Download Ejercicios resueltos Dinámica 1

Ejercicios resueltos
Análisis Dinámico. Interacción gravitatoria, eléctrica…
1. Se lanza un objeto de 500 g de masa desde el suelo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s,
y alcanza una altura máxima de 16,7 m. Calcula la fuerza de rozamiento con el aire
La figura muestra el dibujo y nombre de las fuerzas que actúan sobre el objeto desde que
ya ha sido lanzado hasta que alcanza la altura máxima. La fuerza con que la tierra atrae al
objeto es: mo·gT. Como las dos fuerzas van en la dirección tangencial, no es preciso
descomponerlas.
Froz
FT,o
La fuerza resultante, como ambas fuerzas van en la misma dirección y sentido, será: Fres = mo·gT + Froz.
Entonces, aplicando la ecuación fundamental:
atg
mo ·gT Froz
mo
Si suponemos que la fuerza de rozamiento con el aire es constante durante ese movimiento (en realidad,
depende de la velocidad), entonces esa aceleración es constante.
Para escribir las ecuaciones del movimiento, necesitamos fijar un sistema de referencia: Tomamos el origen
en el suelo, que es el punto de lanzamiento, y sentido positivo hacia arriba. En este caso, la velocidad será
positiva mientras sube y la aceleración (tangencial) negativa, pues el objeto va frenando. Las ecuaciones
serán entonces:
mo ·g T Froz
mo
a tg
vt
v0
et
v 0 ·t
5
Froz
0,5
mo ·g T Froz
t
mo
mo ·g T Froz t 2
mo
2
20
5
20t
Froz
t
0,5
5
Froz t 2
0,5 2
Cuando alcanza la altura máxima: v=0. Despejamos t:
t
y sustituimos en et, cuyo valor será entonces la altura máxima:
20·0,5
5 Froz
hmáx
10
5 Froz
100
5 Froz
Como la altura máxima es 16,7 m, sustituimos y despejamos: Froz = 1 N
1
Ejercicios resueltos
Análisis Dinámico. Interacción gravitatoria, eléctrica…
2. Un esquiador inicia el descenso por una pendiente de 45º siguiendo la línea de máxima pendiente.
Suponiendo que el coeficiente de rozamiento sea de 0.15, determinad qué rapidez (en km/h) llevará a los
100 m de recorrido. (Carrascosa y otros, 2009)
Fs,e
Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el esquiador (rectángulo) mientras
desciende por la pendiente (FT,e - Fs,e - Froz s,e). Hemos despreciado la
fuerza de rozamiento del aire sobre el esquiador.
Descomponemos esas fuerzas en la dirección tangencial (el movimiento del
esquiador) y en la dirección perpendicular, y sumamos:
Froz s,e
α
FT,e
Fs,e
FT,e·senα
FT,e·senα
FT,e·cosα
Froz s,e
Fres perpendicular
Fres tan g
FT ,e ·cos α Fs ,e
FT ,e ·senα Froz s ,e
FT,e
α
FT,e·cosα
Como no hay aceleración en la dirección perpendicular, la fuerza resultante en esa dirección es cero. Para
ello: Fs,e=me·g·cosα
Como se está moviendo, la fuerza de rozamiento toma su valor máximo: Froz s,e= μ·Fs,e=μ·me·g·cosα
Para calcular la aceleración (tangencial) del esquiador:
ae
Fres tan g
me
m e · g ·senα μ·m e · g ·cos α
me
g ·( senα μ·cos α ) 10·( sen45 0,15·cos 45)
6 m / s2
Una vez que conocemos la aceleración del esquiador, y las condiciones iniciales (tomamos: e0=0, t0=0, v0=0,
pues inicia el descenso...), entonces podemos conocer con precisión el movimiento del esquiador con las
siguientes ecuaciones:
v
6·t
e 3·t 2
Como hemos tomado como origen el punto de partida, entonces cuando halla recorrido 100 m: e=100.
Sustituyendo en la segunda ecuación, y despejando el tiempo: t=5,8 s. En ese instante, su rapidez será:
v=34,6 m/s=124,7 km/h.
2
Ejercicios resueltos
Análisis Dinámico. Interacción gravitatoria, eléctrica…
3. Se deja caer un objeto de 2 kg de masa por un plano inclinado 15º respecto a la horizontal cuyo
coeficiente de rozamiento es 0,1. a) Calcula la rapidez del objeto cuando haya recorrido 2 m, si la rapidez
inicial era cero. b) Calcula la fuerza perpendicular al plano que hemos de ejercer sobre el objeto para que
descienda con rapidez constante.
