Download El sistema de la figura consiste en un pequeño bloque de masa m

El sistema de la figura consiste en un
pequeño bloque de masa m que desliza
k
sobre la superficie ABD. En el extremo D
A
D
m
del plano inclinado se apoya un resorte sin
a
masa, de constante k, cuyo extremo está a
C
distancia a del punto B en la posición
h
indeformada. Suponga que el bloque inicia
α
el movimiento a una altura h a partir del
reposo, que no existe roce en el tramo AB,
B
que los coeficientes de roce entre el bloque
y el plano inclinado son µe el estático y µd el dinámico y que si el bloque alcanza el resorte queda adherido al
extremo de éste. Determine:
Ø La(s) ecuación(es) diferencial(es) de movimiento del bloque cuando se mueve sobre el plano inclinado.
Resuelva las ecuaciones para obtener la trayectoria.
Ø Determine las expresiones de la velocidad y la aceleración del bloque en términos de la posición sobre el plano
inclinado.
Ø Determine la posición en que el bloque vuelve al reposo para los siguientes valores:
α = 30o ; a = h /2 ; µd = tanα ; µe = 1.2 µd ; k = 0.1 mg / h
DINPART7 - C2-95
SOLUCION
El problema se resuelve por tramos
1)
Tramo A-B:
Suponiendo que m parte en A del reposo, por balance de energía se determina la velocidad al llegar al punto B.
Considérese el nivel más bajo con Energía Potencial Vg nula:
En t = 0 :
Vg = mg h
En B :
Vg = 0
mg h = 1 mv B 2
2
⇒
T=0
T = 1 mv B 2
2
⇒ v B = 2gh
2)
Tramo B-C:
Movimiento sobre plano inclinado, con roce entre las superficies. Sea η la distancia a
lo largo del plano inclinado, medida desde B.
η
α
Ecuación Diferencial del Movimiento
mη
&& = −Fr − mg sin α
Si existe movimiento ⇒
Eq . estático dir . normal
⇒ Fr = µ d mg cos α
Fr = µ d N
al
plano :
N = mg cos α
⇒ mη
&& = − µ d mg cos α − mg sin α
⇒ &η& = − g(µ d cos α + sin α )
ó
η
&& = −β g
mg
Ec. Dif . Mov. tramo BC
donde β = (µ d cos α + sin α )
B
Fr
N
Obtención de la Ec. Diferencial del Movimiento utilizando principio de Energía
El cambio de energía ?(T+V) entre los puntos B y η debe ser igual al trabajo hecho por la fuerza de roce:
∆ (T + V ) = W
[
]
∆ (T + V ) = (T + V)(η) − ( T + V ) B = 1 m η& 2 + mg η sin α − 1 mv B 2
W = −Fr η = −(µ d mg cos α )η
⇒
[ mη&
1
2
2
2
2
2
]
+ mg η sin α − 1 mv B 2 = − (µ d mg cos α )η
2
⇒ η& + 2β g η = v B 2
Derivando esta ecuación se llega al mismo resultado anterior.
Solución de la Ec. Diferencial
η (t ) = − 1 g β t 2 + C 1 t + C 2
2
⇒ η& ( t) = −g β t + C1
CI : t = 0 :
η = 0 ⇒ C2 = 0
η& = v B = 2gh ⇒ C1 = 2 gh
⇒ η( t) = 2gh t − 1 gβ t 2
2
η& (t ) = 2 gh − g β t
Ec. trayectoria e n tramo BC
Ec. velocidad e n tramo
Ecuaciones de Aceleración y Velocidad en función de la posición
Ec. Dif . del Movimiento: &η& = −β g
Conocida η
&& = η
&&( η) se integra utilizando la ecuacion
⇒
η
&
η
vB
0
vdv = ads
∫ η& dη& (t ) = ∫ − β g
⇒ 1 η& 2 − 1 v B 2 = −β g η
2
2

β 
⇒ η& = 2 gh 1 − η 
h 

Nótese que se llega al mismo resultado obtenido mediante las ecuaciones de Energía.
BC
Determinación del alcance de m en el plano inclinado
El alcance se obtiene del resultado para la trayectoria:
η max ocurre para η& = 0 ⇒ t 1 =
⇒ η1 = η(t 1 ) = 2 gh
2 gh
gβ
2 gh
βg
2
 2gh 
h
1
− gβ 
 =
2  gβ 
β


 < a ⇒ m no llega a C

h

si η1 =  = a ⇒ m llega y se detiene e n C

β

 > a ⇒ alcanza a comprimir e l resorte
El alcance de m se puede obtener además directamente de la ecuación de la velocidad obtenida de las ecuaciones
de Energía o de la integración de la aceleración, haciendo cero la velocidad:
2
η& = 0 ⇒ 2 β g η1 = vB
h
⇒ η1 =
OK
β
3)
Tramo C-D:
En este tramo se tiene tres posibilidades, según el alcance en B-C:
Ø Caso η 1 < a: m no alcanza el punto C, deteniéndose antes. Al detenerse, si la fuerza máxima de roce
estático es mayor que la componente del peso, m no se mueve y se mantiene en reposo. Si el roce no es
suficiente, m se devuelve hacia abajo.
Ø Caso η 1 = a: m alcanza justo el punto C, deteniéndose en este punto y quedando adherido al resorte. Al
detenerse, si la fuerza máxima de roce estático es mayor que la componente del peso, m no se mueve y se
mantiene en reposo. Si el roce no es suficiente, m se devuelve hacia abajo, pero adherido al resorte,
iniciándose un movimiento oscilatorio.
Ø Caso η 1 > a: m alcanza el punto C con velocidad, se adhiere al resorte,
iniciando un movimiento oscilatorio sobre el plano inclinado con roce. Se
analizará este caso. Sea ζ la distancia a lo la rgo del plano inclinado, medida
desde C. Para analizar este caso, se requiere conocer la velocidad v C de m
al llegar a C.
ζ
α
C
Velocidad en C
de la ec. de la trayectoria para B − C, haciendo t = t 2 para η = a :
⇒ η = a = 2gh t 2 − 1 β g t 2 2
2

