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2º de Bachillerato. FISICA.
2º de BACHILLERATO.
TEMA 1
Alumnos.
CALCULO VECTORIAL.
1 Magnitud física.- Aquella propiedad de los cuerpos o de los fenómenos físicos que se puede medir. Siempre tiene unidad.
MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- están definidas por sí mismas; no se derivan de ninguna otra y son las siguientes: longitud, masa,
tiempo, intensidad de corriente, temperatura, cantidad de sustancia e intensidad luminosa.
MAGNITUDES DERIVADAS. Se definen a partir de las fundamentales.
MAGNITUD ESCALAR.- magnitud que queda perfectamente determinada por el valor numérico y la unidad. Son escalares: la masa, el
tiempo, la potencia, la energía, la temperatura, el potencial eléctrico,..
MAGNITUD VECTORIAL.- para que quede determinada hay que indicar, además del valor numérico y la unidad la dirección y el
sentido. Son magnitudes vectoriales: la fuerza, el peso, la velocidad, la aceleración.
A las magnitudes vectoriales las llamamos vectores.
SISTEMA DE REFERENCIA.
Un sistema de referencia son ejes de coordenadas que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.
Un punto del plano queda determinado por dos coordenadas (x,y).
Para localizarlo en una recta solo se precisa una coordenadda (x)
Y
Para localizar un punto en el espacio se precisan 3 coordenadas (x,y,z).
2
Para determinar el origen, módulo dirección y sentido de un
vector es preciso referirlo a un sistema de referencia.
P(x,y)
O
X
3
VECTOR.
Un vector se representa gráficamente mediante un segmento orientado. Posee origen, módulo, dirección y sentido.
O es el origen del vector o punto de aplicación.
La recta a la que pertenece, la dirección.
El sentido lo indica la punta de la flecha.
O.
La longitud es proporcional al valor numérico o módulo.
4
COMPONENTES DE UN VECTOR.
Son un conjunto de vectores que al sumarlos dan el vector inical
COMPONENTES CARTESIANAS de un vector, son las proyecciones de dicho vector sobre los ejes de coordenadas. Las
r
r
r
v
componentes del vector v son: v x , v y , v z
Y
Y
r
vy
r
v
r
v
r
j
r
i
r
vx
X
X
r
k
r
vz
Z
Z
r
r
r
r r
r
r
r
v = vx + v y + vz
v(v x , v y , v z ) = v x.i + v y. j + v z.k
r r r
donde i , j , k son vectores unitarios que tienen la misma dirección que cada uno de los ejes coordenados.
r
v
z
VECTOR UNIDAD. Es un vector de módulo 1.
Tema inicial. Magnitudes, vectores. Repaso cinemática y dinámica.
r
i = 1;
- 1-
r
r
j = 1; k = 1
2º de Bachillerato. FISICA.
r
Módulo de un vector. v = v =
Si:
2
2
vx + v y + vz
2
r
r
r
r
V = 3 i - 7 j + 5 k V= 32 + (−7) 2 + 52 = 9 + 49 + 25 = 83
OPERACIONES CON VECTORES.
5
SUMA DE VECTORES.- La suma de vectores da como resultado otro vector. Han de tener el mismo origen.
Sumar vectores consiste en hallar otro vector cuyas componentes sean la suma algebraica de las componentes de los vectores.
La componente x del vector suma es igual a la suma de componentes x de los sumandos
r r
A+ B
r
B
r
A
6
La componente y la suma de las componentes y de los sumandos.
Si:
r
r
r
A= 3i - 7 j + 5
r
r r
B = -2 i - 8 j +
r
k
r
k
r r
r
r r
r
r
r
A + B = (3 +(-2)). i + ((-7)+(-8)). j +( 5 +1). k = i -15 j +6 k
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. Es un vector de la misma dirección que tiene:
Módulo: el producto del escalar por el módulo del vector.
Dirección: la del vector.
Sentido: el del vector si el escalar es un nº positivo y el opuesto si el escalar es negativo.
Si:
7
r
r
r
r
A= 3i - 7 j + 5 k r
r
r
r
r
r
r
r
6. A =18 i - 42 j + 30 k -2. A =-6 i +14 j -10 k
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
Es un escalar (un número).
