibujando casos sencillos:
Organiza los datos que tienes en una tabla:
ANCHURA
Nº CUADRADOS
FIG. 1
1
1
FIG. 2
3
5
FIG. 3
5
13
FIG. 4
7
25
FIG. 5
9
41
Busca regularidades. Particulariza.
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Matemáticas 3º ESO

TIRA DE PAPEL
Corta una tira larga de papel y pliégala por la mitad, de derecha a izquierda. El doblez que aparece en
el papel, al abrirlo, es una marca “hacia abajo”. Dobla ahora dos veces la tira, siempre en el mismo
sentido, y después ábrela de nuevo. Ahora verás tres marcas, una “hacia arriba” y dos “hacia abajo”.
Supón que doblas la tira n veces y luego la desdoblas. ¿Cuántas marcas habrá?. ¿Cuántas serán
“hacia arriba” y cuántas “hacia abajo”?.

ÁNGULOS RECTOS
Con dos palillos podemos conseguir 4 ángulos rectos. ¿Cuántos ángulos rectos puedes conseguir
con N palillos?.
¿Cuál es el mayor número de ángulos rectos que puedes conseguir?
Observa la simetría en la forma de efectuar las construcciones con palillos. Observa la
simetría entre los casos N par y N impar.
¿Qué relación hay entre el número de intersecciones de los N palillos y el mayor número de ángulos
rectos que puedes conseguir con esos N palillos?.
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
MÁS ÁNGULOS RECTOS
¿Cuál es el máximo número de ángulos rectos que puede haber en un polígono de n lados?.
Ayuda: Analiza casos particulares. Generaliza.

AJEDREZ
¿Cuántos cuadrados podemos ver en un tablero de ajedrez?.
Una estrategia útil para contar consiste en simplificar, es decir, contar un conjunto más
pequeño que mantenga la estructura del conjunto inicial. Después hay que analizar los
casos particulares y buscar las posibles regularidades para generalizar.
Por ejemplo, en este caso, puedes primero considerar tableros de ajedrez más
pequeños: 1  1, 2  2, 3  3, etc, y después generalizar.

CUADRADOS Y RECTÁNGULOS
¿Cuántos cuadrados puedes ver en la siguiente figura?. ¿Y cuántos rectángulos?.
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Matemáticas 3º ESO

TRIÁNGULOS
¿Cuántos triángulos ves en la siguiente figura?.
Ayuda: Resuelve primero un problema más sencillo, con una trama de triángulos más
reducida.

LA TORRE DE BRAHMA
De entre las muchas leyendas que la antigüedad nos ha legado sobre el fin del mundo, no es la
menos curiosa la brahmánica:
“En el gran templo de Benarés, bajo la cúpula que señala el Centro de Mundo, reposa una bandeja de
cobre en la que están plantadas tres agujas de diámetro más fino que el aguijón de una abeja. En el
momento de la Creación, Dios colocó en una de las agujas sesenta y cuatro discos de oro puro,
ordenados por tamaño: desde el mayor, que reposa sobre la bandeja, hasta el más pequeño en lo
más alto del montón. Es la torre de Brahma. Incansablemente, día tras día, los sacerdotes del Templo
mueven los discos haciéndolos pasar de una aguja a otra, de acuerdo con las leyes fijas e inmutables
de Brahma que dictan que el sacerdote en ejercicio no mueva más de un disco a la vez ni lo sitúe
encima de un disco de menor tamaño. El día en que los discos hayan sido trasladados desde la aguja
en que Dios los puso al crear el mundo a una cualquiera de las otras dos agujas, ese día la torre y,
con gran estruendo, el mundo, desaparecerán”.
Trata de responder cuántos días han de pasar para que ello ocurra.
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Simplifica el problema analizando torres de dos, tres, cuatro, cinco, ... discos. Construye
una tabla con los resultados parciales. Busca regularidades. Busca una relación
recursiva entre los datos obtenidos. Generaliza intentando encontrar la relación entre el
número de discos y el número de movimientos.

