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IES Pedro de Tolosa. SM de Valdeiglesias.
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Tema 1, 2 y 3. Magnitudes. Cinemática.
MAGNITUDES FÍSICAS.
LIBRO Pág. 12 Y 13.
Recuerda: magnitud es cualquier propiedad de un cuerpo o de un fenómeno físico que se pueda medir.
Ejemplo: se puede medir la masa de un cuerpo, también la frecuencia de un sonido.
Magnitudes fundamentales no se deducen de otras. Se definen directamente de las propiedades observables
de la materia. Son 7. Longitud, masa, tiempo, temperatura,..
Magnitudes derivadas.- Se pueden deducir de las magnitudes fundamentales. Ejemplo: superficie, volumen, fuerza…
MAGNITUD ESCALAR.- magnitud que queda perfectamente determinada por el valor numérico y la unidad. Son
escalares: la masa, el tiempo, la potencia, la energía, la temperatura, el potencial eléctrico,..
MAGNITUD VECTORIAL.- estas magnitudes quedan determinada si, además del valor numérico y la unidad,
indicamos la dirección y el sentido. Son magnitudes vectoriales: la fuerza, la velocidad, la aceleración, el campo gravitatorio...
Las magnitudes vectoriales son vectores. Un vector se representa mediante un segmento orientado.
VECTOR.
r
Un vector v se representa gráficamente mediante un segmento orientado.
Elementos de un vector son: punto de aplicación, módulo, dirección y sentido. Ver página 13.
O es el origen del vector o punto de aplicación.
La recta a la que pertenece, la dirección.
El sentido lo indica la punta de la flecha.
La longitud es proporcional al valor numérico o módulo.
r
v
O
IGUALDAD DE VECTORES.- Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
OPERACIONES CON VECTORES.
SUMA DE VECTORES.- La suma de dos vectores es un vector. Método geométrico. Ver libro. Página
Han de tener el mismo origen.
Geométricamente, para sumar dos vectores: trazamos desde el extremo de cada vector una paralela al otro vector; el
vector suma tiene el mismo origen que los sumandos y su extremo en el vértice opuesto del paralelogramo.
r
a
r
s
r r r
s = a +b
El vector suma tiene el mismo origen que los 2 vectores.
r
b
Gráficamente, para sumar varios vectores se pone uno a continuación de otro, poniendo en el
extremo de uno el origen del siguiente, manteniendo la dirección de cada uno.
El vector suma tiene por origen el origen del primero y por extremo el extremo del último.
Dos casos muy importantes de sumas de vectores son:
1º La suma de vectores de la misma dirección y mismo sentido. El vector resultante tiene la misma
dirección y sentido que los vectores y su módulo es la suma de los módulos.
2º La suma de vectores de la misma dirección y sentido y opuesto. El vector resultante tiene: de módulo
la diferencia de los módulos; dirección y sentido las del vector de mayor módulo.
DIFERENCIA.- Para restar dos vectores sumamos a un vector el opuesto del otro.
r r r
r
r
d = v1 − v 2 = v1 + (− v 2 )
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Página 14 libro.
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r
r
PRODUCTO de un escalar λ por un vector a (libro página 14). λ. a es un vector que tiene:
r
la misma dirección que el vector a
su módulo es igual al producto del escalar por el módulo del vector. (λ.a)
r
si el nº es positivo, tiene el mismo sentido que el vector a . Si el escalar es negativo el opuesto.
Si:
r
r
r
r
A= 3i - 7 j + 5 k r
r
4. A =12 i - 28
r
r
j + 20 k
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.- Es un escalar (un número). Página 14
El producto escalar de dos vectores es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el
coseno del ángulo que forman.
r
B
.
α
r r
r r
A.B = A . B . cos α
r
A
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
A =Ax . i + Ay . j + Az . k y B = Bx . i + By . j + Bz . k A.B = Ax .Bx + Ay .By + Az .Bz
r
r r
r
r
r
r
r r r
Ejemplo. A = 3 i - 7 j + 5 k ; y
B = -2 i - 8 j + k A.B = 3 .(-2) + (-7).(-8) +5 .1 = -6+56+5=55
Si:
Casos importantes:
r
B
r r
A . B =A.B
Si los vectores son paralelos su producto
r
A
escalar es igual al producto de los módulos.
r
b
r r
a . b =0
Si los vectores son perpendiculares su
producto escalar es cero.
r
a
COMPONENTES DE UN VECTOR.- Para poner un vector como suma de dos componentes en
direcciones dadas se trazan paralelas a esas direcciones desde el extremo del vector. Ver página 14 del libro.
COORDENADAS CARTESINAS DE UN VECTOR. Vectores unitarios. Página 15.
