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Movimiento en un Plano
Autores
Ignacio Cruz Encinas
Mario Enrique Álvarez Ramos
Roberto Pedro Duarte Zamorano
Ezequiel Rodríguez Jáuregui
Rogelio Gámez Corrales
UNIVERSIDAD DE SONORA
Departamento de Física
DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO

Sea r1 el vector de posición inicial que ubica a la
partícula en el plano cartesiano, cuando éste está en el
punto de coordenadas ( x1 , y1 ) en el instante de tiempo
t1.

Sea r2 el vector de posición final que ubica a la partícula
en el plano cartesiano cuando está en el punto de
coordenadas ( x2 , y2 ) en el instante de tiempo t2.

Se define el vector A o cambio de posición como aquél
que va desde la posición inicial de coordenadas ( x1 , y1 )
hasta la posición final de coordenadas ( x2 , y2 ).
Veámoslos gráficamente:
DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO
Trayectoria del cuerpo
y+
(x2 , y2) en t2
y2
A
D y = y2 – y1
(x1 , y1) en t1
y1
r2
r1
x1
D x = x2 – x1
x2
x+
Donde:
D x = x2 – x1 es la componente del vector A en el eje x
D y = y2 – y1 es la componente del vector A en el eje y
A = |A|= √ (Dx)2 + (Dy)2 = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
es la magnitud del vector A, la cual representa la distancia
entre la posición inicial y la final, más no la distancia
recorrida por el cuerpo, puesto que la trayectoria que
siguió la partícula es diferente.
Analizando a los vectores que tenemos en la figura,
observamos que el vector r2 es la resultante de sumar los
vectores r1 y A; esto es:
r1 + A = r2
Despejando al vector A (siguiendo las reglas del álgebra)
tenemos que:
A = r2 - r1
definiendo a A como D r , tenemos que:
D r = r2 - r1
lo cual en expresiones verbales representa:
Cambio de posición o Desplazamiento =
Posición final - Posición inicial
Características del vector desplazamiento
Como el desplazamiento es un vector, tiene:

Magnitud,
A  A  (Dx) 2  (Dy ) 2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2

unidad,
metros

dirección

Sentido.- De acuerdo a los puntos cardinales. Por lo general se hace
referencia primero al punto hacia donde medimos el ángulo (ejes verticales
cuando los graficamos en un papel) y se continúa diciendo a partir de donde
lo medimos (ejes horizontales).
Por ejemplo:
Al Sur del Este (al S del E)
Al Norte del Oeste (al N del O)
  tan 1
Dy
Dx
VELOCIDAD MEDIA EN EL PLANO
Ya que tenemos la definición de desplazamiento o cambio de posición,
procedamos a calcular que tan rápido se realizaron tales cambios.
Como una primera aproximación, una forma de calcularlos es mediante el
cociente de:
Dr ∕ Dt
cuyas unidades son m/s
Este concepto así definido recibe el nombre de velocidad media. Para ver
que tipo de cantidad física es (escalar o vectorial) analicemos el cociente:
D r es una cantidad vectorial
D t es una cantidad escalar
Y el cociente se puede expresar como:
(1∕Dt)(Dr)
Velocidad media …
lo que representa la multiplicación de un escalar (1/Dt) por un
vector (Dr), obteniendo un nuevo vector que es k veces mayor,
menor o igual.
La magnitud viene dada por:
Vm =|vm| =
Dr
Dt
=
1
Dt
Dr
=
1
Dt
Dr
donde el subíndice m indica media.
Tal magnitud representa la rapidez del vector velocidad media.
El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que
el vector que le da origen, esto es, D r
Velocidad media …
Con respecto a la velocidad media en el plano, existen dos
casos importantes de analizar:

Uno de ellos es cuando la trayectoria coincide con la
dirección del desplazamiento.