TORRES CON POLICUBOS
Construye todas las torres de cinco pisos (5 policubos) usando policubos de dos colores (uno claro y
otro oscuro). Clasifícalos con arreglo a algún criterio.
Utiliza un procedimiento recursivo: para construir las torres de cinco pisos hay que usar
las de cuatro pisos; para construir las de cuatro hay que usar las de tres, y así
sucesivamente. Para clasificar las torres construidas utiliza criterios basados en el color y
en el número de pisos.

CONSTRUYE Y CLASIFICA
Utilizando policubos claros y oscuros, construye sistemáticamente todas las torres de 1 piso, 2 pisos,
3 pisos, 4 pisos, ... y clasifícalas de acuerdo con el número de pisos claros que contienen. Usa la
siguiente plantilla para anotar los resultados.
Altura
de las torres
(nº de pisos)
Número de pisos claros
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Estudia las regularidades que observes en la tabla. Redacta tus conclusiones.
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
DIEZ COLORES
¿Cuántas tiras de tres cubitos puedes conseguir usando los diez colores de los que dispones?

HEXÁGONOS
Averigua cuántos triángulos de lado 1 hay en cada uno de los siguientes hexágonos. Investiga un
procedimiento para averiguar los triángulos de lado 1 que habrá en el hexágono de lado N.
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
TRIÁNGULOS EN UN GEOPLANO
¿Cuántos triángulos distintos pueden hacerse en un geoplano 3  3, con sus vértices en los puntos?.
¿Cuántos en un geoplano 4  4 ?.

CUADRADOS EN UN GEOPLANO
1) ¿Cuántos cuadrados diferentes hay que tengan sus vértices en puntos de la siguiente trama?.
Dibújalos todos.
2) ¿Cuántos cuadrados diferentes tienen sus vértices en puntos de esta otra trama?. Dibújalos
todos.
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
CUADRILÁTEROS EN UN GEOPLANO
1) ¿Cuántos cuadriláteros pueden construirse que tengan sus vértices en la trama 3  3 ?.
2) ¿Cuántos cuadriláteros pueden construirse con sus vértices en puntos de la trama 4 4 ?.

LA DIAGONAL DEL RECTÁNGULO
En un rectángulo de dimensiones expresadas por números naturales y representado en una trama
cuadrada, se dibuja una diagonal. ¿Cuántos cuadraditos de la trama atraviesa la diagonal?.
12 a 16, Mestral, pg 132
Ayuda: Analiza casos particulares. Generaliza.

DIAGONALES
¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de n lados?.
Ayuda: Analiza casos particulares. Construye una tabla. Busca regularidades.
Generaliza.
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
PINTANDO UN CUBO
Si sumergieras en bote de pintura un cubo como el de la figura adjunta,
a) ¿Cuántos cubitos saldrán con las tres caras pintadas?.
b) ¿Cuántos con 2 caras?. ¿Cuántos con 1 cara?.
c) ¿Cuántos con ninguna?.
Reflexiona y realiza el mismo ejercicio con un cubo de arista 3. También con el cubo de arista 4 y con
el de arista 5, y completa e interpreta la siguiente tabla:
Dimensión del cubo
2
3
4
5

Número de caras pintadas
0
1
2
3
4
0
0
0
8
0
1
6
12
8
0
Núm. total de “cubitos”
8
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TRIÁNGULOS Y CUADRADOS
1) Observa la siguiente sucesión de fichas:
¿Cuántas fichas hay en la sexta figura?. ¿Y en la décima figura?. ¿Cuántas fichas hay en la
figura que ocupa el lugar 100?. ¿Y en la que ocupa el lugar n?.
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Matemáticas 3º ESO
2) Observa la siguiente colección de figuras:
¿Cuántas fichas hay en la sexta figura?. ¿Y en la décima figura?. ¿Cuántas fichas hay en la
figura que ocupa el lugar 100?. ¿Y en la que ocupa el lugar n?.

