Download Historia de las ecuaciones polinómicas. Resolución por radicales

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Carácter:
Créditos teóricos:
Créditos prácticos:
2011/12
FAC. CC. EXPERIMENTALES
LICENCIATURA DE MATEMÁTICAS (99)
ECUACIONES ALGEBRAICAS
4992201
1º
2º
2º
OBLIGATORIA
4,5
4,5
Área:
Departamento:
Descriptores:
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO
TEORÍA DE GALOIS. RESOLUBILIDAD DE ECUACIONES POR RADICALES.
CUERPOS FINITOS Y APLICACIONES
TEMARIO
TEMA 1.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA.
Historia de las ecuaciones polinómicas. Resolución por radicales de las ecuaciones
polinómicas de grado menor o igual que 4. El problema de la resolución por radicales de la
quíntica. La vida de Evariste Galois.
TEMA 2.- TEOREMAS DE SYLOW. GRUPOS SIMPLES Y GRUPOS SOLUBLES.
Teoremas de Sylow. Teorema de Cauchy. Aplicaciones de los Teoremas de Sylow.
Clasificación de los grupos de orden menor o igual que quince. Grupos simples: ejemplos y
propiedades. Grupos solubles: ejemplos y propiedades.
TEMA 3.- EXTENSIONES DE CUERPOS.
Extensión de cuerpos. Ejemplos. Subcuerpo generado por un conjunto. Extensiones
simples. Ejemplos. Elementos trascendentes. Elementos algebraicos. Polinomio mínimo.
Construcción de extensiones simples. Teorema de Kronecker. Isomorfismo de extensiones.
Clasificación de extensiones simples. Teorema de Luröth.
TEMA 4.- EL GRADO DE UNA EXTENSIÓN.
Grado de una extensión de cuerpos. Ejemplos. Ley de la Torre. Grado de extensiones
simples. Extensión algebraica. Extensión finita y caracterización. El cuerpo de los números
algebraicos. Demostración de Cantor de la existencia de números trascendentes.
TEMA 5.- CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS.
Puntos y figuras construíbles con regla y compás. El cuerpo de los números construíbles.
Extensiones de cuerpos y puntos construíbles. Resolución de los problemas clásicos de la
duplicidad de cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
TEMA 6.- LA IDEA FUNDAMENTAL DE LA TEORÍA DE GALOIS
Automorfismos de cuerpos. Grupo de Galois de una extensión. Subcuerpos fijos. La
correspondencia de Galois. Ejemplos.
TEMA 7.- NORMALIDAD Y SEPARABILIDAD.
Cuerpos de escisión. Teorema de Girard. Normalidad. Separabilidad. Derivación formal.
TEMA 8.- CUERPOS FINITOS.
Teorema de Estructura de los cuerpos finitos. El grupo multiplicativo de un cuerpo finito.
TEMA 9.- CUERPOS PERFECTOS. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO.
Cuerpos perfectos. Teorema del Elemento Primitivo. Teorema de Steinitz.
TEMA 10.- GRADOS DE EXTENSIONES Y ÓRDENES DE SUBGRUPOS.
Independencia lineal de monomorfismos: Lema de Dedekind. Consecuencias.
TEMA 11.- MONOMORFISMOS, AUTOMORFISMOS Y CLAUSURAS NORMALES.
K-monomorfismos. Clausuras normales. Orden del grupo de Galois y subcuerpo fijo de
una extensión separable, normal y finita.
TEMA 12.- LA CORRESPONDENCIA DE GALOIS.
Teorema fundamental de la Teoría de Galois. Consecuencias directas. Ejemplos.
TEMA 13.- EXTENSIONES CICLOTÓMICAS.
Polinomios ciclotómicos. Extensiones ciclotómicas. Grupo de Galois de una extensión
ciclotómica.
TEMA 14.- SOLUCIONES DE ECUACIONES POR RADICALES.
El problema de la resolución de ecuaciones por radicales. Extensiones radicales. Teorema
90 de Hilbert. Gran Teorema de Galois. Irresolubilidad de la ecuación polinómica de grado cinco.
TEMA 15.- LA ECUACIÓN GENERAL POLINÓMICA.
