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UNIT 7 SOLUTIONS
SUMA DE FUERZAS:
PROBLEM 1.- Calcular la fuerza resultante:
a) Empezamos por descomponer todas las fuerzas en los ejes X e Y. Para
proyectar sobre el eje X multiplicamos por el coseno del ángulo que forma con dicho
eje, y para hacerlo sobre el eje Y, por el seno.
F1x  10 N
F2 x  12·cos 75º  3.1N
F2 y 12·sen75º  11.6 N
F3 x  8·cos 25º  7.25 N
F3 y  8·sen 25º  3.38 N
F4 x  6·cos 45º  4.24 N
F4 y  6·sen 45º  4.24 N
El siguiente paso es sumar las que apuntan en sentido positivo del eje y restar las
que apuntan en sentido negativo, obteniendo la fuerza total en cada eje:
Fx  10  3.1  7.25  4.24  1.61N
Fy  11.6  3.38  4.24  10.74 N
Por último aplicamos el teorema de Pitágoras para sacar el módulo de la fuerza
total:

F  1.612  10.74 2  10.86 N
b) Empezamos por descomponer todas las fuerzas en los ejes X e Y. Para
proyectar sobre el eje X multiplicamos por el coseno del ángulo que forma con dicho
eje, y para hacerlo sobre el eje Y, por el seno.
F1x  5·cos 45º  3.53 N
F1 y  5·sen 45º  3.53 N
F2 x  5·cos 60º  2.5 N
F2 y  5·sen 60º  4.33 N
F3 x  6·cos 15º  5.79 N
F3 y  6·sen15º  1.55 N
F4 y  3N
F5 x  8·cos 30º  6.93N
F5 y  8·sen30º  4 N
El siguiente paso es sumar las que apuntan en sentido positivo del eje y restar las
que apuntan en sentido negativo, obteniendo la fuerza total en cada eje:
Fx  3.53  2.5  5.79  6.93  2.17 N
Fy  3.53  4.33  1.55  3  4  0.69 N
Por último aplicamos el teorema de Pitágoras para sacar el módulo de la fuerza
total:

F 
2.172   0.692  2.28N
c) Empezamos por descomponer todas las fuerzas en los ejes X e Y. Para
proyectar sobre el eje X multiplicamos por el coseno del ángulo que forma con dicho
eje, y para hacerlo sobre el eje Y, por el seno.
F1x  30·cos 30º  25.98 N
F2 x  30·cos 60º  15 N
F1 y  30·sen30º  15 N
F2 y  30·sen60º  25.98 N
F3 y  20 N
El siguiente paso es sumar las que apuntan en sentido positivo del eje y restar las
que apuntan en sentido negativo, obteniendo la fuerza total en cada eje:
Fx  25.98  15  10.98 N
Fy  15  25.98  20  20.98 N
Por último aplicamos el teorema de Pitágoras para sacar el módulo de la fuerza
total:

F  10.98 2  0.98 2  23.68 N
PROBLEM 2.- Dos barcazas remolcadoras tiran de un barco averiado con sendas
fuerzas de 20 KN formando entre ellas un ángulo de 120º. La corriente del río ejerce
una fuerza hacia atrás de 20 KN. Dibuja las fuerzas y calcula la fuerza resultante. ¿El
barco está en reposo o puede tener movimiento? Razona la respuesta.
Empezamos por descomponer todas las fuerzas en los ejes X e Y. Para proyectar
sobre el eje X multiplicamos por el coseno del ángulo que forma con dicho eje, y para
hacerlo sobre el eje Y, por el seno.
F1x  20·cos 60º  10 KN
F2 y  20·sen60º  17.32 KN
F2 x  20·cos 60º  10 KN
F3 y  20·sen60º  17.32 KN
F3 x  6·cos 45º  20 KN
El siguiente paso es sumar las que apuntan en sentido positivo del eje y restar las
que apuntan en sentido negativo, obteniendo la fuerza total en cada eje:
Fx  10  10  20  0
Fy  17.32  17.32  0
Por tanto la fuerza total es cero ya que las fuerzas que hacen hacia delante los
remolcadores se compensan con la fuerza hacia atrás de la corriente. Aunque la fuerza
es cero el barco puede estar en movimiento, pero con velocidad constante (MRU), lo
que no puede tener es aceleración.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA:
PROBLEM 3.- Un vehículo asciendo por una carretera sin rozamiento con una
inclinación de 30º respecto a la horizontal. Calcular la fuerza que debe ejercer el motor
si el coche tiene una masa de 1000 Kg y al subir acelera de 72 a 108 Km/h en 10 s. A
continuación da la vuelta y comienza a descender ¿cuál será la aceleración si mantiene
la misma fuerza en el motor?
En primer lugar pasamos las velocidades al sistema internacional y calculamos
la aceleración del vehículo:
a
v f  v0
t