1 2h 
aβ  γ 2h
aβ 
donde γ = 1 − 1 −
1 − 1 −
=

β g 
h  β g
h 

h
nóteseque se ha supuestoque
> a por lo que la ecuacióntiene solución
β
⇒ t2 =
⇒ v c = 2gh − gβ t 2 = 2gh − gβ
γ
β
mg
2h

aβ 
= 2 gh (1 − γ ) = 2gh 1 − 
g
h

Fe
Fr
N
La velocidad en C se puede determinar además evaluando el cambio de energía ?(T+V) entre los puntos B y C, el
que debe ser igual al trabajo hecho por la fuerza de roce:
∆ (T + V ) = W
⇒  1 mv c 2 + mg a sin α  − 1 mv B 2 = − (µ d mg cosα )a
 2
 2
⇒ v C 2 + 2β g a =  v B 2 = 2gh 
OK


Ecuación Diferencial del Movimiento
La Ecuación del Movimiento para el tramo C-D es similar a la del caso anterior, agregando la fuerza del resorte:
mς&& = − Fr − mg sin α − Fe
⇒ m&ς& = −µ d mg cos α − mg sin α − kς
⇒ &ς& + ω 2 ς = −β g
Ec. Dif . Mov. tramo BC
Nótese que esta ecuación es válida solamente para el caso que m avance hacia D
La Ec. Dif. del Movimiento puede obtenerse evaluando el cambio de energía ?(T+V) entre los puntos C y ζ:
∆ (T + V ) = W
[
]
∆ (T + V) = (T + V)(ς ) − ( T + V )C = 1 mς& 2 + mg ς sin α + 1 kς 2 − 1 mv C 2
2
2
2
W = −Fr ς = −(µ d mg cos α )ς
⇒ ς& 2 + ω 2 ς 2 + 2β g ς = v C 2
Al derivar esta ecuación se obtiene el mismo resultado anterior.
Solución de la Ec. Diferencial
La solución de esta ecuación es:
ς (t ) = C 3 cos ωt + C4 sin ωt −
β
g
ω2
⇒ ς&( t ) = −C 3 ω sin ω t + C4 ω cos ωt
CI : t = 0 :
ς = 0 ⇒ C3 =
β
ω2
g
aβ 

ς& = v C = 2 gh 1 − 
h

⇒ ς( t ) =
β
ω2
⇒ ς&( t ) = −
g (cos ωt − 1 ) +
⇒ C4 =
2gh 
aβ 
1 −
 sin ωt
2
h 
ω 
β

aβ 
g sin ω t + 2gh  1 −  cos ω t
ω
h

2gh 
aβ 
1 − 
h
ω2 
Ec. trayectoria e n tramo C − D
Ec. velocidade n tramo C − D
El rango de validez de esta solución está definido por la condición de movimiento desde C hacia D:
Ecuaciones de Aceleración y Velocidad en función de la posición
2
Ec. Dif . del Movimiento:
&ς& + ω ς = −β g
Conocida &ς& = &ς&(ς ) se integra utiliza ndo la ecuacion
⇒
ς&
ς
vC
0
vdv = ads
∫ ς& dς& (t ) = ∫ − (β g + ω 2ς)dς
(
⇒ 1 ς& 2 − 1 v C 2 = − β g ς + 1 ω 2 ς 2
2
2
2
)
aβ ς 

⇒ ς& = 2 gh 1 −
−  − (ως )2
h
h

Nótese que se llega al mismo resultado obtenido mediante las ecuaciones de Energía.
3)
Determinación de la posición en que el bloque vuelve al reposo para los siguientes valores:
α = 30o ; a = h /2 ; µd = tanα ; µe = 1.2 µd ; k = 0.1 mg / h
Alcance en tramo B-C
β = (µ d cos α + sin α ) = (tan α cos α + sin α ) = 2 sin α = 2 sin 30o = 1
⇒ η1 =
h
= h = 2a
β
⇒ Alcanza e l resortee n e l plano inclinado
Velocidad al inicio de tramo C-D
h 


aβ 


v c = 2 gh 1 −  = 2 gh 1 − 2  = gh
h
h






Alcance en tramo C-D
1 ς
aβ ς 
1 ς
g
ς 2 


ς& = 2gh1 −
−  − (ως )2 = 2 gh 1 − −  − 0 .1 ς 2 = 2gh − − 0.05
2 h
h h
2 h
h


h 2 

ς& = 0
⇒ ς1 =
⇒
(
1 ς
ς2
− − 0 .05
=0
2 h
h2
)
110 − 10 h = 0.488h
o
ς 2 + 20ς h − 10h 2 = 0
En D:
mg
0 .488 h + 1 mg = 0 .5488mg
2
h
Fza máxima de roce estático= µ emg cos α = 1 .2 tan α mg cos α = 1.2mg sin α = 0 .6 mg
Fza total = Fe + mg sin α = kς 1 + mg sin α = 0 .1
⇒ La fuerza de roce es suficientepara impedir que e l cuerpo vuelva a moverse,
permaneciendo e n reposo
Alcance total = a + 0.5488h = 0.5h + 0.5488h = 1.0488h