El caso más importante es cuando ponemos el vector como suma de dos componentes perpendiculares, una situada en
el eje X y otra en el eje Y.
Y
r
r
r
v(v x , v y ) = v x.i + v y. j
r
v
r
vy
Módulo del vector:
r
2
2
v = v = vx + vy
α
O
r
vx
r
j
Y
r
i = 1;
r
j = 1;
r
i
r r
i , j son vectores unitarios que tienen la misma dirección que cada uno de los ejes coordenados.
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tg α =vy/vx
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CINEMÁTICA.
Parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta la causa que los
produce.
El objeto de la cinemática es encontrar las tres ecuaciones que permiten describir el movimiento, que son: la ecuación de la posición, velocidad
y aceleración.
Un cuerpo se mueve cuando cambia de posición con relación a otro que se toma como
referencia. Para estudiar un movimiento hay que referirlo a un sistema de referencia.
Sistema de referencia.- Suele ser un sistema de ejes cartesianos que sirve para estudiar el movimiento.
Un mismo movimiento es distinto desde sistemas de referencia distintos. Página 28
Todos los movimientos son relativos. Dependen del observador (del sistema de referencia).
Sistema de referencia inercial es un sistema de referencia que está fijo o se mueve con movimiento rectilíneo
uniforme.
Sistema no inercial: es el aquel se mueve con aceleración.
MAGNITUDES FÍSICAS del movimiento.
♦ TRAYECTORIA: es la línea que describe un punto cuando se mueve; depende del sistema de referencia.
Si la trayectoria es una línea recta el movimiento es rectilíneo; si no es una recta es curvilíneo.
r
♦ VECTOR DE POSICIÓN. r .- es el vector que tiene su origen en el origen del sistema de referencia y el
extremo en la posición del móvil. Página 32. Un cuerpo se mueve cuando cambia el vector de posición con el tiempo.
♦ VECTOR DESPLAZAMIENTO.-Página 32. Es un vector que une dos puntos de la trayectoria. No es lo
mismo el vector desplazamiento que el espacio o la distancia que ha recorrido el móvil.
r
Y
A
r
r
∆r
Si un móvil va de A
a
B.
r
∆ r = vector desplazamiento
B
O
X
VELOCIDAD.Es el espacio recorrido en la unidad de tiempo. Se mide en m/s.
Es una magnitud física que indica la variación con el tiempo del vector de posición.
VELOCIDAD MEDIA.- la velocidad media entre esos puntos es el cociente entre el vector desplazamiento y el
tiempo empleado en ese desplazamiento.
r
r
∆r
vm =
t
Unidad SI: m/s. La velocidad media es un vector.
VELOCIDAD INSTANTÁNEA o velocidad en un punto.-
Es la velocidad de un móvil en un punto
de la trayectoria. Página 36.
Es la velocidad media cuando el desplazamiento es muy pequeño y por
r
v
tanto el tiempo también es muy pequeño.
r
r ∆r
v=
t
cuando
r
r
t0
La velocidad es un vector tangente a la trayectoria
en el punto considerado.
v = módulo de la velocidad =CELERIDAD
(La velocidad es la derivada del vector de posición con relación al tiempo.
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r
r
dr
v =
dt
)
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ACELERACIÓN.
Es la variación de la velocidad en la unidad de tiempo; es una magnitud vectorial. Unidad: m/s2
.ACELERACIÓN MEDIA.- es el cociente entre la variación de la velocidad y el tiempo empleado en esa
r
∆v
r
am =
∆t
variación; es la variación de velocidad en la unidad de tiempo.
r
r r
r
∆v v f − v i
am =
=
∆t
∆t
r
vo
Y
r
vo
r
vf
r
vf
t
r
∆v
X
La aceleración media tiene la misma dirección que
r
∆v
Si el movimiento es curvilíneo siempre hay aceleración (puesto que la velocidad
cambia de dirección).
.ACELERACIÓN INSTANTÁNEA.- es la aceleración en un punto. Es la aceleración cuando consideramos
dos puntos muy próximos.
Si la trayectoria es curvilínea:
-La velocidad siempre es tangente a la trayectoria
-La aceleración no es tangente a la trayectoria.
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN.
La aceleración se puede poner como suma de dos componentes: y otra perpendicular. La 1ª se llama
aceleración tangencial.
aceleración tangencial, es tangente a la trayectoria; tiene la misma dirección que la velocidad.
La at indica la variación del módulo de la velocidad con relación a t.
at =
v f − vo
t
Si la at es del mismo sentido que la velocidad, el movimiento es acelerado; la v aumenta;
Si es de sentido opuesto a la velocidad, la v disminuye.
Si la v es constante la at es cero.
aceleración normal o centrípeta, an es perpendicular a la velocidad; se debe al cambio en la
r
dirección de la velocidad v .