PALILLOS Y CUADRADOS
¿Cuántos palillos necesitas para construir la siguiente secuencia de cuadrados?
¿Y para construir un cuadrado de 10 lados?. ¿Y para construir un cuadrado de n lados?.

CERCOS
1) Imagina que tienes una moneda de cinco céntimos y quieres rodearla con otras iguales, de forma
que todas la toquen y se toquen entre sí, sin superponerse. ¿Cuántas monedas crees que
necesitarías?. Compruébalo con monedas reales.
¿Cuántas monedas necesitarías para rodear este primer cerco de manera análoga, formando un
segundo cerco?.
¿Cuántas necesitarías cuando hayas hecho 3, 4 o más cercos?.
¿Cuántas monedas deberán haber en el cerco número n?.
¿Qué pasaría si las monedas fuesen de un euro?.
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2) Imagina una cuadrado. ¿Cuántos cuadrados del mismo tamaño necesitas para rodearlo
completamente?. ¿Cuántos cuadrados necesitarías para rodear esta primera capa de
cuadrados?. ¿Cuántos cuadrados habrá en la capa n?.
3) Imagina un triángulo equilátero. ¿Cuántos triángulos equiláteros del mismo tamaño necesitas
para rodear el anterior?.
Seguramente se habrá formado otro triángulo de mayor tamaño. ¿Cuántos triángulos de su
tamaño necesitas para rodearlo completamente?. ¿Y del tamaño inicial?.
Si continuas el proceso, ¿cuántos triángulos del tamaño inicial hay en la capa n?.
2. Grafos

EL CIRCUITO DE CHESTE
Observa la red de carreteras que conectan con el circuito de Cheste (cada carretera está indicada de
un color diferente).
a)
¿Cuántos pueblos hay en cada una de las carreteras? ¿Cuántas hay en total? ¿Cuántos tramos
hay?
b)
Tomando como unidad la distancia entre Lliria y Vilamarxant, calcula de manera aproximada las
distancias entre los pueblos de cada una de las carreteras.
c)
¿Cómo puedes ir desde Lliria al circuito de Cheste? Halla caminos alternativos (no se pueden
repetir ciudades).
d)
Clasifica las localidades por el número de carreteras que confluyen en ellas.
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
DE VALENCIA A ALGECIRAS
Observa el siguiente mapa de carreteras y responde las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuántos recorridos posibles se pueden hacer desde Valencia hasta Sevilla? ¿Y desde Valencia
hasta Algeciras?
b) Tomando como unidad la distancia entre Murcia y Cartagena, calcula la distancia de cada uno de
los trayectos anteriores y halla el recorrido de longitud mínima.
c) Consulta en un mapa la distancia entre Murcia y Cartagena y averigua cuánto tiempo le costará a
un coche viajar desde Valencia a Algeciras por el camino más corto, sabiendo que circula a una
velocidad de 80 km/h.
18
Contar

CERCANÍAS RENFE
Mira bien el grafo de las líneas de cercanías de RENFE en Guipúzcua.
a) ¿Cuántas estaciones hay en cada línea de cercanías? ¿Cuántas hay en total? ¿Cuántos tramos
hay?
b) Tomando como referencia la escala del mapa, calcula de manera aproximada las distancias entre
las estaciones de cada una de las líneas.
c) ¿Cómo puedes ir de Oñate a Irún? Halla caminos alternativos (no se pueden repetir estaciones).
d) Clasifica las estaciones según las líneas de cercanías que confluyen en ellas.
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Matemáticas 3º ESO