El producto escalar de dos vectores es igual al producto de los módulos de
los dos vectores por el coseno del ángulo que forman.
.
B
r r
r r
A.B = A . B . cos α
α
A
B.cosα
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
A =Ax . i + Ay . j + Az . k y B = Bx . i + By . j + Bz . k A.B = Ax .Bx + Ay .By + Az .Bz
r
r r
r
r
r
r
r r r
Ejemplo. A = 3 i - 7 j + 5 k ; y B = -2 i - 8 j + k A.B = 3 .(-2) + (-7).(-8) +5 .1 = -6+56+5=55
Si:
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:
r r
r
A. A = │ A │2. El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al módulo de ese vector al cuadrado.
r r
r
r
Si dos vectores son perpendiculares suproducto escalar es cero. Si A ┴ B A.B = 0
r r r r
El producto escalar es conmutativo. A.B = B. A
r
B
Casos importantes:
Si dos vectores son paralelos su producto
escalar es igual al producto de los módulos.
r
b
Si dos vectores son perpendiculares su
producto escalar es cero.
Tema inicial. Magnitudes, vectores. Repaso cinemática y dinámica.
r
A
r r
a . b =0
r
a
- 2-
r r
A . B =A.B
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r
8
r
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. A ∧ B
El producto vectorial de dos vectores es otro vector que tiene:
r r
r r
-de módulo el producto de los módulos de los vectores por el seno del ángulo que forman.
A ∧ B = A . B .senα
r r
A∧ B
-La
dirección es perpendicular al plano donde están los
r r
dos vectores A y B .
r
B
-El sentido viene dado por la regla del sacacorchos:
el avance de un tornillo o un sacacorchos al girarlo para
α
r
r
hacer coincidir el primer vector ( A ) sobre el segundo ( B )
r
A
por el camino más corto
El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del
paralelogramo que se forma trazando paralelas a cada uno de los vectores
desde el extremo del otro.
r
b
r
a
α
b.senα
r
a
r
b
Área paralelogramo = base x altura = a.b.sen α =
r r
a∧b
CASOS IMPORTANTES de producto vectorial de dos vectores.
1) Si dos vectores son paralelos
r r r
A∧ B = 0
r
r
A ││ B Su producto vectorial es cero.
2) Si dos vectores son perpendiculares
r r
A ∧ B = A.B
r r
r r
3) El producto vectorial es anticonmutativo: A ∧ B = − B ∧ A
Su producto vectorial da el valor máximo.
07.2
MOMENTO DE UNA FUERZA con relación a un punto O1.
r
r r r
M = R∧F
r
El momento de una fuerza F con relación a un punto O1 es el producto vectorial del vector R por el vector F .
r r r
M = R∧F
r
F
r
R es un vector que tiene por origen el punto con relación al
r
cual se calcula el momento; su extremo está en el origen de F
r
r r
M es perpendicular a R y F .
r
r r
M es perpendicular al plano en que se encuentran R y F .
r
Su módulo es: │ M │ = R.F.sen α = F.d
r
R
α
O1
r
Si el vector F es una fuerza, el módulo del momento de una fuerza, con relación a un punto es igual al producto del módulo de la
fuerza por la distancia de ese punto a la dirección de la fuerza.
Tema inicial. Magnitudes, vectores. Repaso cinemática y dinámica.
- 3-
2º de Bachillerato. FISICA.
RESUMEN CINEMÁTICA, DINAMICA. (Alumnos) r
v
1.1 VELOCIDAD INSTANTÁNEA. Es la variación del vector del
Y
posición con relación al tiempo.
r
r dr
v=
dt
r
r
X
La velocidad es la derivada del vector de posición con relación al tiempo.
La velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto considerado.
r
r dv
a=
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA.- es la derivada de la velocidad con relación al tiempo.
dt
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN:
Son la aceleración tangencial
at y la
aceleración normal o centrípeta an
r dv r v 2 r
r
r
a = .τ + .n = at .τ + an .n
dt
R
at
La at es tangente a la trayectoria. La an es perpendicular a la at
r
La at = dv/dt, es la variación del módulo de v con relación a t.
La at es >0 si v aumenta; <0 si v disminuye.
2
La an =v /R, es debido a la variación de la dirección de
La an existe siempre que la trayectoria no es una recta.
r
a
an
r
v.