La an =v2/R.
at
R=radio de curvatura.
Si el movimiento es rectilíneo la an=0;
r
a
an
Si la trayectoria no es una recta, en el movimiento curvilíneo siempre hay aceleración normal.
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CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME.
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s
La trayectoria es una línea recta. an = 0
la velocidad es constante.
v=
at = 0
s
t
;
s = v.t
t
s= especio recorrido.
v=velocidad del móvil.
t=0
2
s
t
v
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO.
an = 0
Y la aceleración (tangencial) es constante. at = constante.
La trayectoria es una línea recta
Si elegimos como origen del sistema de referencia el punto donde está el móvil en el instante
inicial, (el punto donde la velocidad es vo), las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado son:
Fórmula de la velocidad:
v = vo + a.t
Fórmula del espacio:
a.t 2
s = v o .t +
2
(*)
2
(**)
s=espacio recorrido por el móvil en un tiempo t. (m)
vo= Velocidad inicial. Es la velocidad en el instante inicial, t=0. (m/s)
v=velocidad en el instante t. v=velocidad final. (m/s)
t=tiempo que tarda en recorrer s; tiempo que tarda en pasar de una velocidad vo a una velocidad v.
2
a= aceleración (que ha de ser un valor fijo). (m/s ).
2.1
RECORDAR: la aceleración
r r
r v − vo
a=
t
2
De las 2 anteriores, v = vo + 2.a.s
(s)
r r
r
v = v o + a.t
;
Si el movimiento es rectilíneo los vectores de la fórmula anterior tienen la misma dirección.
Si el movimiento es uniformemente acelerado, (la velocidad v aumenta). La aceleración tiene el mismo sentido que la
velocidad inicial vo y la v; las fórmulas del movimiento uniformem. acelerado son (*) y en la (**)
t=0
A
s
t
a
vo
v
Si el movimiento es uniformemente retardado, (la velocidad v disminuye). En este caso la aceleración tiene sentido
opuesto a la velocidad inicial vo. La aceleración a tiene signo – en la fórmula (*) y en la (**)
t=0
A
vo
s
t
a
v
La fórmula de la velocidad y del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente retardado son:
v = v o − a.t
2.3
s = v o .t −
a.t 2
2
( a >0)
Si la velocidad inicial es cero, las fórmulas del m.r.u.a. son: v=a.t;
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s=
a.t 2
2
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2.4 Gráficas del movimiento r.u.a.
La gráfica v-t es una recta. Cuanto mayor es la pendiente de la recta mayor es la aceleración. La gráfica s-t del m.r.u.a. es una parábola.
v
s
t
3
t
MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE SOBRE LA TIERRA.
Los cuerpos (en el vacío) caen sobre la Tierra con movimiento uniformemente acelerado, siendo el valor
de la aceleración con que caen, en la superficie de la tierra de 9'8 m/s2.
I) Si la velocidad inicial es cero, se llama movimiento de caída libre. Las fórmulas de caída libre son:
t=0
v = g.t;
h=
1
g.t2
2
h
g
t
v
2
Al valor de 9'8 m/s , se le conoce como aceleración de la gravedad, y se representa con la letra g. El valor de g
disminuye a medida que ascendemos y nos alejamos de la superficie terrestre.
En el vacío, todos los cuerpos caen igual de deprisa.
Realmente observamos que unos objetos caen más deprisa que otros; es debido a la resistencia del aire; el aire va frenando a los
cuerpos que se mueven en ese fluido. (En cuerpos de tamaño considerable también caen más despacio debido al empuje).
Si en el instante inicial el móvil desciende, cogemos sentido positivo hacia abajo.
II) Para el caso en que se lance un cuerpo hacia abajo con velocidad inicial vo el movimiento es
uniformemente acelerado; cogemos sentido positivo hacia abajo.
vo
Fórmulas :
:
h = vo.t +
v = vo + g.t
1
g.t2
2
h
g
v
III) Para el caso en que se lance un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial vo el movimiento es
uniformemente retardado; cogemos sentido positivo hacia arriba.
v
Fórmulas:
v = vo – g.t
h
1
h = vo.t – g.t2
2
g
vo
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MOVIMIENTO CIRCULAR. La trayectoria es una circunferencia.
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Recordar: el arco de circunferencia es igual al ángulo en radianes por el radio.
s = φ.R;
s
v = w.R
at = α.R
ϕ
R
w = velocidad angular.- ángulo recorrido en la unidad de tiempo.
s ϕ .R
=
⇒
t
t
w=
ϕ
t
v = w.R
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. La trayectoria es una circunferencia.
la velocidad v constante en módulo; cambia continuamente la dirección y sentido de la velocidad.