LA ESTRATEGIA DEL CASILLERO
Una estrategia útil para contar consiste en utilizar la llamada regla del producto o del
casillero, que vamos a ver con dos ejemplos.
Ejemplo 1.- María tiene 4 pantalones y 6 camisetas. ¿De cuántas formas distintas puede
vestirse con esa ropa?.
Situadas así las prendas, los pantalones en las filas y las camisetas en las columnas, queda
claro que cada indumentaria ocupa una casilla, y que, por tanto, hay 4  6 = 24 formas de
vestirse.
Ejemplo 2.- ¿Cuántas latas de tomate hay en total?.
Este es un casillero tridimensional, en el que cada lata ocupa una casilla. En cada nivel hay 5
 8 latas. Como son 3 niveles, habrá 5  8  3 = 120 latas.
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Contar
a) A unas conversaciones bilaterales entre la Unión Europea y Japón acuden 11 representantes
europeos y 8 japoneses. Al encontrarse, cada miembro de una delegación saluda, estrechando la
mano, a cada miembro de la otra. ¿Cuántos apretones de mano se dan?.
b) María, además de 4 pantalones y 6 camisetas, tiene 3 pares de zapatillas y 2 cazadoras. ¿De
cuántas formas distintas puede vestirse?.
c) Una orquesta sinfónica acostumbra tocar siempre en primer lugar una de las 41 sinfonías de
Mozart, seguida de una de las 25 piezas modernas de su repertorio, para finalizar con una de las
9 sinfonías de Beethoven. ¿Cuántos programas diferentes puede ofrecer la orquesta?.
d) Una fábrica produce dos tipos de camisa (manga larga y corta) en cuatro colores (azul, blanco,
rojo y verde) y tres tallas (1, 2 y 3). ¿Cuántos tipos de camisas diferentes produce esta fábrica?.

RESTAURANTE
En un restaurante nos ofrecen elegir un primer plato, un segundo y un postre entre los dos primeros,
tres segundos y cuatro postres que entran en el menú del día. ¿Cuántas comidas diferentes podemos
hacer?.

CAMINOS
¿Cuántos caminos hay desde A hasta D?. ¿Hay alguna relación entre este número y el número de
caminos que van de A a B, de B a C y de C a D?.
21
Matemáticas 3º ESO

MONTAÑA
Cuatro refugios de montaña, A, B, C y D, están comunicados por los caminos indicados en el dibujo.
¿Cuántas rutas posibles se pueden seguir para ir de A a D ?.

MUÑECOS
Un juguete muy conocido está formado por cuatro cubos, en uno de los cuales hay pintados seis
sombreros (uno en cada cara del cubo); en otro cubo seis cabezas; en el tercero seis cuerpos, y en el
último seis pares de piernas. ¿Cuántos muñecos distintos se pueden formar?.

ANIMALES IMAGINARIOS
Dibuja en cartulina diferentes animales. Por ejemplo, un perro, un cerdo, un tigre y un león. De cada
cartón se hacen dos partes, cortando la cabeza. Forma todos los posibles animales combinando
cabezas y cuerpos entre sí. ¿Cuántos resultan?.

CAMINOS EN UN GRAFO
¿Cuál es el número de caminos de A hasta H en el siguiente grafo orientado?.
22
Contar
3. Diagramas de árbol

a)
BIFURCACIONES
Este dibujo representa un circuito en el que al lanzar bolas en su interior van cayendo de tal
forma que al llegar a una bifurcación la bola toma un camino u otro sin ninguna preferencia, es
decir, al azar.
Si lanzáramos 1000 bolas, ¿cuántas te parece razonable que caigan en cada una de las cajas?
b)
En estos circuitos hemos unido algunos caminos.
Si lanzamos 1000 bolas, ¿cuántas esperas que caigan en cada caja?
23
Matemáticas 3º ESO

ROBOTS
Estos circuitos son recorridos por robots que se mueven siempre avanzando, y toman al azar cada
uno de los caminos posibles al llegar a una bifurcación.
De cada 1000 robots que entren en cada uno de los circuitos, ¿cuántos saldrán por las diferentes
puertas etiquetadas de cada circuito?