30  20
m
1 2
10
s
A continuación se trata de aplicar la segunda ley de Newton, para lo cual
debemos calcular todas las fuerzas que actúan sobre el vehículo:
Tenemos que descomponer el peso en el
eje x y el eje y:
p x  m·g·sen30º
p y  m·g·cos 30º
Aplicamos la 2ª ley de Newton: fuerzas a favor del movimiento menos fuerzas
en contra igual a masa por aceleración.
Fmotor  m·g·sen30º  m·a  Fmotor  m·a  g·sen30º   1000·1  9.8·sen30º   5900 N
Si ahora el vehículo da la vuelta y baja por la pendiente, volvemos a aplicar la 2ª
ley de Newton:
Fmotor  m·g·sen30º  m·a  a 
5900  1000·9.8·sen30º
m
 10.8 2
1000
s
PROBLEM 4.- Por un plano inclinado 30º se lanza hacia arriba un cuerpo de 5 Kg con
una velocidad de 10 m/s, siendo el coeficiente de rozamiento  = 0.2.
a) ¿Con qué aceleración sube?
b) ¿Qué espacio recorre hasta pararse?
c) ¿Cuánto tiempo tarda en subir?
a) Aplicamos la segunda ley de Newton teniendo en cuenta que no hay ninguna
fuerza a favor del movimiento y que en contra del movimiento tenemos una
componente del peso y la fuerza de rozamiento, que calculamos multiplicando el
coeficiente de rozamiento por la normal. En este caso la normal es igual a la otra
componente del peso:


F  m·a  0  Px  FROZ  m·a
FROZ  ·N  ·Py  ·m·g·cos 30º
 m·g·sen30º  ·m·g·cos 30º  m·a
a  9.8·sen30º 0.2·cos 30º   6.6
m
s2
b) Para hallar el espacio usaremos la siguiente fórmula de cinemática:
v 2f  v02  2·a·s  s 
0 2  10 2
 7.6m
2·( 6.6)
c) Por último calculamos el tiempo:
v f  v0  a·t  t 
0  10
 1.5s
 6.6
PROBLEM 5.- El cuerpo 1 de la figura tiene una masa de 3 Kg y el cuerpo 2 de 1 Kg y
están unidos por una cuerda como se muestra en el dibujo.
a) Calcular la aceleración del
sistema y la tensión de la cuerda.
b) Hallar el tiempo que transcurre
desde que se suelta el sistema hasta que
cada cuerpo ha recorrido 22.5 cm y hallar la
velocidad que llevan los cuerpos en ese
instante.
a) Supondremos que el sistema se va a mover hacia la izquierda puesto que el
cuerpo 1 tiene mayor masa. Una vez dibujadas todas las fuerzas aplicamos la 2ª ley de
Newton a cada cuerpo:
m1·g  T  m1·a
T  m2 ·g  m2 ·a
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, sumando ambas
ecuaciones podemos calcular la aceleración:
m1·g  m2 ·g  m1  m2 ·a
a
m1  m2 ·g
m1  m2 
 4 .9
m
s2
Conocido el valor de la aceleración sustituimos en cualquiera de las dos
ecuaciones y obtenemos el valor de la tensión de la cuerda:
m1·g  T  m1·a  T  m1·g  a  14.7 N
b) Conocido el espacio recorrido: s = 0.225 m, la velocidad inicial: v0 = 0 y la
aceleración, podemos calcular el tiempo y la velocidad final:
v 2f  v02  2·a·s  v f  2·4.9·0.225  1.48
v f  v0  a·t  t 
m
s
1.48  0
 0.3s
4.9
ROZAMIENTO:
PROBLEM 6.- Un coche de rallies, de masa 1200 Kg, arranca de la línea de partida
con una aceleración constante observándose que el vehículo, en un recorrido de 150 m,
adquiere una velocidad de 180 Km/h. Si el viento produce en contra del coche un
rozamiento de 1000 N, ¿qué fuerza hace el motor?, ¿qué tiempo transcurre desde que
arranca el coche hasta que alcanza esa velocidad?
Pasamos los datos al sistema internacional y calculamos la aceleración del
coche:
v 2f  v02  2·a·s  a 
50 2  0 2
m
 8.33 2
2·150
s
A continuación aplicamos la segunda ley de Newton:


F  m·a  Fmotor  FROZ  m·a  Fmotor  m·a  FROZ
Fmotor  1200·8.33  1000  11000 N
Para calcular el tiempo aplicamos las fórmulas del MRUA:
v f  v0  a·t  t 
50  0
 6s
8.3
PROBLEM 7.- Repite el ejercicio anterior si no hay viento pero el coeficiente de
rozamiento entre los neumáticos y la pista es de 0’2.
Pasamos los datos al sistema internacional y calculamos la aceleración del
coche:
v 2f  v02  2·a·s  a 
50 2  0 2
m
 8.33 2
2·150
s
A continuación aplicamos la segunda ley de Newton:


F  m·a  Fmotor  FROZ  m·a  Fmotor  ·N  m·a
Fmotor  ·m·g  m·a  Fmotor  m·a  ·m·g
Fmotor  1200·8.33  0.2·1200·9.8  12348 N
Para calcular el tiempo aplicamos las fórmulas del MRUA:
v f  v0  a·t  t 
50  0
 6s
8.3
PROBLEM 8.- Un camión de 2 toneladas desciende por una cuesta inclinada 30º con la
horizontal. Si el coeficiente de rozamiento de las ruedas con el suelo es  = 0.5:
a) Dibuja las fuerzas que actúan y calcula la aceleración del camión.
b) La fuerza que tendrían que hacer los frenos para detenerlo.
a) Aplicamos la segunda ley de Newton teniendo en cuenta que a favor del
movimiento tenemos una componente del peso y que en contra del movimiento tenemos
la fuerza de rozamiento, que calculamos multiplicando el coeficiente de rozamiento por
la normal. En este caso la normal es igual a la otra componente del peso:


F  m·a  Px  FROZ  m·a
FROZ  ·N  ·Py  ·m·g·cos 30º
m·g·sen30º  ·m·g·cos 30º  m·a
a  9.8·sen30º 0.5·cos 30º   0.66
m
s2
b) Para detenerlo los frenos tendrían que hacer una fuerza hacia atrás que junto
con el rozamiento compensasen la componente horizontal del peso:

F  0  Px  FROZ  FFRENOS  0
FROZ  ·N  ·Py  ·m·g·cos 30º
FFRENOS  m·g·sen30º  ·m·g·cos 30º
FFRENOS  2000·9.8·sen30º 0.5·cos 30º   1313 N
Si los frenos hacen una fuerza de 1313 N no tendríamos aceleración, aún así el
camión no pararía porque seguiría hacia delante por la inercia. Para pararlo
necesitaríamos entonces una fuerza ligeramente superior a la calculada.
PROBLEM 9.- Un tren acelera de 0 a 90 Km/h en 50 s. La locomotora hace una fuerza
de 10000N y tiene una masa de 5000 Kg. ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento
entre las ruedas y la vía?
Pasamos los datos al sistema internacional y calculamos la aceleración del tren:
a
v f  v0
t

25  0
m
 0.5 2
50
s
A continuación se trata de aplicar la segunda ley de Newton, para lo cual
debemos calcular todas las fuerzas que actúan sobre el tren:

F  m·a  F  FROZ  m·a  F  ·m·g  m·a
FROZ  ·N  ·P  ·m·g

F  m·a 10000  5000·0.5

 0.15
m·g
5000·9.8
PROBLEM 10.- El viento empuja un objeto de 2 Kg, que está apoyado en el suelo, con
una fuerza de 10 N. Este cuerpo está por el otro extremo atado a una cuerda y el
coeficiente de rozamiento con el suelo vale  = 0.2.
a) ¿Qué tensión soporta la cuerda?
b) Si la cuerda puede soportar una tensión
máxima de 18 N, ¿cuál es el valor máximo de la
fuerza del viento que podrá aguantar la cuerda
sin romperse?
a) Aplicamos la segunda ley de Newton teniendo en cuenta el esquema que nos
indica las fuerzas que actúan en el eje horizontal, que deben anularse ya que al estar el
cuerpo atado no puede moverse y no tiene aceleración:

F  0  Fviento  T  FROZ  0
FROZ  ·N  ·P  ·m·g
T  Fviento  FROZ  Fviento  ·m·g
T  10  0.2·2·9.8  6.08 N
b) Ahora despejamos la fuerza del viento, pero sustituyendo la tensión por el
máximo valor que puede soportar la cuerda sin romperse:

F  0  Fviento  T  FROZ  0
FROZ  ·N  ·P  ·m·g
Fviento  T  FROZ  T  ·m·g
Fviento  18  0.2·2·9.8  21.92 N
PROBLEM 11.- Calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda cuando
los bloques de la figura se dejan en libertad, suponiendo que el coeficiente de
rozamiento entre el cuerpo 1 y el plano horizontal es de 0’2. Hallar también el espacio
que recorren los cuerpos y la velocidad que tienen después de 5 s tras haber comenzado
el movimiento.
Analizando el problema pueden ocurrir dos cosas: que los bloques estén en
equilibrio y el sistema no se mueva o que caiga hacia la derecha. Supondremos que
ocurre lo segundo. Dibujamos todas las fuerzas y aplicamos la 2ª ley de Newton a los
dos objetos:

F  m1·a  T  FROZ  m1·a  T  ·m1·g  m1·a
FROZ  ·N  ·P1  ·m1·g

F  m2 ·a  P2  T  m2 ·a  m2 ·g  T  m2 ·a
Si sumamos las dos ecuaciones obtenidas podemos despejar la aceleración:
m2 ·g  ·m1·g  m1  m2 ·a  a 
g·m2  ·m1  9.8·10  0.2·5
m

 5.88 2
m1  m2
5  10
s
Para calcular la tensión de la cuerda sustituimos el valor de la aceleración en
cualquiera de las dos ecuaciones:
m2 ·g  T  m2 ·a  T  m2 ·g  a  10·9.8  5.88  39.2N
Por último para hallar el espacio recorrido y la velocidad después de 5 s
aplicamos las fórmulas del M.R.U.A.:
1
1
x  x0  v0 ·t  ·a·t 2  ·5.88·5 2  73.5m
2
2
m
v f  v0  a·t  0  5.88·5  29.4
s
PROBLEM 12.- Calcula la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda en el
sistema de la figura.
Dibujamos todas las fuerzas, descomponemos los pesos y aplicamos la 2ª ley de
Newton a cada cuerpo. Primero tenemos que suponer hacia donde se va a mover el
sistema: el cuerpo 2 tiene más masa aunque el plano 1 está más inclinado, por lo que no
podemos deducirlo. Supondremos que se mueve hacia la derecha y al final
comprobaremos si el resultado es o no correcto.