El otro que es el más general, cuando la trayectoria es
cualquier otra trayectoria diferente a la del caso anterior.
El primer caso no presenta mayor problema. Se trata de un

Movimiento rectilíneo uniforme (la magnitud de la velocidad
media es constante, siempre en la misma dirección y sentido) o

Rectilíneo uniformemente acelerado (la magnitud de la velocidad
media es variable pero siempre con la misma dirección y sentido).
En ambos casos, aunque la partícula se encuentre en un
plano, se está moviendo a lo largo de uno de los ejes (línea
recta), siendo el tema que se abordó en el movimiento
unidimensional aunque no en forma vectorial.
Velocidad media …
El que se analiza ahora es el otro caso:

Cuando la partícula siga una trayectoria diferente a la del vector
desplazamiento.
Dicho análisis se puede subdividir en dos partes:

Analizar el problema en su forma más sencilla

Posteriormente aumentar el grado de complejidad.
Sencillo:

Cuando la partícula sigue una trayectoria curvilínea pero magnitud del
vector velocidad media constante (misma rapidez).
Complejo:

Aquél donde la partícula sigue una trayectoria curvilínea pero la magnitud
del vector velocidad media es variable (la rapidez cambia de instante a
instante).
Velocidad media …
Analizaremos el primer caso a partir de la siguiente
ilustración. Para ello tomamos tres posiciones diferentes que
estén sobre la trayectoria de la partícula.
y+
2
3
1
r2
r3
r1
x+


Velocidad media …
La magnitud del vector v12 es:
v12 = | v12 | = (1 ∕ D t 12) | D r12 |
Con misma dirección y sentido que r12
La magnitud del vector v13 es:
v13 = | v13 | = (1 ∕ D t 13) | D r13 |
Con misma dirección y sentido que r13
Suponiendo que la rapidez es constante, es decir:
| v12 | = | v13 | = constante
a pesar de ello, los vectores velocidad media son
diferentes debido a que no tienen la misma dirección (para
que dos o mas vectores sean iguales, deben tener la misma
magnitud, unidad, dirección y sentido, si una de esas
condiciones cambia, entonces son diferentes).
Velocidad media …

Luego entonces, nos vemos obligados a decir que el vector
velocidad media está cambiando de instante a instante y el
concepto de velocidad media es insuficiente para describir
el movimiento de la partícula en un plano cuando su
trayectoria es curvilínea.

Para suplir esta deficiencia de información, se genera el
concepto de velocidad instantánea en el plano.
Velocidad instantánea
Analicemos nuevamente la figura con mayor detalle y
siguiendo el siguiente procedimiento:

Elegir un punto de coordenadas (x0 , y0 ) que esté sobre
la trayectoria de la partícula, en el instante de tiempo t0.

Elegir otro punto de coordenadas (x , y ) que también
esté sobre la trayectoria pero en un instante de tiempo (
t10 ), posterior a t0 , es decir t10 > t0

Calcular la velocidad media entre esos dos puntos para
ver su dirección y sentido
Velocidad instantánea …
y+
(x0 , y0)
D r 1→ 10
(x10 , y10)
r 10
r1
x+

velocidad media entre t 0 y t10
v10 = | v10 | = (1 ∕ t10 - t 0) | D r1→10 |
misma dirección que
D r1→10
Velocidad instantánea …
y+
(x9 , y9)
D r 1→ 9
(x0 , y0)
r9
r1
x+

velocidad media entre t 0 y t 9
v9 = | v9 | = (1 ∕ t 9 - t 0) | D r 1→ 9 |
misma dirección que
D r1→ 9
Velocidad instantánea …
y+
(x0 , y0)
(x8 , y8)
r8
r1
x+

velocidad media entre t 0 y t 8
v8 = | v8 | = (1 ∕ t 8 - t 0) | D r 1→ 8 |
misma dirección que
D r1→ 8
Velocidad instantánea …
y+
(x0 , y0)
(x7 , y7)
r7
r1
x+

velocidad media entre t 0 y t 7
v7 = | v7 | = (1 ∕ t 7 - t 0) | D r 1→ 7 |
misma dirección que
D r1→ 7
Velocidad instantánea …
Analizando lo anterior, podemos decir que:

Nos estamos moviendo sobre la trayectoria de la
partícula.

Encontramos vectores velocidades medias
diferentes (aunque puedan ser igual en magnitud).
v10 ≠ v9 ≠ v9 ≠ v7
El intervalo de tiempo es cada vez menor
(t 7 - t 0 ) < (t 8 - t 0 ) < (t 9 - t 0 ) < (t 10 - t 0 )

Nos estamos acercando al punto de coordenadas (
x 0 , y 0 ) en el instante de tiempo t 0.
Velocidad instantánea …
Seguimos desarrollando el mismo procedimiento de
acercarnos mas al instante de tiempo t 0 eligiendo
otro instante de tiempo menor ( t 6 ).