DIAGRAMAS DE ÁRBOL
El diagrama de árbol es un modelo adecuado para la formación de grupos ordenados de
forma “natural” eligiendo los elementos uno tras otro y anotándolos en este orden en el
árbol. También es un modelo adecuado para el recuento, sobre todo en situaciones que
presentan simetría ya que en estos casos el número de ramas de un árbol es el producto de
las ramas que salen de cada nudo.
Si de todos los nudos del mismo orden sale el mismo número de ramas, el número total de
ellas para este diagrama es 3  5  4 = 60.
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Contar
Los diagramas de árbol que presentan simetría se pueden también traducir a redes más
compactas de caminos. Por ejemplo:
1) ¿Cuántas ramas tiene este árbol?.
2) ¿Cuántas ramas tiene este otro árbol?

VENTANAS
En nuestra clase hay 6 ventanas, unas están abiertas y otras cerradas. Esta mañana estaban
abiertas la 1ª, la 2ª, la 4ª y la 6ª y cerradas la 3ª y la 5ª. ¿De cuántas formas posibles pueden estar
abiertas y cerradas?.
Ayuda: Simplifica el problema, suponiendo que son 3 ventanas. Construye
un diagrama de árbol.
25
Matemáticas 3º ESO

ATLETISMO
En unos campeonatos de atletismo, la medalla de oro de los 60 m vallas se la llevó Eva, pero
cualquiera de las seis participantes podría haber ganado. ¿De cuántas formas se pueden repartir el
oro, la plata y el bronce?.
Ayuda: Construye un diagrama de árbol.

MONEDAS
¿Cuántos resultados diferentes se obtienen al lanzar dos monedas?. ¿Y al lanzar tres monedas?. ¿Y
al lanzar cuatro monedas?.

TORNEO DE TENIS
Dos amigos se enfrentan en un torneo de tenis, en el que será vencedor el primero que logre ganar
tres sets. ¿De cuántas formas posibles puede desarrollarse el torneo?.

EL PÓDIUM
En una carrera participan 25 corredores. ¿De cuántas formas puede ser el pódium (1º, 2º y 3
puesto) ?.
26
er
Contar

FERROCARRIL
Una línea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cuántos recorridos diferentes pueden hacerse?.

MANZANAS
Luis plantó un manzano que el primer año tuvo 2 ramas, de una de ellas nació una manzana roja y de
la otra una verde. En los años siguientes, de cada rama que en la cosecha anterior había dado 1
manzana roja surgían 3 nuevas ramas, 2 con sendas manzanas rojas y la tercera con 1 manzana
verde; mientras que de cada rama que había dado 1 manzana verde surgían sólo 2 ramas, una con
fruto rojo y la otra con fruto verde. Dibuja esquemáticamente, con colores, el manzano de Luis para
las cosechas del segundo y tercer año.
a) ¿Cuántas manzanas rojas dio el segundo año?.
b) ¿Cuántas manzanas de cada color dio el tercer año?.

QUINIELAS
Como sabes, una quiniela contiene 15 partidos, cada uno de los cuales puede tener tres resultados
posibles: 1, X, 2. ¿Cuántas quinielas diferentes pueden hacerse?.
¿Cuántas quinielas pueden hacerse con 1 partido fijo?. ¿Y con tres partidos fijos?.
27
Matemáticas 3º ESO

MASTERMIND
El conocido juego del MasterMind tiene fichas de cuatro colores: azul, negro, rojo y verde. Con estas
fichas tenemos que formar una clave en la que se alinean cuatro fichas que pueden ser del mismo
color. ¿Cuántas claves distintas podemos formar?.

CIFRAS DIFERENTES
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar de tal manera que todas las cifras de cada
número sean diferentes?. (La primera cifra de la izquierda no puede ser cero).

TEATRO
Una familia, formada por los padres y tres hijos, va al teatro. Se sientan en cinco butacas seguidas.
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse?. ¿Y si los padres se sientan en los extremos?. ¿Y si
los padres deciden no sentarse en los extremos?.