La figura muestra el dibujo y nombre de las fuerzas que actúan sobre
objeto mientras se está descendiendo por el plano
Descomponemos las fuerzas en la dirección tangencial (paralela al
plano), y la dirección normal (perpendicular al plano). La única
fuerza que es preciso descomponer es la fuerza peso: FT,c. El
resultado es el siguiente:
Fs,c
FT,c·senα
α
FT,c
Froz s,c
α
FT,c
Froz s,c
FT,c·senα
FT,c·cosα
el
Fs,c
FT,c·cosα
La fuerza resultante en la dirección normal será: FT,c·cosα – Fs,c, cuyo valor será igual a: m·anor Como no hay
cambio de dirección, la aceleración normal será cero y, entonces: FT,c·cosα = Fs,c
La fuerza resultante en la dirección tangencial será: FT,c·senα – Froz. Como hay movimiento, la fuerza de
rozamiento tomará su valor máximo: μ·Fs,c. Como en el párrafo anterior ya hemos deducido el valor de la
fuerza que ejerce la superficie sobre el cuerpo, sustituyendo: Froz=μ·FT,c·cosα Por tanto: (Fres)tg = FT,c·senα –
μ·FT,c·cosα , cuyo valor será igual a: m·atg
mgsen
Despejando: a tg
mg cos
g ( sen
m
cos ) Sustituyendo valores: atg=1,6 m/s2
Como esa aceleración es constante, escribimos las ecuaciones del movimiento tomando como sistema de
referencia: origen en el punto de partida y sentido positivo hacia abajo. En este caso, la aceleración y la
velocidad son positivas, el objeto desciende cada vez más rápido. Además, la posición y velocidad inicial son
nulas. Entonces:
a tg
1,6
vt
1,6·t
et
1,6·
t2
2
Cuando ha recorrido 2 m, sustituimos e=2, y despejamos: t=1,6 s. Sustituyendo ese valor en la ecuación de la
velocidad, después de recorrer 2 m tendrá: v=2,5 m/s
b) Si apretamos más el cuerpo a la superficie, entonces Fs,c aumentará, y también lo hará la fuerza de
rozamiento. Bajará con rapidez constante cuando atg sea cero, es decir: Froz=mgsenα es decir: μFs,c=mgsenα
En la dirección normal habrá otra fuerza (Fy,c) en el mismo sentido que la componente del peso, siendo
entonces: Fs,c=Fy,c+mgcosα.
En este caso: μ(Fy,c+mgcosα)=mgsenα Despejando: F y ,c
mgsen
mg cos
Sustituyendo valores:
Fy,c=32,4 N
3
Ejercicios resueltos
Análisis Dinámico. Interacción gravitatoria, eléctrica…
4. Si dejamos en libertad un cuerpo de 4 kg de masa sobre un plano inclinado de 300 y a una altura
de 5 m, llega a la base del plano con una rapidez de 8 m/s. Determinad: a) El coeficiente de
fricción entre cuerpo y plano. b) El módulo de la fuerza que debemos hacer, en dirección
perpendicular al plano para que llegue a la base con una rapidez de 2 m/s. (Carrascosa y otros,
2009)
a) Como en el caso del esquiador, podemos llegar a la siguiente expresión para la aceleración de descenso
del cuerpo por el plano inclinado: a = g · (senα - μcosα) Sustituyendo α = 30º y g = 10 m/s2, entonces: a = 5 8,7·μ
Como sabemos que la aceleración es constante, tomando como sistema de referencia el punto de partida (e0 =
0) y sabiendo que parte del reposo, entonces las ecuaciones del movimiento son: v = a·t -- e = a·t2/2
Si la altura inicial era de 5 m, como el plano está inclinado 30º, la distancia hasta la base del plano será:
5/sen30= 10 m. Sustituyendo en las ecuaciones, cuando llega abajo:
e 10
t
20
a
v
a·
20
a
20·a
Como el problema nos dice que al llegar abajo: v=8 m/s, sustituyendo obtenemos: a = 3,2 m/s2 (Fres = m·a =
4·3,2 = 12,8 N)
Recuperando la ecuación que habíamos obtenido: a = 5 - 8,7·μ, despejamos: μ = 0,21
b) Si en lugar de llegar a la base del plano con v = 8 m/s llega con 2 m/s, entonces: a = 0,2 m/s2 Esto
Fres tan g FT ,e ·senα Froz s ,e se ha hecho menor, y vale:
significa que la fuerza resultante:
Fres m·a 4·0,2 0,8 N . En efecto, al apretar e cuerpo con la superficie, hemos aumentado Fs,c y, por
tanto, el valor de la fuerza de rozamiento, disminuyendo así la fuerza resultante.
Ahora tenemos una fuerza adicional (Fy,c) en la dirección perpendicular al plano, y por tanto:
Fres perpendicular
Fy , c
En este caso: Froz s , c
FT , e ·cos α Fs , e Para que se anule: Fs , c
μ·Fs , c
Sustituyendo valores: 4·0,2
FT , e ·cos α Fy , e
μ·( FT , c ·cos α F y , c ) , y entonces: Fres
4·10·sen30 0,21·(4·10·cos 30 Fy , c )
FT , c ·senα μ·( FT , c ·cos α F y , c )
20 7,27 0,21·Fy , c
Despejando: Fy,c = 56,8 N
4
Ejercicios resueltos
Análisis Dinámico. Interacción gravitatoria, eléctrica…
5. En un almacén hay que instalar una cinta transportadora para llevar cajas (con rapidez constante). Al
leer el proyecto comprobáis que en un tramo del recorrido la cinta tiene una pendiente de 56’3 º. Buscando
en la bibliografía el valor del coeficiente de rozamiento correspondiente al material de las cajas y la cinta
encontráis que vale 1’3. ¿Recomendarías la realización de dicho proyecto? (Carrascosa y otros, 2009)
Nos interesa que al dejar las cajas sean arrastradas por la cinta con rapidez constante. Recordemos que para
que un objeto se mueva con rapidez constante, la fuerza resultante ha de ser cero.
