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El punto medio de la recta AB coincide xon x=0, por lo tanto, sustituyendo en estas dos
ecuaciones:
v ( x = 0 ) = π 0.052 − 02 = 0.05π m/s
a ( x = 0 ) = −π 2 ·0 = 0 m/s2
La velocidad en el extremo B, corresponde con la velocidad en x=A, ya que, el punto B es el
extremo de la trayectoria de la partícula:
v ( x = 0.05 ) = π 0.052 − 0.052 = 0 m/s
El cual era de esperar, ya que, el extremo de la trayectoria es el punto en el que se detiene la
partícula y da la vuelta, por lo tanto la velocidad en este punto es nula.
2) Dinámica del movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple está provocado por una fuerza recuperadora del tipo
F = − kx
Que se conoce como la ley de Hooke y que indica que la fuerza es proporcional al
alargamiento, o lo que es lo mismo que la fuerza es proporcional a la distancia que hay entre la
posición de la partícula y la posición de equilibrio x=0.
De esta última ecuación y de las expresiones de la aceleración, teniendo en cuenta las leyes
de Newton, podemos expresar la constante como
k = mω 2
Problema 9.- Disponemos de un bloque de 10 Kg, suspendido de un resorte de peso despreciable y
de k=20 N/m, separamos el bloque 20 cm de su posición de equilibrio. Determina la ecuación de la
velocidad y de la aceleración en función del tiempo y de la posición:
En primer lugar, determinaremos la pulsación:
k
20
k = mω 2 ⇒ ω =
=
= 2 rad/s.
m
10
Ahora ya tenemos datos suficientes para poder calcular la ecuación, ya que, sabemos que el
bloque fue separado 20 cm de su posición de equilibrio, por lo que, la amplitud será 0.20 m, así pues,
la ecuación de la elongación o posición será, teniendo en cuenta que la fase inicial es nula:
x = A sin (ωt + φ0 ) ⇒ x = 0.2sin
( 2t )
La velocidad y la aceleración serán:
dx

v=
= Aω cos (ωt + φ0 )  v = 0.2 2 cos 2t

dt
⇒
dv
2
a = −0.4sin 2t
a=
= − Aω sin (ωt + φ0 ) 

dt
En función de la posición, tendremos las siguientes ecuaciones:
( )
( )
v = ω A2 − x 2 = 2 0.22 − x 2 = 2  0.22 − x 2 
a = −ω 2 x = −2 x
Problema 10.- Determina la fuerza máxima que sufre la partícula del problema 3, así como la fuerza y
el momento lineal que tiene en las siguientes posiciones; x=2 cm, x=4 cm, x=6 cm, suponiendo que la
masa de la partícula es1 kg.
Recordemos que el problema 3 decía:
Luis Muñoz Mato
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“Tenemos un movimiento de amplitud 3 cm, sabiendo que la frecuencia del movimiento es de 40 Hz,
determina la ecuación del movimiento y representa gráficamente la velocidad y la aceleración en
función del tiempo”.
Teniendo en cuenta que las ecuaciones características de este problema son las siguientes:
x = A sin (ωt + φ0 ) ⇒ x = 0.03sin ( 80π t )
dx

= Aω cos (ωt + φ0 ) 
v = 4.8π cos ( 80π t )

dt
⇒
a = −384π 2 sin ( 80π t )
dv
a=
= − Aω 2 sin (ωt + φ0 ) 

dt
Para determinar la fuerza, tendremos en cuenta la segunda ley de Newton, según la cual:
F = ma ⇒ F = 1·a = −384π 2 sin ( 80π t ) N
v=
Si tenemos en cuenta que la aceleración también se puede expresar en función de la posición,
tendremos que:
a = −ω 2 x 
2
2
2
 ⇒ F = − mω x = −1·( 80π ) x ⇒ F = −6400π x
F = ma 
Determinaremos la fuerza en las posiciones que nos da el problema:
F ( x = 2cm ) = −6400π 2 ·0.02 = 1263 N
No tiene sentido calcular la fuerza para x=4 cm y para x=6 cm, ya que, el movimiento tiene de
amplitud 3 cm, por lo que, la partícula no llega a tales posiciones.
Ahora, calcularemos el momento lineal de dicha partícula en las mismas posiciones que en el
caso anterior, para ello, tendremos en cuenta que la velocidad se puede expresar en función de la
posición como:
v = ω A2 − x 2 
2
2
2
2
 ⇒ p = mω A − x = 1·80π · 0.03 − x
p = mv