UN CONCURSO
Cuatro amigos, Abel, Basilio, Carlos y David, quieren saber las distintas formas de emparejarse entre
ellos para participar en un determinado concurso.
a) ¿Cuáles y cuántas serán?.
b) ¿En cuántas participará David?.

APRETONES DE MANOS
Un grupo de 30 personas se reúnen para celebrar los 25 años de su promoción. Al encontrarse,
¿cuántos apretones de manos se dan?.
28
Contar

CONCIERTO DE ROCK
¿De cuántas formas se pueden repartir 3 entradas para un concierto de rock entre 7 amigos y
amigas?.

ME GUSTA EL TENIS
a)
Seis amigos quieren apuntarse a un campeonato de tenis por parejas. ¿De cuántas formas
distintas pueden hacerlo?.
b)
¿Cuántos partidos hay que organizar en un campeonato de tenis en el que participan 16
personas?. ¿Y si fueran 32?. ¿Y si fueran 33?. Busca una regla para calcularlo con cualquier
número de personas.

RECORRIDO ALEATORIO
Lanza una moneda 4 veces. Cada vez que salga cara muévete un punto hacia abajo en la retícula de
la figura y cuando salga cruz muévete un punto a la derecha.
a) ¿Cuáles son los puntos de puedes alcanzar?
b) ¿De cuántas formas distintas puedes llegar hasta cada uno de ellos?.
Salida
29
Matemáticas 3º ESO

ORDENADORES
Los ordenadores funcionan con el lenguaje máquina basado en el sistema binario, utilizando ceros y
unos (cero, apagado; uno, encendido). A esta posibilidad de 0 y 1 se le llama bit y la combinación de
éstos nos dan los distintos caracteres. Si combinas 5 bits, ¿cuántos caracteres puedes formar que
tengan como el número 10010, 3 ceros y 2 unos?.

PIZZAS
Al pedir una pizza en un restaurante dejan elegir al cliente tres ingredientes de entre una lista formada
por: anchoas, ternera, champiñón, pepinillos, bacon, jamón, chorizo y bonito. ¿Cuántos tipos
diferentes hay de pizza?.

LOTERÍA PRIMITIVA
Para rellenar un boleto de lotería primitiva, hay que tachar seis números entre los 49 de un casillero.
Estos seis números constituyen la apuesta. ¿Cuántas apuestas distintas pueden hacerse?.

NÚMEROS CON CUATRO BOLAS
En un ábaco de cinco barras coloca cuatro bolas. Tienes que ponerlas todas. En cada barra, mete las
bolas que quieras. ¿Cuántos números distintos puedes representar?.
Si lo necesitas, dibuja ábacos como el de la figura.
¿Y si utilizas como máximo cuatro bolas?.
¿Cuántos números de cinco cifras que tengan 1, 2, 3, 4 unos puedes escribir?.
30
Contar

LABERINTO
En el laberinto hexagonal de la siguiente figura entran 32 ratas. En cada bifurcación, la mitad sigue un
camino y la otra mitad el otro. ¿Cuántas ratas llegan a las salidas A, B, C, D, E y F?.

SUMAN CINCO
1) El número 104 tiene las cifras 1, 0 y 4. La suma de estas cifras es 5. Escribe números de tres
cifras que sumen 5. ¿Cuál es el menor de estos números?. ¿Y el mayor?. Ordena todos los
números que hayas escrito. ¿Cuántos números distintos de este tipo hay?.
2) Seguro que únicamente has escrito números naturales. Supongamos que los números pueden
ser decimales. Podríamos escribir el 10’4 y el 1’04, ... Busca números decimales cuyas cifras
sumen cinco y escríbelos. Escribe los tres más grandes que hayas encontrado y los tres más
pequeños.

PUNTERÍA
Juegas en el patio con unos amigos, intentando meter piedras en un bote. Establecéis unas reglas:
a) Por cada tirada que aciertes te suman ocho puntos.
b) Por cada tirada que falles te restan tres puntos.
¿Con cuántos puntos puedes acabar una partida de tres tiradas?.