Polinomios simétricos. Relaciones de Cardano-Vieta. Teorema Fundamental de los
Polinomios Simétricos y de las Funciones Simétricas. Grado de trascendencia. El polinomio
general. Resolubilidad por radicales del polinomio general. Resolución de las ecuaciones
polinómicas de grado menor o igual que 4 revisitada.
TEMA 16.- EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.
El Teorema Fundamental del Álgebra como consecuencia de la Teoría de Galois. La
segunda demostración de Gauss del Teorema Fundamental del Álgebra. El Teorema Fundamental
del Álgebra como consecuencia del Teorema de Compacidad.
TEMA 17.- CÁLCULO DE GRUPOS DE GALOIS.
Cálculo de grupos de Galois de polinomios de grado menor o igual que 4. Un algoritmo
para el cálculo del grupo de Galois.
TEMA 18.- POLÍGONOS REGULARES.
El problema de la construcción de polígonos regulares. Números de Fermat. Teorema de
Gauss.
TEMA 19.- EL PROBLEMA INVERSO EN TEORÍA DE GALOIS.
Formulación del problema. Realización de los grupos Sp (p primo) y Zn como grupos de
Galois de cuerpos de números.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA RECOMENDADA
-
DELGADO, F., FUERTES, C y XAMBÓ, S. Introducción al Álgebra: Anillos, Factorización y Teoría
de Cuerpos. Secretariado de Publicaciones e Intercambio Científico. Universidad de Valladolid, 1998.
DORRONSORO, J., HERNÁNDEZ, E. Números, Grupos y Anillos. Addison-Wesley Iberoamericana,
1996.
ESCORIZA LÓPEZ, J. Problemas de Ecuaciones Algebraicas. Servicio de Publicaciones de la
Universidad de Almería, 1999.
FRALEIGH, J. B. Álgebra Abstracta. Addison-Wesley Iberoamericana, 1988.
GAAL, L. Classical Galois Theory. Chelsea Publishing Company, 1973.
GAMBOA, J. M. y RUIZ, J. M. Anillos y cuerpos conmutativos. Cuadernos de la UNED, 1987.
-
MAXFIELD, J.E. y MAXFIELD, M.W. Abstract Algebra and Solution by Radicals. Dover Publications.
New York, 1992.
ROTMAN, J. Galois Theory. Springer-Verlag, 1990.
STEWART, I. Galois Theory. Third Edition. Chapman and Hall, 2004.
VERA, A. y VERA, J. Problemas de Álgebra. Teorías de grupos y cuerpos, 1983.
VERA LÓPEZ, A. y ARREGUI, J.M. Problemas de Álgebra: Teorías de Grupos, Cuerpos y Anillos.
Tomo II, 1989.
VIOLA PRIOLI, A.M. y VIOLA-PRIOLI, J.E. Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois. Editorial Reverté
S.A., 2006.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
-
CORBALÁN, F. Galois, Revolución y Matemáticas. Colección “La matemática en sus personajes”. Vol.
5. Nivola, 2000.
FINE, B. y ROSENBERG, G. The Fundamental Theorem of Algebra. Springer-Verlag, 1997.
HOWIE, J.M. Fields and Galois Theory. Springer-Verlag, 2006.
HUNGERFORD, T. W. Algebra. Springer-Verlag, 1974.
MARTIN CASADELRREY, F. Cardano y Tartaglia., Las Matemáticas en el Renacimiento Italiano.
Colección “La matemática en sus personajes”. Vol. 4. Nivola, 2000.
NAGATA, M. Field theory. Marcel Dekker, 1977.
SÁNCHEZ FERNÁNDEZ, C. y NORIEGA SÁNCHEZ, T. J. Abel. El romántico nórdico. Colección
“La matemática en sus personajes”. Vol. 23. Nivola, 2004.
TIGNOL, J.-P. Galois’ Theory of Algebraic Equations. World Scientific, 2001.
VAN DEN WAERDEN, B.L. A History of Algebra. Springer-Verlag, 1985.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
La evaluación se realizará mediante un examen final de teoría y problemas, que
representará un 80% de la nota global, y un seguimiento de la labor del alumno consistente en la
resolución de problemas en clase y la entrega de trabajos varios, que representará el 20%
restante.