1.2 CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y
v= constante
UNIFORME
La trayectoria es una línea recta y v constante.
v=
s
; s = v.t
t
at = 0
an = 0
at = constante
an = 0
at = 0
an=constante
(Hacia el centro
v = vo + a.t
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE ACELERADO.
at =constante
La trayectoria es una línea recta y la aceleración (tangencial)
es constante.
s = vo .t +
a.t 2
2
v2 = vo2 + 2.a.s
s = R.φ
v = w.R
at = α.R
MOVIMIENTO CIRCULAR
La trayectoria es una circunferencia
w = constante
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.
La trayectoria es una circunferencia; la velocidad constante.
w=
ϕ
; φ=w.t
t
2π
w =
=2πν
T
de giro)
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS. LO VEREMOS EN EL TEMA DE ELECTRICIDAD. Tiro horizontal y oblícuo
1.3 DINÁMICA DE DISTINTOS MOVIMIENTOS.
r
r dP
La 2ª Ley de Newton: F =
;
dt
O bien,
Tema inicial. Magnitudes, vectores. Repaso cinemática y dinámica.
r
r
F = m.a si la masa es constante ;
- 4-
F=Fresultante
2º de Bachillerato. FISICA.
♦
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. a=0, F=O Originado por una F resultante nula.
♦ MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO: F=m.a = constante.
F constante y paralela a la velocidad.
♦
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.
v=cte; at =dv/dt=0; an =v²/R =cte.
F=cte y perpendicular a la velocidad. (sentido hacia el centro de giro).
Fc =m.v²/R
La aceleración centrípeta: ac
El movimiento circular uniforme está originado por una F. constante dirigida hacia el centro de giro. Para que haya movimiento circular
uniforme: 1º Ha de moverse el cuerpo. 2º Ha de actuar una fuerza Fc constante en módulo y perpendicular a v en cada instante.
r
1.4 MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA( L ) CON RELACIÓN A UN PUNTO O1.
r
L (o momento cinético), de una partícula respecto de un punto O1, es una magnitud vectorial que se
r
define como el producto vectorial del vector R por el momento lineal de esa partícula.
Momento angular
r r r
L = R ∧ p = Rr ∧ m.vr ; Unidades: kg.m .s
2
-1
r
R es un vector que tiene el origen en el punto con relación al cual se calcula
Y
el momento angular y el extremo en el punto donde está la partícula.
El momento angular depende del punto respecto del cual se calcula.
r
L es:
El módulo de
m
r
R
L = R . p .sen α
α
r
p
O1
X
O
TEOREMA DEL MOMENTO ANGULAR de una partícula.
La derivada del momento angular respecto al tiempo de una partícula es igual al momento de las
fuerzas exteriores, (con relación al mismo punto), que actúan sobre esa partícula.
Demostración:
r r r
L = R∧ p;
r
r
r
dL d r r dR r r dp
=
R∧ p =
∧ p+R∧
;
dt dt
dt
dt
(
)
r
r
dL r dp r r r
= R∧
= R∧F =M
dt
dt
r
r
dL
=M
dt
r
r
Como v es paralelo a p ,
r
dR r
∧ p=0
dt
(Momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre la partícula m con relación a O1)
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR de una partícula.
Si el momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre una partícula es cero, el momento angular de esa
r
r r
r
dL r
M =0⇒
= 0 ⇒ L = constante .
dt
partícula es constante.
Casos en que L es constante:
•
Si es una partícula libre, es decir no sometida a fuerza alguna. F=0; (M=0 L=cte).
r
•
Si R = cte , partícula en reposo. (p=0)
•
Si R F fuerzas centrales; van dirigidas hacia un punto.
r
r
r r r
r r
r r
M = R ∧ F = O ; M = 0 . L = cte
La fuerza que rige el sistema planetario es central. La Tierra gira alrededor del Sol bajo la influencia de una fuerza central.
Tema inicial. Magnitudes, vectores. Repaso cinemática y dinámica.
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2º de Bachillerato. FISICA.
MAGNITUDES FÍSICAS MAS IMPORTANTES Y SU UNIDAD EN EL S.I.