FÚTBOL
1) El resultado final de un partido de fútbol es 32. ¿Cuál puede haber sido el resultado antes del
último gol?. ¿Qué resultados pueden haber aparecido en el marcador hasta llegar al final?.
2) En otro partido de fútbol, el resultado fue un empate: 33. ¿Cuál habrá sido el resultado del
marcador en el descanso?. Si sabemos que el resultado del descanso fue 10, ¿de cuántas
formas pudo variar el marcador durante el segundo tiempo hasta llegar al resultado final 33?.
31
Matemáticas 3º ESO

CAJAS Y BOLAS
¿De cuántas maneras se pueden distribuir 12 bolas indistinguibles en 5 cajas?. Dos distribuciones se
consideran distintas solo si difieren en alguno de los números de bolas que se colocan en las cajas.
Ayuda: representa cada bola por un 0 y cada caja mediante un 1. Los unos harán las veces
de separadores, así: 0011000000101000 indica que hay 2 bolas en la 1ª caja, ninguna en la
2ª, 6 en la 3ª, 1 en la 4ª y 3 en la 5ª.

BOLAS Y URNAS
1) Se desean colocar 2 bolas de distinto color (roja y blanca) en tres cajas distintas (caja A, caja B y
caja C). La siguiente figura indica dos posibilidades:
2) ¿Podrías calcular cuántas formas distintas hay de colocar las dos bolas en las tres urnas sin
dibujarlas todas?. Explica el sistema que has seguido para calcular el número de posibilidades.

SELLOS
Si tienes una tira de 3 sellos:
a) ¿De cuántas formas puedes plegarlos?.
b) ¿Y si es de cuatro?.

a)
NÚMEROS
¿Cuántos números capicúas hay de cinco cifras?.
b) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras pares 2, 4, 6 y 8 sin que se
repita ninguna?. ¿Cuántos de esos números comienzan por 2 ?. ¿Cuántos terminan en 64 ?.
¿Cuántos serán mayores que 500 ?. ¿Cuánto suman todos los números de tres cifras que se
puedan obtener?.
32
Contar

BANDERAS
Un barco tiene siete banderas distintas para hacer señales y cada señal consiste en izar como
máximo tres banderas en un mástil. ¿Cuántas señales diferentes puede hacer el barco?.

URBANIZACIÓN
En una urbanización hay varias fincas, cada una de las cuales está unida a las restantes por un
camino. Si sabemos que hay 36 caminos, ¿cuál es el número de fincas?.

TELEVISIÓN
Una cadena de televisión dispone para sus teledirarios de 4 presentadores para las noticicias
nacionales, 3 para las internacionales, 2 para deportes y 2 para el tiempo. ¿De cuántas formas puede
desarrollarse el noticiario si:
a) En cada sección actúa un solo presentador.
b) En las noticias nacionales e internacional actúan dos, uno de titular y otro de ayudante, y en las
otras uno.
33
Matemáticas 3º ESO

ADOSADOS
1) Tenemos una tira o banda formada por cinco rectángulos adosados, cada uno de los cuales lo
podemos colorear de blanco o de negro. ¿Cuántas franjas diferentes se pueden hacer, teniendo
en cuenta las diversas formas en que podemos colorear estos rectángulos?.
2) Algunos de los patrones producidos son simétricos, como el de la figura siguiente:
¿Cuántas formas distintas tenemos de colorear la tira de cinco rectángulos con los colores
blanco y negro, de modo que se obtenga un patrón simétrico?.
3) Tomemos ahora un cuadrado. Trazamos una diagonal y coloreamos cada región de un color
diferente.
Girando el cuadrado anterior 90 grados obtenemos los cuadrados de la siguiente figura:
Si ahora pegamos dos de estos cuadrados, uno a derecha de otro, ¿cuántos dibujos diferentes
podemos obtener?. ¿Y si los unimos de cuatro en cuatro formando una tira?.
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