Elegir el mismo punto de coordenadas (x 0 , y 0 ) en
t 0 y otro punto que también esté sobre la
trayectoria pero en un instante de tiempo t 6
anterior a t 7.

Calcular la velocidad media entre este nuevo par
de posiciones para ver su dirección y sentido.

Comparar las velocidades medias obtenidas, así
como los respectivos intervalos de tiempo.
Velocidad instantánea …
y+
(x6 , y6)
Dr 1→6
(x0 , y0)
r1
r6
x+

velocidad media entre t 0 y t6
v6 = | v6 | = (1 ∕ t6 - t 0) | D r1→6 |
misma dirección que
D r1→6
Velocidad instantánea …
Para abreviar, se sigue repitiendo el mismo procedimiento una infinidad de
veces, de tal manera que las parejas de puntos (x0 ,y0) y (x , y ) estén tan
cerca uno del otro que prácticamente estaremos trabajando con la sección
recta de una curva.
En dichos puntos, los vectores velocidades medias variarán muy poco en
magnitud, dirección y en sentido, siendo el intervalo de tiempo tan
pequeño como nosotros queramos (próximo a cero).
Cuando ocurre esto, la dirección del vector velocidad media es tangente a
la trayectoria y el intervalo de tiempo se dice que tiende a cero (pero sin
hacerse cero) y prácticamente estamos trabajando alrededor del instante
de tiempo t 0 por lo que la velocidad media recibe el nombre de velocidad
instantánea.
Veámoslo en una última gráfica:
Velocidad instantánea …
Prolongación de D r
y+
Tangente a la curva en el punto (x0 , y0) en t0
Dr
(x0 , y0)
r0
(x , y)
r
r - r0x+ d r
Dr
 lim

Velocidad instantánea = v  lim v m  lim
Dt 0
Dt  0 D t
Dt  0 t  t
dt
0
El significado de la derivada es la tangente a la curva en un
punto y consecuentemente en un instante de tiempo.
Velocidad instantánea …

Con dicho concepto, podemos conocer la dirección y el
sentido del vector velocidad en cualquier instante de
tiempo, lo único que tenemos que hacer es trazar la
tangente a un punto sobre la trayectoria de la partícula. Con
esto, la velocidad instantánea siempre será tangente a la
trayectoria.

Veámoslo gráficamente utilizando la misma gráfica con la
que desarrollamos el concepto de velocidad instantánea y
supondremos que la rapidez con la que se mueve la
partícula es constante (la flecha que representa a la
velocidad instantánea tendrá siempre la misma longitud).
Velocidad instantánea …
y+
v4
v5
v3
v2
v1
v6
Vectores
v7
v8
v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ v4 ≠ v5 ≠ v6 ≠ v7
v1 = v8
Magnitudes
v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = v6 = v7 = v8
x+
Aceleración media

En la gráfica anterior, el vector velocidad cambia de dirección (aunque
su magnitud sea la misma). Como los vectores no son iguales implica
que existe un cambio en el vector velocidad.

Dicho cambio viene dado por:
Dv = vf – vi
que viene siendo un nuevo vector que surge de la diferencia de dos
vectores. Como se vio anteriormente, también se puede expresar como:
Dv = vf +(– vi)
es decir, como la suma del vector velocidad final mas el negativo del
vector velocidad inicial.

Veámoslo gráficamente
Aceleración media …
y+
v5
v4
v3
-v1
Dv12
-v3
-v2
-v4
Dv56
v6
-v5
v2
v7 Dv78
-v7
-v6
v8
v1
D v = v f +( – v i )
x+
Aceleración media …


Todos los cambios de velocidad son diferentes.
Cada cambio del vector velocidad tiene su propia
 Magnitud,
 Dirección y
 Sentido.
Por tal motivo nos preguntamos
¿Que tan rápido está cambiando de velocidad el cuerpo?
Una forma de calcular dichos cambios son por medio del
cociente:
D v ∕ D t = ( v f – v i) / ( t f – ti)
que recibe el nombre de aceleración media.
Aceleración media ≡ ā = D v ∕ D t
Cuyas unidades son
m ∕ s2
Aceleración instantánea


Para calcular la aceleración instantánea, se recurre al mismo
procedimiento que se siguió para calcular la velocidad
instantánea.
Aceleración instantánea ≡ a
v - v 0 d v d (d r ) d 2 r
Dv
a  lim a  lim
 lim