Magnitud
Fórmula
Ec.dimen. Unidad
MAGNITUDES FUNDAMENTALES.
Otras unidades
Longitud.
e,d,l
L
m (metro)
Km=1000m, cm=0’01 m, mm, dm.
Masa.
m
M
Kg(Kilogramo)
kg=1000 g;
Tiempo.
t
T
s (segundo)
hora = 3600 s.
Temperatura.
T
Intensidad
I
Tm=1000 Kg
K (Kelvin)
I
A (Amperio)
de corriente.
Cantidad de sustancia
mol
Intensidad luminosa
candela
MAGNITUDES DERIVADAS.
Superficie
S2
L2
m2
dm2, cm2, mm2
Volumen
V
L3
m3
1 m =1000 litros. 1 litro=dm
Velocidad
v=
e
t
L.T-1
m.s-1
Km/h
Aceleración
a=
v − vo
t
LT-2
m.s-2
Fuerza y peso
F=m.a
Peso=m.g
MLT-2
N (Kg.m.s-2).
Trabajo
W= F .r
ML2T-2
J
rr
3
(Julio=N.m)
3
1 Kp (kilopondio)=9’8 N
2
Dina = g.cm/s
ergio= dina.cm
kw.hora = 3.600.000 julios
Energía cin.
Ec=
1
mv 2
2
“
J (Julio)
Kp.metro=9’8 N.m=9’8Julios
1 caloría = 4’18 julios
“ potencial
Potencia
Momento lineal
Densidad
“
J (Julio)
W
t
“
W (vatio=Julio/s)
r
r
p = m.v
MLT-1
m
Vol
ML-3
Ep=m.g.h
P=
ρ=
1Kw=1000 vatios. 1CV=735 vat
-1
Kg.m.s
Kg
m3
1 Kg/litro = 1 g/cc
1 Kg/litro = 1000 Kg/m
Presión
Pr =
F
S
ML-1T-2
N
=Pa
m2
2
5
atm=1’033 Kp/cm = 1’013.10 Pa
6
2
Bar=10 barias; baria=dina/cm
TORR=1 mm de Hg=1333 barias
Peso específico
Pe =
Peso
ML-2T-2
Vol
N
m3
Tema inicial. Magnitudes, vectores. Repaso cinemática y dinámica.
Kp/litro
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2º de Bachillerato. FISICA.
Magnitud
Fórmula
ángulo
ϕ ,θ
Velocidad angular
ω=
Aceleración angular
α=
ϕ
t
ω
t
r r r
M = R∧F
Momento de una
fuerza
Ec.dimen
Unidad
-
rad(radián)
T-1
rad.s
T-2
rad.s
M.L2.T-2
N.m
Otras unidades
vuelta=360º=2* π radianes
r.p.m=2* π radianes/(60 s)
-1
-2
Momento angular
r r r
L = R∧ p
Intensidad de corriente
I
I
A (amperio)
Carga eléctrica.
Q=I.t
I.T
C=A.s (Culombio=Amperio.segundo)
Campo eléctrico:
r
r F
E=
Q
M.L.T-3.I-1
N/C=V/m; (N/Culomb=voltio/metro)
d.d.p ó tensión
V=W/Q
M.L2.T-3.I-1
V (voltio=julio/culombio)
Capacidad
C=Q/V
M-1.L-2.T4.I2
F(Faradio)
Resistencia
R=V/I
M.L2.T-3.I-2
Ω(Ohmio=voltio/Amperio)
Inducción magnética:
B=
M.T-2.I-1
T(Tesla)
Flujo magnético:
Ø= B.S
M.L2.T-2.I-1
Wb(Weber).
Coeficiente
Autoinducción
L=Ø/I
M.L2.T-2.I-2
H(Henryo).
Excitación magnética
H=
I.L-1
A-v/metro. (Amperio vuelta/metro)
M.L2.T-2
J (Julio)
M.L2.T-3
W (vatio).
F
I .l
2
-1
kg m s
r r
Trabajo
eléctrico:
n.I
l
W=V.Q=V.I.t
Potencia eléctrica:
P=W/t=V.I
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µF=10 F; pF=10
-6
8
1 Weber=10 Maxwell.
-12
F
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Tema inicial. Magnitudes, vectores. Repaso cinemática y dinámica.
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