¿Qué fuerzas actúan sobre la caja al dejarla sobre el tramo inclinado? El posible deslizamiento de la caja
respecto a la superficie es hacia abajo, por tanto la fuerza de rozamiento irá hacia arriba
Fs,c
Froz s,c
α
FT,c
Descomponemos las fuerzas en la dirección tangencial (la del posible movimiento) y la perpendicular. La
única fuerza que es preciso descomponer es la fuerza peso: FT,c. El resultado es el siguiente:
Fs,c
FT,c·senα
FT,c·senα
Froz s,c
FT,c·cosα
FT,c
α
FT,c·cosα
Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano, entonces la fuerza resultante en esa
dirección es cero, y para ello: Fs ,c FT ,s ·cos
Por otra parte, en la dirección tangencial: Fres
FT ,c ·sen
Froz s ,c
Para que esa fuerza sea cero y el cuerpo no descienda, debe ser: Froz s ,c
Sustituyendo los datos del problema, debe ser: Froz s ,c
FT ,c ·sen
mcaja ·10·sen56,3º mcaja ·8,3
¿Puede tomar ese valor la fuerza de rozamiento? Como sabemos, el valor máximo de esa fuerza es:
( Froz s ,c ) máx
·Fs ,c
·FT ,s ·cos
·mcaja ·10·cos 56,3º 1,3·mcaja ·5,6 mcaja ·7,21
Como vemos, el valor máximo de la fuerza de rozamiento es menor que el que se necesita para que las cajas
se queden en reposo o se muevan con rapidez constante. Por ello, las cajas bajarían al dejarlas sobre la
cinta. Sería conveniente poner menos inclinación.
5
Ejercicios resueltos
Análisis Dinámico. Interacción gravitatoria, eléctrica…
6. Un camión va con cajas llenas de huevos. El coeficiente de rozamiento entre ellas y el suelo del camión es
0.3. Suponiendo que el camión se mueve a 72 km/h, calculad la distancia mínima en que puede detenerse,
frenando de manera uniforme, para que las cajas no deslicen (tomad g = 10 N/kg).(Carrascosa y otros,
2009)
Si el suelo del camión en el que se apoyan las cajas no tuviese rozamiento, cuando el camión frena las cajas
seguirían hacia adelante, pues a ellas nadie las frena. Pero, si hay rozamiento, la fuerza de rozamiento impide
que las cajas se deslicen por el suelo del camión. Debemos tener en cuenta que el posible deslizamiento de
las cajas por la superficie es hacia adelante, y que por tanto la fuerza de rozamiento va hacia atrás:
Fs,c
Froz s,c
Movimiento del camión y la caja
FT,c
Aceleración de frenado del camión y la caja
En este caso: Fs,c = FT,c = m·g Por otra parte, la fuerza resultante sobre la caja es la fuerza de rozamiento del
suelo del camión sobre la caja, que es la que se encarga de producir aceleración de frenado a la caja:
a caja
Fres
m caja
Froz
m caja
Pero, la fuerza de rozamiento tiene un valor máximo ( = μ·Fs,c = μ·m·g), y por tanto la aceleración de frenado
de la caja tiene un valor máximo, que es: a = μ·g Entonces, si el frenazo del camión es muy brusco, quizás el
rozamiento no sea suficiente para impedir que las cajas se deslicen: el camión frenaría más bruscamente que
la caja y, como consecuencia, las cajas chocarían con la parte delantera del camión.
Supongamos que estamos en el límite, de forma que el camión frena con una aceleración: μ·g = 3 m/s 2 Si
tomamos como positiva la velocidad del camión, entonces cuando frena la aceleración es negativa y valdrá
en ese caso límite: - 3 m/s2 En estas condiciones, la distancia recorrida por el camión mientras frena la
podemos obtener a partir de las ecuaciones (tomamos: e0 = 0, t0 = 0, v0 = 72 km/h = 20 m/s):
v
20 3·t
e
20·t
1
2
3·t 2
Sustituyendo v = 0 en la primera, obtenemos el tiempo de frenado (6,7 s). Sustituyendo ese valor en la
segunda ecuación, obtenemos la distancia de frenado: 66,7 m
Esa distancia de frenado es en el caso límite en que la aceleración del camión vale lo máximo que puede
valer la aceleración de la caja. Si el camión frena en una distancia menor, la aceleración del camión es
mayor (en valor absoluto) de 3 m/s2, y la caja no puede frenar con esa aceleración, por lo cual el suelo del
camión se parará antes que las cajas, es decir: las cajas se moverán hacia la parte delantera del camión.
6