 2
Dt  0
Dt  0 D t
Dt  0 t  t
d t d (d t ) d t
0
Existen dos casos especiales cuando la aceleración media es
igual a la aceleración instantánea, es decir, el vector
aceleración tiene la misma magnitud, unidad, dirección y
sentido.
Tales casos son:


Movimiento de proyectiles o tiro parabólico y
Movimiento circular uniforme.
Movimiento de Proyectiles

El movimiento de proyectiles o tiro parabólico se refiere a aquellos
cuerpos que al ser lanzados cerca de la superficie terrestre describen
una trayectoria parabólica bajo las siguientes condiciones:

Que el lugar donde se efectúa el lanzamiento no presente resistencia al
objeto lanzado, ya que con resistencia del aire la trayectoria tomaría otras
formas.
y+
Sin resistencia del aire
y+
x+
Con resistencia del aire
x+
Movimiento de Proyectiles

Que el lanzamiento no sea muy elevado, de tal manera que la
aceleración pueda considerarse constante. En estos casos, la
aceleración es la aceleración de la gravedad, y g varía con la altura.

Que el lanzamiento no sea de muy largo alcance, de tal manera que
la superficie de la tierra pueda considerarse plana. Por ejemplo, en
lanzamientos transcontinentales la trayectoria toma formas de
elipses.
Movimiento de Proyectiles
Con las anteriores restricciones tenemos los siguientes ejemplos
(entre otros muchos) de cuerpos que describen una trayectoria
parabólica:




Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat.

Una pelota que rueda sobre una superficie horizontal alta y que cae
al suelo.

La bala de un cañón al ser disparada con un ángulo de elevación.
El primer ejemplo es de los considerados casos generales ya que la
pelota es golpeada desde una cierta altura, saliendo con un ángulo de
elevación diferente de cero y cae en tierra.
El segundo ejemplo es un caso particular que es conocido como tiro
horizontal, donde el objeto sale con un ángulo de cero grados con
respecto a la horizontal.
El tercer ejemplo también es considerado un caso especial (Blancos y
Alcances) y es cuando un objeto sale de un nivel ( por ej. suelo) y llega a
ese mismo nivel (suelo).
Movimiento de Proyectiles

Para entrar en materia, diremos que el movimiento de proyectiles o tiro
parabólico es un movimiento resultante o compuesto de dos
movimientos:

Uno horizontal y uniforme
y el otro

Vertical y uniformemente acelerado,
ambos movimientos son a ángulos rectos y su combinación produce el
movimiento resultante.

Los movimientos que se dan a ángulos rectos son independientes entre
sí.

La presencia de uno (el horizontal) no influye o altera al otro (al
vertical) y viceversa, el vertical no influye o altera al horizontal.
Para demostrar lo anterior, realicemos el siguiente experimento:
Movimiento de Proyectiles
Se lanza una pelota con una velocidad inicial sobre una mesa alta y sin
rozamiento (no hay resistencia al objeto lanzado), si consideramos
que dicha mesa es infinitamente larga, entonces la pelota se movería
en movimiento rectilíneo uniforme, es decir, siempre tendrá la
misma velocidad recorriendo distancias iguales en iguales intervalos
sucesivos de tiempo. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:
Dt
Dx
Dt
Dx
Dt
Dx
Dt
Dx
Dt
Dx
Movimiento horizontal: si la mesa es infinita y no presenta
resistencia al objeto lanzado, éste se seguirá moviendo con la
misma velocidad inicial con la que fue lanzado. La velocidad en
el eje x será siempre la misma v0x = vx = constante.
El cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de
tiempo.
Ver Simulación
Movimiento de Proyectiles
Como complemento al experimento, ahora dejemos caer la pelota
desde el borde de la mesa y analicemos el movimiento. Dicho
movimiento será de caída libre, recorriendo el cuerpo distancias
cada vez mayores para los mismos intervalos de tiempo, es decir la
magnitud de la velocidad cada vez será mayor. Ilustrémoslo con la
siguiente figura:
Dy Dt Movimiento vertical: es uniformemente
Dy Dt acelerado. En los mismos intervalos de
tiempo, el cuerpo recorre cada vez mayor
Dy Dt
distancia, es decir, la magnitud de su
Dy Dt velocidad vertical vy se va incrementando.
Se considera que cuando va en el aire, no
hay oposición al objeto que se deja caer
Dy Dt (caída libre, sin resistencia de ninguna
índole)
Ver simulación
Movimiento de Proyectiles
Ahora combinemos ambos movimientos, pero en el caso del movimiento
horizontal, ya no consideraremos una mesa infinita sino que ésta es
corta, alta y sin fricción. En todo caso, como no hay resistencia al
objeto lanzado horizontalmente, éste tenderá a continuar moviéndose
de la misma forma en el eje x, es decir uniformemente.
Adicionalmente, recordemos que las velocidades son vectores que se
pueden sumar para obtener la resultante.
La combinación de ambos movimientos se ilustra en la siguiente figura:
Movimiento de Proyectiles
Dt
Dx
Dt
Dx
Dt
Dx
Dt
Dx
Dt
Dx
Dy Dt
Dy Dt
Dy Dt
Dy Dt
Dy Dt
Ver simulación
Ecuaciones de movimiento de Proyectiles
Antes de ver las ecuaciones de movimiento, debemos recordar lo
relativo a la descomposición de vectores en sus componentes
rectangulares:
V0
v0y = │V0│sen θ0
θ0
v0x = │V0│cos θ0
Para las ecuaciones, recordemos que los movimientos son independientes,
teniendo en consecuencia uno horizontal y uniforme y otro vertical y
uniformemente acelerado, siendo las mismas ecuaciones anteriormente
vistas para ambos movimientos, con la salvedad de que trabajamos en
un plano por lo que se agrega a las velocidades el subíndice x o y
dependiendo si la velocidad es horizontal o vertical respectivamente.
Ecuaciones de movimiento de Proyectiles