F  m1·a  T  FROZ1  P1x  m1·a  T  ·m1·g·cos 45º m1·g·sen 45º  m1·a
FROZ1  ·N 1  ·P1x  ·m1·g·cos 45º

F  m2 ·a  P2 x  T  FROZ 2  m2 ·a  m2 ·g·sen30º T  ·m2 ·g·cos 30º  m2 ·a
FROZ 2  ·N 2  ·P2 x  ·m2 ·g·cos 30º
Si sumamos las dos ecuaciones obtenidas la tensión se simplifica y podemos
calcular la aceleración del sistema:
m2 ·g·sen30º  ·m2 ·g·cos 30º m1·g·sen 45º  ·m1·g·cos 45º  m1  m2 ·a
a
9.8·20·sen30º 0.1·cos 30º   5·sen 45º 0.1·cos 45º 
m
 1.72 2
5  20
s
Como el valor obtenido para la aceleración es positivo significa que la
suposición de que se movía hacia la derecha es correcta. Para hallar la tensión de la
cuerda sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones
anteriores:
T  ·m1·g·cos 45ºm1·g·sen45ºm1·a  5·0.1·9.8·cos 45º9.8·sen45º1.72  46.7 N
PROBLEM 13.- Un camión circula a 90 Km/h y al llegar a una bajada de 10º de
inclinación decide parar el vehículo, para lo cual pisa el freno, deteniendo el camión de
2 toneladas en un tiempo de 50 s. Averigua el valor del coeficiente de rozamiento entre
las ruedas y el suelo.
En primer lugar pasamos los datos al sistema internacional y calculamos la
aceleración de frenada del camión:
a
v f  v0
t

0  25
m
 0.5 2
50
s
Dibujamos todas las fuerzas, descomponemos el peso en los ejes X e Y y
aplicamos la 2ª ley de Newton:

F  m·a  Px  FROZ  m·a  m·g·sen10º  ·m·g·cos 10º  m·a
FROZ  ·N  ·Py  ·m·g·cos 10º

m·g·sen10º  m·a 5000·9.8·sen10º 5000· 0.5

 0.23
m·g·cos 10º
5000·9.8·cos 10º
PROBLEM 14.- Calcula la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda si el
coeficiente de rozamiento entre los dos objetos y el suelo es  = 0.2.
Dibujamos todas las fuerzas, descomponemos el peso del cuerpo 2 en los ejes X
e Y y aplicamos la 2ª ley de Newton a los dos cuerpos, suponiendo que el sistema se
moverá hacia la derecha (porque también podría permanecer en reposo debido al
rozamiento):

F  m1·a  T  FROZ1  m1·a  T  ·m1·g  m1·a
FROZ1  ·N 1  ·P1  ·m1·g

F  m2 ·a  P2 x  T  FROZ 2  m2 ·a  m2 ·g·sen30º T  ·m2 ·g·cos 30º  m2 ·a
FROZ 2  ·N 2  ·P2 x  ·m2 ·g·cos 30º
Si sumamos las dos ecuaciones obtenidas la tensión se simplifica y podemos
calcular la aceleración del sistema:
m2·g·sen30º ·m2·g·cos 30º ·m1·g  m1  m2 ·a
a
9.8·5·sen30º 0.2·cos 30º   2·0.2
m
 1.72 2
25
s
Como el valor obtenido para la aceleración es positivo significa que la
suposición de que se movía hacia la derecha es correcta. Para hallar la tensión de la
cuerda sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones
anteriores:
T  ·m1·g  m1·a  2·0.2·9.8  1.72  7.36N
PROBLEM 15.- Calcula la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda si el
coeficiente de rozamiento entre los dos objetos y el suelo es  = 0.2.
Dibujamos todas las fuerzas, descomponemos el peso del cuerpo 2 en los ejes X
e Y y aplicamos la 2ª ley de Newton a los dos cuerpos, suponiendo que el sistema se
moverá hacia la derecha (porque también podría permanecer en reposo debido al
rozamiento):

