Download Movimientos periódicos = θ = ω y A sen A sen t = ω + φ y A sen t 2 2

Movimientos periódicos
Los movimientos periódicos son aquellos en los que cada cierto tiempo se repiten los valores de
posición, velocidad y aceleración. A ese intervalo de tiempo se le llama periodo.
El movimiento circular uniforme, el movimiento de oscilación de un péndulo y el de vibración de un
muelle son movimientos periódicos.
Movimiento Armónico Simple
Se llama así porque puede expresarse por medio de funciones armónicas: seno o coseno.
Supongamos un cuerpo puntual que describe un movimiento
circular uniforme en una circunferencia de radio A, la
proyección de ese punto sobre el eje vertical describe un
A
y

movimiento armónico simple. La ecuación de ese movimiento
y  A sen  A sent
es:
si comenzamos a medir
el tiempo cuando el ángulo recorrido es cero.
Si el ángulo recorrido al comenzar a contar el tiempo es  la
ecuación se convierte en
y  A sen  t    , en donde:
y = elongación
distancia a la que se encuentra el cuerpo desde la posición de equilibrio.
A = amplitud
valor máximo de la elongación = radio de la circunferencia.
 = pulsación
velocidad angular con la que se describe el movimiento circular.
(t+) = fase
valor del ángulo en un momento determinado.
 = fase inicial
ángulo con el que se inicia el movimiento.
El periodo es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa (tiempo que separa las
dos posiciones más próximas que vibran de la misma forma)

2
T
T
2

La frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, f 
1
y se mide en s-1 o Hz.
T
La velocidad con la que vibra el punto en un momento determinado se calcula derivando la
elongación con respecto al tiempo:
v
dy
d
  A sen  t      A cos  t   
dt dt
que también se puede escribir como:
v  A cos  t     A 1  sen2  t      A 2  A 2 sen2  t      A 2  y 2
La velocidad de vibración es mínima (se anula) en los puntos extremos y es máxima en el centro.
- 1 -
Fco Javier Corral
Movimientos periódicos
La aceleración con la que vibra el punto es la derivada de la velocidad:
a
dv
d

A cos  t       A2 sen  t     2 y

dt dt
La aceleración de vibración es mínima (se anula) en el centro y es máxima en los extremos.
Si representamos gráficamente los valores
de la elongación, la velocidad y la
velocidad
elongación
aceleración frente al tiempo se obtienen
las siguientes gráficas cuando la fase
inicial es cero.
t
Vemos que la velocidad alcanza los
valores máximos cuando la elongación es
cero y se anula cuando es máxima. Con la
aceleración
aceleración ocurre lo contrario.
Oscilador Armónico: Muelle
Si sobre un muelle de longitud L ejercemos una fuerza F, el
alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza F (Ley de
Hooke). Cuanto mayor sea la fuerza mayor será el alargamiento,
siempre que no sobrepasemos el límite de elasticidad (cuando
x
deja de actuar la fuerza el muelle recupera su longitud inicial). La
x
COMPRESION
fuerza con la que el muelle recupera la posición inicial es la misma
EQUILIBRIO
ESTIRAMIENTO
con la que se estira pero de sentido contrario
F  k LF  L 0   k x
k es la constante elástica del muelle; nos indica la fortaleza del mismo.
¿Con qué periodo vibra un muelle cuando se estira y a continuación se suelta?
Describe un movimiento vibratorio en el que la elongación es x:
F  kx  ma
kx
 2 x
m
m
T  2
k
a
- 2 -
kx 4 2
 2 x
m
T
Fco Javier Corral
Movimientos periódicos
Energía de un oscilador armónico
La energía potencial de un muelle es el trabajo necesario para estirar el muelle desde la posición de
equilibrio hasta una distancia x.
EP  W 

x
0
x
1
F dx   kx dx  kx 2
0
2
La energía cinética es:
EC 
1
1
1
1
mv 2  m A 2 2 cos2 t  kA 2 1  sen2 t   k  A 2  x 2 
2
2
2
2
La energía total del oscilador será la suma de las dos:
ETOTAL  EC  EP 
1
1
1
k  A 2  x 2   kx 2  kA 2
2
2
2
Si representamos gráficamente el valor de las energías frente a la elongación, tenemos:
ETOTAL
EPOTENCIAL
ECINETICA
x
-A
+A
Máxima compresión
Máximo estiramiento
Péndulo
Está formado por un punto material sujeto por un hilo inextensible y sin
masa que oscila en un plano alrededor de la posición de equilibrio
describiendo ángulos pequeños. La fuerza del peso se descompone en dos:

una se compensa con la tensión del hilo y la otra genera el movimiento:
F  mg sen
el arco recorrido hasta llegar a la posición de equilibrio es L , que
coincide con la elongación si el ángulo es muy pequeño:
F  mg sen  mg   m a
a  g 

a   x  2L 
g   2L 
2
P=mg
g  2L 
4 2
L
T2

T  2
L
g
Vemos que el periodo de la no depende del valor de la masa; solo depende de la longitud del hilo.
- 3 -
Fco Javier Corral
Movimientos periódicos
La velocidad y la energía cinética del péndulo son máximas en la posición intermedia y nulas en los
extremos. La aceleración y la energía potencial son máximas en los extremos y nulas en el centro.
La energía potencial en los extremos es:
EP  mgh  mg L  L cos    mgL 1  cos  

L
L cos 
La energía total se mantiene constante, luego la velocidad en
el punto más bajo es:
EC 
1
mv 2  mgL 1  cos    EP
2
v  2gL 1  cos  
h
Movimiento ondulatorio
Una onda es una perturbación que se traslada a lo largo de un medio. Cualquier punto al que llega
una onda vibra de la misma forma que el punto en el que se origina pero un tiempo t’ más tarde; el
tiempo que tarda la perturbación en llegar a ese punto.
Si la onda se propaga con una velocidad constante v
tardará un tiempo t’ en llegar a un punto que está a

una distancia x del origen:
T
t' 
P
x
v
A la distancia entre dos puntos consecutivos que están
O
vibrando de la misma forma se le llama longitud de
onda
x
. El tiempo transcurrido desde una posición
hasta la otra es el periodo.
x
2 
x

 2 t 2x 

y  A sen  t  t   A sen  t    A sen  t    A sen 

v
T 
v
Tv 

 T
 2 t 2x 
 A sen 

  A sen  t  kx 
 
 T
en donde  se llama pulsación  
y k es el número de ondas k 
2

2
T
La velocidad de propagación de la onda es v 
- 4 -
 

T k
Fco Javier Corral
Movimientos periódicos
La ecuación del movimiento ondulatorio y  A sen  t  kx  es periódica en el tiempo y en el
espacio.
Cada vez que pasa un tiempo igual al periodo, el valor de las magnitudes se repite y cada vez que se
recorre una distancia igual a la longitud de onda los valores se repiten.
Si derivamos respecto al tiempo:
Si derivamos respecto al espacio:
y  A sen  t  kx 
y
 A cos  t  kx 
t
y
  Ak cos  t  kx 
x
v  2 y

  A2 sen  t  kx    A2 y
t t2
2 y
  Ak 2 sen  t  kx    Ak 2 y
x 2
v
a
y  A sen  t  kx 
Si dividimos entre sí las segundas derivadas, tenemos:
2y
2
2
t 2   A y      v 2
 2 y  Ak 2 y  k 
x 2

2
2 y
2  y
v

t 2
x 2
Clasificación de las ondas:
De acuerdo con el medio en el que se propagan pueden ser:
Ondas mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse. Ej: el sonido.
Ondas electromagnéticas: No necesitan medio para propagarse. Se pueden propagar en el
vacío y todas se propagan con la misma velocidad. Ej: la luz
Según la dirección de propagación:
Ondas transversales: La dirección de vibración de los puntos y la de propagación de la onda
son perpendiculares. Ej: las ondas producidas en un estanque.
Ondas longitudinales: La dirección de vibración y la de propagación son coincidentes. Ej: el
sonido.
Principio de Huygens
Cualquier punto que es alcanzado por una onda se convierte en emisor
secundario de ondas y el nuevo frente de ondas es la envolvente de todas
las ondas.
- 5 -
Fco Javier Corral
Movimientos periódicos
Interferencias
Se denomina interferencia a la coincidencia de dos ondas en un punto en
el tiempo y en el espacio. Cuando un punto es alcanzado por dos ondas su
elongación es la suma de las producidas por cada onda. Vamos a ver el
1
x1
caso más sencillo de interferencias. Supongamos dos puntos 1 y 2 en los
P
que se están produciendo dos ondas idénticas con misma amplitud y
x2
misma frecuencia:
2
y1  A sen  t  kx1 
y 2  A sen  t  kx 2 
El punto P vibrará de acuerdo con la suma de las dos:
y P  y1  y 2  A sen  t  kx1   A sen  t  kx 2 
Si recordamos que: senA  senB  2sen
A B
A B
cos
2
2
tenemos que:
t-kx1  t-kx 2
t-kx1  t+kx 2
cos

2
2


 x  x 2 
 x 2  x1 
 x 2  x1 
 x1  x 2  
 2Asen t  k  1
  cosk 
  2A cosk 
 sen t  k 

 2 
 2 
 2 
 2 


y P  A sen  t-kx1   sen  t-kx 2    2Asen
el punto P vibra de acuerdo con la ecuación de una onda en la que la amplitud varía en función de
los valores de x1 y x2.
Interferencia constructiva
Se
dice
que
en
un
punto
hay
interferencia
constructiva si la amplitud alcanza el valor máximo;
las dos amplitudes se suman.
Se
produce
interferencia
constructiva
en todos
aquellos puntos en los que la diferencia de camino (x 2
x ) es igual a un número entero de longitudes de
 x  x1 
 x 2  x1 
cosk  2
  1; k 
  n
 2 
 2 
2   x 2  x1 

  n
  2 
x 2  x1  n
1
onda.
Interferencia destructiva
Se dice que en un punto hay interferencia destructiva
si la amplitud alcanza el valor nulo, se anula el coseno
y las amplitudes se restan.
Se produce interferencia destructiva en todos aquellos
puntos en los que la diferencia de camino (x -x ) es
2
1

 x  x1 
 x 2  x1 
cosk  2
  0; k 
   2n  1
2
 2 
 2 

2  x 2  x1 

   2n  1
  2 
2

x 2  x1   2n  1
2
igual a un número impar de semilongitudes de onda.
- 6 -
Fco Javier Corral
Movimientos periódicos
Ondas estacionarias
Se trata de un tipo especial de interferencia. Supongamos una cuerda, fija en los extremos, por la
que se propaga una onda. La onda rebota en el extremo de la cuerda y todos los puntos de la misma
vibran como consecuencia de la interferencia de dos ondas iguales que se propagan en sentidos
contrarios.
y1  Asen  t  kx  
 y P  Asen  t  kx   Asen  t  kx  
y 2  Asen  t  kx  
 2Asen
t  kx  t  kx
t  kx  t  kx
cos
2
2
y P  2 A cos(kx)sen(t)
VIENTRES
El resultado es una onda que no es del mismo tipo
que las que la producen. No hay término
(t  kx) y cada punto de la cuerda vibra con una
NODOS
amplitud determinada que es constante para ese
punto.

Hay puntos que no vibran nunca, los nodos. La distancia entre dos nodos consecutivos es /2. Hay
puntos que vibran al máximo, los vientres. La distancia entre dos vientres consecutivos es
/2.
Entre dos vientres siempre hay un nodo y viceversa.
Efecto Doppler
Supongamos un punto E, en reposo, que está emitiendo una onda
O2
E
O1
con una frecuencia determinada. Tanto el observador 1 como el 2
reciben la onda con la misma frecuencia con la que se produce.
Si el emisor se mueve hacia la derecha mientras emite ondas,
llegan al observador 1 más juntas con lo que disminuye
y
aumenta la frecuencia.
El observador 2, del que se aleja el emisor, recibe las ondas más
O2
E
O1
separadas, con mayor
y con menor frecuencia.
Al cambio de frecuencia producido cuando varía la distancia entre
el emisor de ondas y el observador se denomina efecto Doppler.
- 7 -
Fco Javier Corral
Movimientos periódicos
Si el emisor se acerca al observador:
 MVTO  REPOSO  v EMISOR T
v ONDA
v
v
 ONDA  EMISOR
fMVTO
fREPOSO fREPOSO
v ONDA v ONDA  v EMISOR

fMVTO
fREPOSO
fMVTO 
v ONDA
fREPOSO
v ONDA  v EMISOR
Si el emisor se aleja del observador, la velocidad del emisor tiene el signo contrario y la frecuencia
será:
fMVTO 
v ONDA
fREPOSO
v ONDA  v EMISOR
Se pueden hacer razonamientos similares para el caso en que se muevan a la vez el emisor y el
observador:
fMVTO 
v ONDA  v OBSERVADOR
fREPOSO
v ONDA  v EMISOR
En donde las velocidades son positivas si se produce un acercamiento y negativas si se produce un
alejamiento.
Si se trata de una onda sonora, el sonido se hace más agudo (mayor frecuencia o menor longitud de
onda) cuando se acerca el emisor y más grave (menor frecuencia o mayor longitud de onda) cuando
se aleja del observador.
Emisor en reposo
vEMISOR=0
Emisor en movimiento
vEMISOR<vONDA
- 8 -
Emisor en movimiento
vEMISOR=vONDA
Fco Javier Corral
Movimientos periódicos
Si el emisor se desplaza con una velocidad mayor que la de
propagación de la onda se produce una onda de choque
representada por la línea de puntos que es tangente a todas las
ondas. Por esta razón los barcos dejan una estela en forma de V
cuando se desplazan. En el caso del sonido la onda de choque
tiene forma cónica y el ángulo
sen 
es tal que:
v ONDA t
1
 ;
v EMISOR t m
m
v EMISOR
v ONDA
Donde m es el número de Mach que es la relación entre la
vONDA t
velocidad del emisor y de la onda. Para el caso de un avión y del

vEMISOR t
sonido indica la velocidad de un avión en función de la del sonido
en el aire (Mach1=340 m/s).
El efecto Doppler también se observa en el caso de ondas luminosas y nos permite saber si un
objeto celeste con luz propia se acerca hacia nosotros (se produce un desplazamiento hacia el azul;
menor longitud de onda) o si se aleja de nosotros en cuyo caso se produce un desplazamiento hacia
el rojo (mayor longitud de onda).
Atenuación
La intensidad de un movimiento ondulatorio es la energía que
atraviesa una superficie unidad perpendicular a la dirección de
propagación por unidad de tiempo
I
E
P

2
4 r t 4 r 2
Si tenemos dos puntos, la relación entre las intensidades será:
I1 r22

I2 r12
La energía de una onda es proporcional a la amplitud:
I1 A 12

I2 A 22
Y comparando las dos, tenemos:
A 1 r2

A 2 r1
La amplitud de la onda y la distancia al foco emisor son inversamente proporcionales con lo que la
onda se va atenuando a medida que nos alejamos del foco.
- 9 -
Fco Javier Corral
Movimientos periódicos
Absorción
Supongamos una onda sonora de intensidad I0 que atraviesa
una pared de un material que tiene un coeficiente de
L
absorción . La intensidad después de atravesar la pared
será menor y depende del material del que esté hecha la
pared, del espesor de la pared y de la intensidad de la onda:
IF
I0



IF
I0
dI

I

L
0
dI
 I
dx
 dx
Ln
dI
  dx
I
IF
I0
  x
I F  I 0 e  x
Nivel de intensidad sonora.
El nivel de intensidad de una onda sonora se define como   10 log
I
en donde I es el valor de la
I0
intensidad e I0 el valor de la frecuencia umbral, la más baja que se puede oír, 10-12Wm-2. Se mide en
decibelios dB. La intensidad máxima que el oído humano puede tolerar, sin sensación dolorosa, es
de 130 dB que corresponde con
130  10log
I
I0
13  log
I
I0
1013 
- 10 -
I
I0
I  1013 10 12  10
W
m2
Fco Javier Corral