MOVIMIENTO HORIZONTAL (Uniforme)
x = x0 + v0x t
v0x = vx = constante

MOVIMIENTO VERTICAL (Uniformemente Acelerado)
y = y0 + v0y t - ½ g t2
y = y0 + ½ ( vy + v0y ) t
vy = v0y – g t
vy2 - v0y2 = –2 g ( y – y0 )

MOVIMIENTO COMBINADO O RESULTANTE
y = y0 + x tan θ0 – g x 2 ∕ ( v0 cos θ0 ) 2
Ésta ecuación se encuentra despejando el tiempo de la primera
ecuación de mov. horizontal, sustituyéndolo en la primera del mov.
vertical y realizando operaciones algebraicas.
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Tiro Horizontal
Este caso se da cuando se dispara un objeto horizontalmente desde
una cierta altura. Debido a esto:

El ángulo inicial de salida es de cero grados.
θ0 = 0

La magnitud del Vector velocidad inicial es igual a la componente
horizontal de la velocidad inicial y como el movimiento horizontal es
uniforme, también es igual a la velocidad horizontal en cualquier
instante de tiempo.
V0 =│V0│= v0x = vx

La componente del Vector velocidad inicial en el eje vertical es cero.
v0y = 0
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Ecuaciones para Tiro Horizontal

Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de movimiento
generales se reducen a:
│ V0 │ = v0x
x = v0 t
v0y = 0
x+
y = - ½ g t2
y = ½ ( vy ) t
;
y<0
vy = – g t
vy2 = –2 g y

y-
El tiempo que tarda en caer el cuerpo se encuentra despejando el
tiempo de la segunda ecuación
t = (- 2y / g)½
donde y < 0
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
BLANCOS Y ALCANCES


Este caso se refiere exclusivamente cuando el proyectil sale
disparado con un ángulo de inclinación desde un nivel y llega
nuevamente a ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y llega a
tierra).
vx = v0x
vy = 0
Debido a lo anterior, tenemos que:
v0x = │V0│cos θ0
v0y = │V0│sen θ0
y = y0 = 0
ymax
V0
θ0
Xmax = R
Los aspectos principales a considerar son:
 Tiempo total de vuelo.
 Alcance horizontal máximo que alcanza el proyectil.
 Altura máxima que alcanza el proyectil en su recorrido.
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
BLANCOS Y ALCANCES