F  m1·a  T  FROZ1  m1·a  T  ·m1·g  m1·a
FROZ1  ·N 1  ·P1  ·m1·g

F  m2 ·a  P2 x  T  FROZ 2  m2 ·a  m2 ·g·sen30º T  ·m2 ·g·cos 30º  m2 ·a
FROZ 2  ·N 2  ·P2 x  ·m2 ·g·cos 30º
Si sumamos las dos ecuaciones obtenidas la tensión se simplifica y podemos
calcular la aceleración del sistema:
m2·g·sen30º ·m2·g·cos 30º  ·m1·g  m1  m2 ·a
a
9.8·2·sen30º 0.2·cos 30º   0.5·0.2
m
 2.17 2
0.5  2
s
Como el valor obtenido para la aceleración es positivo significa que la
suposición de que se movía hacia la derecha es correcta. Para hallar la tensión de la
cuerda sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones
anteriores:
T  ·m1·g  m1·a  0.5·0.2·9.8  2.17  2.06N
FUERZAS ELÁSTICAS:
PROBLEM 16.- ¿Cuánto se alargará el muelle de la figura?
El bloque de 10 Kg caerá estirando el muelle hasta que la fuerza elástica sea lo
suficientemente grande como para equilibrar el sistema. Dibujamos todas las fuerzas y
aplicamos la 2ª ley de Newton a cada cuerpo teniendo en cuenta que la aceleración será
cero porque el sistema queda en reposo:

F  0  P2  T  0  m2 ·g  T  0

F  0  T  Felástica  0  T  K ·x  0
Si eliminamos la tensión podemos despejar el alargamiento del muelle:
m2 ·g  K ·x  0  x 
9.8·10
 2m
49
PROBLEM 17.- ¿Cuántos centímetros se alargará el muelle de la figura?
El bloque deslizará por el plano inclinado estirando el muelle hasta que la fuerza
elástica sea lo suficientemente grande como para equilibrar el sistema. Dibujamos todas
las fuerzas, descomponemos el peso en los ejes X e Y y aplicamos la 2ª ley de Newton
teniendo en cuenta que la aceleración será cero porque el sistema queda en reposo:

F  0  Px  Felástica  0  m2 ·g·sen30º  K ·x  0
x 
2·9.8·sen30º
 0.2m  20cm
49
PROBLEM 18.- ¿Cuánto se alarga el muelle de la figura?
El bloque de 20 Kg deslizará por el plano inclinado estirando el muelle hasta que
la fuerza elástica sea lo suficientemente grande como para equilibrar el sistema.
Dibujamos todas las fuerzas, descomponemos el peso en los ejes X e Y y aplicamos la
2ª ley de Newton a cada cuerpo teniendo en cuenta que la aceleración será cero porque
el sistema queda en reposo:

F  0  P2 x  T  0  m2 ·g·sen30º T  0

F  0  T  P1x  Felástica  0  T  m1·g  K ·x  0
Si eliminamos la tensión podemos despejar el alargamiento del muelle:
m2 ·g·sen30º m1·g  K·x  0
x 
9.8·20·sen30º 2
 0.196m  19.6cm
400
TEORÍA:
PROBLEM 19.- Pon tres ejemplos de la vida real donde se ponga de manifiesto cada
una de las tres leyes de Newton.
1ª Ley: INERCIA  Si viajamos de pie en un autobús y frena de repente tendemos a
desplazarnos hacia delante ya que como sobre nosotros no actúa ninguna fuerza
mantenemos constante nuestra velocidad.
2ª Ley: PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE
piedra con cierta fuerza, ésta acelera, pero si
aceleración también será mayor y por tanto la
cuanto mayor sea la masa de la piedra mayor
lanzarla.
LA DINÁMICA  Si lanzamos una
la lanzamos con una fuerza mayor, la
piedra llegará más lejos. Por otro lado
será la fuerza que debemos hacer para
3ª Ley: ACCIÓN-REACCIÓN  Si estamos en una barca y hacemos fuerza contra el
embarcadero, la barca sale en dirección contraria porque el embarcadero hará sobre la
barca una fuerza de reacción.
PROBLEM 20.- Enuncia las tres leyes de Newton.
1ª Ley: INERCIA  Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de las
que actúan es nula, dicho cuerpo se encuentra en reposo o con M.R.U., es decir, si no
hay fuerza la velocidad se mantiene constante.
2ª Ley: PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA  Al aplicar una
fuerza sobre un cuerpo, éste adquiere una aceleración proporcional a dicha fuerza.
3ª Ley: ACCIÓN-REACCIÓN  Cuando un cuerpo hace una fuerza (acción) sobre
otro, éste responde con una fuerza (reacción) sobre el primero igual pero de sentido
contrario.