La velocidad angula w es constante.
v=constante;
w = constante.
w=
at = 0
ϕ
φ = w.t;
t
w=
2π
=2πf;
T
f=1/T
an = constante;
T=periodo= tiempo que tarda en girar una vuelta completa. (se mide en segundos)
f=frecuencia= nº de vueltas que da en 1 s. (Se mide en Hz=s-1).
La frecuencia es el inverso del periodo.
5
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS.
Si un móvil se ve sometido simultáneamente a dos o más movimientos, el movimiento resultante es la suma
vectorial de todos esos movimientos. Esto se conoce como principio de superposición.
Casos de composición de movimientos:
5.1 COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS UNIFORMES: DE LA MISMA DIRECCIÓN. El móvil se ve sometido a
dos movimientos de la misma dirección; la velocidad resultante es la suma de las velocidades. Si son del mismo sentido:
r
r
r
r
r
v1
v2
v = v1 + v2
Ejemplo: un viajero andando con una velocidad v1 en un tren que lleva una velocidad v2.
DIRECCIONES DISTINTAS. Si son perpendiculares, el movimiento resultante viene dado por el teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Un nadador trata de alcanzar la otra orilla del río nadando perpendicularmente a la corriente.
r
v ´´
r
v’
r
v
r
v =
r
v'
r
+ v ''
v = v '2 + v ''2
5.2 COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS, UNO UNIFORME Y OTRO ACELERADO.
DE LA MISMA DIRECCIÓN. Si se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad vo, si no actuara fuerza alguna seguiría
│
con esa velocidad.
│
Debido al peso, se ve sometido a una aceleración hacia abajo g con lo cual, la
-2
v = vo – g.t
g=9,8 m.s
h │ g
velocidad resultante es:
│
│ vo
La altura alcanzada por el cuerpo es:
h = vo.t – ½ g.t2
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5.3
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TIRO HORIZONTAL.
Es el movimiento que resulta de componer un movimiento rectilíneo uniforme con otro uniformemente acelerado, de
direcciones perpendiculares.
O
vo
X
Si se lanza un objeto horizontalmente, con velocidad vo.
En la dirección del eje OX, al no actuar fuerza alguna seguiría
con movimiento uniforme, siendo la velocidad:
El espacio recorrido en el eje X es:
y
vx = vo
x = vo .t
x
vx
vy
En el eje Y, lleva movimiento uniformemente acelerado por la
acción de la gravedad, siendo la velocidad inicial igual a cero.
La velocidad en ese eje es:
El espacio recorrido en ese eje en un tiempo t es:
La trayectoria del cuerpo sería una parábola.
5.4
v
Y
vy = g.t
y =½ g.t2.
(g=9,8 m.s-2).
TIRO OBLICUO.
Vo
voy
Si se lanza un cuerpo con velocidad vo , que forma un ángulo φ, con el suelo,
esa velocidad se puede descomponer en dos componentes,
vox , voy.
φ
vox
En el eje X el movimiento es uniforme. Por tanto
la velocidad en ese eje es:
El espacio recorrido, en el eje X:
vx = vox
x = vox .t
Y
En la dirección del eje Y actúa g, (g=9,8 m.s-2).
con lo cual, la velocidad en el eje Y es:
M
hmáxima
vo
vy = voy - g.t
Al cabo de un tiempo t después de lanzarlo,
está a una altura:
vx
φ
vy
v
A
O
X
2
y = voy .t - ½ g.t
ALCANCE: Distancia OA , del punto de lanzamiento hasta que vuelve a estar a la misma altura. TIEMPO DE ALCANCE o
tiempo de vuelo es el tiempo que tarda en llegar de O a A
El alcance se calcula de la expresión: x = vox .t; el tiempo del alcance se calcula haciendo y=0.
ALTURA MÁXIMA. Es el valor de la y; Se da en un punto M. El tiempo de la altura máxima se calcula haciendo vy =0
ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA.- Se conoce como ecuación de la trayectoria a la expresión y=f(x). De x=vox .t se
despeja t; ese valor se sustituye en la ecuación de la y .
r
VELOCIDAD en cualquier instante: v = v =
v 2x + v 2y
tan φ = vy /vx
TIRO OBLICUO. OTRO EJEMPLO. Si se lanza un cuerpo con una velocidad inicial, como se indica la
figura, conviene poner sentido positivo del eje Y hacia abajo. Las ecuaciones del movimiento serán:
Si origen de coordenadas está en el origen de la velocidad inicial vo
X
vo
Eje X: vx = vox ;
x = vox .t
5.5
Eje Y:
vy = voy + g.t;
y = voy .t + ½ g.t2
Y
(g=9,8 m.s-2).
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