TIEMPO TOTAL DE VUELO ( t T )
Se encuentra a partir de la condición y = y0 = 0 y de la
primera ecuación general para el movimiento vertical:
y = y0 + v0y t - ½ g t2
0 = 0 + v0y t - ½ g t2
Despejando el tiempo
t = 2 v0y ∕ g
O bien
t T = (2 │V0│sen θ0 ) ∕ g
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
BLANCOS Y ALCANCES:
 ALCANCE HORIZONTAL ( x = xmax. = R )
Se obtiene considerando que la máxima distancia horizontal recorrida
se da cuando t es el tiempo total.
Sustituyendo el tiempo total en la ecuación de movimiento horizontal
con x0= 0
x = v0x tT
x = v0x (2 v0y ∕ g)
Sustituyendo las componentes rectangulares de la velocidad inicial
x = V0 cos θ0 (2 v0 sen θ0 ∕ g)
x = V02 (2cos θ0 sen θ0 ) ∕ g
Usando la identidad trigonométrica
2 cos θ0 sen θ0 = sen 2 θ0
Se tiene que el alcance máximo viene dado por:
x = (V02 sen 2 θ0 ) ∕ g
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
BLANCOS Y ALCANCES:

ALTURA MÁXIMA ( y = ymax. )
Se obtiene considerando que la componente vertical de la velocidad es cero.
vy = 0
Es decir en el punto donde se alcanza la altura máxima:
 La componente de la velocidad en el eje vertical se hace cero, ya que en
caso contrario el cuerpo todavía seguiría ascendiendo. Dicha componente
hace que el cuerpo suba, disminuyendo su valor hasta hacerse nula.
 La componente horizontal es la que hace que el cuerpo avance y como es
uniforme, en dicho punto es tangente a la parábola.
Sustituyendo la condición anterior en la ecuación:
vy2 - v0y2 = –2 g ( y – y0 )
v0y2 = 2 g ( ymax )
ymax = v0y2 ∕ 2 g
ymax = (v0 sen θ0)2 ∕ 2 g
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
BLANCOS Y ALCANCES:
Analizando las expresiones de blancos y alcances, observamos que todas
ellas dependen de:


La velocidad inicial V0

El ángulo de disparo θ0

El valor de la gravedad g
En el caso del tiempo total, si mantenemos constante a la velocidad
inicial V0 y variamos el ángulo de disparo θ0 tendremos que para mayor
ángulo mayor será el tiempo que tarda el objeto en caer.

Lo mismo sucede con la altura máxima, a misma velocidad pero a mayor
ángulo, mayor altura alcanzará.
Lo anterior se puede observar en la siguiente ilustración:
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
y+
t```> t``> t`
t```
``` > ``` >  `
t``
```
misma
V0
``
`
t`
x+
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
En el caso del alcance horizontal, de la misma figura anterior, se puede
observar que hay un ángulo especial bajo el cual, el alcance máximo es
aún máximo. Dicho ángulo se encuentra a partir de la expresión:
x = (V02 sen 2 θ0 ) ∕ g
y puesto que V0 y g son constantes, entonces el alcance depende de
θ0 , además considerando que en blancos y alcances, el ángulo varía
de:
00 < θ < 900
la función seno tiene el siguiente comportamiento:
0 ≤ sen θ0 ≤ 1
siendo su máximo valor la unidad. Consecuentemente de la expresión para
el alcance máximo tenemos que:
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
sen 2 θ0 = 1
resolviendo para el ángulo:
2 θ0 = sen-1 ( 1 )
θ0 = ½ sen-1 ( 1 )
θ0 = ½ (900 )
θ0 = 450
Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
sen 2 θ0 = 1
resolviendo para el ángulo:
2 θ0 = sen-1 ( 1 )
θ0 = ½ sen-1 ( 1 )
θ0 = ½ (900 )
θ0 = 450
Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
A partir de los 450
y+
450 + 400 = 850
450 - 400 = 50
subo 400
bajo 400
450 + 200 = 650
450 - 200 = 250
subo 200
bajo 200
mismo alcance
mismo alcance
850
250
450
650
50
Misma V0
x+
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
las ecuaciones encontradas
para tiro horizontal y blancos y alcances, son exclusivamente
para casos especiales, no se pueden aplicar indistintamente
NOTA.- No debe de olvidarse que
a cualquier problema, en todo caso, al resolver un
problema se deben de aplicar las ecuaciones generales de
tiro parabólico ya que las de casos especiales se
dedujeron de ellas al considerar ciertas condiciones
iniciales y finales como son:
v0y = 0 para tiro horizontal
y = y0 = 0
vy = 0
para alcance máximo
para altura máxima.
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: