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Alonso Fernández Galián
TEMA 2: DIVISIBILIDAD
Estudiaremos conceptos relacionados con la división: múltiplos y divisores, números primos…
1. LA RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES
La divisibilidad es la relación entre los términos de una división exacta.
28
4
0
7

4 es un divisor de 28.
28 es divisible entre 4
28 es un múltiplo de 4.
Propiedades: Las propiedades más importantes de la relación de divisibilidad son las siguientes:
(1) Cualquier número es divisible entre 1.
15 1
0 15

15 es divisible entre 1.
(2) Cualquier número es divisible entre sí mismo.
18
0
18
1

18 es divisible entre 18.
(3) Si un número es divisible entre otro, y éste entre un tercero, entonces el primero es divisible
entre el tercero.
48 es divisible entre 6.
6 es divisible entre 3.




48 es divisible entre 3.
Ejemplos de divisores. Los divisores de un número son aquellos números entre los que se puede
dividir de forma exacta.

Divisores de 8.
Divisores de 20 
1, 2, 4 y 8.
1, 2, 4, 5, 10 y 20.
Ejemplos de múltiplos. Los múltiplos de un número son los números que se obtienen al multiplicarlo por algún otro.

Múltiplos de 6.
Múltiplos de 13. 
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,…
(hay infinitos)
13, 26, 39, 52, 65, 78, 91,…
(hay infinitos)
Ejemplo: Encuentra todos los múltiplos de 13 comprendidos entre 800 y 900.
Veamos en primer lugar cuál es el primer múltiplo de 13 mayor que 800.
800
20
13
61

13  61  793 (aún es menor que 800)
13  62  806
7
Se deduce que el primer múltiplo es 13  62  806. Por tanto, los múltiplos pedidos son:
806
819
832
845
858
-1-
871
884
897
2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un criterio de divisibilidad es una regla para saber cuando un número es divisible entre otro sin
necesidad de hacer la división. Los criterios de divisibilidad más importantes son:
Entre 2: Un número es divisible entre 2 si acaba en 0, 2, 4, 6 ó 8.
Entre 3: Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Entre 5: Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó 5.
Entre 7: No hay criterio de divisibilidad. Debemos realizar la división.
Entre 10: Un número es divisible entre 10 si acaba en 0.
Ejemplo: Tenemos los siguientes números:
141
205
238
372
390
413
465
466
540
594
595
600
Escribe cuáles de ellos son:
Divisibles entre 2. 
238, 372, 390, 466, 540, 594, 600.
Divisibles entre 3. 
141, 372, 390, 465, 540, 594, 600.
Divisibles entre 5. 
205, 390, 465, 540, 595, 600.
Divisibles entre 7. 
238, 413, 595.
Divisibles entre 10.  390, 540, 600.
Nota: Existen otros criterios de divisibilidad (por ejemplo, entre 11) pero en estos casos es
preferible realizar directamente la división.
3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Los números distintos de 1 pueden ser primos o compuestos:
-Un número primo es aquél que solamente tiene dos divisores: el 1 y el propio número.
-Un número compuesto es el que tiene más de dos divisores.
El 1 es un número especial porque sólo tiene un divisor. No es ni primo ni compuesto.
Tabla de todos los números primos hasta el 100:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
-2-
4. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO COMPUESTO
Los números compuestos pueden descomponerse en un producto de factores primos.
Descomposición de 6:
6  23
Descomposición de 12: 12  2  2  3
Descomposición de 15: 15  3  5
70  2  5  7
Descomposición de 70:
Regla para descomponer en factores primos un número grande: Para descomponer un número
grande en un producto de factores primos, dividimos tantas veces como sea posible entre 2;
después, dividimos tantas veces como sea posible entre 3; después, dividimos tantas veces como
sea posible entre 5… hasta que obtengamos cociente 1.
Ejemplo: Encuentra la descomposición en factores primos de los números 140, 450 y 693.
a) 140 2
70 2
b) 450 2
225 3
c) 693
231
3
3
35 5
75 3
77
7
7 7
1
25 5
5 5
11 11
1
1
140  2 2  5  7
450  2  32  5 2
693  32  7  11
Cálculo de todos los divisores de un número utilizando la descomposición: Los divisores
mayores que 1 de un número están formados por algunos de los factores primos del número.
Ejemplo: Escribe todos los divisores de 42.
Ejemplo: Escribe los divisores de 100.
Primero descomponemos el número:
100
50
25
5
1
42 2
21 3
7 7
 42  2  3  7
1
Buscamos los divisores de 42 a partir de
sus factores primos:
-De un factor: 2, 3 y 7.
2
2
5
5
 100  2 2  5 2  2  2  5  5
Buscamos los divisores de 100.
-De un factor: 2 y 5.
-De dos factores:
-De dos factores:
22  4 ,
23 6,
2  7  14 ,
3  7  21 .
2  5  10 ,
5  5  25 .
-De tres factores:
2  2  5  20
y
2  5  5  50 .
-De cuatro factores:
-De tres factores:
2  3  7  42 .
2  2  5  5  100.
Solución: Los divisores de 42 son: 1, 2, 3,
6, 7, 14, 21 y 42.
Solución: Los divisores de 42 son: 1, 2, 3,
6, 7, 14, 21 y 42.
-3-
5. EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de los divisores comunes a
todos ellos.
Ejemplo: Calcula mentalmente:
a) m.c.d. (12,8)  4
c) m.c.d. (1, 9)  1
e) m.c.d. (4, 20)  4
b) m.c.d. (12,30)  6
d) m.c.d. (20,30)  10
f) m.c.d. (25, 40)  5
Los divisores de un número tienen por factores primos sólo algunos de los factores del número.
Por lo tanto:
Para calcular el máximo común divisor de números grandes se factorizan los números y se
toma el producto de los factores comunes elevados al menor exponente.
Ejemplo: Calcula en cada apartado el máximo común divisor:
a) 120 y 72.
Descomponemos los números en factores primos:
120  2 3  3  5
120 2
72 2
60 2
30 2
36 2
18 2
15 3
9 3
5 5
1
3 3
1
72  2 3  3 2
Tomamos los factores comunes elevados al menor exponente:
120  2 2  3  5 
3
  m.c.d. (120,72) 2  3  24
3
2
72  2  3 
b) 150, 175 y 250.
Descomponemos los números en factores primos:
150
75
25
5
1
2
3
5
5
150  2  3  5 2
175 5
25 5
7 7
1
175  5 2  7
Tomamos los factores comunes elevados al menor exponente:
150  2  3  5 2 