p = 80π 0.032 − x 2 kg·m/s
Al igual que antes, haremos el cálculo para x=2 cm, que es el único que tiene sentido:
p ( x = 2cm ) = 80π 0.032 − 0.022 = 5.62 kg·m/s.
3) Energía del movimiento armónico simple.
Todo cuerpo en movimiento está dotado de una energía cinética y de una energía potencial,
teniendo en cuenta las expresiones para estos de los tipos de energía, tenemos que:
2
1
EC = m  Aω cos (ωt + φ0 ) 
2
2
1
E p = k  A sin (ωt + φ0 ) 
2
Que en los proporcionan la energía cinética y potencial en función del tiempo, si queremos
tener las expresiones en función de la posición, tendremos que usar las expresiones de la posición y
de la velocidad en función de la posición, obteniedo:
1
EC = mω 2  A2 − x 2 
2
1
E p = kx 2
2
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Si tenemos en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía cinética más la energía
potencial, tenemos que la energía mecánica es constante e igual a:
1
1
1
EM = EC + EP = mω 2  A2 − x 2  + kx 2 = kA2
2
2
2
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
Problema 11.- Demostrar que la suma de la energía cinética y potencial en un MAS permanece
constante.
La energía cinética de una partícula que se mueve con una determinada velocidad viene dada
por:
1
Ec = mv 2
2
Si, en vez de la velocidad, ponemos la expresión que tenemos para la velocidad en función de
la posición obtenemos para la energía cinética:
2
1
1
1
Ec = mv 2 = m ω A2 − x 2  = mω 2 ( A2 − x 2 )

2
2 
2
Por otro lado, la energía potencial, viene dada por:
1
1
E p = kx 2 = mω 2 x 2
2
2
La energía total será la suma de la energía cinética más la energía potencial, que vendrá dada
por:
1
1
1
Etot = Ec + E p = mω 2 ( A2 − x 2 ) + mω 2 x 2 = mω 2 A2
2
2
2
Que es una constante, ya que, solo depende de datos que son constantes y no variables. Esto
no es más que una forma del principio de conservación de la energía, es decir, durante el movimiento
la energía permanece constante.
Problema 12.- La energía total de un cuerpo que realiza un MAS es de 3·10-4 J y la fuerza máxima que
actúa sobre el es de 1.5·10-2 N. Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial de 60º,
determina la ecuación del movimiento de este cuerpo.
La fuerza máxima que actúa sobre un cuerpo viene dada por:
Fmax = m·amax ⇒ Fmax = − mω 2 xmax ⇒ Fmax = mω 2 A
Por otra parte, la energía total de un cuerpo que realiza un m.a.s. es:
1
1
1
Etot = Ec + E p = mω 2 ( A2 − x 2 ) + mω 2 x 2 = mω 2 A2
2
2
2
Debemos tener en cuenta que el problema dice que el periodo es de 2 segundos, por lo que, a
partir de este dato podemos obtener el valor de la pulsación como:
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2π 2π
=
= π rad/s
T
2
Podemos sustituir los datos que nos da el problema queda:
Fmax = mω 2 A
1, 5·10−2 = mπ 2 A

⇒
1
1
−4
2 2
E = mω 2 A2  3·10 = mπ A
2

2
Dividiendo una ecuación entre la otra:
1,5·10−2
mπ 2 A
2
2
=
⇒ 50 = ⇒ A =
= 0.04 m
−4
1
3·10
A
50
2 2
mπ A
2
Ahora ya tenemos datos suficientes para poder calcular la ecuación del movimiento, teniendo
en cuenta que la ecuación del movimiento de un m.a.s. viene dada por:
x = A sin (ωt + φ0 )
ω=
La ecuación quedará:
(
x = A sin (ωt + φ0 ) = 0.04sin π t + π
3
)m
Representando graficamente el movimiento:
Elongación
0,06
0,04
x (m)
0,02
0
-0,02 0
0,5
1
1,5
2
-0,04
-0,06
t (s)
4) Aplicaciones: resorte elástico y péndulo simple
Los conocimientos dados se pueden aplicar a elementos reales, como son el péndulo simple y
el resorte elástico:
La consideración de fuerzas en un momento dado lleva a F = m.a, o, lo que es lo mismo, F =
m.(d2x/dt2) (segunda ley de Newton) ecuación diferencial que, resolviendola, hace que obtengamos
la relación:
m
k
Donde T es el periodo, m la masa de la carga y k la constante del resorte.
Un péndulo simple es un punto material suspendido de un hilo ideal (inextensible y sin
masa), que oscila en un plano sin rozamiento.
Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un movimiento sea armónico
simple (M.H.S.) es que proceda de una fuerza del tipo: F = - mω2x (= - kx).
Para pequeñas amplitudes de oscilación, el movimiento del péndulo se puede considerar
armónico simple.
Aplicando las consideraciones teóricas oportunas se llega a calcular el período de oscilación del
péndulo como:
T = 2π
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T = 2π
g
l
Problema 15.- Un resorte de masa despreciable se estira 10 cm cuando se le cuelga una masa de 200
g. A continuación el sistema formado por el resorte y la masa se estira con la mano otros 5 cm y se
suelta en el instante t=0 s. Calcula: a) la ecuación del movimiento que describe el sistema; b) la
energía cinética y potencial cuando la elongación x = 3 cm. (Dato g = 9,80 m/s2).
El primer dato que nos dan, va a valer para determinar cual es la constante elástica del
resorte, para ello, usamos la ley de Hooke:
F = k ∆x ⇒ 0.2·9,8 = k ·0.10 ⇒ k = 19.6 N/kg
Ahora, el problema nos dice, que, en esa posición realizamos un estiramiento del resorte, ese
estiramento vale 5 cm, por lo que, la amplitud de nuestro movimiento serán 5 cm. Además, también
nos dice, que el instante en el que comezamos a contar el tiempo es este instante, es decir, cuando la
elongación es máxima, por lo tanto, podemos determinar cuánto vale el ángulo incial:
x(t = 0) = A ⇒ A = A sin (φ0 ) ⇒ sin (φ0 ) = 1 ⇒ φ0 = π
Ahora, podemos hallar el valor de la pulsación:
k
19.6
ω=
=
= 9.90 rad/s
m
0.2
Ya podemos determinar la ecuación de la elongación:
(
2
rad
)
x = A sin ( ωt + φ0 ) = 0.05sin 9.90t + π
m/s
2
Ahora determinaremos la energía cinética y potencial en el momento indicado, para ello,
usaremos las expresiones obtenidas anteriormente:
1
1
Ec = mω 2 ( A2 − x 2 ) = ·0.2·9.902 ( 0.052 − 0.032 ) = 0.0157 J
2
2
1
1
E p = mω 2 x 2 = ·0, 2·9.902 ·0.032 = 8.83·10−3 J
2
2
Problema 16.- Una masa de 0,01 kg realiza un movimiento armónico simple de ecuación y = 5 sen
(2t+π/6). (Magnitudes en el S.I.); calcula: a) posición, velocidad y aceleración en t = 1 s; b) energía
potencial en x = 2 m, c) ¿la energía potencial, es negativa en algún instante?
Para resolver el primer apartado no tenemos más que hallar las ecuaciones de la velocidad y
aceleración y sustituir en ellas el valor de t que nos da el problema:
(
y = A sin (ωt + φ0 ) = 5sin 2t + π
6
)
(
(
)
)
dy

= Aω cos (ωt + φ0 )  v = 10 cos 2t + π
6

dt
⇒
dv
π
a=
= − Aω 2 sin (ωt + φ0 )  a = 20sin 2t + 6

dt
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores t por 1 s, obtenemos los siguientes resultados:
x=2.897 m
v=-8.15 m/s
a=11.58 m/s2
b) Para resolver el apartado b), tendremos en cuenta que la energía potencial, en función de
la posición viene dada por:
v=
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1
mω 2 y 2
2
Sustituyendo los datos de los que disponemos:
1
1
E p = mω 2 y 2 = ·0, 01·2 2 ·22 = 0.08 J
2
2
Para dar respuesta al apartado c), solamente hay que darse cuenta que en la expresión de la
energía potencial todas las magnitudes son positivas, ya que, la elongación, que es la única magnitud
que puede ser negativa, está elevada al cuadrado, por lo tanto, la energía potencial será positiva en
cualquier caso.
Ep =
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