175  7  5 2   m.c.d. (150,175,250)  5 2  25
250  2  5 3 

-4-
250
125
25
5
1
2
5
5
5
250  2  5 3
6. EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de los múltiplos comunes a
todos ellos.
Ejemplo: Calcula mentalmente:
a) m.c.m. (6, 9)  18
c) m.c.m. (10, 6)  30
e) m.c.m. (4,12)  12
b) m.c.m. (1, 7)  7
d) m.c.m. (4, 5)  20
f) m.c.m. (20, 30)  60
Los múltiplos de un número contienen entre sus factores primos a todos los factores de dicho
número. Por lo tanto:
Para calcular el mínimo común múltiplo de números grandes se descomponen los números y se
toma el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Ejemplo: Calcula en cada apartado el mínimo común múltiplo:
a) 126 y 180.
Descomponemos los números en factores primos:
126 2
63 3
126  2  3 2  7
180 2
90 2
21 3
7 7
180  2 2  3 2  5
45 3
15 3
1
5 5
1
Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente:
126  2  3 2  7 
2
2
  m.c.m.(126,180) 2  3  5  7  1260
180  2 2  3 2  5 
b) 42, 50 y 36.
Descomponemos los números en factores primos:
42 2
21 3
7 7
1
42  2  3  7
50 2
50  2  5 2
25 5
5 5
1
36 2
36  2 2  3 2
18 2
9 3
3 3
1
Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente:
42  2  3  7 

50  2  5 2   m.c.m.(42,50,70) 2 2  3 2  5 2  7  6300
36  2 2  3 2 

-5-
7. PROBLEMAS
Vamos a resolver a continuación dos problemas: uno en el que hay que utilizar el máximo
común divisor y otro en el que hay que utilizar el mínimo común múltiplo.
Ejemplo: Queremos cubrir una pared de 4,50 m de largo con 2,40 m de alto con baldosas
cuadradas del mayor tamaño posible.
a) ¿Cuántos centímetros de lado deben medir las baldosas?
Trabajamos en centímetros:
4,50 m  450 cm .
2,40 m  240 cm .
El lado de la baldosa debe ser un divisor de 450 y 240. Como buscamos que las baldosas
sean lo más grandes posibles, debemos calcular el máximo común divisor.
450  2  3 2  5 2 
  m.c.d. (450,240) 2  3  5  30
240  2 4  3  5 
Solución: Las baldosas deben medir 30 cm de lado.
b) ¿Cuántas baldosas son necesarias?
-En cada fila del largo hay 450: 30  15 baldosas
-En cada fila del alto hay 240: 30  8 baldosas
Por tato, en total son necesarias 15  8  120 baldosas.
Solución: Se necesitan 120 baldosas.
Ejemplo: A un instituto llega un pedido de papelería cada 9 días, y un pedido de productos
de limpieza cada 12 días. Si hoy ha llegado un envío de cada tipo, ¿dentro de cuánto tiempo
volverán a coincidir los dos pedidos?, ¿cuántos pedidos de cada tipo se habrán recibido
hasta entonces?
a) ¿Dentro de cuánto tiempo coincidirán los dos pedidos por primera vez?
Ambos pedidos volverán a coincidir dentro de una cantidad de días que sea múltiplo de 9 y
de 12. Por tanto, coincidirán por primera vez una cantidad de días igual al mínimo común
múltiplo de ambos números.

9  32
2
2
  m.c.m.(9,12) 2  3  36
2
12  2  3 
Solución: Volverán a coincidir por primera vez dentro de 36 días.
b) ¿Cuántos pedidos de cada tipo se habrán recibido hasta entonces?
-En 36 días se han recibido 36 : 9  4 pedidos de papelería (incluyendo el último).
-En 36 días se han recibido 36 :12  3 pedidos de limpieza (incluyendo el último).
Solución: Se han recibido 4 pedidos de papelería y 3 pedidos de limpieza.
-6-